二项式分布列与数学期望

北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。

19道题，共100分。

考试时长90分钟。

试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，请将答题卡交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

贵州省遵义市凤冈二中2024届高三下学期第一次模拟考试（数学试题理）试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-12．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23283．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．24．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．6．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知集合{}2230A x x x =--≤{}2B x x =＜，则A B =( )A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-8．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）A 3B ．36C ．33D ．23310．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π11．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．512．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积222221()42a b c S ab ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．2B ．22C ．6D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年重庆市名校联盟高二下学期5月联考数学试题一、单选题1．已知两个正态密度函数()()()2221,1,22πx i i i i x e x i μσϕσ--=∈=R 的图象如图所示，则（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ>，12σσ<C ．12μμ<，12σσ>D ．12μμ>，12σσ>【答案】A【分析】正态曲线关于直线x μ=对称，且μ越大图象越靠右，所以1ϕ图象的均值比2ϕ图象的均值小，又由σ越小图象越“瘦高”，得到正确的结果. 【详解】正态曲线关于直线x μ=对称，且在x μ=2πσ 由题图易得12μμ<，因为()1x ϕ的图象更“瘦高”，()2x ϕ的图象更“矮胖”，则12σσ<. 故选：A.2．甲､乙､丙､丁四位同学各自对,x y 两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r ，如下表：甲 乙 丙 丁r0.20 0.95- 0.12- 0.85则试验结果中,x y 两变量有更强线性相关性的是（ ）A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【分析】由相关系数的绝对值的大小判断．【详解】由已知，乙的相关系数的绝对值为0.95r =，是四人中最大的，因此乙同学有更强的相关性． 故选：B ．3．6(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．60 C ．120 D ．240【答案】B【分析】根据二项展开式通项公式计算．【详解】()166C 2C 2rr rr r r T x x +==⨯， 所以2x 的系数是226C 260⨯=．故选：B ．4．从5名男同学和4名女同学中任选2名同学，在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率是（ ） A ．13B ．514C ．1013 D ．58【答案】D【分析】根据已知条件及古典概型公式，结合条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设“任选2名同学，都是男同学”的事件为A ， 设“任选2名同学，都是同性别同学”的事件为B ，所以()2529C 10C 45P AB ==，()225429C C 16C 45P B +==， 所以在选到的都是同性别同学的条件下，都是男同学的概率为()()()1054516845P AB P A B P B ===.故选：D.5．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y 与当天气温x （单位：C ）的对比表，已知表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ27ybx =+，则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为（ ） CA ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】先求得ˆb的值，再据此模型计算出35C 时卖出奶茶的杯数. 【详解】由题可知1(510152025)155x =++++=，1(2620161414)185y =++++=，由ˆ181527b=+，可得3ˆ5b =-， 则3ˆ352765y=-⨯+= 则据此模型预计35C 时卖出奶茶的杯数为6. 故选：C6．函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则m 的取值范围是( )A ．()2,1-B ．[)2,1-C ．()2,1--D ．(]1,1-【答案】B【分析】根据f (x )的导数求f (x )的单调性和极值，作出f (x )简图，数形结合即可求m 的范围.【详解】()()()233311f x x x x ==+'--，易知()f x 在(),1-∞-，()1,+∞单调递增，在()1,1-单调递减， 又()22f -=-，()12f -=，12f ，()2f x =，故f (x )图像如图：函数()33f x x x =-在区间()m,2上有最小值，则由图可知21m -≤<.故选：B.7．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（ ） A ．120B ．112C ．110 D ．16【答案】A【分析】首先根据已知条件“定位”中间数字，其次在剩余的四个数字中任取两个数字，放置在首或末位，则其余数字排列方式唯一确定.最后由古典概型计算公式即可得解【详解】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共55A 120=个，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1；在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序,仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位）.24C ?16=因此“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”的五位数有24C 6=个，所以所求的概率6112020P ==． 故选：A ．8．已知()()21ln f x x a x =-+在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则()12f x x 的取值范围为（ ） A ．13,ln 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1ln 2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,ln 22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．13ln 2,ln 224⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意得导函数在区间1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有两个零点，根据二次函数的性质可得3182a <<，由根与系数的关系可得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩以及21324x <<，求出()12f x x 的表达式，将1x 用2x 表示，表示为关于2x 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得()()222220a x x af x x x x x-+'=-+=>，令()0f x '=，得2220x x a -+=，由题意知2220x x a -+=在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个根1x ，2x ，∴20,1122044480a a a >⎧⎪⎪⎛⎫⨯-⨯+>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪∆=->⎩，得3182a <<．由根与系数的关系得121212x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，由求根公式得1,2x ==， ∵12x x <，∴2x =，∵3182a <<，∴21324x <<．则()()()()2211121212222221ln 2ln 21ln 1f x x a x x x x x x x x x x x -++===+--()()222213121ln 1124x x x x ⎛⎫=-+--+<< ⎪⎝⎭，令21t x =-，则1142t <<． 设()112ln 142g t t t t t ⎛⎫=-++<< ⎪⎝⎭，则()12ln g t t '=+，易知()g t '在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()12ln 12ln 2ln 04eg t t '=+<-=<，∴当1142t <<时，函数()g t 为减函数， ∴()11132ln 1ln 24444g t <-+⨯+=-，且()11112ln ln 1ln 22222g t >-+⨯+=-，∴()1213ln 2,ln 224f x x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数a 的取值范围，以及1x 与2x 之间的关系；（2）将题意转化为关于2x 的函数，构造出21t x =-，利用导数判断单调性.二、多选题9．已知随机变量,X Y 满足8X Y +=，若()10,0.6X B ，则下列选项正确的有（ ）A ．()6E x =B ．()6E Y =C ．() 2.4=D XD ．() 2.4D Y =【答案】ACD【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.【详解】因为()10,0.6XB ，所以()100.66E x =⨯=，故A 正确；所以()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=，故C 正确； 又因为8X Y +=，所以8Y X =-,所以()()()88862E Y E X E X =-=-=-=，故B 不正确； 所以()()()()2811 2.4 2.4D Y D X D X =-=-=⨯=，故D 正确. 故选：ACD.10．已知(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】BCD【分析】利用二次项系数的性质即可求解.【详解】因为(2)n a b +的展开式中第6项的二项式系数5C n 最大，则n 的值可以为9或10或11.当9n =时，(2)n a b +的展开式共有10项，其中第5项与第6项的二项式系数相等且最大，满足题意，当10n =时，(2)n a b +的展开式共有11项，只有第6项的二项式系数最大，满足题意， 当11n =时，(2)n a b +的展开式共有12项，其中第6项与第7项的二项式系数相等且最大，满足题意， 故选：BCD.11．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1人参加，则不同的选法种数应为( ) A ．1127510C C C B ．312213757575C C C C C C ++ C ．4441275C C C -- D ．()112112756464C C C C C C ++【答案】BC【分析】可以用两种方法求解：①分三类：3男1女，2男2女，1男3女；②用任选4人的方法数减去全部为男生或全部为女生的方法种数.据此几何判断求解.【详解】(1)分三类：3男1女，2男2女，1男3女，∴男、女生至少各有1人参加的选法种数为312213757575C C C C C C ++．(2)任选4人的方法种数为412C ，其中全部为男生或全部为女生的方法种数为4475C C +，所以男、女生至少各有1人参加的选法种数为4441275C C C --． 故选：BC ．12．记()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '<<-对任意的正数都成立，则下列不等式中成立的有（ ） A ．()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．()()1122f f < C ．()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D ．()()111242f f <+ 【答案】BC【分析】对于AB ，构造函数()()f x F x x=，求导，借助单调性比较大小即可；对于CD ，构造函数()2()=f x xh x x -，求导，借助单调性比较大小即可. 【详解】解：因为()()f x f x x <'，所以()()0f x x f x '->，则()()()()2=0f x f x x f x F x x x ''-⎡⎤'=>⎢⎥⎣⎦，所以()()f x F x x =在()0,x ∈+∞单调递增，所以()112F F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()112112f f ⎛⎫⎪⎝⎭>，所以()1122f f⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 错误；同理()()21F F >，即()()2121f f >，所以()()1122f f <，故B 正确；因为()()2xf x f x x '<-，所以()()20xf x f x x '-+<，构造函数()2()=f x xh x x -，则()()()232()==0f x x xf x f x xh x x x ''--+⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，所以()2()=f x x h x x -在()0,x ∈+∞单调递减，所以1(1)()2h h <，即()111f -112214f ⎛⎫-⎪⎝⎭<，化简得()11412f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 正确；同理(2)(1)h h <，即()224f -()111f -<，化简得()()111242f f >+，故D 错误.故选：BC.三、填空题13．已知2()1f x x =-，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【分析】求出导函数，直接代入.【详解】因为2()1f x x =-，所以()2f x x '=，所以12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭1.故答案为：114．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=． 故答案为：415．若方程：12348x x x x +++=，则方程的正整数解的个数为___________. 【答案】35【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可.【详解】解：原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有37765C 35321⨯⨯==⨯⨯种.故答案为：35.16．已知函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，则m 的取值范围为___________. 【答案】35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【分析】()f x 与()g x 的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程()()0f x g x -=在区间[]1,3内有解，即方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解，所以构造函数()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈，利用导数的知识点求出()h x 的值域即可求出答案【详解】函数()ln f x x m =-与()273g x x x =-+的图象在区间[]1,3上存在关于x 轴对称的点，即方程27ln 03x x x m -+-=在区间[]1,3内有解， 所以方程27ln 3m x x x =-+在区间[]1,3有解. 令()[]27ln 1,3,3h x x x x x =-+∈， 所以()()()23123176732333x x x x h x x x x x+--++'=-+==-令()0h x '=，解得13x =-或32x =所以当[]1,3x ∈时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：由上表可知()413h =，()43ln 323h =-<，又335ln 224h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当[]1,3x ∈时，()h x ∈35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，故m 的取值范围是35ln 32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：35ln32,ln 24⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦四、解答题17．（1）若282828x x C C -=，求x 的值；（2）求3334510C C C +++的值.【答案】（1）8或12；（2）329.【分析】（1）根据组合数的定义及组合数的性质1即可求解； （2）根据组合数的定义及组合数的性质2即可求解；【详解】（1）由282828x x C C -=，得282828N 28x x x x x +⎧⎪⎪⎨≤-≤∈-=⎪⎪⎩或282828N 2828x x x x x +≤-≤∈-=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得8x =或12x =；实数x 的值为8或12.（2）由组合数的性质知，333333451045410444C C C C C C C C =++++++-+44344446643413355101140C C C C C C C 329C C C =-=++-=-+++=+.所以3334510C C C +++的值为329.18．袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为X ，求X 的分布列和期望； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列和期望. 【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：23(2)分布列答案见解析，数学期望：23【分析】（1）根据题意X 满足二项分布，建立二项分布模型，得到X 的可能取值，利用二项分布计算概率，列出分布列即可；（2）根据题意可得Y 满足超几何分布，得出Y 的可能取值，分别计算其概率，列出分布列即可求得.【详解】(1)由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数X 的可能取值为0,1,2， 其中每次抽取到黑球的概率均为13，所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则12,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，可得：()02021140C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()121141C 1339P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ()2221112C 1339P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列为：23E X； (2)若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数Y 的可能取值为0,1,2，可得()()()21126633222999C C C C 5110,1,2C 12C 2C 12P Y P Y P Y =========，所以随机变量Y 的分别列为：()152********12E Y =⨯+⨯+⨯=. 19．已知函数()31443f x x x =-+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，求实数a 的范围. 【答案】(1)增区间：（(),2),2,∞∞--+；减区间：（2,2)- (2)428,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）对函数求导，解导函数大于零得增区间，解导函数小于零得减区间；（2）根据()f x 单调性、极值画出函数()31443f x x x =-+的图像，结合图像，根据直线y a =与()f x 的图像有三个不同的交点，可求得实数a 的范围.【详解】(1)因为()31443f x x x =-+，所以()24=(2)(2)f x x x x '=-+-，由()0f x '>，解得2x >或2x <-，所以()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞ 由()0f x '<，解得22x -<<，所以()f x 的减区间为(2,2)-， 综上，()f x 的增区间为(,2)-∞-，()2,+∞，减区间为(2,2)-； (2)由（1）知，当2x =-，函数取得极大值28(2)3f -=，当2x =，函数取得极小值4(2)3f =-，根据函数单调性，极值情况，其图像大致如图所示，结合图像知42833a -<<. 20．在二项式12nx x ⎛ ⎝的展开式中，______.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256.试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式的常数项；(3)求展开式中项的系数最大的项. 【答案】(1)356316T x -=，326638T x -= (2)7212T =(3)7212T =【解析】（1）选择①：01246n n n C C C ++=，即()11462n n n -++=， 即2900n n +-=，即()()1090n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去）.选择②：024...256n n n C C C +++=，即12256n -=，解得9n =.展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，5452359163216T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，45354226916328T C x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭.(2)展开式的通项为()93189922199122kk k k k k k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令31802k -=，得6k =，所以展开式中常数项为第7项，常数项为63792122T C -=⨯=； (3)由展开式的通项为()93189922199122kk k k kk k k T C xx C x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，假设第1k +项系数最大，则910199981992222k k k k k k k k C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，解得172033k ≤≤，且0,1,,9k =，所以6k =，即系数最大项为7212T =. 21．第24届冬季奥林匹克运动会（ The XXIVO lympic WinterGames ），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪之外的所有雪上项目.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下22⨯列联表.(1)先完成22⨯列联表，并依据0.005α=的独立性检验，分析该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别是否有关；(2)①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X ，求X 的数学期望.附表：附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++ 【答案】(1)列联表答案见解析，该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关 (2)①910；②25【分析】（1）根据公式可求计算2χ的值，根据临界值表可得相应结论.（2）①根据古典概型的概率公式结合组合计数方法可求“男､女生至少各抽到一名”的概率；②根据二项分布的期望公式可求X 的数学期望.【详解】(1)零假设0H ：该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别无关（独立），根据所给数据得220.005400(1409011060)9.67.879250150200200x χ⨯-⨯==>=⨯⨯⨯， 并依据0.005α=的独立性检验，零假设0H 不成立，即该校学生对冬季奥运会项目了解情况与性别有关，该推断犯错误的概率不超过0.005. (2)①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2:3，故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，则“男､女生至少各抽到一名”的概率为3335C 1911C 1010-=-=； ②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为25054008=，可知540,8XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()540258E X =⨯=.22．已知函数()x 2e 24f x mx mx =--，其中R m ∈．(1)若函数()f x 在[)1,+∞单调递增，求m 的取值范围； (2)已知函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），当211351x x +≤≤+时，求12x x +的取值范围．【答案】(1)e 8m ≤;(2)3ln 52ln 32,2]2[--.【分析】(1)求出函数的导数，由题意转化为不等式恒成立，分离参数，构造函数利用导数求最小值即可； （2）根据所给极值点得出21211e1x x x x -+=+，换元后可得12(1)ln 2,1t tx x t ++=--构造函数，利用导数研究函数单调性，由单调性求范围即可. 【详解】(1)()2e 24x f x mx mx =--，()e 44x f x mx m '∴=--，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，()e 440x f x mx m '∴=--≥在[)1,+∞上恒成立， 即e 41xm x ≤+在[)1,+∞上恒成立，令e ()1x h x x =+，则[)1,x ∞∈+时，2e ()0(1)x x h x x '=>+， 所以e ()1xh x x =+在[)1,x ∞∈+时，单调递增，所以min e ()(1)2h x h ==，所以e42m ≤，即e 8m ≤.(2)因为函数()f x 存在两个极值点（1210x x -<<<），所以1212e 440e 440x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得21211e 1x x x x -+=+，令2111x t x +=+，则[]3,5t ∈，所以111e ,tx x t t -+-=取对数可得111ln ,tx x t t -+-=12ln ln 1,111t t t x x t t ∴+=+=--，12(1)ln 2,1t tx x t ++=-- 令(1)ln ()21t tm t t +=--，则212ln ()(1)t t t m t t --'=-， 令1()2ln n t t t t =--，则22221(1)()10t n t t t t -'=-+=>， 所以()n t 在[)1,t ∈+∞上单调递增，因为(1)0n =，所以()0n t >在[]3,5t ∈恒成立，所以()0m t '>在[]3,5t ∈恒成立，所以(1)ln ()21t tm t t +=--在[]3,5t ∈上单调递增， 所以(3)()(5)m m t m ≤≤，即3ln 52ln 32()22m t -≤≤-， 即 123ln 52ln 32,2]2[x x ∈-+- 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据极值点的定义得出21211e 1x x x x -+=+，进而换元2111x t x +=+，求出12(1)ln 2,1t t x x t ++=--构造函数，利用导数研究函数的单调性，由单调性求出12x x +的范围.。

排列组合二项式定理及概率高考复习建议本章知识结构一、排列与组合１.正确理解概念公式，明确五个２。

①两个原理关键是做一件事指的是什么?弄清是分类还是分步。

②两个定义 关键是弄清需要考虑顺序还是不需考虑顺序。

③两组公式 关键是根据题目特点合理选用。

④两个约定: 0n C =1 ,0!=1⑤两个性质：m n C = m n n C -，m n C +1m n C -=m 1n C + (m ≤n,m,n ∈N *)2.对排列组合知识的认识（1）问题实质：数数 （2）数数的方法⎧⎨⎩分类计数分步计数（3）题目模式：1234N M M M M =⨯+⨯（4）重点：⎧⎪⎨⎪⎩两个原理两个定义两个公式（5）难点：应用3.解题步骤；分类→ 分步→判断4. 解决问题的思维程序；做一件什么事？怎样才算把事情做完？用不用分类？怎样分类？例1.从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生则不同的选法有多少种?例2. 9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有多少种？5.要善于退，足够地退，退到最简单而不失重要性的地方是解决数学问题的诀窍 例3（05北京理）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A（D ）12443141283C C C A6.掌握基本题型 (1)投信问题例: ①三封信投入到5个邮筒,有多少种投法? ②由{a,b,c,d}到{e,f}的映射共有多少个?(2)“在与不在”的问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相,共有多少种坐法?①甲、乙两人必须在两端,有多少种坐法?②甲不在排头乙不在排尾,有多少种坐法?(3)“邻与不邻”问题例1:3位男生,5位女生坐在一排照相①三位男生必须坐在一起,有多少种坐法? ②甲、乙相隔一人,有多少种坐法?例2 :3位男生5位女生坐在一排照相,三位男生中任意两人不能相邻,有多少种坐法? 例3: 4位男生,4位女生相间站队,有多少种站法? 例4: 4位男生,5位女生相间站队,有多少种站法?(4) “含与不含”问题例1: 100件产品中，正品97件，次品3件，现从中取出5件检验， （1）取出的5件全是正品的取法有___________种； （2）取出的5件中恰好有2次品的取法有___________种； （3）取出的5件中至少有2次品的取法有___________种. (5)顺序一定问题例: 3位男生,5位女生坐在一排照相①甲、乙、丙三人顺序一定,有多少种坐法?②甲、乙相邻且甲在乙的左边，有多少种坐法?⑹分组问题(注意有序均分和无序均分的区别) 例1: 把4人分成两组①两组人数分别为1、3,有多少种分法? ②平均分成第一、第二两组,有多少种分法? ③平均分成两组,有多少种分法?例2: 把6本不同的书①平均分给3人,有多少种分配方案? ②平均分成3堆,有多少种分配方案?③分给甲、乙、丙三人，甲3本,乙2本,丙1本,有多少种分配方案? ④分给三人，其中一人得3本,一人得2本,一人得1本,有多少种分配方案? ⑤分成三堆，其中一堆3本,一堆2本,一堆1本,有多少种分配方案? ⑥分成三堆，其中一堆4本,其余两堆各1本,有多少种分配方案?二、二项式定理1.(a+b)n ＝0n C a n +1n C a n-1 b+2n C a n-2b 2 +…+r n C a n-r b r +…+n n C b n特点:①展开式共有n+1项.②在每一项中, a 、b 的位置不能颠倒，a,b 的指数和为n 且b 的指数与组合数的上标相同.③二项式系数的上标从0增加到n,a 的指数从n 减少到0,b 的指数从0增加到n.性质:①二项式展开式中,与首尾两端等距离的两项的二项式系数相等. ②二项式展开式的二项式系数在中间位置取得最大值③0n C +1n C +2n C +…+n n C =2n (n ∈N); 0n 2C +2n 2C +4n 2C +…+n2n 2C =22n-1 (n ∈N) 1n 2C +3n 2C +5n 2C +…+1n 2n2C -=22n-1 (n ∈N) 通项公式： T r+1 = r n C an-rb r2．高考类型题（1）利用通项公式解题例1：求61)x①常数项 ②32x 项的系数 ③各项系数的和 ④写出所有的无理项 (2)根据恒等式意义解题例2：设9290129(13)x a a x a x a x -=++++①求0a =②求0129a a a a ++++ = ③求0129||||||||a a a a ++++ =（3）和二项式定理有关的问题例1在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ）A 、160 B 、240 C 、360 D 、800 例2：求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+2展开式中的含x 2的项的系数.(4)利用二项式的性质化简例1填空①0n C +2n C +4n C +…+n n C = ②18C +28C +38C +…+88C =③19C +39C +59C +…+99C = ④210242322C C C C ++++ =三、概率（一）求随机事件概率的基本方法1．随机试验法2．结果分析法(根据试验中各结果出现的等可能性求概率)（1）掌握等可能事件的概率计算公式P （A ）=m/n（2）掌握概率计算的三个步骤：用字母表示事件；求m 、n ；计算P （A ）。

高三数学（理科）专题训练（1）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平面线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48 C．36D．242.．甲、乙两人进行象棋比赛，甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，则甲不输的概率是()A．0.6B．0.8C．0.2D．0.43．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()A．0.20 B．0.60 C．0.80D．0.124．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A：a＝3；事件B：a＝4；事件C：a为奇数，则下列结论正确的是() A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件5．某家庭电话在家里有人时，打进电话响第一声被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是()A．0.622 B．0.9 C．0.659 8 D．0.002 87.袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为()A．①B．②C．③D．④7.已知(x＋ax)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．8．已知a＝π2(sin2x2－12)d x，则(ax＋12ax)9的展开式中，关于x的一次项的系数为________．9.自“钓鱼岛事件”以来，中日关系日趋紧张并不断升级．为了积极响应“保钓行动”，某学校举办了一场“保钓知识大赛”，共分两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的同学中，每组各任选2个同学，作为“保钓行动代言人”．(1)求选出的4个同学中恰有1个女生的概率；(2)设X为选出的4个同学中女生的个数，求X的分布列和数学期望．高三数学（理科）专题训练（2）-----概率、二项式定理、分布列、数学期望1.随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝( ) A.16B.13C.12D.23.2.设随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝i )＝i a )43(i，i ＝1,2,3，则a 的值是( )A.64111B.64101C.2764D.37643.设随机变量X 的概率分布列如下表所示：F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝( )A.13B.16C.12D.564.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，且a 、b 、c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为1(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为________．5.．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式的二项式系数之和比(a ＋b )2n 的展开式的系数之和小240，求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中系数最大的项．6.(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．7.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝ann ＋1(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ()12＜X ＜52＝______.8.已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．9.(河南省信阳市2015届高中毕业班第二次调研检测数学理试题19).某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （Ⅲ）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）X －1 0 1 PabcX 0 1 2 Pa1316【参考答案】高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（1）1.【答案】B【解析】长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2＝12个，共36＋12＝48个，故选B.2.【答案】A【解析】甲获胜的概率是0.4，两人下成和棋的概率是0.2，所以甲不输的概率为0.4＋0.2＝0.6.故选A.3.【答案】C【解析】由互斥事件的概率加法公式可得，该乘客在5分钟内能乘上所需的车的概率为0.20＋0.60＝0.80.故选C.4.【答案】A【解析】依题意，事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件，但A与B不是对立事件，显然，A与C既不是对立事件也不是互斥事件．故选A.5.【答案】B【解析】根据互斥事件的概率加法公式，电话在响前4声内被接的概率＝电话响第一声被接的概率＋响第二声时被接的概率＋响第三声时被接的概率＋响第四声时被接的概率，故电话在响前4声内被接的概率是0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9，故选B.6.【答案】B【解析】从7个球中任取3个球的所有可能为：1个白球2个黑球；2个白球1个黑球；3个白球；3个黑球．故①中的两事件互斥，但不对立；②中的两事件对立；③中的两事件中不互斥；④中的两事件不互斥，故选B.7.【答案】－6【解析】(x＋ax)6的二项展开式的通项T r＋1＝C r6x6－r(ax)r＝C r6362rax-，令6－3r2＝0，得r＝4，则其常数项为C46a4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2，故x2项的系数为(－3)×2＝－6.8.【答案】－6316【解析】a＝π2⎰(sin2x2－12)d x＝π20⎰(1－cos x2－12)d x＝π20⎰(－cos x2)d x＝－12sin xπ20|＝－12.此时二项展开式的通项为T r＋1＝C r 9(－12x )9－r (－1x )r ＝C r 9(－12)9－r (－1)r x 9－2r ，令9－2r ＝1，得r ＝4，所以关于x 的一次项的系数为C 49(－12)9－4(－1)4＝－6316. 9.【解析】(1)设“从甲组内选出的2个同学均是男生；从乙组内选出的2个同学中，1个是男生，1个是女生”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均是男生；从甲组内选出的2个同学中1个是男生，1个是女生”为事件B ，由于事件A ，B 互斥，且P (A )＝C 23C 12C 14C 24C 26＝415，P (B )＝C 13C 24C 24C 26＝15.所以选出的4个同学中恰有1个女生的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝415＋15＝715. (2)由条件知X 的所有可能值为0,1,2,3.；P (X ＝0)＝C 23C 24C 24C 26＝15，P (X ＝1)＝C 23C 12C 14＋C 13C 24C 24C 26＝715，P (X ＝3)＝C 13C 24C 26＝130，P (X ＝2)＝1－15－715－130＝310.[来源所以X 的分布列为 所以X 的数学期望为E (X )＝0×15＋1×715＋2×310＋3×130＝76.高三数学（理科）专题训练-----概率、二项式定理、分布列、数学期望（2）1.【答案】D 【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，得b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.故选D2.【答案】A 【解析】1＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝a ⎣⎡⎦⎤34＋()342＋()343，解得a ＝64111，选A. 3.【答案】D 【解析】∵a ＋13＋16＝1，∴a ＝12.[来源:学_科_网]∵x ∈[1,2)，∴F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.选D.4.【答案】124 【解析】由已知3a ＋2b ＋0×c ＝1，∴3a ＋2b ＝1，∴ab ＝16·3a ·2b ≤163a ＋2b24＝124，当且仅当a ＝16，b ＝14时等号成立． 5.【解析】由题意，得2n ＝22n －240，∴22n －2n －240＝0，即(2n －16)(2n ＋15)＝0.又∵2n ＋15＞0，∴2n －16＝0.∴n ＝4.∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 4。

二项分布的期望和方差的详细证明二项分布的期望和方差的详细证明1. 概述二项分布是概率论中的一个重要分布，描述了一次试验中成功次数的离散分布。

在概率论和统计学中，我们通常会对二项分布的期望值和方差进行研究。

在本文档中，我们将详细证明二项分布的期望值和方差的计算公式。

2. 二项分布的定义二项分布是指在一次独立重复试验中，成功事件的概率为p，失败事件的概率为q=1-p，试验次数为n的离散概率分布。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) p^k q^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示具体成功的次数，C(n, k)表示组合数，可以表示为n个元素中取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)3. 二项分布的期望值的证明二项分布的期望值是指在一次试验中成功事件发生的平均次数。

我们可以通过数学的方法来证明二项分布的期望值的计算公式：E(X) = np。

首先，我们可以将二项分布的期望值表示为：E(X) = Σ(k P(X=k))其中，Σ表示求和符号，k为成功次数。

代入二项分布的概率质量函数公式，可以得到：E(X) = Σ(k C(n, k) p^k q^(n-k))利用组合数的性质，我们可以将上式进行变形，得到：E(X) = Σ([n (n-1)! q^(n-1)] / [(k-1)! (n-k)!] p^k q^(n-k))继续变形，得到：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) p^(k-1) q^(n-1-(k-1)))再次利用组合数的性质，可以将上式继续变形为：E(X) = np Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))我们知道Σ(C(n-1, k-1) (p q)^(k-1) q^(n-k))是一个从k=0到k=n-1的二项式展开形式，根据二项式定理我们可以得到：E(X) = np [p q + q]^(n-1)利用(p q + q) = 1的性质，可以简化上式为：E(X) = np所以，二项分布的期望值的计算公式为：E(X) = np。

二项式分布及应用二项式分布及应用1、条件概率及其性质（1）条件概率的定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B|A)=____________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。

（2）条件概率的求法求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率型概率公式，即P(B|A)=____________。

（3）条件概率的性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P (B|A)≤1。

②如果B 和C 是两个互斥事件，那么P (B ⋃C|A)=___________。

2、事件的相互独立性（1）设A ，B 为两个事件，如果P (AB )=___________，那么称事件A 与事件B 相互独立。

（2）如果事件A 与B 相互独立，那么___________与___________，___________与___________，___________与___________也相互独立。

思考探究“相互独立”与“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥。

3、二项分布在n 次独立事件重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p , 那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P(X=k )=___________（k=0,1,2,……，n ）.此时称随机变量X 服从二项分布，记作___________，并称___________为成功概率。

夯实双基1、判断下面结论是否正确（打“√”或“×”）。

（1）若事件A ，B 相互独立，则P (B|A)=P(B )。

（2）P (B|A)表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率；P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )=P(A )⋅P (B )。

k k （3）二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X=k )=C n p (1-p ) n -k ,k =0,1,2, , n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生的次数的概率分布。

7.4.1二项分布教学设计新知讲解：伯努利试验:把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验n重伯努利试验的特征：1、同一个伯努利试验做n次2、各次试验的结果相互独立思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.而在n 重伯努利试验中,我们关注事件A 发生的次数X.进一步，因为X 是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X 的分布列.探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X 的概率 分布列是怎样的？用A i 表示“第i 次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的 可能结果：由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：中靶次数X 的分布列为：33()0.80.2(0,1,2,3)k k k P X k C k -==⨯⨯=思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X 等于2的结果有哪些?写出中靶次数X 的分布列.表示中靶次数X 等于2的结果3242314124131413A A A A A A A A A A A A A A A A ，，，，二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=C n k p k(1−p)n−k,k=0,1,2,3,…,n如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)由二项式定理可知，∑n k=0P(X=k)=∑nk=0C n k p k(1−p)n−k=[p+(1−p)]n=1二项分布的判断:1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一2、事件A在每次的试验中发生的概率相同3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响例题讲解：例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5，用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5)（1）恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是P(X=5)=C105×0.510=63256（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是0.510=2132例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。

大题精做5 统计概率：二项式分步大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】（1）列联表如下：由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i ）由题意得所求概率为2550100502530.90.80.60.40.32502502502502505P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()4432C 55k kk P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3，4，∴X 的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为3150905⨯=．1．某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号．由以上统计数据填写下面的22⨯列联表，并判断是否有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(]0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．（1）求直方图中x 的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）3．某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：（1）求a，b；25.15,25.35或（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[] []25.35,25.45为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作25.45,25.75为合格，钢管内径尺寸在[]为这批钢管的概率分布．（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有(100)m m 根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．1．【答案】（1）见解析；（2）见解析，【解析】（1）2K 的观测值()221004884224 3.84150509010K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯．∴有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关．（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件．由统计数据可知： 男员工实得计件工资超过3100元的概率为125p =；女员工实得计件工资超过3100元的概率为212p =．设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为X ，则12,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭；1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为Y ，则21,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭．Z 的所有可能取值为0，1，2，3，()()()()20213300,000C 2520P Z P X Y P X P Y ⎛⎫========⨯=⎪⎝⎭， ()()()22121312211,00,1C 25255P Z P X Y P X Y ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()22121312722,01,1C 252520P Z P X Y P X Y ⎛⎫⎛⎫====+===⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()212132,12510P Z P X Y ⎛⎫=====⨯= ⎪⎝⎭；随机变量Z 的分布列为()2717123520105E Z =⨯+⨯+⨯=．2．【答案】（1）0.0025；（2）180人；（3）详见解析．【解析】（1）()2020.01750.02250.0051x +++=，∴0.0025x =． （2）学生上学时间不少于1小时的频率为：()200.0050.00250.15+=， ∴新生中可以申请住宿的人数为：12000.15180⨯=人．（3）X 的可能取值为0，1，2，3，4，由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为25， ∴()4281015625P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()314222161C 155625P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()2224222162C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33422963C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()421645625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭； ∴X 的分布列是X 满足二项分布24,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()85E X =．3．【答案】（1）3a =， 1.8b =；（2）（i ）分布列见解析，期望为0.9；（ii ）当750m >时，按第一种方案，750m =时，第一、二种方案均可，100750m <<时，按第二种方案． 【解析】（1）由题意知：1810 1.8100b =⨯=，∴()2.3 1.8 1.410.30.20.11a ++++++⨯=，∴3a =． （2）（i ）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，所有可能的取值为0，1，2，3，()0330C 0.70.343P X ==⨯=，()1231C 0.70.30.441P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.70.3=0.189P X ==⨯⨯，()3333C 0.30.027P X ==⨯=，故X 的分布列为∴()30.30.9E X =⨯=．（ii ）按第一种方案：()150220050300y m m =--=-，按第二种方案：20.68500.36020.022049.6y m m m m m =⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=，()125030049.60.4300y y m m m -=--=-，若750m >时，12y y >，则按第一种方案，若750m =时，12y y =，则第一、第二方案均可， 若100750m <<时，12y y <，则按第二种方案，故当750m >时，按第一种方案，750m =时，第一、二种方案均可，100750m <<时，按第二种方案．。

二项分布与超几何分布一n重伯努利试验1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．2．n重伯努利试验的共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次．(2)各次试验的结果相互独立．注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验．二二项分布的推导二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．注意点：(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1.(2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布．n重伯努利试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．三二项分布的简单应用利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．四二项分布的均值与方差1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求五二项分布的实际应用二项分布的实际应用类问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量；(2)分析随机变量服从二项分布；(3)求出参数n和p的值；(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解．六二项分布的性质二项分布概率最大问题的求解思路七超几何分布超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．注意点：(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”．(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型．八超几何分布的概率超几何分布的概率计算公式给出了求解这类问题的方法，可以直接运用公式求解，但是不能机械地记忆公式，要在理解公式意义的前提下进行记忆．九、超几何分布的分布列求超几何分布的分布列的步骤十超几何分布的均值求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．(3)利用均值公式求解．十一、二项分布与超几何分布的区别与联系不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．十二超几何分布的综合应用超几何分布常应用在产品合格问题、球盒取球(两色)问题、男女生选举问题等，这类问题有一个共同特征，就是对每一个个体而言，只研究其相对的两种性质而不涉及其他性质，如产品的合格与不合格、球的红色与非红色、学生的性别等．考点一二项分布【例1】(2020·重庆市第七中学校高二月考)若随机变量14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，则()21E X+=( )A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因为14,2X B⎛⎫⎪⎝⎭～，所以1422EX=⨯=，所以()21215E X EX+=+=.故选：D.【练1】(2021·北京房山区·高二期末)已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为( )A．2764B．964C．364D．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为1 4所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B考点二超几何分布【例2】(2020·全国高二单元测试)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10，15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10，20)，[20，30)，[30，40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．【答案】(1)a＝0.0250，4人；(2)答案见解析；(3)3 4 .【解析】(1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．(2)由已知可得X的可能取值分别为0，1，2，3，P(X＝0)＝312316CC＝1128，P(X＝1)＝21243161C CC⋅＝3370，P(X＝2)＝24113162C CC⋅＝970，P(X＝3)＝34316CC＝1140，∴X的分布列为X0123P 112833709701140(3)由已知得Y ～B 1(3,)4，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.【练2】(2020·辽宁沈阳市)在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：(1)取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望； (2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率． 【答案】(1)910；(2)13.【解析】(1)取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3， 所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===，()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===． 所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ⋅====， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=． 考点三 二项分布与超几何分布综合运用【例3】(2020·浙江台州市·高二期中)2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.(1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；(2)若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】(1)114400；(2)选择第二种方案更合算.【解析】(1)选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==，所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=； (2)若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===，()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，X0 500 700 1000P1120 7120 740 91120所以()177910500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(元). 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-，由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=， 所以()()()10002001000200820E Z E Y E Y =-=-=(元). 因为()()EX E Z >，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【练3】(2020·甘肃省会宁县第四中学) 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).(1)在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；(2)从这15天的数据中任取2天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及数学期望；(3)以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年(按365天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级. 【答案】(1)45；(2)分布列见解析，45；(3)219. 【解析】(1)由茎叶图可得中位数是45. (2)依据条件，ξ服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，ξ的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C ξ===，()116921518135C C P C ξ===，()2069215512357C C P C ξ====，所以ξ的分布列为：ξ12P 1235183517()121814012353575E ξ=⨯+⨯+⨯=. (3)依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η， 则3365,5B η⎛⎫ ⎪⎝⎭，33652195E η=⨯=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.练习答案1.（2021高二下·顺德期末）某射手每次射击击中目标的概率固定，他准备进行n（n∈N∗）次射击，设击中目标的次数记为X，已知P(X=1)=P(X=n−1)且E(X)=4，则D(X)=（）A.14B.12C.1D.2【答案】 D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】设某射手每次射击击中目标的概率为p(0<p<1)，由题意可得击中目标的次数记为X∼B(n,p)，因为P(X=1)=P(X=n−1)，所以C n1p(1−p)n−1=C n n−1p n−1(1−p)整理可得(1−p)n−2=p n−2，所以1−p=p可得：p=12，因为E(X)=np=12n=4，可得：n=8，所以D(X)=np(1−p)=8×12×(1−12)=2，故答案为：D.【分析】根据题意由X∼B(n,p)，利用二项分布的性质即可得出方程，由此求解出n和p 的值，从而计算出结果即可。