概率论§4.1 数学期望

数学期望的原理及应用数学期望是概率论中的一个基本概念，它描述了一个随机变量的平均水平或预期值。

具体地说，数学期望通过将随机变量的可能取值与相应的概率加权求和来计算。

数学期望的原理可以简单地表示为：对于一个离散型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X每个可能取值xi乘以对应的概率p(xi)的累加和。

数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = x1*p(x1) + x2*p(x2) + ... + xn*p(xn)其中，x1, x2, ..., xn为随机变量X所有可能的取值，p(x1), p(x2), ..., p(xn)为对应的概率。

对于连续型随机变量，数学期望的计算方法类似，只是将求和换成了求积分。

具体地说，对于一个连续型随机变量X，它的数学期望E(X)等于X在整个取值范围上的每个取值x乘以对应的概率密度函数f(x)的乘积的积分。

数学期望的计算公式可以表示为：E(X) = ∫x*f(x)dx数学期望的应用非常广泛，以下列举了一些常见的应用场景：1. 风险评估：数学期望可以用于评估风险，通过计算损失的数学期望来衡量风险的大小。

例如，在金融领域中，投资者可以通过计算股票的预期收益来评估投资的风险和回报。

2. 制定决策：数学期望可以帮助人们在面临多个选择时做出决策。

通过计算不同选择的数学期望，可以找出最具有潜在利益的选择。

3. 设计优化：数学期望可以帮助优化设计过程。

例如，在工程领域中，可以通过计算产品的预期性能来指导设计参数的选择和调整。

4. 分析：数学期望被广泛应用于分析中。

游戏参与者可以通过计算不同下注策略的数学期望来制定最终的下注策略。

5. 统计推断：数学期望是许多重要的统计量的基础，如方差、标准差等。

通过计算数学期望，可以进行更深入的统计分析和推断。

6. 优化调度：在运输和调度问题中，数学期望可以用来优化资源的分配和调度。

通过计算任务完成时间的数学期望，可以制定最优的任务调度策略。

总之，数学期望是概率论中一个重要的工具和概念，它可以帮助我们理解和分析随机现象，并在很多实际问题中发挥重要作用。

概率论——数学期望
数学期望是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的平均值。

在数学上，数学期望可以定义为随机变量的每个可能取值乘以其对应的概率，并将这些乘积相加。

设随机变量X的取值有n个，分别记为x1, x2, …, xn，对应的概率为p1, p2, …, pn。

则X的数学期望E(X)可以表示为：
E(X) = x1*p1 + x2*p2 + … + xn*pn
数学期望可以理解为随机变量所取得值的加权平均。

每个取值乘以其概率，再将所有乘积相加，就得到了数学期望。

数学期望在实际应用中有着广泛的应用，例如在赌博中，可以用数学期望来计算每次下注的预期收益；在保险业中，可以用数学期望来评估保险责任的大小；在金融学中，可以用数学期望来衡量金融产品的风险与回报等。

需要注意的是，数学期望不一定是随机变量取值的实际可能值，而是其平均值。

因此，即使随机变量的可能值与数学期望相差较大，在大量重复实验中，随机变量的平均取值仍然趋近于数学期望。

这正是数学期望的统计意义所在。

数学期望是概率论中用于描述随机变量的平均值的概念。

它可以通过将随机变量的可能取值与对应的概率相乘，再将所有乘积相加得到。

数学期望在实际应用中有着广泛的应用，可以用于预测和评估各种概率事件的平均效果。

概率论基础知识(4)第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望§4.1.1离散型随机变量的数学期望例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为如果级数绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+90.1+10 0.6=9.3乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。

例3：设 ，求E(X)解：由于，其分布律为，k=0,1,2…,所以例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。

X 的分布律为于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为由于,求导数将x=0.8代如上式，便得将此结果代入原式便得：（次）§4.1.2连续型随机变量的数学期望绝对收敛，则称此积分为X 的数学期望，记为E(X)，即，例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：这里a,k均为已知正数。

试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。

W的分布函数为两边求导，使得进而便可求得W的数学期望由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W 的数学期望值，即§4.1.3随机变量函数的数学期望值1.一维随机变量函数的数学期望定理1：设X为随机变量，Y=g(X),(1)如果X，且级数(2)如果Xƒ(X)，且积分绝对收敛，则有证略求：例8：已知X的分布律为解：例9：设，求解：（令 m=k-2）例10：设，求解：由于X的概率密度为于是例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数，即其概率密度为令解得 a=3500（吨）但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。

概率论数学期望数学期望公式是：e(x) = x1*p(x1） + x2*p(x2）+ …… + xn*p(xn) = x1*f1(x1）+ x2*f2(x2）+ …… + xn*fn(xn)在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）的意思是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

须要特别注意的就是，期望值并不一定等同于常识中的“希望”——“期望值”也许与每一个结果都不成正比。

期望值就是该变量输入值的平均数。

期望值并不一定涵盖于变量的输入值子集里。

大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。

历史故事在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得法郎的奖励。

当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这法郎才比较公平？用概率论的科学知识，不难获知，甲获得胜利的可能性小，乙获得胜利的可能性大。

因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得法郎；而乙期望赢得法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得法郎奖金。

可知，虽然无法再展开比赛，但依据上述可能性推测，甲乙双方最终胜利的客观希望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的×25%=25(法郎)。

这个故事里发生了“希望”这个词，数学希望由此而来。