应变梯度理论在土力学中的运用

土的应力-应变关系的一种描述模式＊何利军孔令伟【摘要】摘要通常将由土的剪切试验测得的应力-应变关系曲线(q～ε1曲线)分为应变硬化型和应变软化型,文中提出了一种能同时描述应变硬化型q～ε1曲线和应变软化型q～ε1曲线的新模式,并导出了统一的切线模量表达式,进一步探讨了该应力-应变关系曲线描述模式在拟合应变硬化型曲线时的简化形式,及简化形式中参数取值方法和参数与围压的关系等方面的问题。

通过与邓肯-张模型和应变软化模型的对比,结果表明该应力-应变关系曲线描述模式能更好地与试验数据吻合,且用其简化形式拟合应变硬化型曲线时,可以通过调整其中一个参数值来表达出不同的曲线形式,从而体现出土体应力-应变关系的多样性。

该应力-应变关系描述模式为发展更一般的非线性弹性模型提供了一定的理论基础。

【期刊名称】工程地质学报【年(卷),期】2010(018)006【总页数】6【关键词】关键词非线性弹性模型邓肯-张模型应变软化模型。

AbstractIn this paper,the stress-strain relationship of soil established from shear tests is distinguished in to two kinds-strain hardening type and strain softening type.A new stress-strain model which can not only describes strain hardening stress-strain curve but also strain softening stress-strain curve is presented.The equation of tangent modulus is deduced.The paper p resents the simplified form of the expression when it was employed to describe strain hardening stress-straincurve.The method of fixing the parameter and the relationship between the parameters and the confining pressure was paring this new model with Duncan-Chang model and the strain softening model,it is found that this new model can bettermeet test results.The simplified form of new model is more accurately to describe strain hardening stress-strain curve and can describe more kinds of curve comparison with Duncan-Chang mode1.It is able to display variety of the stress-strain curve of soils using a changeable parameter.The unified expression provides a base to develop a general non linear mechanics model of soils.Key wordsNon linear elastic model,Duncan-Chang model,Strain softening model,Soil constitutive relation1 引言对于土的非线性弹性模型中的E～μ模型,通常先确定q～ε1曲线的表达式,再对该表达式求导得到切线模量的表达式,初始切线模量是应力-应变曲线起始阶段的切线模量,不同的q～ε1曲线表达式会有不同的切线模量表达式,q～ε1曲线分为硬化型和峰值后软化类型,对于应变硬化型q～ε1曲线,除了邓肯-张模型采用双曲线来描述q～ε1曲线以来,对描述应变硬化型q～ε1曲线表达式的研究由来以久,近来有代表性的研究成果有:刘祖德等[1]建议用指数函数来描述,曾国熙[2]、王年香等[3]建议了归一化方法。

概念土力学基本原理及应用土力学是土壤力学的简称，是研究土壤的力学性质、力学行为和力学计算方法的一门学科。

它基于大地工程学和土木工程学的基本原理，通过实验、理论和计算方法，研究土壤的应力、应变、变形和稳定性等力学特性，为土木工程的设计、施工和维护提供理论基础和技术支持。

下面将从土力学的基本原理和应用方面进行详细描述。

一、土力学的基本原理1. 应力原理：土壤的内力状态可以由应力表示，而应力可以分为均匀应力和非均匀应力两个部分。

均匀应力分为三个方向上的法向应力和剪切应力，非均匀应力则与土壤的物理性质和边界条件有关。

2. 应变原理：土壤的干燥密度、含水量等物理性质会受到应力的影响，从而导致土壤的体积发生变化，这种变化可以通过应变表示。

土壤的应变又可以分为线性弹性应变和非线性塑性应变两部分。

3. 变形原理：土壤在受到外力作用后会发生变形，这种变形可以分为弹性变形和塑性变形两部分。

弹性变形是指土壤在外力作用下发生的可逆变形，而塑性变形则是指土壤在达到一定应力水平后发生的不可逆变形。

4. 稳定性原理：土壤的稳定性是指土体在外力作用下能够保持稳定的能力，常用于评估土壤的适用性和承载力。

土体的稳定性与土壤的黏聚力、内摩擦角、承载力等因素有关。

二、土力学的应用1. 地基基础设计：通过土力学的理论和方法，可以对地基基础的稳定性和承载力进行分析和计算，从而指导地基基础的设计和施工。

2. 边坡和挡土墙设计：土力学的原理可以用于分析边坡和挡土墙的稳定性，评估其抗滑性和抗倾覆性，并提供相应的设计和施工建议。

3. 地震工程：土力学对地震工程的研究具有重要意义，可以通过分析土壤的动力特性和响应，来评估土壤的液化、地基沉降等问题，从而提高地震工程的安全性。

4. 岩土工程：土力学在岩土工程领域也有广泛应用，可以用于分析土石体的稳定性、地下水流动规律，以及岩土工程中的渗透、固结和变形等问题。

5. 水利工程：土力学可以用于水利工程的土石坝、堤防和渠道的设计和监测，以及泥石流和滑坡等灾害的防治。

基于应变梯度的损伤局部化研究及应用
赵吉东;周维垣;刘元高
【期刊名称】《力学学报》
【年(卷),期】2002(034)003
【摘要】提出一种包含应变梯度项的损伤力学模型,并将其应用于材料的局部化损伤模拟预测中.有限元实现中使用C1连续高精度单元以保证包含应变梯度的影响.简单规则矩形网格情况下将结点处有限差分应变梯度结果与有限元方法结合,可避免对传统有限元程序作较大改动,同时能在不降低精度情况下提高计算效率.计算表明该梯度损伤模型可较好避免有限元在局部化模拟时的网格依赖性,预测出的局部化损伤与实际破坏情况非常相近.
【总页数】8页(P445-452)
【作者】赵吉东;周维垣;刘元高
【作者单位】清华大学水电系,北京,100084;清华大学水电系,北京,100084;清华大学水电系,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】TB12
【相关文献】
1.岩石类材料应变梯度损伤模型研究及应用 [J], 赵吉东;周维垣;刘元高;杨若琼
2.考虑应变梯度效应的三点弯梁模型解析研究——第二部分:局部化带的位移及转角 [J], 王学滨;刘杰;潘一山
3.岩石混凝土类材料损伤局部化分叉研究及应用 [J], 赵吉东;周维垣;黄岩松;杨若琼
4.软化岩土介质的应变局部化研究进展——意义·现状·应变梯度 [J], 赵冰;李宁;盛国刚
5.岩石单轴压缩应变梯度损伤模型局部化带宽 [J], 赵扬锋;潘一山
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基于能量非局部模型的应变梯度理论的开题报告一、研究背景及意义在材料力学领域，塑性应变梯度理论已经成为了一个热门的研究方向。

应变梯度理论致力于研究结构界面和表面等处的应变梯度对材料力学性能的影响，对于理解由小尺寸效应引起的材料行为的变化、探索纳米机械行为、研究薄膜和纳米器件的可靠性以及研制高性能材料等都具有一定的促进作用。

然而，传统的线性玻璃力学理论无法很好地描述小尺寸效应下的材料行为，需要特殊的力学模型来预测和分析这些行为。

能量非局部模型是一种重要的材料力学模型，它在应变梯度理论的基础上加入了能量非局部效应，可以更好地描述小尺寸效应下的材料行为，如力学性质、变形、断裂等。

因此，本文提出了一种基于能量非局部模型的应变梯度理论，探究小尺寸效应对材料力学性能的影响。

二、研究方法和预期结果本文将从以下三个方面展开研究：1. 建立基于能量非局部模型的应变梯度理论在传统应变梯度理论的基础上，引入能量非局部效应，建立一种基于能量非局部模型的应变梯度理论，分析材料在小尺寸效应下的变形和断裂行为。

具体方法为，利用能量非局部效应建立适合小尺寸结构的势函数，同时引入能量积分的概念，根据能量变化设计新的应变梯度模型，最终建立基于能量非局部模型的应变梯度理论。

2. 分析小尺寸效应对材料力学性能的影响利用所建立的基于能量非局部模型的应变梯度理论，探究小尺寸效应下材料的变形和断裂行为。

通过仿真模拟和数值计算，分析材料纳米级别下的力学性质、变形等，提高对小尺寸效应下材料力学性能的理解。

3. 验证理论的可行性针对所建立的基于能量非局部模型的应变梯度理论，设计相应的实验验证方法。

通过实验测试，比较理论计算值和实验数据的差异，验证理论的可行性，并为理论在实践中的应用提供一定的参考。

预期结果为，建立一种基于能量非局部模型的应变梯度理论，分析小尺寸效应对材料力学性能的影响。

通过实验验证，比较理论计算值和实验数据，验证理论的可行性。

研究成果将为理解材料行为的变化提供一定的理论基础，并为研制高性能材料提供指导建议。

土力学原理
土力学原理是土木工程中的一项基础原理，用于研究土体在外力作用下的力学行为。

在土壤力学中，有许多重要的原理被广泛应用在土壤的设计和分析中。

土力学的研究对象是土体，土体是由颗粒、水分和空气等组成的多相材料。

土力学采用连续介质力学的观点来研究土体的力学性质。

其中最重要的三个原理分别是：
1. 应力-应变关系：应力-应变关系描述了土体在外力作用下的应变响应。

根据弹性理论，土体的线性弹性行为可以用胡克定律来描述，即应力与应变成正比。

这一原理在土体的设计和分析中非常重要。

2. 塑性力学原理：塑性力学原理用于描述土体的塑性行为。

在土体达到一定的应力水平后，它会发生塑性变形，即应力超过了土体的弹性极限。

塑性力学原理可以用来解释土体的流动、变形和稳定性。

在土体的基础工程和边坡稳定性分析中，塑性力学原理是十分重要的。

3. 应力传递原理：应力传递原理是土力学中非常基础的原理，它描述了土体内部应力的传递方式。

根据这一原理，土体内部的应力是从上部施加的外力通过土体颗粒之间的相互作用而传递的。

应力传递原理在土体的承载力和排水性能的研究中起到了重要的作用。

这些原理为土壤力学的研究提供了基础理论和方法，为土木工
程师在设计和分析土体结构时提供了指导。

通过深入学习和应用这些原理，可以更好地理解土壤的行为特性，从而做出科学、合理的工程决策。

地面力学作业论文土壤在垂直载荷作用下的应力-变形关系的探讨作者: 何义班级: 25040908学号: 2504090836指导老师: 杨士敏2012年4月17日土在垂直载荷作用下的应力-变形关系探讨作者：何义指导老师：杨士敏（长安大学机制八班学号：2504090836 陕西西安）摘要：对于研究车辆的行驶阻力和牵引性能来说，人们感兴趣的不是大载荷是土体产生破坏，而是达到极限平衡状态之前土体的应力与应变的关系问题。

因工程机械和越野车辆在地面上行驶作业给地面以垂直载荷，产生了沉陷，增加了运动阻力，同时还给地面以水平载荷，产生了推力，并经常伴随着打滑，所以关于车辆载荷作用下地面垂直变形和水平变形性能的研究，对评价和预测车辆的行驶性能有着重要的意义。

由于土是一种固、液、气三相复合的材料，很难用纯理论的方法去解决这一问题，因此，一开始人们主要依靠用试验的方法来建立某些半经验公式，以表达土的应力一变形关系影响车有效方法。

关键词：垂直载荷应力分布沉陷量土壤变形模量工程机械及车辆在行驶过程中，以及在设计车辆时，研究土在垂直载荷作用下的应力与应变极其重要。

大多数的土壤在受力作用下的应力与应变都是在经验公式的基础上建立的，解决土壤的应力与应变问题对现实相当重要。

1.布垂直线载荷作用下土中的应力分布在工程机械中，压路机滚轮作用于地面的载荷相当于线载荷。

一般支承面的长度远大于宽度时，即可视为线载荷。

设地表面上沿y轴正、负方向无限延伸地作用有一连续均匀分布的垂直线载荷，载荷强度为p，如下图所示由于载荷沿y轴均匀连续分布，对于土体和载荷来说，任一垂直于y轴的平面都是它们的对称平面。

显然，对称平面上是无剪应力的，而且其上任一点沿y轴方向无位移，点位移只能发生在该平面内，因此，这一问题属于平面形变问题，土中应力状态是位置坐标x、z的函数，而与坐标），无关。

对于垂直均布线载荷作用下弹性介质中的应力、应变与位移，在弹性理论中已有现成解答，此时的土中垂直应力盯：可按公式(3-14)经积分导出。

非局部应变梯度理论下纳米梁的力学特性研究张英蓉;沈火明;张波【摘要】基于非局部应变梯度理论,建立了一种具有尺度效应的高阶剪切变形纳米梁的力学模型.其中,考虑了应变场和一阶应变梯度场下的非局部效应.采用哈密顿原理推导了纳米梁的控制方程和边界条件,并给出了简支边界条件下静弯曲、自由振动和线性屈曲问题的纳维级数解.数值结果表明,非局部效应对梁的刚度产生软化作用,应变梯度效应对纳米梁的刚度产生硬化作用,梁的刚度整体呈现软化还是硬化效应依赖于非局部参数与材料特征尺度的比值.梁的厚度与材料特征尺度越接近,非局部应变梯度理论与经典弹性理论所预测结果之间的差异越显著.%A size-dependent mechanical model of nanobeam is built within the framework of the nonlocal strain gradient theory. The present model considers the nonlocal effects of the strain field and first gradient strain field, as well as the high-order shear deformation effect. Governing equations and boundary conditions are derived simultaneously by using Hamilton's principle. The Navier-type solutions are developed for nanobeams with simply-supported boundary conditions. Parametric studies are performed to exhibit the static bending, free vibration and linear buckling behaviors of nanobeams with different groups of geometrical and material parameters. It is found that the non-local effect produces a softening effect on the stiffness of the beam while the strain gradient effect produces a hardening effect, the stiffness of nanobeams is significantly dependent on the ratio between the nonlocal parameter and strain gradient parameter. In addition, the stiffness-hardening or stiffness-softingeffects become increasingly significant as the thickness is close to the material characteristic and can be negligible when the thickness is sufficient large.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2018(040)002【总页数】6页(P167-172)【关键词】非局部应变梯度理论;尺度效应;高阶剪切变形;纳米梁【作者】张英蓉;沈火明;张波【作者单位】西南交通大学力学与工程学院,成都610031;应用力学与结构安全四川省重点实验室,成都610031;【正文语种】中文【中图分类】O343.5随着工程结构逐渐向微型化、智能化的方向发展，纳米梁在微机电系统、生物传感器和原子力显微镜等领域得到日益广泛的应用[1].在研究微尺度结构力学性能的诸多方法中，实验研究由于对试样、仪器和测试方法的严苛要求，以及对精度控制的困难性而备受局限.分子动力学模拟和离散位错动力学模拟也因程序计算量巨大，计算效率较低而难以进行[2].在微纳米尺度下，材料特征长度尺寸接近材料颗粒尺寸，结构的尺度效应不可忽略，传统连续介质理论已无法准确预测微纳米尺度结构的力学性能 [3]，因此，考虑尺度效应的非局部理论 [4]，偶应力理论[5]，应变梯度理论[6]等高阶理论成为微纳米力学领域的研究重点.非局部理论认为，结构内某一点的应力不仅与该点的应变有关，而且与该点附近区域内所有点的应变有关 [7].应变梯度理论则将连续体中的每一个物质点看作含有高阶应变的胞元，据此引入长度尺度参数来表征其对结构力学性能的影响 [8].Lim等[9]在2015年提出了非局部应变梯度理论，该理论考虑了非局部效应和应变梯度效应.基于该理论，Li等[10]分析了尺寸相关杆的轴向振动，得到了不同边界条件下杆的固有频率解析解.Li等 [11]建立了非局部应变梯度非线性欧拉--伯努利纳米梁模型，并进行了屈曲分析，获得了简支梁的后屈曲挠度和临界屈曲力.Ebrahimi 等[12]探究了热环境下功能梯度纳米梁内的波传播行为，以及温度、非局部效应、应变梯度效应对波频和相速度的影响.Ebrahimi等[13]还建立了非局部应变梯度理论下的非均匀功能梯度纳米板的波传播模型，并与经典弹性理论模型做了对比.S¸im¸sek[14]研究了功能梯度纳米梁的非线性振动，通过新型哈密顿法给出了非线性振动频率的近似解.本文基于非局部应变梯度理论和Reddy高阶剪切变形理论，建立了纳米梁的动静力学问题理论模型，以简支纳米梁为例，给出了梁的弯曲、振动和屈曲的纳维级数解，探讨非局部参数、材料特征长度参数及结构尺寸对纳米梁挠度、固有频率和临界屈曲力的影响.1 控制方程建立考虑一个两端简支矩形截面Reddy梁，梁的横截面积为A,其余尺寸参数及坐标设置如图1所示，u1,u2,u3分别为纳米梁沿x,y,z方向的位移式中u,φ,w分别为梁的平移位移，转角位移和挠度.相应的非零应变为其中，c1=4/3h2,c2=4/h2.在Reddy梁理论下，无需额外引入剪切修正系数，且在梁的上下表面(即z=±h/2时)，剪应变等于0，相较于欧拉--伯努利梁和铁木辛柯梁而言更符合实际情况[15].图1 纳米梁尺寸参数及坐标设置示意图根据非局部应变梯度理论，应力可以表示为其中，▽是拉普拉斯算子，σij和分别是经典非局部应力和高阶非局部应力式中，和分别为应变和应变梯度.ea是表征非局部效应的长度参数，α0(|r−r′|,ea)和α1(|r−r′|,ea)是非局部核函数，|r−r′|是弹性体内不同两点间的距离，l是表征高阶应变梯度效应的材料特征长度.鉴于非局部应变梯度积分本构方程求解困难，实际计算中，常使用其微分形式其中，E为材料的弹性模量，G为剪切模量.当ea=0时，式(8)和式(9)退化为应变梯度理论本构方程；当l=0时，退化为非局部弹性理论本构方程.非局部应变梯度理论下的应力和高阶应力沿横截面的内力分别为式中，P,R,P(1)和R(1)只在高阶理论中出现.纳米梁应变能的变分形式可写为动能的变分形式为考虑轴向压力 FN和横向均布力 q所做外力功，其变分形式为根据哈密顿原理将式(12)～式(14)分别代入式(15)中进行分部积分，由变分基本引理提取δu,δw和δφ项相关系数可得到梁的运动方程其中同时，根据积分边界项，可得在x=0和x=L处的边界条件为控制方程(16)与经典理论下相同，对式(8)、式(9)进行积分和变换，可以将式(17)和式(18)转化为位移形式其中为方便起见，引入以下参数来简化方程2 弯曲、振动及屈曲求解对于简支梁，其挠度，转角和分布载荷可以展开为傅里叶级数其中，Wn和Φn为傅里叶系数，Qn是载荷幅值，ωn是固有频率.显然，式(25)满足梁的边界条件.将式(25)和式(26)代入式(21)和式(22)可得其中对于纳米梁的静弯曲问题，挠度和转角与轴向力、频率及时间相关项无关，令式(27)和式(28)中FN,ωn和所有关于时间的求导项为0，可以得到对于自由振动问题，高阶惯性项对频率影响较小，不予考虑 (即令m2=m4=m6=0)，并令式(27)和式(28)中Qn和FN等于0，可以得到纳米梁的固有频率对于屈曲问题，令式 (27)和式(28)中Qn,ωn和所有关于时间的求导项等于0，并设n=1,可以得到纳米梁的临界屈曲力3 数值算例及分析为了探究非局部应变梯度理论下的剪切变形梁模型特点，采用如下几何和材料参数：L=20h,b=2h,E=30×106MPa,ν=0.3,ρ=1kg/m2,q=1N/m,并对相关变量做无量纲化处理为满足精度要求，取傅里叶级数前 100项，分别研究非局部参数和材料特征长度的比值对纳米梁弯曲、振动和屈曲的影响，如图2～图4所示.图2 非局部参数与材料特征长度的比值对挠度的影响图3 非局部参数与材料特征长度的比值对固有频率的影响图4 非局部参数与材料特征长度的比值对临界屈曲力的影响纳米梁刚度总体随非局部长度参数的增加而降低，随特征长度参数的增加而增强.但当ea/l＜1时，最大弯曲挠度随材料特征长度的增大而减小，固有频率和临界屈曲力随材料特征长度的增大而增大；当ea/l＞1时，最大弯曲挠度随材料特征长度的增大而增大，固有频率和临界屈曲力随材料特征长度的增大而减小；当ea/l=1时，纳米梁挠度、固有频率和临界屈曲力值保持不变.当l=0时，所得结果与非局部理论下结果一致[16]，当ea=0时，与应变梯度理论下结果相同[17].取不同尺寸纳米梁，分别计算经典弹性理论(图中②)和非局部应变梯度理论(图中①)下的挠度、固有频率和临界屈曲力，如图5～图7所示.在非局部应变梯度理论中，当ea/l＜1时，纳米梁挠度与经典弹性理论值相比偏小，固有频率和临界屈曲力偏大；当ea/l＞1时，纳米梁挠度与经典弹性理论值相比偏大，固有频率和临界屈曲力偏小；当ea/l=1时，两种理论下所得结果相同.随着纳米梁高度与材料特征尺度越接近，结构尺度效应越明显，非局部应变梯度理论下结果与经典弹性理论结果相比偏差越大，该现象与实验结果相符 [18].而在经典弹性理论中，纳米梁尺寸的等比例变化对无量纲的挠度、固有频率和临界屈曲力没有影响，纳米结构的尺度效应在经典弹性理论中无法得以体现.图5 两种理论下结构尺寸对挠度的影响(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)图6 两种理论下结构尺寸对固有频率的影响(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)图7 两种理论下结构尺寸对临界屈曲力的影响(①为非局部应变梯度理论，②为经典弹性理论)4 结论本文从非局部应变梯度理论本构关系出发，建立了能同时反映剪切变形效应和尺度效应的Reddy梁模型，并通过哈密顿原理得到了梁的控制方程和边界条件，求得纳米梁最大弯曲挠度、固有频率和临界屈曲力的解析解，结合数值算例分析发现：(1)非局部效应的引入对纳米梁起刚度软化作用，而应变梯度效应的引入对纳米梁起刚度硬化作用.(2)当非局部参数大于材料特征长度 (ea＞l)时，结构呈现刚度软化效应；当非局部参数小于材料特征长度(ea＜l)时，结构呈现刚度硬化效应；当其相等(ea=l)时，硬化效应和软化效应相互抵消，挠度、固有频率和临界屈曲力值保持不变并与经典弹性理论下的值相等.(3)纳米梁高度与材料特征尺度越接近，非局部应变梯度理论下结果与经典弹性理论结果相比偏差越大.参考文献1 高世桥,刘海鹏.微机电系统力学(第1版).北京:国防工业出版社,20082 尹春松,杨洋.基于非局部铁木辛柯梁模型的碳纳米管弯曲特性研究.固体力学学报,2015(S1):165-1693 尹莉.微尺度下结构的静动力学行为研究.[博士论文].武汉：华中科技大学,20104 Eringen AC.Nonlocal Continuum Field Theories.New York:Springer Science&Business Media,20025 Yang F,Chong ACM,Lam DCC,et al.Couple stress based strain gradient theory for elasticity.International Journal of Solids andStructures,2002,39(10):2731-27436 Mindlin RD.Micro-structure in linear elasticity.Archive for Rational Mechanics and Analysis,1964,16(1):51-787 Reddy JN,Pang SD.Nonlocal continuum theories of beams for the analysis of carbon nanotubes.Journal of AppliedPhysics,2008,103(2):0235118 Kong S,Zhou S,Nie Z,et al.Static and dynamic analysis of micro beams based on strain gradient elasticity theory.International Journal of Engineering Science,2009,47(4):487-4989 Lim CW,Zhang G,Reddy JN.A higher-order nonlocal elasticity and strain gradient theory and its applications in wave propagation.Journal of the Mechanics and Physics of Solids,2015,78:298-31310 Li L,Hu Y,Li X.Longitudinal vibration of size-dependent rods via nonlocal strain gradient theory.International Journal of MechanicalSciences,2016,115:135-14411 Li L,Hu Y.Buckling analysis of size-dependent nonlinear beams based ona nonlocal strain gradient theory.International Journal of Engineering Science,2015,97:84-9412 Ebrahimi F,Barati MR.Wave propagation analysis of quasi-3D FG nanobeams in thermal environment based on nonlocal strain gradient theory.Applied Physics A,2016,122(9):84313 Ebrahimi F,Barati MR,Dabbagh A.A nonlocal strain gradient theory for wave propagation analysis in temperaturedependent inhomogeneous nanoplates.International Journal of Engineering Science,2016,107:169-182 14 S¸im¸sek M.Nonlinear free vibration of a functionally graded nanobeam using nonlocal strain gradient theory and a novel 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