高中数学第1讲坐标系一平面直角坐标系练习新人教A版选修4_4

课时分层作业（一)（建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M（2,2）的距离，则点P的轨迹是（）A．直线 B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析］∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．［答案］A2．已知线段BC长为8，点A到B,C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为（)A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线［解析] 由椭圆的定义可知,动点A的轨迹为一椭圆．［答案] C3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2，3），C(3，1），则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析］｜AB|＝错误!＝错误!，｜BC｜＝错误!＝错误!，|AC｜＝错误!＝错误!，|BC｜＝｜AC|≠|AB｜，△ABC为等腰三角形．［答案］A4．已知两定点A(－2,0)，B（1，0)，如果动点P满足｜PA|＝2｜PB｜，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( ）A．π B．4πC．8π D．9π［解析] 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA｜＝2|PB|，∴(x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2］,即（x－2）2＋y2＝4。

故P点的轨迹是以（2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π。

［答案］B5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝错误!cos 2x按伸缩变换错误!后为（)A．y′＝cos x′ B．y′＝3cos错误!x′C．y′＝2cos错误!x′ D．y′＝错误!cos 3x′[解析] 由错误!得错误!代入y＝错误!cos 2x，得错误!＝错误!cos x′，∴y′＝cos x′.［答案] A二、填空题6．若点P(－2 016,2 017)经过伸缩变换错误!后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.［解析］∵P（－2 016,2 017）经过伸缩变换错误!得错误!代入x′y′＝k，得k＝－1。

极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。

例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 cos ＝sin2( ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆 B ．两条射线或一个圆 C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1) B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 cos ＋2 sin ＝3上，其中0≤≤4π，＞0，则点P 的轨迹是( )．A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 sin＝2上，点Q 在曲线＝－2cos上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．0 3．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。

第一讲测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x 按照伸缩变换{x '=2x ,y '=3y后得到的曲线方程为( )A.y=3sin 32x B.y=3sin 3x C.y=3sin 6xD.y=13sin 32x,得{x =x '2,y =y '3.将其代入y=sin3x ,有y '3=sin 32x',即y'=3sin 32x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin 32x.2.在极坐标系中,已知M (-5,π3),则下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( ) A .(5,-π3) B .(5,4π3) C .(5,-2π3) D .(-5,-5π3)3.若点A 的球坐标为(5,3π4,3π4),则它的直角坐标为( )A .(-52,52,-5√22)B .(-52,52,5√22) C .(-52,-52,5√22)D .(52,52,-5√22)A 的直角坐标为(x ,y ,z ),则x=r sin φcos θ=5·sin 3π4cos 3π4=-52,y=r sin φsin θ=5sin 3π4sin 3π4=52,z=r cos φ=5cos 3π4=-5√22,所以直角坐标为(-52,52,-5√22).4.在极坐标系中,过点(2,π3)且与极轴垂直的直线方程为( )A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-√3D.ρ=-√3sin θM (ρ,θ)为直线上除(2,π3)以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos π3,则ρcos θ=1,经检验(2,π3)符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是( ) A.(1,π2) B.(1,3π2)C.(1,0)D.(1,π)ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为(1,3π2).6.可以将椭圆x 210+y 28=1变为圆x 2+y 2=4的伸缩变换是 ( )A .{5x '=2x ,√2y '=yB .{√2x '=√5x ,y '=√2yC .{√2x '=x ,√5y '=√2yD .{√5x '=√2x ,√2y '=yx 2+y 2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为{x '=λx (λ>0),y '=μy (μ>0),将其代入x'2+y'2=4,得λ2x 2+μ2y 2=4,即λ2x 24+μ2y 24=1,与椭圆x 210+y 28=1,比较系数得{λ24=110,μ24=18,解得{λ=√2√5μ=√2 故满足题意的伸缩变换为{x '=√2√5,y '=√2,即{√5x '=√2x ,√2y '=y .7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为( )A.11B.11√2C.11√3D.22ρ=22sinθ,得ρ2=22ρsinθ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定ρ=2cosθ与直线2ρcos(θ+π3)=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-√3y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d=|1-√3×0+1|2=1=r,所以直线与圆相切.9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16x=ρcosθ,y=ρsinθ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.10.导学号73574029在球坐标系中,集合M={(r,φ,θ)|2≤r≤6,0≤φ≤π2,0≤θ<2π}表示的图形的体积为()A.416π3B.146π3C.614π3D.461πr,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=12(4π3×63-4π3×23)=12×4π3×208=416π3.11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=π2(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R )和ρcos θ=1ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=π2(ρ∈R )和ρcos θ=2,故选B .12.导学号73574030圆ρ=r 与圆ρ=-2r sin (θ+π4)(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.√2ρ(sin θ+cos θ)=rD.√2ρ(sin θ+cos θ)=-rρ=r 的直角坐标方程为x 2+y 2=r 2,① 圆ρ=-2r sin (θ+π4)=-2r (sinθcos π4+cosθsin π4)=-√2r (sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-√2r (ρsin θ+ρcos θ),所以x 2+y 2+√2rx+√2ry=0,② 由①-②,并化简得√2(x+y )=-r ,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线√2(x+y )=-r 化为极坐标方程为√2ρ(cos θ+sin θ)=-r.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P (2,0)与点Q 关于直线θ=π3对称,则|PQ|= .θ=π3的直角坐标方程为y=√3x.设点P 到直线的距离为d ,则|PQ|=2d=√3√1+3=2√3.√314.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ(ρ≥0,0≤θ<π2),则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 .{ρcosθ=3,ρ=6sinθ,①②将②代入①,得6sin θcos θ=3,∴sin2θ=1. ∵0≤2θ<π,∴θ=π4.代入①得ρ=3√2.∴C 1与C 2交点的极坐标为(3√2,π4).(3√2,π4)15.已知点M 的柱坐标为(2π3,2π3,2π3),则点M 的直角坐标为 ,球坐标为 .M 的直角坐标为(x ,y ,z ),球坐标为(r ,φ,θ).由{x =ρcosθ,y =ρsinθ,z =z ,得{ x =2π3cos 2π3=-π3,y =2π3sin 2π3=√3π3,z =2π3.由{r =√x 2+y 2+z 2,cosφ=zr , 得{r =2√2π3,cosφ=√22,即{r =2√2π3,φ=π4.所以点M 的直角坐标为(-π3,√3π3,2π3),球坐标为(2√2π3,π4,2π3).-π3,√3π3,2π3) (2√2π3,π4,2π3) 16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是 .θ=0,θ=π3,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=√3x ,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A (1,0),B (√3-12,3-√32). 所以S △AOB =12×3-√32×1=3-√34.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为{x '=2x ,y '=13y ,曲线C 在此变换下变为椭圆x '24+y'2=1,求曲线C 的方程.{x '=2x ,y '=13y ,所以将其代入方程x '24+y'2=1,得(2x )24+(13y)2=1,即x 2+y 29=1.故曲线C 的方程为x 2+y 29=1. 18.(本小题满分12分)已知定点P (4,π3).(1)将极点移至O'(2√3,π6)处,极轴方向不变,求点P 的新坐标; (2)极点不变,将极轴顺时针转动π6角,求点P 的新坐标.设点P 的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2√3,|OP|=4,∠POx=π3,∠O'Ox=π6, 所以∠POO'=π6.在△POO'中,ρ2=42+(2√3)2-2×4×2√3×cos π6=16+12-24=4,则ρ=2.又23=sin∠POO '2,所以sin ∠OPO'=sin π62×2√3=√32, 即∠OPO'=π3.所以∠OP'P=π-π3−π3=π3,则∠PP'x=2π3,∠PO'x'=2π3. 故点P 的新坐标为(2,2π3).(2)如图所示,设点P 的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=π3+π6=π2. 故点P 的新坐标为(4,π2).19.(本小题满分12分)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C 1:ρ=2cos θ-4sin θ,C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C 1的方程化为直角坐标方程; (2)求曲线C 1和C 2两交点A ,B 之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x 2+y 2=2x-4y.∴C 1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C 2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=5=5,∴|AB|=2√(√5)2-(√5)2=√5=8√55. 20.(本小题满分12分)已知定点A (a ,0),动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA=π3.在OP 的延长线上取点Q ,使|PQ|=|PA|.当点P 在极轴所在直线的上方运动时,求点Q 的轨迹的极坐标方程.Q ,P 的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA 中,|OP|=ρ1=asin π3·sin (2π3-θ),|PA|=asinθsinπ3.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得 ρ=2a cos (π3-θ).故点Q 的轨迹的极坐标方程为ρ=2a cos (π3-θ).21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3,π3),半径r=3.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若点Q 在圆C 上运动,点P 在OQ 的延长线上,且OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹的极坐标方程.设M (ρ,θ)是圆C 上除极点外的任意一点,连接OM ,CM.在△OCM 中,∠COM=|θ-π3|, 由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos ∠COM , 即32=ρ2+32-2×3×ρcos (θ-π3), ρ=6cos (θ-π3).因为极点适合上式,所以圆C 的极坐标方程为ρ=6cos (θ-π3). (2)设点Q 为(ρ1,θ1),点P 为(ρ,θ), 由OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 即OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以ρ1=23ρ,θ1=θ. 因为点Q 在圆C 上,所以有ρ1=6cos (θ1-π3).将ρ1=23ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos (θ1-π3)的方程,得23ρ=6cos (θ-π3),即ρ=9cos (θ-π3).故动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos (θ-π3).22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O ,已知曲线C 1:ρ=2与曲线C 2:ρsin (θ-π4)=√2交于不同的两点A ,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程.方法一)∵ρ=2,∴x 2+y 2=4,半径r=2.又ρsin (θ-π4)=√2,∴y=x+2.∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=√2=√2,∴|AB|=2√r2-d2=2√4-(√2)2=2√2. (方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则sin(θ1-π4)=√22,sin(θ2-π4)=√22.∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=π2,即∠AOB=π2.又|OA|=|OB|=ρ=2,∴|AB|=2√2.(2)∵曲线C2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1, ∴直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ-1,即ρcos(θ+π4)=√22.。

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】 （1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和， 所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2． 法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。