九年级数学上册4图形的相似本章小结与复习课件(新版)北师大版

第四章 图形的相似
4.7 相似三角形的性质
第1课时
教学目标
理解相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应 中线的比与相似比的关系，会运用它求相关线段的长．(重点)
课前预习
(一)知识探究 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线 的比都等于 相似比 ．
(二)预习反馈
1. 如果两个相似三角形对应边的比为 4∶5，那么它们对
＝∠A.∴AA′DD′＝AA′CC′，∠A′＝∠A，∴△A′C′D′∽△ACD，∴CC′DD′＝AA′CC′＝ k.
知识点 3 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 例3 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似 比．(请根据题意画出图形，写出已知、求证并证明)
【思路点拨】画出图形，写出已知，求证，根据相似三 角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，再根据 角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，利用两组角对应相 等的两三角形相似说明△ ABD∽△A1B1D1.
求证：AA′DD′＝k.
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B′. ∵AD 是△ ABC 的高，A′D′是△ A′B′C′的高，∴∠ADB ＝∠A′D′B′＝90°， ∴△ABD∽△A′B′D′，∴AA′DD′＝AA′BB′＝k.
【归纳总结】证明文字叙述题，首先要画出图形，写出 已知、求证， 然后分析证明思路，写出证明过程．
(2)若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求AAEC的值．
解：∵△EOD∽△BOC，∴SS△△ EBOODC＝OODC2. ∵S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，∴OODC＝32. 在△ ODC 与△ EAC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE， ∴△ODC∽△AEC， ∴OAED＝OACC，即OODC＝AAEC，∴AAEC＝23.

归类探究
回归教材
中考预测
相似三角形及其应用
解 析 ∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8，
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
故选A.
考点聚焦
归类探究
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Байду номын сангаас中考预测
相似三角形及其应用
探究二 相似三角形的性质及其应用
命题角度： 1. 利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度； 2. 利用相似三角形性质探求比值关系．
例3 如图22－4，在平行四边形ABCD中，过点A作 AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且 ∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若AB＝8，AD＝6 ，AF＝4 ，求AE的长．
图22－4
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相似三角形及其应用
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探究四 位似 命题角度： 1. 位似图形及位似中心定义； 2. 位似图形的性质应用； 3. 利用位似变换在网格纸里作图．
例 4 在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，
以原点 O 为位似中心，相似比D为12，把△EFO 缩小，则点 E 的对应
点 E′的坐标是( )
A．(－2，1)
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相似三角形及其应用
探究五 相似三角形与圆
命题角度： 1. 圆中的相似计算； 2. 圆中的相似证明． 例5 如图22－5，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD 和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．

特别提醒：
(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；
(2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序.
例题欣赏
☞
例题&解析
例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，
且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.
若BC=30cm，AD=10cm， 求矩形EFGH的周长.
E
∴∠A′B′C′=∠ABC, ．
B
又AD、AD′分别为对应边的中线.
AB
BD

,
A' B ' B ' D '
AB
BC

A' B ' B 'C '
∴ △ABD∽△A′B′D′，
AD

k.
A'D'
C
D
A'
E'
B'
C'
D'
探索&交流
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比
都等于相似比．
AC
3
，BD=4cm，求B′D′的长.
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三Байду номын сангаас形的性质
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景&导入
问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B
A1
B1
△ABC∽ △A1B1C1
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.

A
B
F
C
ED
A1 F1
E1
B1 C1
D1
图中的六边形 ABCDEF 与六边形 A1B1C1D1E1F1 是形状相同的多边形，
其中∠A 与∠A1，∠B 与∠B1，∠C 与∠C1，∠D 与∠D1，∠E 与∠E1，
∠F 与∠F1 分别相等，称为对应角；
AB 与 A1B1，BC 与 B1C1，CD 与 C1D1，DE 与 D1E1，EF 与 E1F1，FA
例2 一块长 3 m，宽 1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边 框宽 7.5 cm . 边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
F B
(1.5+0.075×2) m
C G
E A 3m
1.5 m
D H
(3+0.075×2) m
解：
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似
比k＝ 2 , ∴
AB 2 , BC
2 ,
3 AB 3 BC 3
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意知，∠D′＝∠D.
∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
归纳
A1 F1
B1 C1
AB
F
C
E1
D1
E
D
要点归纳 ◑相似多边形的定义：
相似多边形用符号“∽”表示， 读作“相似于”
各角分别相等、各边成比例的两个多边形
叫做相似多边形.
◑相似多边形的特征： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

在的直线都经过同一点 O ，且有 OP '＝ k ·OP （ k ≠0），那么这
样的两个多边形叫做 位似多边形 ，这个点 O 叫做 位似中
心 ， k 就是这两个相似多边形的相似比，每组位似对应点与位
似中心共线.
（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列
性质：①对应顶点的连线经过位似中心；②对应边平行或在同
O ，且 DE ＝3， EF ＝6， AB ＝4.
（1）求 AC 的长；

（2）若 BE ∶ CF ＝1∶3，求 的值.

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【思路导航】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式
解答；（2）利用相似三角形的性质，列出比例式解答.
解：（1）∵ l1∥ l2∥ l3，


3
4
∴ ＝ ，即
＝ .解得 AC ＝12.


3+6

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（2）∵ l2∥ l3，
∴△ BOE ∽△ COF .
单位，注意单位要统一.
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（2）已知点 P 是线段 MN 的黄金分割点，当 MN ＝1时， PM 的
长是
5−1
3− 5
或
2
2
.
⁠
【思路导航】分 PM ＞ PN 和 PM ＜ PN 两种情况，根据黄金
比计算.
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【解析】当 PM ＞ PN 时，
段；B. 1×4＝4，2×2＝4，则这四条线段成比例线段；C.
4×10＝40，5×6＝30，则这四条线段不成比例线段；D. 2 ×3

3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上 且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . A
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
你还有其他 方法吗？
针对训练 如图，小明同学跳起来把一个排球打在离地 2 m
远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的 高度是 1.8 m，排球落地点离墙的距离是 6 m，假设 球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？
∴ BC EF ，即 BC 2 ， CD GE 3.6 1.2
∴ BC＝6m. 在 Rt△ABC 中， ∵ ∠A＝30°， ∴ AB＝2BC＝12 m， 即树长 AB 是 12 m.
3.6m
2m 1.2m
例4 星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们 来到 1928 年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立 的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请 你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高 度 (画出示意图)，并说明理由．
A
M
E
D
∴CD＝2，AD＝4，
B
MD＝1.
CF
在 Rt△BDM 中，BM 62 32 3 3 ，
BD BM 2 MD2 2 7 ， 由(1) △ABD ∽△CED得，
BD AD，即 2 7 2，
ED CD
ED
∴ ED 7，BE BD E
CF
针对训练
1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定

2
2

5

△

1
1
1
＝ .∴ S△ ABE ＝ S△ ABC ＝ ×10＝2.

5
5
5
∴ S△ BEC ＝ S△ ABC － S△ ABE ＝10－2＝8.
又∵点 D 为 BC 的中点，∴ S△ DEC ＝
1
1
S△ BEC ＝ ×8＝4.故答案为2，4.
2
2
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⁠
应
中线 的比都等于相似比.
②相似三角形（多边形）的周长比等于 相似比 ，面积比等
于
相似比的平方 .
⁠
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4. 相似三角形的几种常见模型.
模型
图形
“平行线”型
“斜交”型（∠1＝∠2）
“垂直”型
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5. 图形的位似.
（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P '所
2. 平行线分线段成比例.
基本图形：（“日”型，“A”型，“X”型）
图1
图2
图3


（1）若 AD ∥ BE ∥ CF （如图1），则 ＝ ；




（2）若 BE ∥ CF （如图2、图3），则 ＝ .


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3. 相似三角形的判定及性质.
（1）相似三角形的判定.
①判定一：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定）.
②判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
③判定三：三边成比例的两个三角形相似.

ab cd bd
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 7:47:38 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021