7.4多元复合函数微分法(07年)

步骤：1) 写出F ; 2) 求Fx ' , Fy '; 3) 代入公式. y dy 2 2 例1 已知 ln x y arctan , 求 . x dx 解 法1： 对等式两边关于x求导，得
1 1 .( 2x 2yy ) 2 2 2x y
解得 y xy . yx
2
dy 例2 设y f（x）是有方程y x , 求 dx
x y
解
设F(x, y) y x x y ,
x y 1
Fx ' y ln y y x
,
Fy ' x y x 1 x y ln x,
dy Fx ' y x ln y yx y 1 x 1 . y dx Fy ' xy x ln x
1 dz x 例2 设z x , x sin t , y , 求 . z t t dt dz z dx z dy y 解 dt x dt y dt 1 1 yx y 1 cos t x y ln x ( 2 ) (sin t ) t ( cos t ln sin t ) t t sin t t2 u u x2 y2 z2 2 例 3 设u f ( x , y , z ) e , z x sin y , 求 , . x y u f x 解 x x z u x2 y2 z2 x2 y2 z2 2 x sin y 2z e 2 xe y 2 2 x 2 y 2 x 4 sin 2 y 2 x ( 1 2 x sin y ) e u f f z x2 y2 z2 x2 y2 z2 x 2 cos y 2 ye 2ze y y z y 4 x 2 y 2 x 4 sin 2 y 2 ( y x sin y cos y ) e
2
y x y 1 . y 2 x2 1 ( ) x
y 法 2： 设F ( x , y ) ln x y arctan , x x y y x x y dy Fx ' Fx ' 2 . 2 , Fy ' 2 2, x y x y dx Fy ' y x
1 1 2 xz 2 z 2 yz Fy ' Fx ' y x dx dz dx dy dy 1 1 Fz ' Fz ' 2 x 2 xy 2 x 2 xy z 2 2 2 z 2 yz 2 z z 2 xz z 2 dx dy 2 2 2x 2x y x 2 xy 2 xy y
其它形式复合函数偏导 数的链式法则： u u ( x ) z x 1. z f ( u, v ) v v ( x ) dz f du f dv z f [ ( x ), ( x )] ( 全导数公式 ) dx u dx v dx 2.z f ( u, v , w ) , u ( x ) , v ( x ) , w ( x ) u dz z du z dv z dw z x v d x u d x v d x w d x w f1 f 2 f 3 数 函数到自变量有几条连线, 函数对该自变量的偏导 表示式就有几项 有几个自变量就有几个 , 偏导数表示式.
(2)分段函数分段点处用定义求偏导 二.求偏导方法 1.简单函数--与一元函数求导法相同
2.复合函数—画出函数关系图按路径求导 3.隐函数—利用隐函数求导公式
步骤： )写出F ( x , y, z );( 2)求出Fx, Fy, Fz;( 3)代入公式 (1
作业
P251 16(1) (4); 17; 18(1) ;19(1)
2. 二元隐函数
设z f ( x, y )是由方程 F( x, y , z ) 0 确定的隐函数，具有连续的偏导数 Fx , Fy , Fz 且有 Fz 0 F' z x , x Fz ' Fy ' z y Fz ' 则z f ( x, y )的偏导数存在且为
y z z 例7 设z xy xf ( u), u , f ( u)可导, 证明：x y xy z . x x y
二、隐函数微分法
1. 一元隐函数的导数
设y f ( x )是由方程 F( x, y ) 0 确定的隐函数，具有连续的偏导数 Fx , Fy 且有 Fy 0 Fx dy dx Fy 则y f ( x )的导数存在且为
F
z
x
y
由方程F(x, y, z) 0所确定的隐函数 z f ( x, y )的导数主要有 两种求法： z z 法1： 对等式F( x, y , z ) 0两边关于x( y )求偏导数，解出 ( ) x y
注：
利用方程F( x, y , z ) 0构造二元函数F( x, y , z ), 利用多元函数 法 2： 偏导数求导数，即利用下面的公式求导
求下列隐函数的导数或全微分 dy xy 2 (1)e 3xy ，求 ; dx z z ( 2)xyz e 所确定函数z z( x, y )的偏导数 , x y
z
( 3)x y z e ( x y z ) 所确定函数z z( x, y )的全微分dz
思考题
x
y z
dz 例6 设z uv sin t , u e , v cos t , 求 . dt z 解 d z z du z d t u d t t t ve cos t e t (cos t sin t ) cos t
t
u
v
t
y z x 证明 y f (u) xf ' ( u) ( 2 ) x x z u 1 x f ' ( u) z y x xf ' ( u) x y 左边＝ xy xf (u) yf ' ( u) xy yf ' ( u) 2 xy xf ( u) 右边 Ex : 设u f ( x , xy, xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
y
dz 例4 设z arctan( xy ), y e , 求 . z dx dz f 解 ex dx x
xLeabharlann x y例5 设u f ( x y z , xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
解 令s x y z , t xyz, 则u f ( s, t ), s u f u t x s f 2 y z f1 yzf 2; u f f1 ' xz f1 xzf 2; y s u f f1 xyf 2. z s
F
x y
由方程F(x, y) 0所确定的隐函数 f (x)的导数主要有两种求法 y ： 注：
法1：
对等式F(x, y ) 0两边关于 利用复合函数求导， x
法 2：利用方程F( x, y ) 0构造二元函数F( x, y ), 利用多元函数
偏导数求导数，即利用下面的公式求导 dy Fx ' dx Fy '
y z 解得 z y y 2 z 法 2： F ( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 4z 设 F Fx ' 2 x , Fy ' 2 y，z ' 2z 4 Fy ' y z Fx ' x x z . ， x Fz ' z2 2 z y Fz ' 2 z
CH7.4 多元复合函数、隐函数微分法
一、多元复合函数求导的链式法则 二、方程所确定的隐函数及其导数
第七章
一、多元复合函数的微 分法
一元复合函数 求导法则
z ＋ 二元复合函数 y v z f [ ( x , y ), ( x , y )] z f u f v z f u f v －－链式法则 x u x v x y u y v y z z u 例1 设z e sin v , u xy, v x y , 求 , . x y 解 z z u z v e u sin v y e u cos v 1
x
u ( x, y ) v ( x , y )
u
x
u x
v x
e ( y sinv cos v ),
u
z z u z v z e u sin v , y u y v y u xy, v x y , u u e u ( x sinv cos v ). e sin v x e cos v 1
z y x F( x, y , z ) 0, 证明 1. x z y z y x 1 (错 记号不可约分！ ) 证明 x z y Fy ' Fz ' Fx ' z y x 1 Fy ' Fx ' Fz ' x z y
例4 求2xz 2xyz ln xyz 0确定的函数z的全微分. 解 设F ( x , y, z ) 2 xz 2 xyz ln x ln y ln z 1 1 1 F Fx ' 2z 2 yz , Fy ' 2 xz ， z ' 2 x 2 xy z x y
设u f ( x , xy, xyz ), 求f x ' , f y ' , f z '.
解答
一.偏导数与全微分的定义 z x0 Δx x0 z z x ( x 0 , y0 ) Δx dz dx dy x y z f ( x0 , y0 Δy ) f ( x0 , y0 ) lim y ( x 0 , y0 ) Δ y 0 Δy 定义的重要性: (1)体现了偏导数的实质是求导数