(数列求和)复习题

高考数学一轮复习《数列求和》练习题（含答案）一、单选题1．已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则30S =（ ） A ．351 B ．353C ．531D ．5332．已知)*n a n N =∈，则12380a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +=++，令nn a b n=，若对于任意*N n ∈，不等式142t n b +<-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(],1-∞-C ．(],0-∞D ．(],1-∞4．数列{}n a 的前n 项的和n S 满足*1(N )n n S S n n ++=∈，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a ++是常数列B ．若113a <，则{}n a 是递增数列C ．若11a =-，则20221013S =D ．若11a =，则{}n a 的最小项的值为1-5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则()[]f x x =称为高斯函数.已知数列{}n a 满足21a =，且121(1)2n n n n a na +++-=，若[]lg n n b a =数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2021T =（ ） A ．3950B ．3953C ．3840D ．38456．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010117．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12πcos 3n n n n a a a ++++=，11a =，则2023S =（ ）A ．0B ．12C ．lD ．328．已知函数0()e ,xf x x =记函数()n f x 为(1)()n f x -的导函数(N )n *∈，函数()n y f x =的图象在1x =处的切线与x 轴相交的横坐标为n x ，则11ni i i x x +==∑（ ）A ．()132n n ++B ．()33nn +C ．()()23nn n ++D ．()()123n n n +++9．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．4040202110．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．20202019B ．20212020C ．20192020D ．2020202111．已知数列{an }的前n 项和Sn 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，n ∈N *.则使得T 20的值为（ ） A ．1939B ．3839C ．2041D ．404112．已知数列{}n a 满足()22N n n n a a n *++=∈，则{}n a 的前20项和20S =（ ）A ．20215-B ．20225-C ．21215-D ．21225-二、填空题13．等差数列{}n a 中，11a =，59a =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，则10S =___________. 14．已知数列{}n a 满足，()2*111,(1)2,n n n a a a n n n N -=--=-⋅≥∈，则20a =__________.15．在等差数列{}n a 中，72615,18a a a =+=，若数列{}(1)nn a -的前n 项之和为n S ，则100S =__________．16．若数列{}n a 满足()1*1(1)2n n n n a a n ++=-+∈N ，令1351924620,S a a a a T a a a a =++++=++++，则=TS__________.三、解答题17．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且32a =，47S =． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （1）求{}n a 通项公式； （2）设11n n n b a a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．19．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==，数列{}n b 满足*111,2,n n b b b n +=-=∈N .(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .20．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足1341n n n a a a +=+. (1)证明：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)若12311112022na a a a ++++<，求正整数n 的最大值.21．已知数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. （1）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求n S .22．已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+，数列{}n b 满足1142,4b a b a ==，221,.n n n b b b n N *++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记21(67),83log ,nnn n n b n S c b n +-⎧⎪-=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式24(1)41n nn T n λ-+<+对一切n N *∈恒成立，求λ的取值范围．23．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足___________.给出下列三个条件： ①48a =，()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥；②()1n n S pa p =-∈R ；③()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R .请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题： (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22121log n n b n a =+⋅，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求证：1132n T ≤<.24．已知数列{}n a 的各项均为正整数，11a =.(1)若数列{}n a 是等差数列，且101020a <<，求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ；(2)若对任意的*n ∈N ，都有2112112n n n n a a a a +++-<+，求证：12n na a +=参考答案1．B2．B3．D4．D5．D6．C7．C8．B9．B10．D11．C12．D 13．102114．210 15．100 16．2317．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，47S =，可得1122,43472a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111,2a d ==， 所以数列{}n a 的通项公式为()111122n n a n +=+-=. （2）由（1）知12n n a +=，则11221141212n n n b a a n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪++++⎝⎭， 故111111114442233412222n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 18．（1）当2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=， 当1n =时，由113a S ==，符合上式.所以{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵21n a n =+， ∴()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭， ∴1111111235572123n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111232369n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 19．（1）由已知111,2n n a a a +==所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -=数列{}n b 满足111,2n n b b b +=-=所以{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列 21n b n =-（2）()11132212n n S n -=⨯+⨯++-①对上式两边同乘以2，整理得()221232212n n S n =⨯+⨯++-②①-②得()()2112222212n n n S n --=++++--()()12121221212n n n --=+⨯---()2323n n =---所以()2323nn S n =⋅-+20．（1）易知{}n a 各项均为正，对1341n n n a a a +=+两边同时取倒数得1111433n n a a +=⋅+， 即1111223n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1121a -=，所以数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列.（2）由（1）知11111233n n n a --⎛⎫-==⎪⎝⎭，即11123n n a -=+， 所以()12311311113122112313n n n f n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=++++=+=+- ⎪⎝⎭-， 显然()f n 单调递增，因为()10101011313110102021.52022,(1011)2023.520222323f f =-<=-⋅>，所以n 的最大值为1010. 21．（1）数列{}n a 满足：11a =，121n n a a n +=+-. 由n n b a n =+，那么111n n b a n ++=++， ∴1112112n n n n n n b a n a n n b a n a n+++++-++===++； 即公比2q，1112b a =+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得2nn b =，∴2nn a n +=，那么数列{}n a 的通项公式为：2nn a n =-，数列{}n a 的前n 项和为232122232nn S n =-+-+-+⋅⋅⋅+-()2121222(123)2222nn n n n +=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=---.22．（1）解：因为22n n S a n =+，当n =1时，得11a =，当2n ≥时，21121n n S a n --=+-，所以22121n n n a a a -=-+，即221(1)n n a a -=-，又因为数列{}n a 为递增数列，所以11n n a a --=， 数列{}n a 为等差数列， 11a =，d =1, 所以n a n =；所以1142841,b a b a ====， 又因为221,.n n n b b b n N *++=∈ 所以数列{}n b 为等比数列，所以33418b b q q ===，解得2q，所以12n n b -=.（2）由题意可知：(1)2n n n S +=， 所以()2167,83log ,n n n n n b n c S b n +⎧-⎪=-⎨⎪⎩为奇数为偶数,故2(67)2,443,n n n n c n n n n -⎧-⎪=+-⎨⎪⎩１为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q 所以135212462=,=,n n n n P c c c c Q c c c c -++++++++当n 为奇数时，()()2)2123(67)2(67222=,4432321n n n n n n n c n n n n n n --+----==-+-++-１１１１所以42220264135221222222==5195132414329n n n n P n c c c n c --⎛⎫⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫++++-+-+-++ ⎪ ⎪⎭-- ⎪ ⎝⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,44411=412=1n nn n --++ 当n 为偶数时n c n =，所以()()246222==246212n n n nQ c c c c n n n +++++++++==+，故()2,4=4=111n n n n T n n P Q n -++++故24(1)41n nn T n λ-+<+，即()()111144(1)(1)4141n nnn n n n n n n λλ-+<-+-++⇒-+<++当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，所以5λ<当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，所以此时1λ>- 故对一切n N *∈恒成立，则15λ-<< 23．（1）若选①，因为()112lg lg lg 2n n n a a a n -+=+≥，所以()2112n n n a a a n -+=≥，所以数列{}n a 是等比数列设数列{}n a 的公比为q ，0q >由33418a a q q ===得2q所以12n n a -=若选②，因为()1n n S pa p =-∈R ，当1n =时，1111S pa a =-=，所以2p =，即21n n S a =- 当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以()122n n a a n -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列所以12n n a -=若选③，因为()()12323412nn a a a n a kn k +++⋅⋅⋅++=⋅∈R ，当1n =时，11222a k =⋅=，所以1k =，即()12323412n n a a a n a n +++⋅⋅⋅++=⋅当2n ≥时，()1123123412n n a a a na n --+++⋅⋅⋅+=-⋅，所以()()()11122n n n a n n -+=+⋅≥，即()122n n a n -=≥，当1n =时，上式也成立，所以12n n a -=（2） 由（1）得()()()221111121log 212122121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+⋅+⋅--+⎝⎭所以()111111111233521212221n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪-++⎝⎭ ∵*N n ∈，∴()10221n >+，∴()11122212n T n =-<+ 易证*n ∈N 时，()112221n T n =-+是增函数，∴()113n T T ≥=.故1132n T ≤<24．(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，由10101920a d <=+<，可得1919d <<， 又由数列{}n a 的各项均为正整数，故2d =，所以21n a n =-， 于是()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+，所以111111111121335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. (2)解：因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故112nna a ≥+，于是()211112122112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++， 又因为21121<12n n n n a a a a +++-+，所以121n n a a +-<， 由题意12n na a +-为整数，所以只能120n n a a +-=，即12n n a a +=。

高考数学专题复习题：数列求和一、单项选择题（共8小题）1．某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（ ） A ．172B ．183C ．286D ．3112．在数列{}n a 中，已知112a =，1(2)n n n a na ++=，则它的前30项的和为（ ） A ．1929B ．2829C ．2930D ．30313．已知{}n a 是递增的等比数列 ，且34528++=a a a ，等差数列{}n b 满足23b a =，542b a =+，85b a =．如果m 为正整数，且对任意的*n ∈N ，都有12231nn b b b m a a a +≥+++，那么m 的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．5D ．44．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =−，*(1)(N )n n na S n n n =+−∈，设(1)n n n b a =−，则数列{}n b 的前51项之和为（ ） A ．149−B ．49−C ．49D ．1495．已知递推数列{}n a 满足11a =，()*121n n a a n +=+∈N ，如果n S 是数列{}n a 的前n 项和，那么9S =（ ） A ．9210−B ．9211−C ．10210−D ．10211−6．如图，某地毯是一系列正方形图案，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次构成一个数列{a n }的前4项. 记12100111S a a a =++⋅⋅⋅+，则下列结论正确的为（ ）A ．87S >B ．87S =C ．87S <D ．S 与87的大小关系不能确定7．已知首项为2的数列{}n a 满足114522n n n n a a a a ++−−=，当{}n a 的前n 项和16n S ≥时，则n 的最小值为（ ） A ．40B ．41C ．42D ．438．如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；依次递推；第n 堆有n 层共n S 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，依次递推．已知201540S =，则2021n n ==∑（ ）A ．2290B ．2540C ．2650D ．2870二、多选题（共3小题）9．已知函数()f x 满足22()()()()f x y f x y f x f y +−=−，(1)1f =，(2)0f =，下列说法正确的是（ ） A ．(3)1f =−B ．(2024)0f =C ．21()x k k =+∈Z 时，()(1)kf x =−D ．20241()2024k f k ==∑10．利用不等式“ln 10x x −+≤，当且仅当x =1时，等号成立”可得到许多与n （2n ≥且*n ∈N ）有关的结论，则下列结论正确的是（ ） A ．111ln 1231n n <+++⋅⋅⋅+− B ．1111ln 4562n n>+++⋅⋅⋅+C ．()()()()12121412e 2n n n+++⋅⋅⋅+>⋅D ．e12e 1n n n n n ++⋅⋅⋅+<⋅− 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，从第1行开始，第n 行从左至右的数字之和记为n a ，如{}12112,1214,,n a a a =+==++=⋅⋅⋅的前n 项和记为n S ，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为{b n }，{b n }的前n 项和记为n T ，则下列说法正确的有（ ）A ．101022S =B ．12n n n a S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和21122n a +−− C ．5766b =D ．574150T =三、填空题（共3小题）12．在数列{}n a 中，11a =且1n n a a n +=，当20n ≥时，1231112n n na a a a a λ+++⋅⋅⋅+≤+−，则实数λ的取值范围为__________．13．已知数列{}n a 满足111,21n n a a a n +=+=+，则其前9项和9S =__________，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项的和为__________． 14．函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=−=−⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =__________．四、解答题（共5小题）15．已知数列{}n a ，{}n b 中，14a =，12b =−，{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n n a b +是公比为2的等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式． （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 16．已知数列{}n a 满足122n n a a n +−=+． （1）证明：数列{}2n a n −是等差数列．（2）若12a =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．17．已知数列{}n a 是递增的等差数列，它的前三项和为9，前三项的积为15. （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）记b n =1(an+1)2，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且{}n b 的前n 项和为n S ，1122a b ==，()5435a a a =−，在①()5434b b b =−，②12n n b S +=+这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．19．已知2()cos 2x f x a x =+．（1）若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求a 的取值范围．（2）证明：()2*11112111tan1212tan 3tantan 23n nn n n n−++++>∈+N ． 参考答案12．(],1−∞13．45，4048202514．202515．（1）23nn b n =−− （2）n T 217222n n n+−−− 16．（1）通过构造()()22111n n a n a n +⎡⎤−+−−=⎣⎦证明即可 （2）1n nS n =+. 17．（1）21n a n =− （2）先求数列{}n b 的通项，放缩后再裂项求和即可证明。

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。

数列求和专题一.公式法（已知数列是等差或等比数列可以直接使用等差或等比的求和公式求和） 二.分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求.例1：求数列11111246248162n n ++L ，，，，，…的前n 项和n S ．- 23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++⎛⎫=+++++++++=++- ⎪⎝⎭L L ．例2： 求数列5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n解： 因为55…5=)110(95-n 所以 S n =5+55+555+...+55 (5)=[])110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n 110)110(1095 =815095108150--⨯n n 练习：、求数列11111,2,3,4,392781L 的前n 项和。

解：211223nn n ++-⋅三．错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例： 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………（0x ≠）解： 当x=1时，23121315171(21)1135(21)n n S n n n -=+∙+∙+∙+⋅⋅⋅+-∙=++++-=当x ≠1时， 132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………. ① ①式两边同乘以x 得n xS = 231135(23)(21)n n x x x n x n x -+++⋅⋅⋅+-+-………② （设制错位）①－②得 n n n x n xx x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+n练习： 1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 1224-+-=n n n S2. 已知数列.}{,)109()1(n n nn S n a n a 项和的前求⨯+=四．裂项相消法 常见的拆项公式有：1()n n k =+111()k n n k -+=1k，1(21)(21)n n =-+111()22121n n --+，等. 例1：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S. 解：∵)2(1+n n =211(21+-n n ）S n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-)211()4121()311(21n n =)2111211(21+-+--n n =42122143+-+-n n 例2：设9)(2+=x x f ,（1）若;),2(),(,111n n n u n u f u u 求≥==-（2）若;}{,,3,2,1,11n n k k k S n a k u u a 项和的前求数列 =+=+解：（1）}{),2(9122121n n nu n u u u ∴⎩⎨⎧≥+==- 是公差为9的等差数列，,89,0,892-=∴>-=∴n u u n u n n n（2）),8919(9119891--+=++-=k k k k a k);119(91)]8919()1019()110[(91-+=--+++-+-=∴n n n S n练习： 1、 求数列2112+，2124+，2136+，2148+，…的前n 项和n S .2、求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.五．倒序相加法这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.例1：求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5例2： 求222222222222123101102938101++++++++的和． 解：设222222222222123101102938101S =++++++++ 则222222222222109811012938101S =++++++++．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=，．练习：设221)(xx x f +=，求：⑴)4()3()2()()()(111f f f f f f +++++； ⑵).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ 【解题思路】观察)(x f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1的特点，发现1)1()(=+xf x f 六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .例6： 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ cos(180)cos n n -=- （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0练习：已知：n S n n ⋅-++-+-+-=+1)1(654321 .求n S .（⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=)(2)(21为正偶数为正奇数n n n n S n ）。

数列求和例题精讲1． 公式法求和（1）等差数列前n 项和公式 d n n na a a n a a n S k n k n n 2)1(2)(2)(111-+=+=+=-+ （2）等比数列前n 项和公式 1=q 时 1na S n =1≠q 时 qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11（3）前n 个正整数的和 2)1(321+=++++n n n Λ 前n 个正整数的平方和 6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ前n 个正整数的立方和 23333]2)1([321+=++++n n n Λ公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n 的值；（2）等比数列公比q 未知时，运用前n 项和公式要分类。

例1．求数列13741+n ，，，，Λ的所有项的和例2．求和221-++++n x x x Λ(0,2≠≥x n )2．分组法求和例3．求数列1，21+，321++，…，n ++++Λ321的所有项的和。

例4．已知数列{}n a 中，⎪⎩⎪⎨⎧+=)()2()(15为偶数为奇数n n n a nn ，求m S 2。

3．并项法求和例5．数列{}n a 中， 21)1(n a n n +-=，求100S 。

例6．数列{}n a 中，，n a n n 4)1(-=，求20S 及35S 。

4．错位相减法求和{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -例7．求和12321-++++n nx x x Λ（0≠x ）。

5．裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

例8．求和)12)(12(1751531311+-++⨯+⨯+⨯n n Λ。

例9．求和nn +++++++++11321231121Λ。

［练习］ 求和：…………111211231123+++++++++++n （…………，）a S n n n ===-+2116 . 倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

专题14 数列求和综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（ ） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．404120223．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为（ ） A ．2100－101 B ．299－101C ．2100－99D ．299－994．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n N ∈.则使得20T 的值为（ ） A ．1939B ．2041C ．3839D ．40415．已知数列{a n }满足：a n +1=a n -a n -1（n ≥2，n ∈N *），a 1=1，a 2=2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2021=（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．正项数列{}n a 满足11a =，211(2)30(1,)nn n n a a a a n n N ---+--=>∈，则133520192021111a a a a a a +++=（ ）A ．12003534B ．10106061C ．12202021D ．202054617．化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+的结果是（ ）A ．122n n ++-B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--8．已知数列{}n a 中，*111,34(,2)n n a a a n N n -==+∈≥，求数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．13232n n n S +--=B ．13232n n n S ++-=C ．13432n n n S +--=D ．1332n n S +-=9．等比数列{}n a 中，12a =，2q ，数列()()111nn n n a b a a +=--，{}n b的前n 项和为n T ，则10T 的值为（ ） A ．40944095B ．20462047C ．10221023D ．51051110．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得2041n T <成立的n 的最大值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20第II 卷（非选择题）二、填空题11．数列{}n a 是首项和公差都为1的等差数列，其前n 项和为n S ，若n T 是数列12n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则99T =______12．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.13．已知数列{}n a 满足()*2n n a a n n N ++=∈，则{}n a 的前20项和20S =________．14．已知正项数列{}n a 满足11a =，2+11(2)30,(2,)n n n n a a a a n n N ---+--=≥∈，则122320002021111a a a a a a +++=___________.15．设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +=++，*n ∈N ，12a =，则数列{}(1)nn a -的前50项和是________．16．设4()42xx f x =+，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且341,1S S ==-，且()*32n n a a n N +=∈，则2017S =___________.18．在数列{}n a 中，12a =，且1n 1n 2(2)n n n a a n a a --+=+≥-，则数列21242n n a a ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前2021项和为__________.19．已知数列1111,,,121231234++++++，……，则该数列的前10项和为__________．20．已知数列{}n a 满足11a =且()1231111123n n a a a a a n N n*+++++=-∈，数列{}2n n a 的前n 项为n S ，则不等式30n n S a ≥最小整数解为________.三、解答题21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点()1,n n S S +在直线()11n y x n n N n*+=++∈上. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若数列{}n b 满足122n a n b n -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，公差10,5d a ≠=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.23．在等差数列{}n a 中，2414a a +=，135736a a a a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21n n b a =-，求数列{}2n n b b +的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 满足316a =，121nn n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 在（①1n n n b a a +=；②()1nnnb a =-；③113nan n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =.数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1231111++++≥nb b b b26．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．27．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <．28．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．30．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1122,,,n n n a a a a ++=-成等差数列．等差数列{n b }满足121b a =+，523233b b a -=-．（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式;（2）设数列1(21)n n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为Tn ，证明： 16n T <任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（ ）A ．32B ．43C ．34D ．352．数列{}n a 满足143a =，()2*11n n n a a a n N +-=-∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202112S << B ．202123S << C ．202134S << D ．202145S <<3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．124．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()112n n n na S S +-=，则2021S =（ ） A ．1009132+ B ．1009132- C ．1010132+D ．1010132-5．数列{}n a 是正项等比数列，满足14+=nn n a a ，则数列2211log log n n a a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．421nn + B ．421nn - C ．21nn + D ．21nn -6．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510087．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭8．已知函数4()42xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为（ ）A ．20192B ．1010C ．20212D ．10119．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且112a =，1112122n n n n S S +++-=-．若2log n nb T =-，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 为（ ） A ．21nn + B ．2n n + C ．12nn + D ．132n +10．数列{}n b 满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则{}n b 的前n 项和为（ ） A ．1212n n ++- B ．1112n n ++- C ．222nn +-D ．13322n n ++-11．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥ B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>12．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N +=-+∈，设12111n n S a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．213．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（ ） A ．20192020- B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.若21(1)2n n nn b S +=-，则数列{}n b 的前2021项和为___________.16．已知数列{}n a 的各项均为正数，13a =，()2*116n n n na a a n a ++=+∈N ，()()1211n n n n ab a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n S λμ<<对任意正整数n 都成立，则λμ-的取值范围是___________.17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n nS S n +=+，其中*n N ∈，数列{}n S 的前n 项和为n T ，则20T =___________.18．已知正项数列{}n a 满足12a =且221120n n n n a a a a ++--=，令()2527n n b n a =+-，则数列{}n b 的前7项的和等于___________.19．已知21n a n =+，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*n N ∈，11n n a T t +≤，则实数t 的最大值是________.20．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.21．用()T n 表示正整数n 所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则()99T =，10的因数有1，2，5，10，则()105T =．计算()2021(1)(2)(3)21T T T T ++++-=________．22．已知数列{}n a 满足()232113521n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+-，则n a =___________；若1n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n S =___________.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．若()1nn n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20n T ≤的n 的最大值为________．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．26．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q，令1,,n n nn a c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n c 的前n 项和2n S =___________.27．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n *>=+∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，则6T =________．三、解答题28．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()21n n S n a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()11611n n n n n c a a ++-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .29．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()()()*1112n n n n nS n S n ++=++∈N .（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足112b =，()*12n n n n b b b n a +=+∈N .设数列{}n c 满足2n n n b c S +=，证明：1212n c c c ++⋅⋅⋅+<.30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，28b =，1334b b -=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）在①420S =，②332S a =，③3423a a b -=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知14a b =，___________，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和1516k T >？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）31．在①39S =，520S =；②公差为2，且1S ，2S ，4S 成等比数列；③238n S n n =+；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前项和为n S ，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．32．在∈21,323;n n n a n b T =-=+∈222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{}n a 前n 项和是,n S 数列{}n b 的前n 项和是n T ，__________． （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）设,nn na cb =证明：123 1.nc c c c ++++<33．在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．34．已知数列{}n a 中，11a =，131n n a a +=+.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()1312n n n n n b a +=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式(1)2nn n n T λ-<+对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.35．已知{}n a 为等比数列，124a a +=，记数列{}n b 满足31log n n b a +=，且11n n b b +-=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设(1)()n bn n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项的和n S .36．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2144n n a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令124n n n n b a a a ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：4110515n T ≤<.37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，且*1)n a n N +∈ （1）求n S ； （2）设()*24n n n nb n N S S +=∈⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：32n T <.38．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3117,143a S ==． （1）求{}n a 的通项公式以及n S ； （2）求使不等式121112542n S S S +++≥成立的最小值n ．39．设数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +-=（n *∈N ）. （1）求出{}n a 通项公式；（2）若()11,?2,? n n n n n b n n a +⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .40．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,1n n a S a +=-=-. （1）求{}n a 通项公式；（2）对任意的正整数n ，设 212321221,log log log 2,n n n n n n k k N a a c a n k k N a +++++⎧=-∈⎪⋅⎪=⎨⎪=∈⎪⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（ ） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-2．已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和2234n n n a a S +-=，数列{}n b 满足()1111n n n n n b a a +++=-，其前n 项和为n T ，若2n T nλ>对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．4,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．4,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞4．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()x x x 0,n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列n 1a 2n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有( ) （1）3a 4=（2）190是数列{}n a 中的项 （3）105S 6=（4）当n 7=时，n a 21n+取最小值 A ．1个B ．2个C ．3个D ．45．设数列{}n a 的前n 项积()1n n T a n *=-∈N ，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求1n n S a +-的取值范围是（ ）．A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．51,123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（ ）A．B ．4C．D ．20187．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．49508．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．2019D ．20209．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是 A ．1(,) 4+∞B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列，设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20181S +等于A ．2018B ．2019C ．20182D ．2019211．已知1x =是函数3212()1n n n f x a x a x a x ++=--+()*n ∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，记21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a a a +=+，若1212[]100111nn a a aa a a +++=+++，则整数n = A ．99 B ．100 C ．101 D ．102第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q ，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =___________.14．各项均为正数的等比数列{}n a ，满足234lg lg lg a a a +=，且2a ，31a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-的前n 项和2n S n =，则n b =______.15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a ，2a ，5a 成等比数列，253S a =，数列{}n b 满足()()11211n n n n n a b a a +++=-，前n 项和为n T ，则510T T +=_________.16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为______________17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________．18．已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.19．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+()N n +∈，则122019111m a a a =++⋯+的整数部分是___________.20．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P n P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x=++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________.21．已知正项数列{}n a 满足()()22112120n n n n n a n a a na +++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．22．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.23．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n nS a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____.24．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，318a a -=，当4a 取最小值时，则数列2{}n na 的前n 项和为__________．三、解答题25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和*1,N 2n n n S b n +=∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,21(N ),2(N )n n nb n k kc a n k k **⎧=-∈=⎨=∈⎩，求数列{}n c 的前n 项和n P .26．已知数列{}n a 是正项．．等差数列，11a =，且12a a ≠.数列{}n b满足)n b n +∈N ，数列{}n b 前n 项和记为n S ，且()111124n n n S S n b +++⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N .（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n c 满足11n n nc a a +=⋅，其前n 项和记为n T ，试比较n S 与n T 的大小.27．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+ b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N =∈122n c c c <+++<.28．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （3）设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．29．已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）证明：2222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+.30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2(21)2n n S n a n n N =+-∈，数列{}n b 满足11b a =，1n n n nb a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足：14c =，()*1n n n n a c c n N b +=-∈，若不等式()*392n n n c n N λ++≥∈恒成立，求实数λ的取值范围.。

2)1(+n n 1. 求数列1357,,,,24816⋅⋅⋅,212n n -的前n 项和.2 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 3. 求数列a,2a 2,3a 3,4a 4,…,na n , …(a 为常数)的前n 项和。

4. 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++5. 求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S 6. 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.7. 求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n8. 已知数列{}n a 是等差数列，且1171713951=+-+-a a a a a ，求153a a +的值.9. 已知数列{}n a 的通项公式为n n a n ++=11求它的前n 项的和. 10. 在数列{}n a 中，).2(122,121≥-==n S S a a n n 证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n s 1是等差数列，并求出S n 的表达式.答案：1. 设135724816n S =++++⋅⋅⋅212n n -+则113524816n S =+++⋅⋅⋅1232122n n n n +--++ 两式相减得11222(224816n S =++++⋅⋅⋅1221)22n n n +-+-1111(2248=++++⋅⋅⋅11121)22n n n -+-+- 111112212112212n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=+--113121222n n n -+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴2332n n n S +=-. 2. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 3. 解：若a=0, 则S n =0若a=1,则S n =1+2+3+…+n= 若a ≠0且a ≠1则S n =a+2a 2+3a 3+4a 4+…+ na n ∴aS n = a 2+2 a 3+3 a 4+…+na n+1)1(2)1(=+a n n ∴(1-a) S n =a+ a 2+ a 3+…+a n - na n+1 =∴S n =当a=0时，此式也成立。