山东省济宁市高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A版

考点07三角恒等变换与解三角形一、选择题1．化简2cos 24sin tan 44αππαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．cos αB ．sin αC ．1D ．122．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．123．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13CD4．在ABC中，c =，45B =︒，60C =︒，则b =（）A．2B．2C ．322D5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定二、填空题6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则sin sin sin a b cA B C++++=_______.7．已知sincos 223θθ+=，则sin θ=_____.8．若tan 2α=，则sin 2α=.三、解答题9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且32,cos 5a B ==.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．一、选择题11．下列命题中，不正确的是（）A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a =3,b =则ABC S ∆等于（）A ．2B ．3C ．32D ．2二、填空题13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝________.三、解答题15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4ADC AB BD π∠===（1）求AD 和sin B ；（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .考点07三角恒等变换与解三角形一、选择题1．化简2cos 24sin tan 44αππαα=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．cos αB ．sin αC ．1D ．12【答案】D【解析】化简分母得，24sin tan 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 21tan 2=421tan cos sin 2(1sin 2)cos sin 2cos sin 2cos 2πααααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭⋅⋅+-=+⋅+=-=.故原式等于12.故选D ．2．已知tan()3αβ-=，tan 2β=，则tan α的值为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】A【解析】因为()()()tan +tan tan =tan +1-tan tan αββααββαββ-⎡⎤-=⎣⎦-，又tan()3αβ-=，tan 2β=，故5tan -116α==-.故选A.3．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（）A ．37B ．13CD【答案】D【解析】∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c =，故选D ．4．在ABC 中，c =，45B =︒，60C =︒，则b =（）A ．2B ．2C ．322D 【答案】D【解析】在ABC 中，c =，45B =︒，60C =︒由余弦定理有：sin sin c b C B =,即sin sin 45sin sin 60c B b C ⋅︒===︒故选D5．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．不确定【答案】C【解析】在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以24962c c =+-⋅，即250c -+=，解得3372c =或3372c =，所以ABC ∆解的个数是2.故选C二、填空题6．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，且3b =，则sin sin sin a b cA B C++++=_______.【答案】【解析】因为,,A B C 成等差数列且A B C π++=，所以3B π=即3B π=，所以外接圆的直径3223sin 32b R B ===，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得223sin sin sin a b cR A B C ++==++，故填23.7．已知23sincos 223θθ+=，则sin θ=_____.【答案】13【解析】由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=.故填138．若tan 2α=，则sin 2α=.【答案】45【解析】sin 2α.故填45三、解答题9．已知ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且32,cos 5a B ==.（1）若4b =,求sin A 的值;（2）若4ABC S ∆=,求b ,c 的值.【解析】（1）∵3cos 05B =>,且0B π<<，∴24sin 1cos 5B B =-=，由正弦定理得sin sin a b A B=，∴42sin 25sin 45a BA b⨯===；（2）∵1sin 42ABC S ac B ∆==，∴142c 425⨯⨯⨯=，∴5c =，由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =10．在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状．【解析】（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，0120A =；（2）由（1）得：001sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22B C B B B B B +=+-=+=+故当030B =时，sin sin B C +取得最大值1，此时三角形为等腰三角形.一、选择题11．下列命题中，不正确的是（）A ．在ABC ∆中，若AB >，则sin sin A B >B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若60B =︒，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形D ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰三角形【答案】D【解析】A ：在ABC ∆中，因为A B >，所以a b >，由正弦定理可知：sin sin A B >，故本命题是正B ：因为ABC ∆是锐角三角形，所以02C <<π，由三角形内角和定理可知；02A B ππ<--<，即有22A B A B ππ+>⇒>-，因为ABC ∆是锐角三角形，所以,A B 为锐角，因此可得：sin sin()cos 2A B B π>-=，故本命题是正确的；C ：由余弦定理可知；2222cos b a c ac B =+-⋅，又因为60B =︒，2b ac =，所以有：2222220()0ac a c ac a c ac a c a c =+-⇒+-=⇒-=⇒=，因此ABC ∆是等腰三角形，而60B =︒，所以ABC ∆是等边三角形，故本命题是正确的；D ：由正弦定理可知；sin sin a b A B=，而cos cos a A b B =，所以有11sin cos sin cos sin 2sin 2sin 2sin 222A AB B A B A B =⇒=⇒=，,(0,)2,2(0,2)A B A B ππ∈∴∈ ，于是有22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，所以ABC ∆是等腰三角形或直角三角形，因此本命题不正确.故选D.12．在ABC 中角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若2A+C =B ，1,a=b =则ABC S ∆等于（）ABC ．32D ．2【答案】C【解析】∵A +C ＝2B ，A +B +C ＝180°，∴B ＝60°，∵a ＝1，b＝，sin B＝2，∴由正弦定理sin a A ＝sin b B 得：sin A ＝asin B b1＝12，∵a ＜b ，∴A ＜B ＝60°，∴A ＝30°，即C ＝90°，则sin C ＝1．所以11=sin 11=222ABC S ab C ∆=⨯二、填空题13．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A =15°，∠CBD =75°，AB =1km ，△BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD =BCcos 15°=001sin 302sin 60=36km ．故填6．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝________.【答案】512π【解析】由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=，所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =，因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2B BC C =，因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==，因为cos02B≠，所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=，即3B π=，53412C ππππ∴=--=.故填512π.三、解答题15．如图，点D 在ABC ∆的边BC 上，,5, 1.4ADC AB BD π∠===（1）求AD 和sin B ；（2）若(1tan )(1tan )2++=B C ，求sin C .【解析】（1）344ADB πππ∠=-=，设AD x =，在ABD ∆中，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，即22512(2x x =+-⨯-，解得22x =-2x =，2AD ∴=.在ABD ∆中，22sin 52sin 55AD ADB B AB∠===.故AD =，sin 5B =.（2）由(1tan )(1tan )2++=B C 得tan tan 1tan tan C B C B +=-，tan tan tan()11tan tan C BC B C B++==-∵,B C 是三角形内角，∴(0,)B C π+∈，4B C π∴+=由（1）知sin 5B =，(0,2B π∈ ，25cos 5B ∴===，210sin sin()sin cos cos sin (cos sin )444210C B B B B B πππ=-=-=-=．。

Word File山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-简单三角恒等变换含答案解析撰写人：XXX第 2 课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简 1.化简tanα＋1tan π4 ＋α2＝( ) A.cosα B．sinα C.1cosα D.1sinα 答案 C 解析原式＝2tan α21－tan 2 α2＋1－tan α21＋tan α2 ＝2tan α2 ＋1－tan α221－ta n 2 α2＝1＋tan 2 α21－tan 2 α2 ＝cos 2 α2 ＋sin2 α2cos 2 α2 －sin2 α2＝1co sα . 2.化简：1＋sinθ＋cosθsin θ2 －cosθ22＋2cosθ(00，∴ 2＋2cosθ＝4cos 2 θ2 ＝2cosθ2 . 又(1＋sinθ＋cosθ) sin θ2 －cosθ2 ＝2sin θ2 cosθ2 ＋2cos2 θ2 sin θ2 －cosθ2 ＝2cos θ2sin 2 θ2 －cos2 θ2＝－2cos θ2 cosθ，故原式＝－2cos θ2 cosθ2cos θ2＝－cosθ. 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次. 1. 2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果为________．答案－2sin4 解析原式＝ 4cos 2 4＋2 sin4－cos4 2 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为5π40，θ∈ 0，π2，所以 02)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈－π2 ，π2，则α＋β＝________. 答案－3π4 解析由根与系数的关系且 a>2 得，tanα＋tanβ＝－3a0.所以tanα0)在区间－π4 ，3π4上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω 的取值范围是( ) A.12 ，23 B. 13 ，23 C.13 ，23 D. 12 ，23 答案 D 解析 f(x)＝2sinωx ·1－cos ωx＋π22－sin 2 ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin 2 ωx＝sinωx. 所以区间－π2ω ，π2ω(ω>0)是函数 f(x)含原点的递增区间．又因为函数 f(x)在－π4 ，3π4上单调递增，所以－π4 ，3π4⊆－π2ω ，π2ω，所以－π2ω ≤－π4 ，π2ω ≥3π4，又ω>0，所以 00)个单位长度，平移后的图象关于 y 轴对称，则 a 的值可能为( ) A. π6 B. π3 C. π2 D. 2π3 答案 B 解析 f(x)＝2 3sinx·cosx－2cos 2 x＋1＝3sin2x－cos2x＝2sin 2x－π6.将其图象向左平移 a 个单位长度，所得图象对应的解析式为 y＝2sin 2x＋a－π6＝2sin 2x＋2a－π6，因为平移后的图象关于 y 轴对称，所以2a－π6 ＝kπ＋π2 ，k∈Z.即a＝kπ2＋π3 ，k∈Z.当 k＝0 时，a＝π3 . 2.(2020·石家庄模拟)设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) ω>0，|φ|b>c B．b>a>c C.c>a>b D．a>c>b 答案 D 解析 a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝si n13°. b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°.c＝1－tan 2 39°1＋tan2 39°＝1－sin2 39°cos 2 39°1＋sin2 39°cos 2 39°＝cos 2 39°－sin 2 39°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数．所以sin13°>sin12°>sin11°，即a>c>b. 2.化简cos 2 x－π12＋sin 2 x＋π12＝( ) A.1＋ 12 cos2x B．1＋ 12 sin2x C.1＋cos2x D．1＋sin2x答案 B 解析原式＝1＋cos 2x－π62＋1－cos 2x＋π62＝1＋ 12cos 2x －π6－cos 2x＋π6＝1＋12 ·2sin2xsinπ6 ＝1＋12 sin2x. 3.(2020·湖北重点中学联考)已知 A(x A ，y A )是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任意一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转30°到 OB，交单位圆于点 B(x B ，y B )，则 x A －y B 的最大值为( ) A. 2 B.32 C．1 D. 12 答案 C 解析设 x 轴正方向逆时针转到射线 OA 的角为α，根据三角函数定义 x A ＝cosα，y B ＝sin(α＋30°)，所以 x A －y B ＝cosα－sin(α＋30°)＝－32sinα＋12 cosα＝sin(α＋150°)，故其最大值为 1.故选 C. 4.(2020·济南一模)公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°.若 m 2 ＋n＝4，则m n2cos 2 27°－1 ＝( ) A.8 B．4 C．2 D．1 答案 C 解析由题意得 n ＝4－m 2 ＝4－4sin 2 18°＝4cos 2 18°，则m n2cos 2 27°－1 ＝2sin18° 4cos 2 18°cos54°＝2sin18°×2cos18°cos54°＝2sin36°sin36° ＝2，故选 C. 5.已知α 为第四象限角，sinα＋cosα＝ 15 ，则tanα2 的值为( ) A.－ 12 B. 12C．－ 13 D. 13 答案 C 解析将sinα＋cosα＝ 15 的等号两边同时平方，得 1＋2sinαcosα＝125 ，得2sinαcosα＝－2425 ，所以(sinα－cosα)2 ＝1－2sinαcosα＝ 4925 .因为α 为第四象限角，所以sinα0，所以sinα－cosα＝－ 75 ，结合sinα＋cosα＝15 ，解得sinα＝－35 ，cosα＝ 45 .所以 tanα2 ＝sin α2cos α2＝2sin α2 cosα22cos 2 α2＝sinα1＋cosα ＝－13 .故选C. 6.(2021·福州外国语学校适应性考试)已知 A，B 均为钝角，sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝5－ 1510，且 sinB ＝1010，则 A＋B＝( ) A. 3π4 B.5π4 C. 7π4 D. 7π6 答案 C 解析因为 sin 2 A2 ＋cos A＋π3＝ 1－cosA2＋ 12 cosA－32sinA＝ 12 －32sinA＝5－ 1510，所以 sinA＝55，因为 A，B 均为钝角，所以 A＋B∈(π，2π)，由 sinA＝55得 cosA ＝－ 2 55，由 sinB＝1010得 cosB＝－ 3 1010，所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝22，所以 A＋B＝7π4. 7.(2020·洛阳三模)函数 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2x·sinπ4的单调递减区间是( ) A. kπ＋π8 ，kπ＋5π8，k∈ZB. kπ＋π8 ，kπ＋3π8，k∈ZC. kπ－π8 ，kπ＋3π8，k∈ZD.kπ＋3π8，kπ＋5π8，k∈Z 答案 B 解析 y＝log 12sin2xcos π4 －cos2xsinπ4 ＝log 12 sin2x－π4.令 t＝sin 2x－π4，则 y ＝log 12 t.因为 y＝log12 t 在(0，＋∞)上是减函数，所以要求函数 y＝log 12 sin 2x－π4的单调递减区间，只要求出 t＝sin 2x－π4的单调递增区间，同时注意 t＝sin 2x－π4>0.由2kπ0，∴2sinα＝3cosα，又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴cosα＝213 ，sinα＝313 ，∴sin α＋π4sin2α＋cos2α＋1 ＝22sinα＋cosαsinα＋cosα 2 ＋cos 2 α－sin 2 α＝24cosα ＝268. 5.设函数 f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)设函数 g(x)对任意x∈R，有 g x＋π2＝g(x)，且当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)．求函数 g(x)在[－π，0]上的解析式．解 (1)函数f(x)＝22cos 2x＋π4＋sin 2 x ＝22 cos2xcos π4 －sin2xsinπ4＋sin 2 x ＝ 12 cos2x －12 sin2x＋12 －12 cos2x＝12 －12 sin2x，所以函数 f(x)的最小正周期 T＝2π2＝π. (2)当x∈ 0，π2时，g(x)＝ 12 －f(x)，即 g(x)＝ 12 －12 －12 sin2x ＝12 sin2x. 当x∈ －π2 ，0 时，x＋π2 ∈ 0，π2，因为 g x＋π2＝g(x)，所以 g(x)＝g x＋π2＝ 12 sin 2 x＋π2 ＝－ 12 sin2x. 当x∈ －π，－π2时，x＋π∈ 0，π2，可得 g(x)＝g(x＋π)＝ 12 sin[2(x＋π)]＝12 sin2x. 所以函数 g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝－ 12 sin2x －π2 <x≤0 ，12 sin2x －π≤x≤－π2.山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-直接证明与间接证明含答案解析中考化学《第十一单元,盐,化肥》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第一单元,走进化学世界》巩固复习题精编（含详细答案解析）中考化学《第三单元,物质构成奥秘》巩固复习题精编（含详细答案解析）最新人教版三年级数学上册第一学期期末总复习教案教学设计全册Best work give best you最好的资料给最好的你。

2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

三角恒等变换1、已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，(1)求tan 2α的值； (2)求β.解 (1)∵cos α＝17，0<α<π2，∴sin α＝437，∴tan α＝43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－48＝－8347. (2)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，∴sin(α－β)＝3314，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝co s αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.2、已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4· cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4. ∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，∴0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 3、已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.4、设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172505、已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为________．解析 ∵cos α＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝223，∴sin 2α＝429，cos 2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.答案23276．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果等于( )． A.12 B.33 C.22 D.32解析 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18° ＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝12.答案 A 7.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝13，则cos(π＋2α)的值为( )．A ．－79 B.79 C.29 D ．－23解析 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝13.所以cos(π＋2α)＝－cos 2α＝－(2cos 2α－1)＝1－2cos 2α＝79.答案 B8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x ＝( )．A.1825B.725 C ．－725 D ．－1625 解析 因为sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，所以sin 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝1825－1＝－725.答案 C9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( )． A ．7 B.17 C ．－17D ．－7解析 因α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，所以sin α＜0，即sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17. 答案 B10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )． A.255 B ．－3510 C ．－255 D ．－31010解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3，因为π2＜α＜π，所以解得cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255.答案 C11．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________.解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 答案 ± 312、已知cos 4 α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.解析 ∵cos 4α－sin 4 α＝(sin 2 α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2 α)＝23，∴cos 2α＝23，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)， ∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 答案2－15613．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，求f (2α)的值．解 (1)f (x )＝12cos x ＋32sin x －cos x＝32sin x －12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.∴f (x )的最小正周期为2π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin α＝35，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，∴f (2α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝32sin 2α－12cos 2α ＝32×2425－12×725＝243－750. 14．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6的值．(2)设α∈(0，π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝14－32，求sin α的值．解 f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫25π6＝－32＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫25π3＋π3＝0.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14－32，∴0＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14＜12，又∵α∈()0，π，∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3.∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－154，∴sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝14×12＋154×32＝1＋358. 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )．A.1318B.1322C.322D.16解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.答案 C15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足t an (α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是( )． A.14 B.34 C.34 2 D.32解析 由tan(α＋β)＝4tan β，得tan α＋tan β1－tan αtan β＝4tan β，解得tan α＝3tan β1＋4tan 2β，因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan β＞0.所以tan α＝31tan β＋4tan β≤321tan β·4tan β＝34，当且仅当1tan β＝4tan β，即tan 2β＝14，tan β＝12时取等号， 所以tan α的最大值是34. 答案 B16.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，则tan 2α＝________.解析 由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝3cos α，即32sin α＝52cos α，所以tanα＝533， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×5331－⎝ ⎛⎭⎪⎫5332＝－5311. 答案 －5311。

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sinα2＝±1－cos α2.(2)cos α2＝±1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos 22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈【分析】由题得原式=sin15cos75cos15sin 75︒︒+︒︒，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=sin15cos 75cos15sin 75=sin(1575)sin 901︒︒+︒︒+== .故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取=2πα，排除A,B ；再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()=]44cos sin 2sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=+++=+（（）（（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =sin cos =044422πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 12θθθ+=，则：3sin cos 12θθ=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin 663ππθθ+=，即sin63πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A.【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】8748135︒+︒=︒，令87,48αβ=︒=︒，则()tan tan tan tan13511tan tan αβαβαβ++=︒==--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+-=-，即tan87tan 48tan87tan 481︒+︒-︒︒=-.故选：A.【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin α的方程，解之即可求得sin α的值.【详解】2π1sin sin sin sin cos 322ααααα⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2αα=，π1sin sin 32ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又2ππsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11sin cos cos sin 22αααα-，则sin 0α=故选：A【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得11tan +12tan 3141tan 12πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.故答案为：3【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβαβαβαβ++=+++=++-+π1tan (1tan tan )tan tan 24αβαβ=+-+=，故答案为：2【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==.故选：D.【答案】3【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知πsin 43α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22ππ2cos 12sin 122243αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2sin 3α=-，所以2221cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．22179cos42cos 2121981αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=，cos 1010αα⎫-=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 210k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=，又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin 10α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45.【答案】5-3【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31, 53 -【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos12sin2αα=-，而α为锐角，解得：sin2α===故选：D．【分析】根据同角三角函数关系求得cosθ，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为37πsin,3π52θθ=-<<，故可得4cos5θ==-，又23sin sin cos sin5222tan3121coscos cos225θθθθθθθθ-=====-+.【分析】根据诱导公式求出cosθ，再利用平方关系可求sinθ，然后利用公式1cos sintan2sin1cosθθθθθ-==+即可求解.【详解】解：因为1cos()3πθ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin 3θ=，所以1cos tan 2sin θθθ-=故选：B ．【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化成正余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，代入即可求解．【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+.故选：C.A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan2sin θθθ-=【分析】根据直角三角形中的定义写出sin ,cos θθ，用θ表示出BCH ∠，然后分析可得．【详解】由已知COB θ∠=，则π22CBO θ∠=-，2BCH θ∠=，又tan2BH CH θ=，sin CH OC θ=，cos OHOCθ=，BH OH OB OC +==，因此11cos tan sin OHBH OC CH CH OCθθθ--===，故选：C ．【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()0322f A =-=，∴1A =∴π()sin 2sin()3f x x x x ==-ππππ()2sin(2sin 121234f =-=-=故答案为：1，【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos sin cos 33232334x x x x x f x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ．【答案】2（2,2k k Z π+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.【答案】6-（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数ϕ的一个取值即可.【详解】()sin cos()f x x x ϕ=++可化为()sin cos cos sin sin f x x x x ϕϕ=+-，所以()()sin 1sin cos cos f x x x ϕϕ=-+，设a ==则1sin cos ()sin cos f x a xx a a ϕϕ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设1sin cos cos ,sin a aϕϕθθ-==，则()()sin f x a x θ=+，因为函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为所以=1sin 2ϕ=-，所以π2π6k ϕ=-或5ππ26k ϕ=-，其中Z k ∈，故答案为：π6-（答案不唯一）.2【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出()f x 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32+.故答案为:32.【答案】2/0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin52si 5s 2n82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒D 选项错误.故选：D【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到224sin sin cos cos 22αβαβ=，再由余弦的倍角公式，得到22224sin sin (12sin )(12sin )2222αβαβ=--，令22sin ,sin 22x y αβ==，求得12x y +=，结合22cos cos 12sin 12sin 22αβαβ+=-+-，即可求解.【详解】解：由tan tan tan tan122αβαβ⋅⋅⋅=，可得sin sin sinsincos cos coscos2222αβαβαβαβ=，又由正弦的倍角公式，可得224sin cossin coscos cos cos cos222222ααββαβαβ=，即22224sinsin cos cos (12sin 2sin )2222αβαβαβ==--，令22sin,sin 22x y αβ==，则4(12)(12)1224xy x y x y xy =--=--+，解得12x y +=，所以22cos cos 12sin12sin 22()122x y αβαβ+=-+-=-+=.故选：C.【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】αQ 为第二象限角，π3π4sin ;cos 4545αα⎛⎫⎛⎫+=∴+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式)111πsin cos sin sin cos sin 2222224ααααααα⎛⎫=+--=-=- ⎪⎝⎭.πππ424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.【分析】利用两角和的正弦公式化简得到sin αα=利用辅助角公式得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而得解.【详解】因为πππ1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2π2π2π1sin sin cos cos sin sin cos 33322ααααα⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭，又π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin αα+=，所以1sin cos 222αα+=，即πsin 32α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以ππ5π336α<+<，所以π2π33α+=，所以π3α=，即tan α=.【分析】首先求出cos37︒()()4sin 53sin cos53cos 53sinsin 534545545︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为3sin 375︒≈，所以4cos 375︒=≈，sin 8cos532︒︒+=()()sin 53sin cos 53cos 53sin sin 4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-sin 5353sin cos53cos5353sin sin cos 45cos sin 4545cos 45sin sin 453455︒︒-︒︒︒︒︒︒+︒︒︒︒+=-cos 45cos sin 53cos 5345︒︒︒︒=()()4sin 9037cos37453cos 9037sin 3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选：B【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tan tan =tan 1tan()tan αββααββαββ+-+-=++⋅，又因为cos tan 1sin αβα=-，()1sin tan cos ααβα++=，所以(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos cos (1sin )cos 1sin tan 1sin cos cos (1sin )cos (1sin )1cos 1sin cos (1sin )ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-= ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【答案】4-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sincos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫== ⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故答案为：14-【基础过关】【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为πsin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π2ππcos 2cos 2cos 2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π312sin 12355α⎛⎫⎛⎫=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=，故选：D【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线210x y -+=的倾斜角为α，所以tan 2α=.所以222222222cos2cos sin 1tan 12311sin cos 2sin 12tan 12293αααααααα---====-=-++++⨯.故选：B.【分析】首先求出sin2α，即可得到2sin cos αα，再根据sin cos αα+=.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，sin 0α>，cos 0α>，又7cos29α=，所以sin29α==，即2sin cos 9αα=，所以sin cos αα+=13=+=.故选：C【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，因为3ππ2α<<，所以sin 0α≠，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，所以()sin cos αβα+=-.故选：B【分析】利用二倍角公式公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再根据两角差的正切公式计算可得.【详解】因为cos sin sin2cos sin 1cos2ααβααβ-=+-，所以2cos sin 2sin cos cos sin 112sin ααββααβ-=+-+，所以cos sin cos cos sin sin ααβααβ-=+，所以1tan 11tan tan ααβ-=+，即tan tan tan 1tan βαβα-=+，即1tan tan tan tan αβαβ--=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ--==-+.故选：C【分析】先根据二倍角公式化简条件得：()cos sin 0ααβ++=，再根据角的范围及诱导公式得()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可得7π2αβα+=-，化简求值即可.【详解】由()()sin21sin 1cos2cos 0αβαβ++-=，得()2sin21sin 2sin cos 0αβαβ++=，①化简①式，得()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，又3ππ2α<<，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，因为3π5π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，7π5π3π5π2π,,2222α⎛⎫⎛⎫-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，且sin y x =在3π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以7π2αβα+=-，所以7π22αβ+=，则7π24βα+=，所以tan 12βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：B ．【答案】5-/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，又222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα---==++，代入tan 3α=-得24sin 22cos 5αα-=-.故答案为：45-1010【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出2πsin(2)3α+，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为πtan(23α+=-，则222πππ2sin(cos()2tan()2ππ4333sin(2sin 2()πππ335sin ()cos ()tan ()1333αααααααα++++=+===-+++++，则π2π4cos(2)sin(2635αα+=+=-，即2π42cos ()1125α+-=-，解得πcos()1210α+=±，所以πcos()12α+的值为1010.故答案为：10-或10【能力提升】【分析】根据积化和差公式可得()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由()sin cos sin βαβα=+得()()1sin sin sin 122βαβααβα+--⎡⎤⎦=⎣++⎡⎤⎦⎣，进而()1sin sin 2sin 212βαββ=+-，则()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβαβαβ=+=+所以()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，则22222sin 22sin cos sin cos tan 1tan 3cos 24sin 2cos 2sin cos 2tan 13ααααααβαααααα=====-+++.故选：A.【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】πππππcos cos[()]sin(2cos 32666αααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan()26α∴+=，222πππ2sin()cos()2tan()πππ4666sin 22sin()cos(πππ3665sin ()cos ()tan (1666ααααααααα+++⎛⎫+=++=== ⎪⎝⎭+++++.故选：D【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 2422a =︒-︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C【分析】先根据1111tan 1tan αα-=-+求出tan α，再利用二倍角得正切公式求出πtan 8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan 1tan αα-=-+，得()21tan 1tan 1tan ααα+--=-，即2tan 2tan 10αα+-=，解得tan 1α=-又α为锐角，所以tan 1α=-又2π2tanππ8tan tan 21π481tan 8⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-，即2ππtan 2tan 1088+-=，解得πtan 18=-+πtan 18=-，所以π8α=，所以ππtan tan 184α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，22ππcos 2cos 2cos 155αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos 2cos cos 55αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2π2π2πcos cos sin sin 2cos cos 555ααα+=，得2πcos 05α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π2π9π,5510α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ52α+=，即π10α=.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin 0.10.1tan 0.1<<，再讨论,a b c b 与1的关系即可判断.【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x'+--=-=-==<，所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin 0.10.1tan 0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，所以0,0,0a b c >>>所以，sin0.22sin 0.1cos 0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos 0.1a b ===<⨯=，即a b <2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos 0.1c b ==>⨯=，即c b >所以，a b c <<故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b c b 与1的关系判断.【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b 与c ，a 与b ，利用中间值比较即可.【详解】记1()e ,(01)1xf x x x =-<<-，则22(1)e 1()(1)x x f x x '--=-，记2()(1)e 1x g x x =--，则2()(1)e x g x x '=-，又01x <<，所以2()(1)e 0x g x x '=-<，所以2()(1)e 1x g x x =--在(0,1)上单调递减，所以20()(0)(10)e 10g x g <=--=，则22(1)e 1()0(1)x x f x x --=<-'，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以0()(0)e 10f x f <=-=，故01x <<时，1e 01xx-<-，所以1515e 1415<=-，所以151e 14c =-<，又sin40sin80sin(6020)sin(6020)3120cos3055104b ︒+︒︒-︒+︒+︒==︒︒=>，所以14c b <<，记2(1)()ln ,(1)1x h x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=>+，所以2(1)()ln 1x h x x x -=-+在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h <=，即1x >时，2(1)ln 1x x x ->+，所以32(1)322ln 32512->=+，所以32lncos 202555a b =>>︒=，所以c b a <<.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.【分析】由tan α，tan β的符号即可判断A ；由正弦函数的单调性可判断B ；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C ；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为α，β为锐角，所以tan 0α>，tan 0β>，若tan α，tan β是方程2340x x --=的两根，由韦达定理得tan tan 40αβ⋅=-<，故A 错误；因为α，β为锐角且αβ>，函数sin y x =在π[0,2上单调递增，故B 正确；因为α，β为锐角，所以cos 0α>，cos 0β>，故221cos 1cos cossin ()cos cos 02222βαβααβ+--=-=+>，C 错误；因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅，又παβγ++=，所以tan()tan(π)tan αβγγ+=-=-，所以tan tan tan tan()(1tan tan )tan αβγαβαβγ++=+-⋅+tan (1tan tan )tan γαβγ=--⋅+tan tan tan αβγ=⋅⋅，故D 正确.故选：BD.【答案】2（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为2-，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++()()cos sin 1sin cos x x x ϕϕθ=++=+其中，1sin tan cos ϕθϕ+=2=，即22cos 1sin 2sin 4ϕϕϕ+++=，即22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，则π2π2k ϕ=+，k ∈Z .当0k =时，π2ϕ=，即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2.【答案】5-/0.8-【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知sin α===cos α===，由二倍角公式得4sin 22sin cos 5ααα==-.故答案为：45-.【真题感知】【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】()()11sin 20cos70sin10sin 50sin 90sin 50cos60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：sin15cos 30sin 75sin15cos 30cos15︒︒︒=︒︒︒11sin 30cos30sin 60248=︒︒=︒=.故选：B.【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将24sin 225α=化简得到249cos ()450πα-=，再进一步变形即可求解.【详解】224sin 2cos 22cos ()14425ππααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则249cos ()450πα-=解得cos 410πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，745πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭.故选：D【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：()442222sin cos sin cos 2sin cos y x x x x x x=+=+-()2112sin cos 2x x =-21sin 212x =-+11cos 4131cos 42244x x -=-⋅+=+，因为函数的最小正周期2ππ42T ==.故选：B.【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为()sin y A x ωϕ=+的形式，再由2πT ω=可得到答案．【详解】πππ4sin 33cos 35sin 3444y x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(其中3tan 4ϕ=)，2π3T ∴=．故选：C ．【分析】利用二倍角公式判断π(0,2α∈，即可得到sin cos 0αα+>，再由()2sin cos 12sin cos αααα+=+计算可得.【详解】解：由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,)2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以3sin co s αα+=或3sin cos αα+=-（舍去），所以sin co s αα+故选：A ．【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==PA ==可得sin ,cos APC APC ∠∠则sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22221cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α=；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -=+α，即sin cos αα=cos =α则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得sin 4α=.故选：B.【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP uuur ，2AP uuu r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP = ，2||1OP =，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【分析】化简1sin 22y x =即得解.【详解】解：由题得1sin 22y x =，所以函数的最小正周期为2ππ2=.故答案为：π【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】1sin cos )sin()22y x x x x ϕϕ=-=+=+,其中πsin ,,0552ϕϕϕ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭.而1sin()1x ϕ-≤+≤，所以1sin cos 2y x x =-.。

2021年高考数学一轮复习 第二讲 三角恒等变换与解三角形习题 理 新人教A 版1．(xx·四川高考)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．【解析】 由sin 2α＝2sin αcos α及sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解出α，进而求得tan 2α的值．∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α≠0，∴cos α＝－12. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】 32、（xx 山东）函数的最小正周期为 .【答案】【解析】2111sin 2cos 2cos 2sin 2222262y x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭ . (1)函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 的最大值为( ) A ．2 B. 3 C ．1 D.12(1)f (x )＝3sin x ＋cos π3·cos x －sin π3sin x ＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ∴当x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值1. 3、(xx·湖北高考)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案：由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时，m 取得最小值π6. 4、在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】 ∵b sin A ＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A ＜a ＜b ，故此三角形有两解．【答案】 B5、（xx 山东）的内角的对边分别是，若，，，则(A) (B) 2 (C) (D)16．(xx·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 在△ABC 中，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2a sin B ＝3b ，∴2sin A sin B ＝3sin B .∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3. 【答案】 D7．(xx·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解析】 ∵b cos C ＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a 22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形． 【答案】 B8、（2011山东）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知. （I ）求的值； （II ） 若cosB=，【解析】(1)由正弦定理得所以=,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有,即,所以=2.(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：，即，解得a=1，所以b=2.9、（xx 山东）在△ABC 中，内角所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△的面积S .【答案】(17)(I)由已知得：，，，再由正弦定理可得：，所以成等比数列.(II)若，则，∴，，∴△的面积.h39853 9BAD 鮭 38960 9830 頰20460 4FEC 俬39129 98D9 飙39937 9C01 鰁30561 7761 睡$ ] &%f。