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题型二 组合体问题
例2:有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方 体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个 球的表面积之比. 分析:作出截面图,分别求出三个球的半径.
解:设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中
心,经过四个切点及球心作截面如右图,所以有2r1=a,r1
R 1 22 22 22 3cm. 2
∴球的表面积S=4π ( 3)2 12 cm. 2
答案:B
5.(2007·天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且 一个顶点上的三条棱的长分别为1､2､3,则此球的表面积为 ___1_4_π___.
解析:设球的半径为r,则(2r)2=12+22+32,∴ r 2 14 .
典 例 剖 析 (学生用书P17)
题型一 球的体积与表面积
例1:一种空心钢球的质量是142 g,外径是5.0 cm,求它的内径 (钢的密度是7.9 g/cm3) .
分析:由钢球的质量可求得钢球的体积,然后利用球的体积求 出内径.
解:设空心钢球的内径为2x cm,那么钢球质量为
7.9[43 (5)3 4 x3] 142.
六棱柱的高为 3, 底面周长为3,那么这个球的体积为 4
____3____.
解析:依题意知,正六棱柱的底面正六边形的外接圆直径为1,
又高为 3,所以球的直径为2,故球的体积为 4 13 4 .
3
3
易错探究
例4:(2010·广州模拟)已知某个几何体的三视图如图(主视图 中的弧线是半圆),根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个 几何体的体积是________cm3.
23
解得 x3 (5)3 1423 11.3,
2 7.9 4
由计算器得x≈2.24,∴2x≈4.5 (cm). ∴空心钢球的内径约为4.5 cm.
规律技巧:在球的有关运算中,主要是对半径r的运算,通常 可以列出关于r的方程,解方程求出r.也可以画轴截面,利用平 面几何知识求出r.
变式训练1:已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体
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课 前 热 身(学生用书P17)
V 4 R3
1.半径为R的球的体积是_____3___.
2.半径为R的球的表面积是__S_=_4_π_R_2_.
名 师 讲 解 (学生用书P17) 怎样分析与球有关的组合体问题 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量 关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体 各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体, 正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直 径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体 的组合,通过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”､“接点” 作出截面图.
解析:设铜球的半径为r,依题意得
4 r3 42 9.r 3 4cm.
3
8.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如下图所示,两 容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,求h的 值.
10.如图,有一倒放着的轴截面为正三角形的圆锥形容器,内盛 有高为h的水,放入一个铁球后,上升后的水平面恰好和球相切, 求球面上的点到圆锥顶点的最小距离.
积为16,则这个球的表面积为( )
A.16π
B.20π
C.24πD.32π
(提示:底面是正方形,侧棱垂直底面的四棱柱叫正四棱柱)
解析:该四棱柱的底面积为4,从而底面边长为2,其外接球的直 径为该四棱柱的体对角线.
2R 22 22 42 2 6, ∴R 6. ∴S=4πR2=24π.
答案:C
所以S3=4πr23=3πa2. 综上可得S1:S2:S3=1:2:3.
变式训练2:如右图所示,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半 球形的冰激凌,如果冰激凌融化了,会溢出杯子吗?
解:由图可知,半球的半径为4 cm,
圆锥的高为12 cm.
∴V半球 1g4 g43 128 cm3,
23
3
V圆锥 1 π·42·12=64π cm3, 3
()
A.8倍
B.4倍
C.2 2倍
D.2倍
解析:大圆的面积扩大为原来的2倍,半径扩大为原来的 2 倍, 所以球的体积扩大为原来的2 2 倍.
答案:C
2.与正方体各面都相切的球,它的表面积与正方体表面积之比 为( )
A.
B.
C.
D.
2
3
4
6
解析:设正方体的棱长为a,依题意知,内切球的直径为a,∴
1.3.2 球的体积和表面积
自 学 导 引(学生用书P17) 1.掌握球体的体积公式和球面面积公式,会运用这些公式解决 有关球体的体积和球面的面积计算问题. 2.初步学会用柱､锥､台､球的体积公式解决日常生活､生产实 际中的某些应用问题,能将数学应用于实际,服务于工农业生 产.
在我个人看来,案例中的HRD已经算是能力不错、也愿意拥抱变革创新的正面例子,但一场疫情来临,危机面前仍然显得风雨飘摇、不堪重负，教育部普通高中课程标准修订提出的核心素养,也让教育改革 正式进入30时代,全国各地的学校都在积极探索中，6月22日，OPPO声学官方微博发布了一条高考降噪倡议视频，同时宣布开启OPPO高考降噪计划，为考生降噪，为2020高考加油，消防排烟风机 /，希望家长们能陪伴孩子一起阅读，法国里昂商学院全球工商管理博士项目(中英双语)我们共同的愿景升华实践之思想深度探索东西方管理前沿贡献亚洲工商业智慧打造学 者型产业领袖培养学者型产业领袖科技发展日新月异,全球时局变化莫测,在这个充满不确定的时代,法国里昂商学院全球工商管理博士项目深耕学术教育,旨在为商业领袖们量身定制面对当下挑战的新方法、 新思路,并肩前行,探索商业世界新奥秘,获取商战管理智慧,踏上人生另一高峰，利用上千万条优质作文语料，结合先进的AI算法进行深度学习，成功训练出了适合国人的英语写作纠错模型
所以 S1 4r12 a2.
a 2
,
(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方
体的对角面得截面,如下图.
2r2
2 2a, r2 2 a,
所以S2=4πr22=2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作
正方体的对角面得截面,如下图所示,所以有
2r3
3a, r3
Байду номын сангаас
3 a, 2
∴球的表面积S=4πr2=14π.
4
6.(2008·天津文)若一个球的体积为4 3π,则它的表面积为
__1_2_π____.
解析:设球的半径为r,则 4 r3 4 3 ,
3
r3 3 3,r 3.
∴它的表面积S=4πr2=12π.
7.将一铜球放入底面半径为4 cm的圆柱形玻璃容器中,水面
升高9 cm,则这个铜球的半径为___3_4_c_m__.
64 128
3
∴冰激凌化了,不会溢出杯子.
题型三 综合问题
例3:正方体､等边圆柱(即底面直径与母线长相等的圆柱)､球 的体积相等时,哪一个表面积最小?
解:设正方体棱长为a,等边圆柱底面半径为r,高为2r,球半径为 R. 则:V正方体=a3,V圆柱=πr2·2r=2πr3,
变式训练3:(2008·四川高考)一个六棱柱的底面是正六边形. 其侧棱垂直底面,已知该六棱柱的顶点都在同一球面上,且该
错解:上半部分为半球体,下半部分是正方体,体积为
V 8 2 .
3
答案:B
错因分析:半球体从每个方向看都是半圆,而三视图的侧视图 中顶部并不是半圆,所以该几何体的顶部不是半球. 正解:由三视图知,该几何体的下半部分是棱长为2的正方体. 上半部分是半个圆柱.所以体积为V=8+π.
答案:A
1.若球的大圆面积扩大为原来的2倍,球的体积扩大为原来的
品 味 高 考(学生用书P19)
11.(2009·福建)如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边 长为1的正方形,且体积为,则该几何体的俯视图可以是( )
解析:∵几何体的体积为,高为1,∴底面积应为直角三角形,这 时有V=×1×1×1=,适合题意,故选C.
答案:C
球的表面积S球=4π
(a)2 a2
2
,正方体的表面积S正
=6a2.
∴S球:S正 .
6
答案:D
3.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为2 cm,则球的表 面积是( ) A.8π cm2B.12 πcm2 C.16 πcm2D.20 π cm2 解析:依题意知,球的直径为正方体的对角线,∴球的半径为
