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2.插值法-2

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第二章 插值法--课堂

第二章 插值法--课堂

考察函数
右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。
有2n+2个根，但 是不高于2n+1次的多项式
，所以
，即
惟一性得证。
定理5.4 若f(x)在a,b上存在2n+2阶导数，则 2n+1次Hermite插值多项式的余项为
其中 定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证 明方法请同学们自行证明
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式, 即 n=1的情况
表示互为逆运算。
至于如何实现这些基本运算之
间的联系和转化，途径是多种 多样的，结果是丰富多彩的，魅力是无群无尽的
§4 埃尔米特插值
注： N 个条件可以确定 N 1 阶多项式。 要求在1个节点 x0 处直到m0 阶导数都相等的插值
多项式即为Taylor多项式 其余项为
一般只考虑 f 与f ’的值。
二、分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和
导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足
§6 三次样条插值
一、样条插值的概念

第二章插值法

第二章插值法

lk ( xk 1 ) 0
n=2的情况，假定插值节点为
xk 1 , xk , xk 1 , 要求一个二次插值多项式L2 ( x)，使它满足 L2 ( x j ) y j ( j k 1, k , k 1)
y L2 ( x)在几何上就是通过三点(xk-1 , yk 1 ),(xk , yk ),(xk+1, yk 1 )的抛物线
插值法
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 引言 拉格朗日插值 均差与牛顿插值公式 差分与等距节点插值 埃尔米特插值 分段低次插值 三次样条插值
一、插值问题
或者函数本身只是 一组实验数据，很 难对函数的性质进 行分析
对函数f (x),其函数形式可能很复杂且不利于在计算机上 ,
设函数
y f ( x ) 在区间 [a, b] 上有定义，且已知在
a x0 x1 x2 xn b
f ( xi ) yi , i 0,1,, n
如果存在一个简单函数 P ( x )，使得
P( xi ) f ( xi ) yi , i 0,1,, n
xx x x
如函数y sin x, 若给定 0, ]上5个等分点 [
其插值函数的图象如图
对于被插函数 ( x)和插值函数 ( x) f P
在节点xi处的函数值必然相等
但在节点外 ( x)的值可能就会偏离 ( x) P f 因此P( x)近似代替 ( x)必然存在着误差 f
整体误差的大小反映了插值函数的好坏
成立，则称 P ( x ) 为 f ( x ) 的插值函数
称点 xi , i 0,1,2,, n为插值节点
称区间 a , b]为插值区间 [

第6章 插值法2PPT课件

第6章 插值法2PPT课件

一、差商及其性质
定义1 给定一个函数表
x0
x1 ... xn
f(x0) f(x1) ... f(xn)
其x 中 i xj,当 ij时
f x i f ( x i), i 0 , 1 ,.n ..,
f[x i] 称 为 f(x ) 关 于 x i的 零 阶 差 商 。
16.07.2020
5
数值计算方法
16.07.2020
6
数值计算方法
例：
i xi f(x i )
0
1
2
3
2
5
4
7
5
7
10
4
f[x0,x2]f[x x 22 ] x f0 [x0]1 4 0 2 55 2
f[x 2,x 3 ]f[x x 3 3 ] x f2 [x 2]4 7 1 4 0 3 6 2
f[x 0 ,x 2 ,x 3 ] f[x 2 ,x x 3 3 ] x f0 [x 0 ,x 2 ] 2 7 5 2 /2 1 0 9
11
数值计算方法
c2f[x 1,x x 2 2 ] x f0 [x 0,x 1]f[x 0,x 1,x 2] c 2 ( x 2 x f 0 ( ) x ( x 2 ) 2 x 1 ) ( x 1 x f 0 ( ) ( x x 1 ) 1 x 2 ) (x 0 x f 1 ( ) ( x x 0 0 ) x 2 )
f (x)关于xi , xj的一阶差商定义为
f [ xi ,x j ]
f [x j ] f [xi ] x j xi
一般的, f(x)关于xi,xi+1,…,xi+k的k 阶差商记做
f[xi,xi+1,…,xi+k ] ，即

数值分析实验报告--实验2--插值法

数值分析实验报告--实验2--插值法

1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。

显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。

我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。

龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。

设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。

实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。

(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。

(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。

1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。

1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。

Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。

可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。

计算方法(2)-插值法

计算方法(2)-插值法



2
2
yk1 2

f (xk

h
2
),
y
k

1 2

f (xk

h) 2
21
3.牛顿向后插值公式
Nn (xn

th)

yn

tyn

t(t 1) 2!
2
yn



t(t

1)


(t n!

n

1)

n
yn
(t 0)
插值余项
Rn
(xn

th)

t(t
1) (t (n 1)!
Nn (x0

th)

y0

ty0

t(t 1) 2!
2
y0Leabharlann 插值余项t(t

1)


(t n!

n

1)
n
y0
Rn (x0

th)

t(t
1) (t (n 1)!
n)
h n1
f
(n1) ( ),
(x0 , xn )
20
二.向后差分与牛顿向后插值公式
杂.

根据f(x)函数表或复杂的解析表达式构
造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似.
2
2.问题的提法
1)已知条件 设函数y f (x)在区间[a,b]上
连 续, 且 在n 1个不 同点a x0 , x1, , xn b 上 分 别 取 值y0 , y1, , yn

数值方法第二章 插值法2

数值方法第二章 插值法2

当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
现设 x x j 由 Rn ( x j ) f ( x j ) Pn ( x j ) 0
故知 Rn (x) 可表示为
(j=0,1,…，n)，
Rn ( x) k ( x)n1 ( x) k ( x)( x x0 )( x xn )
关键是求 k ( x) ?
(2.2.10)
grange插值多项式
现在考虑一般的插值问题：
满足插值条件 Ln ( xk )
y
பைடு நூலகம்
k
(k 0,1,2,,n) (2.2.1)
的次数不超过n的多项式显然为 : Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
这是因为 (1) Ln ( xk ) lk ( xk ) yk yk (k 0,1,2,,n) (2)次数不超过n
3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
其中，Ak为待定系数，由条件 lk ( xk ) 1 可得
1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )

插值法-第二次程序题

插值法题目1：对函数在区间[-1,1]作下列插值逼近，并和的图像进行比较，并对结果进行分析。

(1)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的20次Newton 插值多项式的图像。

(2)用节点）20，，2,1，0（,）4212cos(⋅⋅⋅=+=i i x i π，绘出它的20次Lagrange 插值多项式的图像。

(3)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的分段线性插值函数的图像。

(4)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的三次自然样条插值函数的图像。

程序及分析：(1)用等距节点，200,1.0,-1≤≤=+=i h ih x i 绘出它的20次Newton 插值多项式的图像。

Matlab 程序如下：%计算均差x=[-1::1];n=length(x);syms zfor i=1:ny(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));endN=zeros(n,n);N(:,1)=y';for j=2:nfor k=j:nN(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));endendfor t=1:nc(t)=N(t,t)end%构造插值多项式f=N(1,1);for k=2:na=1;for r=1:(k-1)a=a*(z-x(r));endf=f+N(k,k)*a;end%作图a=[-1::1];n=length(a);for i=1:nb(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));endfx=subs(f,z,a);subplot(2,1,1);plot(a,b,'k',a,fx,'r');c=[::];n=length(c);for i=1:nd(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));endfx=subs(f,z,c);subplot(2,1,2);plot(c,d,'k',c,fx,'r');结果与分析：由下图可以看出，在区间[,]上，插值多项式可以很好的逼近被插值函数。

插值法2

插值研究1 插值法的应用在函数的近似求解中，插值方法非常的重要。

当我们知道了函数在有限个点处的取值状况后，就可以估算出该函数在其他点处的函数值，进而求解函数的更多相关信息。

插值法除了函数求值的应用之外，其他方面的用法也比较多。

包括：数值微分方法，数值积分方法，数据拟合，以及在图像处理方面的应用。

（1）数值积分法：在进行积分的求解时，经常会遇到被积函数不清楚，即使被积函数已知，然而被积函数的原函数求并不好求，在这种情况下，一般根据)(x f 在积分区间的已知数据，通过构造插值多项式)(x p 替代)(x f ，由于)(x p 为多项式，则)(x f 的积分值就能够比较容易求出。

（2）数值微分方法：通常意义上的数值微分方法，也即是根据距离相等的节点上的插值多项式，求解函数的导数值。

我们知道，两点公式是通过分段线性插值得出的，三点公式是通过分段抛物插值得出的。

然而这两种公式仅仅适合对节点处求导数值。

如果在区间内的其它点求导数值的话，样条插值函数是比较好的选择。

（3）数据拟合：在获得一组测定的离散的数据之后，我们最想获得的就是这些离散数据的数学表达式，探讨这些数据的内在规律。

如果无法求解到精确的数学表达式，尽可能好的去近似得出函数解析式，也会帮助我们获得意想不到的结果。

关于插值法的近似标准是这样规定的：原函数和插值函数在插值点处的误差为零，在实际的应用当中，有些点的误差并不一定为零，只需考虑整体的误差限制即可，因而所求函数并不需要通过所有点，我们所要求的是最好的反应原函数的变化趋势。

通过插值法的求解，便可以求得最优的拟合函数。

（4）图像处理：数字图像的处理涉及到社会生活的很多领域，而图像的放大作为数字图像处理的基本操作，具有很强的重要性。

通过插值法，可以实现图像的放大。

图像处理中，图像之间的转换是通过坐标变换来实现的。

这样做的问题就是目标点的坐标一般不会是常数，因此要解决非整数坐标处的点应该是怎样的。

第二章插值法


线性插值的几何意义:用 通过点 A(x0 , f (x0 )) 和 B(x1, f (x1 )) 的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为
y=f(x)
p(x)=ax+b
A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
解: 用待定系数法, 将各节点值依次代入所求多项式, 得
解上述方程, 将求出的a0, a1, a2 代入 p(x) = a0 + a1x + a2x2 即得所求二次多项式
例2.5 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式
P(x) an x n an1 x n1 a1x a0
满足
P(x) an x n an1 x n1 a1 x a0 P(xi ) f (xi ) (i 0,1,2, , n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
lk ( xi ) ki
1 0
(i k ) (i k )
l0 (x) 与 l1(x) 称为线性插值基函数。且有
lk (x)
1 j0
x xj , xk x j
jk
k 0,1
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p(x) l0 (x) y0 l1 (x) y1
例2.1 已知 100 10 , 121 11 , 求 y 115
为已知 f (x0 ), f (x1), , f (xn ) ,即 yi f (xi ) 若存在一个
f(x)的近似函数 (x),满足

插值法(2)


例1 给定函数
1 f ( x) = , − 5 ≤ x ≤ 5, 2 1+ x
取其等距节点 xi = −1 +10 i n ( i = 0,1,L, n) ， 构 造的Lagrange插值多项式为
pn ( x ) =
∑
n
j=0
1 l x 2 i ( ) 1+ xj
当 n→∞ 时， n ( x ) 只能在 x ≤ 3.63内收敛，而 p 在这个区间以外是发散的。这种畸形现象 通常叫做Runge现象。如下图所示。
分段线性插值的余项
Mh 2 f ( x) − ϕ ( x) = R( x) ≤ 8 其中 M = max f ''( x ) a ≤ x ≤b
例
设 f ( x) =
1 ，-1 ≤x ≤1 1 + 25 x 2
将区间[-1，1] 10 等份，用分段线性插值近似计算f (−0.96)。 解：插值节点为 xi = −1 + i / 5, (i = 0,1,L10) ， 因为 -0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，其上的插值 函数为 x + 0.8 x +1 ϕ ( x ) = f ( −1) + f ( −0.8)
0.2 − 0.2 = −0.1923( x + 0.8) + 0.2941( x + 1) − 1 ≤ x ≤ −0.8
所以 f ( −0.96) ≈ ϕ ( −0.96) = 0.04253
三、评价 分段线性插值简便易行，节点加密误差 变小，且插值函数只依赖于本段的节点 值，计算误差基本不扩大、稳定。但在 节点处插值函数不可微，光滑度不够。 分段三次Hermite插值函数是插值区间上 的光滑函数，总体是直至一阶导数连续， 它与函数在节点处密合程度较好。
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13
( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), ( x 2 , f ( x 2 )),
待定常数
A ，可由条件 P ( x 1 ) f ( x 1 ) 确定，
通过计算可得
A f ( x1 ) f [ x 0 , x1 ] ( x1 x 0 ) f [ x 0 , x1 , x 2 ] . ( x1 x 0 )( x1 x 2 )
H 2 n 1 ( x )
[y
j0
n
j
j ( x ) m j j ( x )] .
(5.3)3
下面的问题就是如何求出这些基函数 j ( x )及 j ( x ), 利用拉格朗日插值基函数 令
j ( x ) ( ax b ) l 2 j ( x ),
l j ( x ).
I h ( x ) 在区间 [ x k , x k 1 ]
上的表达式为
x xk 1 2 x k 1 x k x xk f k x x k k 1
2
x x k 1 Ih ( x) x x k 1 k
1. I h ( x ) C 1 [ a , b ],
2. 3.
I h ( xk ) f k ,
( x k ) f k ( k 0 ,1, , n ), Ih
I h ( x ) 在每个小区间[ x k , x k 1 ] 上是三次多项式.
17
根据两点三次埃尔米特插值插值多项式（5.10），
5
两端取对数再求导，得
l j ( x j )

n
k 0 k j
1 , x j xk
于是
j ( x ) (1 2 ( x x j )
n
k 0 k j
1 )l 2 j ( x ). x j xk
(5.4)
同理，可得
j ( x ) ( x x j )l 2 j ( x ).
7
插值余项
余项
f ( 2 n 2 ) ( ) 2 R ( x ) f ( x ) H 2 n 1 ( x ) n 1 ( x ) ( 2 n 2 )!
仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明： 若f
(x)
在( a , b ) 内的 2 n 2 阶导数存在，则其插值 (5.6)
1 R3 ( x ) f 4!
(4)
(5.10)
( )( x x k ) 2 ( x x k 1 ) 2 , ( x k , x k 1 ).
12
例4
求满足 P ( x j )
f ( x j ) ( j 0 ,1, 2 )
及 P ( x1 )
f ( x1 )
的插值多项式及其余项表达式. 由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式. 由于此多项式通过点 故其形式为
P ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x 2 ]( x x0 )( x x1 ) A( x x0 )( x x1 )( x x 2 ),
( xk 1 ) mk 1 . H3
(5.7)
4个条件，可确定一个3次插值多项式H3(x)。 相应的插值基函数为 k ( x ), k 1 ( x ), k ( x ), k 1 ( x ), 它们满足条件
9


k
( x k ) 1, (xk ) 0,
2

2Байду номын сангаас
x x k 1 x x k 1 1 2 x x f k 1 x x x x k f ( x k ) k k 1 k 1 k x xk x x k k 1 x x k 1 f k1 .

k
( x k 1 ) 0 , ( x k 1 ) 1,
(xk ) k ( x k 1 ) 0 , k
k 1

k 1
1 ( x k ) k 1 ( x k 1 ) 0 ; k
k ( x k ) k ( x k 1 ) 0 ,
j ( x ) x x j 1 x xj 1 2 x j x j 1 x j 1 x j 2 x x j 1 x xj 1 2 x j x j 1 x j 1 x j 0,
为了求出余项 R ( x ) f ( x ) P ( x ) 的表达式，可设
R ( x ) k ( x )( x x 0 )( x x1 ) 2 ( x x 2 ),
其中 k ( x ) 为待定函数.
14
构造
(t ) f (t ) P (t ) k ( x )(t x0 )(t x1 ) 2 (t x2 ).
16
分段三次埃尔米特插值
分段线性插值函数 I h ( x ) 的导数是间断的，若在节点
x k ( k 0 ,1, , n ) 上除已知函数值 f k 外还给出导数值 f k m k ( k 0 ,1, , n ), 这样就可构造一个导数连续的分段
插值函数 I h ( x ) ，满足条件
由条件（5.2），有
j ( x j ) ( ax j b ) l 2 j ( x j ) 1,
j ( x j ) l j ( x j )[ al j ( x j ) 2 ( ax j b )l j ( x j )] 0 ,
4
整理得
ax j b 1 ; a 2 l j ( x j ) 0 .
显然 ( x j ) 0 ( j 0 ,1, 2 ), 且 ( x1 ) 0 , ( x ) 0 , 故 ( t )在 ( a , b ) 内有5个零点（二重根算两个）. 反复应用罗尔定理，得 ( 4 ) ( t ) 在 (a, b) 内至少有一个 零点ξ， 故有
2.5 埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等，
而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
问题描述
设在节点 a x 0 x1 x n b 上，y j
其中
( a , b )且与
x 有关.
8
两点三次埃尔米特插值多项式
插值多项式（5.3）的重要特例是 n 1 的情形. 这时可取节点为 x k 及 x k 1 ， 插值多项式为 H 3 ( x ) ，满足
H 3 ( xk ) y k , ( xk ) mk , H3
H 3 ( xk 1 ) y k 1 ;
2 x xk x x k 1 k ( x) 1 2 x x x x , k 1 k k k 1 2 x x k 1 x x k k 1 ( x ) 1 2 . x k x k 1 x k 1 x k
(5.9)
11
两点三次插值多项式
于是满足条件（5.7）的插值多项式是
H 3 ( x ) y k k ( x ) y k 1 k 1 ( x ) m k k ( x ) m k 1 k 1 ( x ),
由（5.6）得 其余项 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ，
解出
a 2 l j ( x j ), b 1 2 x j l j ( x j ).
由于
l j (x) ( x x 0 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x x n ) ( x j x 0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j x n ) ,
(5.5)
6
插值多项式的唯一性
可以证明满足条件（5.1）的插值多项式是惟一的. 用反证法，假设 H 2 n 1 ( x ) 及H 2 n 1 ( x ) 均满足条件（5.1）， 于是
( x ) H 2 n 1 ( x ) H 2 n 1 ( x )
在每个节点 x k 上的值及导数值均为零，即 x k 为二重根. 这样， ( x ) 有 2 n 2 重根，但 ( x ) 是不高于 2 n 1次的多 项式， 故 ( x ) 0 . 惟一性成立.
j ( xk )
0, 1, j k, j k,
jk
jk
j ( xk ) 0,
j ( x k )
( j , k 0 ,1 , , n ).
j ( x k ) 0 ;
(5.2)
将满足条件（5.1）的插值多项式 H 2 n 1 ( x ) H ( x ) 写成用插 值基函数表示的形式
H 2 n 1 ( x ) a 0 a1 x a 2 n 1 x 2 n 1 .
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2 n 2 个插值基函数 j ( x ) 及 j ( x ) ( j 0,1, , n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2 n 1 次多项式，
m j f ( x j )
f ( x j ),
( j 0 ,1, , n ), 问题是求插值多项式 H ( x ) ，
满足条件
H (x j ) y j , H ( x j ) m j , ( j 0,1, , n ),