当前位置：文档之家 › 塑性力学 ch6

塑性力学 ch6

  • 格式：ppt
  • 大小：1.34 MB
  • 文档页数：51

下载文档原格式

  / 51

合集下载

塑性力学——精选推荐

塑性力学——精选推荐

塑性⼒学塑性⼒学研究报告⼀、研究内容1.1经典塑性⼒学基本理论经典塑性理论研究在⼆⼗世纪50年代已经成熟，主妥结果已总结在H 川的名著“塑性数学理论”L ’J 和PragCr&HodgC 的名著“理想塑性的固体理论”中。

经典塑性理论的三条基本假设：(1)传统塑性势假设；(2)关联流动法则假设,假设屈服⾯与塑性势⾯相同；(3)不考虑应⼒主轴旋转假设。

1.2塑性⼒学的研究热点最近⼏⼗年，岩⼟塑性⼒学的兴起促进了塑性⼒学的发展,近30年国际上出现了⾮关联流动法则与多重屈服⾯模型,在⼀定程度上修正了经典塑性⼒学理论上的不⾜,提⾼了计算的准确性。

⼴义塑性⼒学正是由于经典塑性⼒学不适应岩⼟类摩擦材料的变形机制⽽产⽣。

⼴义塑性⼒学成为了近⼏⼗年来塑性⼒学的研究热点。

1.2.1⼴义塑性⼒学基本理论⼴义塑性理论包括：1、不记主轴旋转的⼴义塑性位势理论；2、主轴旋转的⼴义塑性位势理论3、⼴义塑性⼒学的屈服⾯理论；4、⼴义塑性⼒学中的硬化定律5、⼴义塑性⼒学中的应⼒应变关系。

1.2.1.1不记主轴旋转的⼴义塑性位势理论保留传统塑性位势理论的第(2)假设，即消除(1)、(3)条假设，那么式可以写成:31p k ij k k ijQ d d ελσ=?=∑? （1.2.1.1.1）当不考虑应⼒主轴旋转时，杨光华在不借助任何假设条件下引⽤张量定律导出了式(1.2.1.1)。

应⼒和应变都是⼆阶张量，按张量定律必有: 31p p k ij k k ijQ d d εεσ=?=∑? （1.2.1.1.2）式中k σ与k ε分别为三个主应⼒和主应变。

根据梯度的定义有：31p k i k k iQ d d ελσ=?=∑? （1.2.1.1.3）式中k Q 是三个任意的线性⽆关的势函数，将（1.2.1.3）代⼊式（1.2.1.2）即可得式（1.2.1.1）。

可以认为式（1.2.1.1）就是未考虑主应⼒旋转情况下的⼴义塑性位势理论或称为⼴义塑性流动法则。

弹塑性力学第01章

弹塑性力学第01章

学习目的
弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，而 且理论直接用于分析工程问题具有很大的困难。原因主要是 它的基本方程－偏微分方程边值问题数学上求解的困难。由 于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解 法是弹性力学发展中的特色。近似求解方法，如差分法和变 分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展的有限元方法， 为弹性力学的发展和解决工程实际问题开辟了广阔的前景。 弹性力学课程的主要学习目的是使学生掌握分析弹性体 应力和变形的基本方法，为今后进一步的研究实际工程构件 和结构的强度、刚度、可靠性、断裂和疲劳等固体力学问题 建立必要的理论基础。

钱学森，著名科学家。我国 近代力学事业的奠基人之一。 在空气动力学、航空工程、 喷气推进、工程控制论、物 理力学等技术科学领域做出 许多开创性贡献。为我国火 箭、导弹和航天事业的创建 与发展做出了卓越贡献，是 我国系统工程理论与应用研 究的倡导人。1991年10月 16日，国务院、中央军委 授予钱学森"国家杰出贡献 科学家"荣誉称号和一级英 雄模范奖章。
粘弹性?
§1-2 弹塑性力学的研究内容
弹塑性力学是固体力学的一个重要分支， 是研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学 科，它推理严谨，计算结果准确，是分析和 解决许多工程技术问题的基础和依据。
目录
CH1 绪论 CH2 弹性力学基本理论 CH3 弹性力学平面问题 CH4 弹性力学空间问题 CH5 薄板的小挠度弯曲 CH6 弹性力学问题的变 分解法 CH7 简单应力状态下的弹 塑性问题 CH8 应力应变分析和屈服 条件 CH9 塑性本构关系 CH10 简单弹塑性问题 CH11 理想刚塑性体的平 面应变问题 CH12 结构的塑性极限分 析

塑性力学

塑性力学
塑性力学
Plasticity
李振环 华中科技大学 力学系
主教材
尚福林、王子昆：塑性力学基础 西安交通大学出版社（2010）
余同希 薛璞编著：工程塑性力学 高等教育出版社（2009年）
陈 笃 编著 ：塑性力学基础 高等教育出版社（2005年）
参考书目
王仁、熊祝华、黄文彬著：塑性力学基础 科学出版社（1982年）
线弹性阶段(Oa) 应力与应变成正比

d
e f
ab c
tan 常数 E
b s e p


即： E
——胡克定律
O
d' g
p
e

f' h
比例极限(p)——线弹性阶段最高点 a 所对应的应力值
变形过程的四个阶段： a.弹性阶段(Ob)
非线弹性阶段(ab)

d
3、真应力应变曲线
取：
E

F A0
E

l l0
工程应力和工程应变
在材料进入塑性后，弹性变形为小量，变形主要是塑性变形， 此时，试样的体积近似保持不变。
Aili A0l0
注意：此式近似适用于颈缩 之前，颈缩后不再成立！！Why?
随着试样的伸长（缩短），截面逐渐缩小（增加）。因此，应力 和应变的定义必须要反应这种变化，为此进行如下修正

ln

l l0

在工程上
应用比较多。
拉伸情形： 压缩情形： 颈缩前
A0 Ai A0 Ai
T
E
A0 Ai

E
T
E
A0 Ai

E
T

ln

塑性力学 ppt课件

塑性力学 ppt课件

或者
l l n ij i j S n ij l i 2 S n n
2 n
（求和约定的缩写形式）
一点的应力状态及应力张量


一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有 截面上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述： 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z) x xy xz
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy xz y yz . z
23 1
讨论：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 三个主平面是相互正交的； 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 应力特征方程的解是唯一的； 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关； I2与塑性 变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。
弹性、塑性变形的力学特征




可逆性：弹性变形——可逆；塑性变形——不可逆 -关系：弹性变形——线性；塑性变形——非线性 与加载路径的关系：弹性——无关；塑性——有关 对组织和性能的影响：弹性变形——无影响；塑性变形—— 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形——原子间距的变化； 塑性变形——位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变 形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑 性变形与工模具的弹性变形共存。
金属塑性加工原理

塑性力学

塑性力学

塑性力学 第一章 绪 论§1-1 引 言1、研究对象及物点塑性体σεσε⎧⎪-⎨⎪⎩残余变形非线性关系非一一对应的-关系2、学习目的及要求1）掌握基本概念、原理和方法 2）基本应用及简例3）数值解法（有限元）、近似解法（属板变曲）4）为研究非线性材料（砼、岩石、土壤等）结构打下理论基础 3、主要参政书1）《工程塑性力学》，丁大钩、单炳样编 2）《塑性理论简明教程》徐秉业等编3）《塑性理论基础》卡恰诺夫著，周承倜等译 4）《有限元法读讲》，李大潜等编5）《弹性力学与塑性力学解题指导及习题集》徐秉业等编 6）《塑性力学基础》蒋泳秋、穆霞编 4、课程内容的安排 第一章 绪 论第二章 应力状态和应变状态（物理关系） 第三章 塑性理论基本方法 第四章 简单弹塑性问题第五章 理想刚塑性平面应变问题 第六章 塑性理论有限元法 第七章 剪板弹塑性弯曲§1-2 单向拉伸、静水压力（实验资料）1、单向拉伸 A —比例极限p σ B —弹性 e σ BC —屈服阶段屈服应力 D —强度极限B σ FG —卸 载 OG —残余变形应变的分解：（见下页图）e pe Eεεεσε=+=2、静水压力（各向均匀受压） 实验→结论1）体积应变（H ）与压力P 基本上为线性关系2voH ap bp v ==-，2bp 很小2）H 为弹性的（卸载后完全恢复） 3）H 〈〈p x ε，……p exy r ……H~e x ε，……e xy r ……4）P 对屈服极限影响不大，可以忽略（不运合非金属材料） 根据以上的结论，塑性力学中通常忽略静水压力的影响。

§1-3简化模型1、理想弹塑性模型（低碳钢）2、线性强化弹塑性（高碳钢）3、幂强化模型§1-4三杆桁架的弹塑性分析，各杆面积A=1 1、平衡方程1212230p N N COSσ=+=2、几何关系1122312,cos303344vv hvvRδεδδεε=======变形协调条件3、物理关系（线性强化）1S()()() (>)Ss S SS SEEEεεεσσεεεσεεεε<⎧⎪===⎨⎪+-⎩（常数，用物理常数表示）4、弹性解由213(),4jσσ=（应力协调）12,1σσ>∴杆光屈服由1(),)(1k EV j p hσ=△弹性极限荷载13(1e p p σ==+弹性阶段，()()()121212,,,j k p v N N εεσσ−−→−−→−−→−−→ 5、弱塑性解12(,) s p p σσ>≤但1111221111 E (1)3(1)4((1)S i kjs s E EP V Ev E h E hE E EV h E Eεσσεσσ+-+++-=+-△当2s σσ=，开始全塑性，2S E εσ= 此时/111111()(1)S S Es S S E E E E εσσσεεεσ==+-+-1211132112(1)(1)44334(1)33jS Sj s S S E P PE EEV h E h h EE EP E E εσσσευσσ=+-++-=∴=++1=E 又6、塑性解122(,)s s p p σσσσ>>>(),()11111211(1)(1)](1(1)(1j k S S js E E pE E EEEV E h Eεσεσσ+-++-++-+7、全过程P-V 图对理想弹塑性或理想刚塑性材料，三杆全部进入塑性阶段后，P 不再增加而V 继续增加，2U P P =（极限荷载），对刚塑性，22)P P P P <<<时v=0,(P 时杆 对线性强化材料，不存在u p ，P 随υ不断增加受部分限制不变形，但在比例三阶段逐步减小，（刚速变小）8、卸载，重新加载（略）、荷载路径问题（略）第二章 应力状态和应变状态§2-1 点的应力状态1、应力解量ij σ （在直角坐标系i x 中） 下标 , j i 均从1至3变化i x ∴代表1,2,3(,,)x x x x y zij σ代表11,12,13,21,22,23,31,32,33σσσσσσσσσ 共九个分量，或,,,x xy xz z σττσij σ为二阶段对解量 2、斜面上的应力斜面法线N111122133112233cos()cos()cos() j jN X n N X m n N X n n T T e T e T e T e =======++=由平衡条件111112213322112222333311322333T n n n T n n n T n n n σσσσσσσσσ=++⎫⎪=++⎬⎪=++⎭或i ij j T n σ=3、应力能量的坐标变换原点标系：1,2,3x x x 新点标系：1,2,3x x x ''' 方赂余弦：,cos()j j ij x x x '=原点坐标系中的解量ij σ在新坐标系中为i j σ'（分量不同，实则代表同一点的应力状态）则ij ik je ke σαασ'=上式由二阶解量坐标变换的通式直接换来，可按以下步骤验证：1）以垂直于i x '的面（法线为i x '为“斜面”）用式（2-1）求该面上应力在原坐标系中的三个分量，2）将上述应力向新坐标投影 还可以验证：ij σ'仍为对称能量特例：xy 平面内的平方应力，3x '与3x 重合，132331320αααα====设图2-1中N 为立向(,,)m n ，则下为立应力n σ，n σ与作用线N 重合，故123N N N T T m T nσσσ=== 上式右边与（2-1）右边相等，约2()0()0()0X N xy XZ xy y n yz xy xz n m n m n m n σστττσστττσσ⎫-++=⎪+-+=⎬⎪++-=⎭而2221m n ++=，,,m n 不可能均为零，故321230N N N I I I σσσ∆=-+-=其中 2222212332x y z mx y y z z x xy yz zxx y z xy yz zx x y yz xy I I I σσσσσσσσσστττσσστττστστ⎫=++=⎪⎪=++---⎬⎪=+--⎪⎭式（2-3）有三个实根1,2,3σσσ，其值与坐标系无关，故1I 、2I 、3I 与坐标系无关，称为应力能量的三个不变量。

塑性力学

塑性力学

几种简化模型
(a)理想弹塑性模型 (b)理想刚塑性模型 (c)理想弹塑性线性强化模型 (d) 理想刚塑性线性强化模型
第二节
主应力空间和八面体平面
以主应力 1 , 2 , 3 的方向为 坐标轴的几何空间，称为主应力 空间。要了解在主应力空间任意 斜面上的应力，可假定某一斜面 的应力矢量为T，该斜面的方向 余弦为 l1 , l2 , l3 。现在我们讨论一种 特殊情况，即在主应力空间取一 斜面，该斜面的法线n与三个坐标 轴呈等倾斜，即 l1 l2 l3 ，由1 于 l l l 1 ， 所以 l l l 3
lmn 3
在此直线上任一点所代表的应力 状态为 1 2 3 m ，即On上每一点 都对应于一个球形应力状态，或静水 应力状态，而应力偏量的分量 s1 , s2 , s3 都等于零。现在进一步考虑任一个与 On正交的平面，则此平面的方程应为
1 2 3 3r
1 2 3
ij
这样一来，屈服函数化为应力偏 量的函数，而且可以在主应力空间内 来讨论。主应力空间是一个三维空间， 在这一空间内可以给出屈服函数的几 何图像，而直观的几何图形将有助于 我们对屈服面的认识。 现在考察屈服面在主应力空间有 什么特征。为此，考虑过坐标原点与 三个坐标轴呈等倾斜的直线On，其方 向余弦 l , m, n都相等，由 l 2 m 2 n 2 1 可知 1
m
1 x y z 1 1 2 3 8 3 3
可定义为球形应力张量，简 称球张量，而sij 则称为偏斜应力 张量，简称应力偏量。 球张量表示一种球形应力状 态。实际上，在主应力空间内， 如令任一斜面n上的应力矢量为T， 其沿 1 , 2 , 3 轴的分量为

塑性力学-第一章


二、静水压力(各向均匀受压)试验
(2)、静水压力对屈服极限的影响 Bridgman对镍、铌的拉伸试验表明，静水压力增大，塑性强 化效应增加不明显，但颈缩和破坏时的塑性变形增加了。 静水压力对屈服极限的影响常可忽略。
1.2 应力应变简化模型
选取模型的标准：
1、必须符合材料的实际性质 2、数学上必须是足够地简单
E O
⎧ Eε σ =⎨ ⎩σ s
ε ≤ εs ε > εs
符号函数:
ε εs
| σ |< σ s ,
ε =σ / E
⎧+1, σ > 0 ⎪ sign σ = ⎨ 0, σ = 0 ⎪−1, σ < 0 ⎩
1. 理想弹塑性模型
缺点: 公式只包括了材料常数E 和σ，故不能描述应力应 变曲线的全部特征； 在ε＝εs处解析式有变化， 给具体计算带来困难; 卸载:
用简单拉伸试验代替简单压缩试 验进行塑性分析是偏于安全的。
σ
压 拉
O
一般金属的拉伸与压缩曲线比较
ε
一、应力--应变曲线
（3）反向加载 卸载后反向加载，σs’’< σs’——Bauschinger效应
σ
B A
拉伸塑性变形后使 压缩屈服极限降低 的现象。即正向强 化时反向弱化。
σs
O
O’
ε
σs’
B’ B’’
二、静水压力(各向均匀受压)试验
(1)、体积变化 体积应变与压力的关系 (bridgman实验公式)
ΔV 1 1 εm = = p (1 − p) V0 K K1
体积压缩模量 派生模量
ΔV 或 = ap − bp 2 V0
铜：当p＝1000MPa时，ap＝

第六章 塑性力学基本概念

塑性力学
第六章 塑形力学的基本概念
6.1绪论 绪论 什么是塑性力学？ 什么是塑性力学？ •塑性力学是相对于弹性力学而言。 塑性力学是相对于弹性力学而言。 塑性力学是相对于弹性力学而言 •在弹性力学中，物质微元的应力和应变之间具有单一 在弹性力学中， 在弹性力学中 的对应关系。然而， 的对应关系。然而，材料在一定的外界环境和加载条 件下，其变形往往会具有非弹性性质， 件下，其变形往往会具有非弹性性质，即应力和应变 之间不具有单一的对应关系。 之间不具有单一的对应关系。 非弹性变形包括塑性变形和粘性变形： 非弹性变形包括塑性变形和粘性变形：
塑性变形－ 塑性变形－指物体在除去外力后所残留下来的永 久变形，习惯上按破坏时的变形大小分为塑性和脆性， 久变形，习惯上按破坏时的变形大小分为塑性和脆性， 如果材料的延性好，进入延性仍能承受荷载。 如果材料的延性好，进入延性仍能承受荷载。 塑性力学来研究这类问题。 塑性力学来研究这类问题。
粘性变形随时间而改变，例如蠕变、应力松弛等， 粘性变形随时间而改变，例如蠕变、应力松弛等， 这里不研究。 这里不研究。
σ ≤σs,
ε=
σ
E
σ > σs,
ε=
σs
E
+
σ −σ s
Et
O
A
E
刚性线性强化模型 问题：卸载 线怎样描述 线怎样描述？ 问题：卸载BE线怎样描述？
εp
ε
εe
3、幂指数硬化模型： 、幂指数硬化模型：
将硬化阶段的曲线简化为一条幂指数曲线，
σ ≤ σs,
σ > σs,
ε=
σ
E
σ σb B σs σp A’ A C
6.2 材料实验结果
一、单轴拉伸实验 • 材料塑形变形性质通过试验研究获得。 材料塑形变形性质通过试验研究获得。 • 最简单实验是室温单轴拉压实验： 最简单实验是室温单轴拉压实验： •材料：金属多晶体材料 材料： 材料 •试件如图 试件如图 •名义应力和名义应变定义为 名义应力和名义应变定义为

工程弹塑性力学-第十章塑性力学的基本概念


JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
长度改变量除以当时长度应力应变的简化模型变形前材料各向同性且与拉深和压缩的真应力应变曲线一致卸载时材料服从弹性规律重新加载后的屈服应力等于卸载前的应力塑性变形是在体积不变的条件下进行的静水压只产生体积的弹性变化
JUST
江苏科技大学
Jiangsu University of Science and Technology
塑性变形的特点：
（1）应力-应变关系的非线性 （2）应力-应变间不存在单值对应关系，具有路径相关性；
一个应力可对应不同应变，反之也如此。
（3）外力做的功具有不可逆性，在一个加载卸载的循环中外 力做功恒大于零。
JUST
江苏科技大学
静水压试验
真应力和真应变
Jiangsu University of Science and Technology
应力空间与主应力空间
主应力空间：只考虑主应力大小而不考虑它们在 物理空间中的方向，以 为坐标轴的假象三维空间 L直线：主应力空间中过原点等倾面的法线
直线上的点承受静水压力点的应力 状态，不产生塑性变形 主应力空间中过原点与L 直线垂直 的平面
面上的点对应于不引起体积变化的应力偏张量的状态
卸载时材料服从弹性规律，重新加载后的屈服应力等于卸载前 的应力 任何情况下的总应变可分解为弹性和塑性两部分 塑性变形是在体积不变的条件下进行的，静水压只产生体积的弹性 变化。

塑性力学第一章2016


2 21
由此可见，平衡方程和协调关系都与材料的性能无关。
22
一般地，分以下几个阶段对结构受力过程进行分析： （1）弹性阶段。应力应变关系为
1 E 1
2 E 2
代入到变形协调方程中，得 继续代入到平衡方程，则
1
1
2 21
P 2 2 A0
2
P 2 2 A0
11
加、卸载准则：
• 在增加荷载（称为加载）和卸除荷载（称为卸 载）的过程中应力和应变服从不同的规律，这是 材料在塑性阶段的一个重要特点。而判别是加载 还是卸载的准则，称之为加、卸载准则。在简单 应力状态下，可写为：
12
2、静水压力试验
大量静水压力（各项均压）试验发现： • 若卸除压力，体积的变化恢复，因而可以认 为各向均压时体积变化是弹性的，即塑性变 形不引起体积变形； • 材料的塑性变形与静水压力无关。但对岩土 类材料，静水压力对屈服应力和塑性变形的 大小有着显著的影响，不能忽略。
弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 卸载 再加载
ζ
后继屈 服应力
ε
10
• 在拉伸的初始阶段，应力与应变成正比，即服从 Hooke定律。在达到比例极限后，曲线开始弯曲，直 到弹性极限。在弹性极限之前，如果卸除荷载，变形 将完全恢复，这是弹性的基本特征。在超过弹性极限 以后，如果卸除荷载，试件内仍保留一部分变形，通 常称之为永久变形，或塑性变形。可见，弹性与塑性 的根本区别不在于应力应变关系是否线性，而在于卸 载后变形是否恢复。对于某些材料，在弹性极限之后 将出现屈服，这一阶段应力保持不变而应变显著增加 。 • 经过屈服阶段后，材料又恢复抵抗变形的能力，必须 增加荷载才能继续产生变形，这叫强化。 • 在产生一定塑性变形以后，如果减小荷载，则应力应 变关系不按已有的曲线退回原点，而是沿着一条与初 始弹性阶段相平行的直线变化。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(E) ( p)
(6 13)
(6 14)
d ij ni d ij ni ;
(E) ( p)
上标（E）和（P）分别表示弹性区和塑性区。
简单的弹塑性问题
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
考察薄壁圆筒承受拉力P 和扭矩T 联合作用的弹塑性变形问题。采用圆柱坐 标，取z 轴与筒轴重合。设壁厚为h ，筒的内外平均半径为R ，则筒内应力 为：
0.707, 0.707
（2）用全量理论求解
(6 31)
1 亦即 2 (6 32)
C点的应变 1 代入（6-27）式得出
0.707, 0.707
由以上的结果可知：
i）由于加载路径不同，虽然最终变形一样，但最终应力却不同； ii）只有在比例加载的条件下，增量理论和全量理论的结果才一致。
1 v d ij d kk ij ; 2G E
deij
1 dsij d , 2G ij
（6-10）
1 2v d kk d kk , E d d ij 0, 0, ij d hd , d d 0, ij ij
~ 关系或 ~
关系。
简单的弹塑性问题
例如对于实验中经常采用的阶梯变形路径（图6-1），考虑 保持常数的阶段 ab 上，设在a点有 0， 0，由于在ab上 d 0,
方程（6-22）变为： d d /(1 ),
2

e
(6 24)
积分并利用a点的已知条件，得出：
可化为：
简单的弹塑性问题
2 2 1
(6 18)
下面按增量理论和全量理论求解这个问题，比较两种结果的异同。 一、按增量理论求解 对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
1 2 d z d z d z , E 3 1 1 d z d z d z 2 2G
无量纲化后得到：
(6-19)
d d d , d d d , d d d d
(6-20)
消去 d 得：
(6 21)
简单的弹塑性问题
2 由（6-18）式知 1 及 d d 0,
故
d d d / 1 2
B

类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
简单的弹塑性问题
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
刚到达屈服，同时满足 1和 由此得出在D点时的应力为：
2 2

1 2
0.707。
不难证明沿 DC 段皆有 ，即应力值不变，在C点也就仍为
简单的弹塑性问题
Байду номын сангаас
iv）在ST 上的应力边界条件： d ijl j dTi ; v）在Su 上的位移边界条件：
(6 11)
(6 12)
dui d u i ;
vi）弹塑性交界处的连接条件：如果交界面 的法向为ni ，则在 上有： (a)法向位移连续条件 dui ni dui ni ; (b)应力连续条件
因此，可以引进弹性应力函数 e ，使有
yz
6 90
6 91
6 92
e e xz , yz , y x
则平衡方程自动满足，而协调方程（6-90）化为
2 e 2G ,
2 2 式中 2 2 为Laplace算子. x y
2
6 93
简单的弹塑性问题
在弹性力学中，研究了 e 和Poisson方程（6-93）并导致以下结论
2 2 xz yz i.) 合剪应力大小：
e e grad e , x y
2
2
6 94
简单的弹塑性问题
二、按全量理论求解
2 由于假设了材料不可压， v 1 / 2，故 ij eij 由（5-63）式 sij ij
在本问题中用分量写出来就是：
3
2 2 z z , z z , 3 3 3
(6 26)
s 3 s ; 而 r z , 将(6-26)式按(6-16)式无量纲
China UNIVERSITY of Mining & Technology
塑性力学
第 6 章
简单的弹塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
§6.2 薄壁筒的拉扭联合变形
§6.5 柱体的弹塑性自由扭转
§6.6 受内压的厚壁圆筒
§6.7 旋转圆盘
简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法
ui u i
(6 4)
其中 l j 是 v) 在
S u上位移边界条件：
(6 5)
由此可见，弹塑性边值问题的全量理论提法同弹性边值问题的提法 基本相同，不同仅在于引入了非线性的应力-应变关系（6-3）式。
二、弹塑性增量理论的边值问题
i) 在V内的平衡方程
d ij, j dFi 0
2 2 1。可见图中的阴影区域是弹性范围。
（1）用增量理论求解 路径①沿OBC。在B点有 0 0, 0 0。 A ② D ① C
1 在BC段上有 1 ln , ③ 2 1 e2 y 1 解出 2y tanh , e 1 O 2 e 在C点 1 0.76, 1 2 0.65 (6 30) e2 1
1 f deij dsij d , 2G ij
1 2v d kk d kk , E
f df d ij 0, 0, ij d 0, df f d 0, ij ij
（6-9）
简单的弹塑性问题
（b）对于等向强化材料，后继屈服函数为 ( ij, ha ) ，则 弹性区： ( ij ) 0。d ij 塑性区： ( ij ) 0，
一、弹塑性全量理论边值问题
设在物体V内给定体力 Fi ，在应力边界 ST 上给定面力Ti ，在位移 边界Su 上给定位移 u i ，要求应力 ij ，应变 ij ，位移 ui ，它们满足 以下方程和边条件：
ij, j Fi 0; i) 在V内的平衡方程: ii) 在V内几何关系（应变-位移关系）:
z / s , z / s ,
z / s , z / s ,
在弹性阶段，无量纲化的Hooke定律给出
(6-16)
,
(6 17)
1 2 2 2 J 进入塑性以后，Mises 屈服条件： 2 z z s 3
d d 1 2 ( 1 2 ) d d (6 22)
(6 23)
从（6-21）式中消去 和 d ，就有：
同样地，
d d 1 2 ( 1 2 ) d d
如果已知某时刻的初始状态（应力状态和应变状态）及从该时刻起的变形路 径 ( ) 则积分（6-22）或（6-23）式就可得到
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1
类似地，对于阶段bc ,
c a
O b
d

图 6-1
1 1 1 0 0 ln 2 1 0 1 0
(6 25)
u yz,
xz, x, y ;
其中 x, y 是截面的翘曲函数
(6-84)
从小应变下的Cauchy公式得出应变为：
简单的弹塑性问题
(6-85)
此式与材料的本构关系无关，不论是弹性还是塑性时都成立。
在弹性时按Hooke定律求得： (6-86)
在进入塑性之后，恒有 dex dey dez dexy 0, 按照增量本构关系，从刚进入塑性开始， 可以推知 d x d y d z d xy 0, 进而在变形的一切阶段均有
1 d ij (dui , j du j ,i ) 2
(6 7)
ii) 在V内的几何关系（应变位移的增量关系）：
(6 8)
简单的弹塑性问题
iii) 在V内的增量本构关系：
(a) 对于理想塑性材料，屈服函数为 f ( ij )，则 弹性区： 塑性区：
1 v f ( ij ) 0，d ij d ij d kk ij ; 2G E f ( ij ) 0，
化后得应力-应变关系为
1 2
/ 2 2 , / 2 2
(6 27)
简单的弹塑性问题
三 、算例和比较 在图6-2中，有三条不同的加载路径从原点O 到达点C ( 1, 1)
在弹性范围内， , ，屈服条件（6-18）在应变空间中写出就是
简单的弹塑性问题
§6.5
柱体的弹塑性自由扭转
一、研究范围和基本方程
考虑任意截面形状的长柱体，在扭转力矩 T作用下的自由扭转问题。
假定截面是单连通的，取柱体的轴线为 z 轴。
实验观察证实，在塑性状态下仍可采取材料力学和弹性力学中关于扭转 的假定，即柱体在弹塑性自由扭转状态下，截面只在自身平面内转动，但 可以发生轴向自由翘曲。 以 表示柱体单位长度的扭转角，则小变形时的位移分量为
其中
为合剪应力。
可见，在扭转时柱体各点的应力状态始终是纯剪切，这是一个 简单加载过程。
简单的弹塑性问题
二、弹性扭转和薄膜比拟
从（6-85）式中消去翘曲函数，得协调方程