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第3章三角恒等变换求值问题已知taｎα=４3,ｃos(α+β)=－错误!,α，β均为锐角,求ｃoｓβ的值．思路点拨：由tan α求siｎα,由ｃos（α+β)求sin(α＋β),再利用ｃoｓβ=cos[（α+β)-α]展开求解．[解]因为α,β均为锐角,所以0＜α＋β＜π,又coｓ(α+β)=-错误!，所以错误!未定义书签。
<α+β<π,且ｓiｎ（α+β)=错误!.因为tan α＝4错误!未定义书签。
,所以sin α＝错误!,cosα=错误!.所以cos β=cos[(α＋β）－α]=coｓ(α＋β)ｃos α＋sin（α+β)sin α＝错误!未定义书签。
三角函数求值主要有三种类型,即(1）“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式。
(２)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角，要注意角的范围.(3）“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.１.已知sin 错误!s ｉｎ错误!＝错误!未定义书签。
，α∈错误!，求错误!未定义书签。
的值. ［解] ∵sin 错误!sin 错误!=错误!，∴s ｉn 错误!cos 错误!=错误!,ｓin 错误!=错误!,即cos 2α=错误!．又α∈错误!,2α∈(π,2π)，∴sin 2α＝－错误!未定义书签。
＝－错误!＝－错误!.∴错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
=－错误!未定义书签。
化简与证明求证：错误!未定义书签。
＝1+si ｎ 4θ＋cos ４θ１-ｔa ｎ2θ。
思路点拨:先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式.［证明］ 证明原不等式成立,即证明1+sin 4θ-cos 4θ＝ta ｎ 2θ(1+sin 4θ+ｃos ４θ）成立.∵ta ｎ 2θ(1＋sin 4θ+cos 4θ)＝错误!未定义书签。
三角恒等变换公式如下：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。
定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的来象垍限头樤，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。
还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα, cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
高中数学必修4 第3章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不但有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，使用已学知识和方法的水平问题，等等. 三、教学设想： （一）导入：问题1： 我们在初中时就知道 2cos 452=，3cos302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家能够猜测，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜测是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也能够用角α的余弦线来表示。
思考?.1角函数线来探求公式怎样联系单位圆上的三(1) 怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）?)2(的余弦线和余弦线的正弦线怎样作出角βαβα-，、、思考2：怎样联系向量的数量积探求公式？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？（2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=+=-=⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活使用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：此题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？ （四）练习：不查表计算以下各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解： ︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒= （五）小结：两角差的余弦公式，首先要理解公式结构的特征，理解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活使用.（1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中灵活处理已、未知关系． （六）作业3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。
，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
数学高考综合能力题选讲5三角恒等变换题型预测三角恒等变形是运用三角解题的基础．高考中对于三角部分的考查，主要集中于三角恒等变换．难度一般控制在中、低档水平，复习时要注重通法和常规题型的掌握．范例选讲例1 求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.讲解 原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．点评 三角函数式的化简和求值，是训练三角恒等变换的基本题型，在化简和求值中，常用的方法有：切割化弦、异名化同名、角的配凑、拆项、降幂与升幂等． 例2已知54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα，求βαsin cos 的值．讲解 由条件直接解出βαsin cos 、的值是不可取的．由于()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ，所以，应该设法由已知求出βα+及βα-的三角函数值．已知可以让我们联想到形如n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 的式子，但二者又不完全相同．即后者可以直接和差化积，前者则不然．其实，只要作一个变换，令γπβ-=2，则可将本题转化为我们熟悉的问题．解1：令γπβ-=2，则原题等价于： 已知54cos cos ,53sin sin =+=+γαγα，求γαcos cos 的值． 两式分别和差化积并相除得：432tan=+γα，所以 ()2572tan12tan1cos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+γαγαγα. 分别将已知两式平方并求和得：()21cos -=-γα,所以，()()()10011cos cos 21cos cos -=-++=γαγαγα.在对式子n m =+=+βαβαcos cos ,sin sin 进行变形的过程中，我们不难联想到，既然可以平方相加，为什么不能平方相减呢？尝试的结果可以使我们得到下面的解法：解2：由54sin cos ,53cos sin =+=+βαβα平方相加得：()21sin -=+βα． 上述两式平方相减得：()257sin 22cos 2cos -=-+-βααβ． 将上式前两项和差化积，得：()()()257sin 2sin sin 2-=-+-+βαβαβα， 结合()21sin -=+βα，可解得：()257sin -=-βα． 所以，()()()βαβαβα--+=sin sin 21sin cos 10011-=．点评 联想和类比，常常可以促成问题转化，并最终达到解决问题的目的．例3 已知函数()x xm x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减，试求实数m 的取值范围．讲解 已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式．任取∈21,x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->-由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ，所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时，42,2021π<<x x ，所以 12tan ,2tan 021<<xx , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan 1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x ,有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞. 点评 求()的最小值⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221cos cos sin 2x x x x 时，要注意能否取到的问题．请思考，下面的解法有什么问题：当2021π<<<x x 时，220,0242121ππ<+<<-<-x x x x ，有 12sin 0,12cos 222121<+<<-<x x x x ， 从而()212222sin 2cos2cos cos sin 221211221=⋅>+-=--x x x x x x x x ， 故 m 的取值范围为]2,(-∞.高考真题.1. （2002年全国高考） 已知.2,0,12cos cos 2sin 2sin 2⎪⎭⎫⎝⎛∈=-+πααααα求ααtg ,sin .2. （2001年上海春季高考）已知)24(12sin sin 22π<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值．3. （1994年全国高考）已知函数f(x)＝tg x ，x ∈(0，2π)，若1x ，2x ∈(0，2π)，且1x ≠2x ，证明:21[f(1x )＋f(2x )]＞f(2x x 21+).[答案与提示： 1．,21sin =α33=αtg ． 2．k -1． 3．略]。
第5节 两角和与差的恒等变换公式知识点一 两角和与差的余弦公式知识点二 两角和与差的正弦公式题型一、给角求值例1 计算：(1)cos 105°；(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°.解 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.(2)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.反思感悟 解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式． 跟踪训练1计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )． 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin [(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 题型二、给值求值例2 已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．解 ∵π2<β<α<34π，∴－34π<－β<－π2.∴0<α－β<π4，π<α＋β<32π.∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365， 延伸探究1．若本例的条件不变，求sin 2α的值． 解 由本例解析知sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 2．若本例条件变为：π2<β<α<3π4，sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－513，求sin 2β的值．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<32π.所以cos(α－β)＝1213，cos(α＋β)＝－1213，所以sin 2β＝sin [(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)＝⎝⎛⎭⎫－513×1213－⎝⎛⎭⎫－1213×513＝0. 反思感悟 给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练2 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值．解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.①∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.②由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 题型三、给值求角例3 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为0<β<π2，所以0<α＋β<π.因为sin(α＋β)＝5314<sin α，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为0<β<π2，所以β＝π3.延伸探究若把本例中的“0<β<π2”改为“π2<β<π”，求角β的值．解 因为0<α<π2，cos α＝17，所以sin α＝437.又因为π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2.因为sin(α＋β)＝5314，所以cos(α＋β)＝－1114，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 又因为π2<β<π，所以β＝2π3.反思感悟 解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π2或⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，选取求正弦值． 跟踪训练3 已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值． 解 因为α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，所以cos α＝255，sin β＝31010. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22. 又因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.故α－β＝－π4.知识点三 两角和与差的正切公式题型一、化简求值例1 计算：(1)tan(－75°)；(2)tan 74°＋tan 76°1－tan 74°tan 76°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.解 (1)∵tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3，∴tan(－75°)＝－tan 75°＝－2－ 3. (2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－33. (3)∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°，∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟 利用公式T (α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式：T (α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换． (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的 特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．跟踪训练1 求值：(1)1－tan 15°1＋tan 15°；(2)tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°.解 (1)1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 15°tan 45°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33.(2)由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)得tan 10°＋tan 35°＝tan 45°(1－tan 10°tan 35°)＝1－tan 10°tan 35°， 所以tan 10°＋tan 35°＋tan 10°tan 35°＝1. 题型二、给值求值(角)例2 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解 ∵tan β＝－17，tan(α－β)＝12，∴tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171－12×⎝⎛⎭⎫－17＝13，tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)tan α＝12＋131－13×12＝1.∵tan α＝13>0，tan β＝－17<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α－β∈(－π，0)． 又∵tan(α－β)＝12>0，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． 而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－34π.反思感悟 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小． 跟踪训练2 已知tan α＝13，tan β＝－2，且0<α<π2<β<π，求(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．解 (1)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝13－(－2)1＋13×(－2)＝7.(2)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝13＋(－2)1－13×(－2)＝－1，又0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<32π，∴α＋β＝34π.题型三、两角和与差的正切公式的综合应用例3 (1)已知A ，B 是三角形ABC 的两个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2＋8x －1＝0的两个实根，则tan C ＝________.解析 由题意可知⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝－83，tan A ·tan B ＝－13，由两角和的正切公式得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－831－⎝⎛⎭⎫－13＝－2，又A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝2.(2)在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3得tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝3－3tan B tan C1－tan B tan C ＝3，又0<B ＋C <π，∴B ＋C ＝π3，①；又由3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B 得tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝33(tan A ·tan B －1)1－tan A ·tan B ＝－33.又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝56π，②由①②及A ＋B ＋C ＝π解得B ＝π6，C ＝π6，A ＝23π.所以△ABC 为等腰三角形．反思感悟 (1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； ②1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan (α＋β)；③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； ④tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式． 跟踪训练3 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的值为( )A.π3 B ．－2π3 C ．－2π3或π3D ．无法确定 解 由已知得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，①tan α·tan β＝4，②所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，又由①②可知tan α<0，tan β<0.∴－π2<α<0，－π2<β<0，∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－23π.两角和与差的正弦余弦公式1．sin 15°sin 75°的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析 原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14.2.⎝⎛⎭⎫cos π8－sin π8⎝⎛⎭⎫cos π8＋sin π8的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.22解析 原式＝cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22.3．已知α是第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析 由sin α＋cos α＝33，平方得1＋2sin αcos α＝39＝13，∴2sin αcos α＝－23. ∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝53.∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴cos α－sin α＝－153， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝－53. 4．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α等于( )A ．－34 B.34 C ．－43 D.43解析 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D.3 解析 ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∴cos α＝±12.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝3. 6．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝________.解析 由已知，得1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.所以sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－2⎝⎛⎭⎫122＋1＝－45.7．化简：sin 235°－12sin 10°cos 10°＝________.解析 原式＝2sin 235°－12sin 10°cos 10°＝－cos 70°sin 20°＝－cos 70°sin (90°－70°)＝－1.8．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________．解析 方法一 因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， 所以sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得1－sin 2x ＝1825，所以sin 2x ＝725.9．已知tan α＝17，tan β＝13，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．解 tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝34，tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan αtan 2β＝1.因为α，β均为锐角，且tan α＝17<1，tan β＝13<1，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π4， 所以α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，所以α＋2β＝π4. 10．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 解 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35， ∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45.11．设sin α＝13，2π<α<3π，则sin α2＋cos α2等于( )A ．－233 B.233 C.43 D ．－33解析 ∵sin α＝13，∴⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝1＋sin α＝43. 又2π<α<3π，∴π<α2<3π2，∴sin α2＋cos α2＝－233.12．已知函数f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2⎝⎛⎭⎫0<x ≤π3，则( ) A ．函数f (x )的最大值为3，无最小值 B ．函数f (x )的最小值为－3，最大值为0 C ．函数f (x )的最大值为33，无最小值 D ．函数f (x )的最小值为－3，无最大值 解析 因为f (x )＝cos 2x －1cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x ,0<x ≤π3，所以函数f (x )的最小值为－3，无最大值，故选D.13．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是______． 解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3，∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3. 14．(2019·全国Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴f (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t ＝1时，f (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.15．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析 设A ，B 分别是等腰△ABC 的顶角和底角，则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53.所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459. 16．已知α为锐角且tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3.(1)求tan α的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值．解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3，所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝3，即1＋tan α1－tan α＝3，解得tan α＝12. (2)2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4cos α－sin αcos 2α＝cos α(sin 2α＋cos 2α)－sin αcos 2α＝2cos 2αsin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α＝cos 2α(cos α＋sin α)cos 2α＝cos α＋sin α.因为α为锐角且tan α＝12，所以cos α＝2sin α.由sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝15，所以sin α＝55，cos α＝255，可得cos α＋sin α＝355.即原式＝355.两角和与差的正切公式1．(2019·全国Ⅰ)tan 255°等于( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋3 C ．2－ 3D ．2＋3解析 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3.2.3－tan 18°1＋3tan 18°的值等于( ) A ．tan 42° B ．tan 3°C ．1D ．tan 24° 解析 ∵tan 60°＝3，∴原式＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan(60°－18°)＝tan 42°. 3．若tan(180°－α)＝－43，则tan(α＋405°)等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 解析 ∵tan(180°－α)＝－tan α＝－43， ∴tan α＝43，∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝1＋tan α1－tan α＝1＋431－43＝－7. 4．在△ABC 中，∠C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53解析 ∵∠C ＝120°，∴∠A ＋∠B ＝60°，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝3， ∴tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )＝233，解得tan A ·tan B ＝13.故选B. 5．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．不确定解析 (1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 7．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. 解析 tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝12－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17. 8．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝________.解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55，∴cos B ＝255，∴tan B ＝12， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4. 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值． 解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. (2)原式＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin (β－α)cos (β－α)＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．解 (1)由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.11．已知sin α＝55，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为( ) A.π4 B.3π4 C.π3 D.2π3解析 sin α＝55，且α为锐角，则cos α＝255，tan α＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12－31－12×(－3)＝－1.又α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，故α＋β＝3π4. 12．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D.433解析 tan 15°＋tan 105°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋60°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23， 13．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于________．解析 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1.14．设tan θ＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝________. 解析 由tan θ＝2，得tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－3，sin θ－cos θsin θ＋cos θ＝tan θ－1tan θ＋1＝13.15．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 C解析 由于21°＋24°＝45°，23°＋22°＝45°，利用两角和的正切公式及其变形可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，故(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)＝4.16．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立． 由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝⎛⎭⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3， 因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－ 3. 若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4， 所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.。
