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§10.3格林公式-PPT课件

§10.3格林公式-PPT课件

2 2 2 3 3 3 C x y a 例 1 ． 求 由 星 形 线 ： 所 围 成 的 面 积 A 。
3 x a cos t , 0 t 2 解 ： C 的 参 数 方 程 为 （ ） 。 3 y a sin t ,y
1 A xdy ydx 2C
X 型 Y 型 又 是 作 辅 助 线 把 D 分 成 两 个 既 是 的 区 域 y F D 和 D ， 1 2
D1
Q P ( x y )dxdy
D
A
D2
B
E
o Q P Q P ( ) dxdy ( ) dxdy ： （ 1 ） 若 D 既 是 。
D {( x , y ) y ( x ) y y ( x ), a x b } ， 1 2
P ∵ 连 续 ， y y y y (x ) 2 b y ( x ) P P N C 2 dxdy dx dy ∴ y ( x ) y a yA D B 1
4.用格林公式求平面图形的面积
Q P Pdx Qdy ( ) dxdy 若 在 中 ， C x y
D
P ( x , y ) y Q ( x , y ) x 取 ， ， 则 得
ydx xdy 2 dxdy , C
D
1 A xdy ydx ∴ 。 （ 其 中 A 是 区 域 D 的 面 积 。 ） C 2
P [ x ,y ( x )] P [ x ,y ( x )]} dx { 1 2
a b
P ∴ P ( x , y ) dx dxd 。 ① C y
D
D { ( x , y ) x ( y ) x x ( y ), c y d } 又 设 ， 1 2

高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用

高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用

F 是
保 u (x 守 ,y)(场 x ,y) P (x ,y)d x Q (x ,y)d是 y x ,y 的
二 .
u(xx,y)u(x,y)(x 0,y0)
lim
x 0
x
l x 0 i 1 x m ( ( x x 0 ,y 0 x ) ,y ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d ( ( x y x 0 , , y y ) 0 ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d y
LL
(xy)3
y3x 3yx
D
x((xy)3
) ( y (xy)3
)d
xdy
3 ( x y ) 3 ( y 3 x ) 3 ( x y ) 2 3 ( x y ) 3 ( 3 y x ) 3 ( x y ) 2
[
D
( x y ) 6
( x y ) 6
] d xd
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
则
L
P(x,
y)dxQ(x,
y)dy
D(Qx
P)dxd.y y
证明 由 引 1 理 LP(x,y)dx D P ydxdy
由引 2 理 LQ (x,y)dy D Q xdxdy
LP(x,y)d xQ (x,y)d yD Q x P y dxdy
用第二型曲线积分表示区域的面积公式：

高等数学-格林公式及其应用.ppt

高等数学-格林公式及其应用.ppt

l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4

微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关

微积分II课件——11-3(2) 格林公式及其应用2 曲线积分与路径无关

例1 求解方程
(5x4 + 3xy2 − y3)dx + (3x2 y − 3xy2 + y2 )dy = 0.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D上 P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关
三、二元函数的全微分求积
定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连续偏导 数, 则 P( x, y)dx + Q( x, y)dy 在G 内为某一 函数u( x, y)的全微分的充要条件是等式
∂P = ∂Q ∂y ∂x 在G 内恒成立.
若 ∂P ≡ ∂Q
y
∂y ∂x
∫ 则 B( x1 , y1 ) Pdx + Qdy A( x0 , y0 )
• A( x0 , y0 )
o
∫ ∫ =
x1 x0
P
(
x
,
y0
)dx
+
Hale Waihona Puke y1Q(y0x1
,
y)dy
∫ ∫ 或 =
Q y1 (
y0
x0
,
y
)dy
+
x1 x0
P(
x,
y1
)dx
• B( x1 , y1 )
• C( x1, y0 )
∂x ∂x
原积分与路径无关
∫ ∫ 故原式=
1 x2dx +
1
(1 +
y4 )dy=
23 .
0
0
15

《格林公式及其应用》PPT课件

《格林公式及其应用》PPT课件

n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
首页
上页
返回
下页
结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB

高等数学格林公式PPT课件

高等数学格林公式PPT课件

正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从

格林公式及其应用【高等数学PPT课件】


解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.

《格林公式及其应用》课件


特殊型格林公式
特殊形式的格林公式适用于计算具有特殊形 状的曲线或曲面上的积分，如圆形、椭圆形 等。
格林公式的应用
1 线积分的计算
通过格林公式，我们可以计算曲线上的积分，从而得到与曲线相关的物理量，如流量、 环流等。
2 面积的计算
利用格林公式，我们可以计算平面上的闭合曲线所围成的面积，为测量和计算提供了方 便。
3 体积的计算
基于格林公式，我们可以计算由曲线围成的立体图形的体积，为求解三维图形的体积提 供了便利。
格林公式的计算方法
1
极坐标系下的计算方法
当曲线在极坐标系下表达时，我们可以利用极坐标的性质，简化格林公式的计算 过程。
2
直角坐标系下的计算方法
当曲线在直角坐标系下表达时，我们可以借助直角坐标系的符号和定义，求解格 林公式中的各个参数。
格林公式及其应用
本课件介绍格林公式的形式、应用场景及计算方法，以及灵活应用格林公式 的技巧。让我们一起探索格林公式的奥秘！
什么是格林公式
格林公式是一个在向量分析中常用的定理，它将二重积分与线积分、面积积分联系起来。了解它的基本 原理对于理解多变量微积分至关重要。
格林公式的形式
一般型格林公式
一般形式的格林公式在计算线积分与面积积 分时特别有用，它将曲线的内部区域与曲线 的边界联系起来。
例题分析
给定一个曲线和一个区域，我们将应用格林公式来计算相关的积分和物理 量，以解决问题。
总结
格林公式的优势与不足
格林公式在解决某些问题中非常有用，但在特定场景下可能有其局限性，我们需理解其应用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围和限制。
如何灵活应用格林公式
学习了格林公式的基本原理和计算方法后，我们可以尝试将其巧妙应用于实际问题中，创造 性地解决难题。

格林公式及其应用.ppt


LPdx
Qdy
的
重
要
意义 :
1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的 第二型曲线积分之间的关系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二型曲线积分的新方法.
格林公式便于记忆的形式:
x y dxdyLP( x, y)dxQ( x, y)dy.
DP Q
应用格林公式必须注意：
Green 公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续， 三者缺一不可。（若积分曲线 C 不封闭，则添加辅助线
(
x
2
y
2
)dxdy
2
0 d
R3d
0
2
R4 4
R4 2
.
D
错解： ( x2 y2 )dxdyR2dR4 。
D
D
在这里，不能将曲线方程 x2 y2 R2代入被积函数。
例 3．计算曲线积分 C(e x sinymy )dx(e x cos ym)dy ，
其中 C 为由点 A(a,0) 至点O(0,0) 的上半圆周x2 y2 ax
CQ(
x,
y)dy
Qdxdy x
，②
D
合并①、②得
C
P
(
x
,
y
)dx
Q(
x
,
y
)dy
(
D
Q x
P y
)dxdy
。
（2）相 若区加域时D沿由辅分助段线 光滑上的的闭积曲分线围相成互，抵如消图。则
作辅助线把 D 分成两个既是 X 型 又 是Y 型 的区域
D1和D2 ，
y
F
D1
(
Q x
P y
)dxdy

格林公式及其应用(课堂PPT)


式得：

xdy
x2
ydx
y2
0
10
当 (0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2 y2 r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
11
L
xdy
x2
ydx
y2
l
xdy
x2
ydx
y2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y asin,0 2 ,
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
[a(1 cos )a cos a sin (a sin )]d
20
2
a
2
(1 cos )d
2
a 2 0
3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值：
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
18
t
1
1
t
0 0dx 0 Q(t, y)dy 0 0dx 0 Q(1, y)dy.
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
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D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由 L1与 L2连成 L由 L1与 L2组成
边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边。
y
证明 (1)
d
E y2(x)
若区域 D既是 X 型 x1(y)
L L l lD ( Q x P y)dx d l y
要求右端的二重积分及曲线l积分易于计算。l 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有
Q P , x y
则 L 0;
如
D
内除点
M 0(x0,y0)外均有
Q x
P y
,
则
Ll
其中 l 是包围点(x0,y0)的与 L同向的光滑的简 单闭曲线，特别地 l 是以(x0,y0)为中心的圆、椭圆 等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
CAE
d
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
EAC
c
LQ(x,y)dy
o
E D
C
x2(y)
x
同理可证 D P ydx dL yP(x,y)dx
由 O x 于 A d 0 ,y Bx O d 0 ,y
ABxdyD dxdy1 4r2
（2） 简化二重积分 y
例 2 计算 e y2dxdy,其中 D是 1 B
D
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域。 o
解 令 P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
A
1x
应用格林公式,有
ey2dx dy x ey2dy
D
OA A B BO
xe y2d y1xe x2dx
OA
0
1(1e1). 2
例3 计算 I L e x ( 1 cy o ) d e s x x (s y 1 i) d n , y
L:ysix n从 O(0,0)到 A(,0)
DB
又是Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L至
多交于两点.
A c oa
x2(y)
C y1(x) b
x
D { x , y ) ( 1 ( x ) y 2 ( x ) a , x b }
D { x , y ) ( 1 ( y ) x 2 ( y ) c , y d }
Qdx ddydy2(y)Q dx
L 1 P Q d x L d 2 P y Q d x L d 3 P y Q dx d
LPdxQdy
L3
D3
D2 L2
D1
(L1,L2,L3对D来说为正) 方 L1 向 L
(3)若区域不止由一条闭曲线 所围成。添加直线段 AB,CE， G 则 D的边界曲线由 B, L2,BA, AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成。
2
(其中l 的方向
取逆时针方 向)
(注意格林公式的条件)
注 此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的
圆周（即r充分小）？
y
还可将结论更一般化（略）
小结 （1）L是D的边界，在D上
Q x
P y
简单，而且
D(Qx Py)dxdy
易于计算时，可应用格林公式计算
O
L2 L L1 L3
x
（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：
便于记忆形式
x ydxdy L Pdx Qdy。
DP Q
简单应用
（1） 简化曲线积分
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
线 AB是半径为r 的圆在
第一象限部分。
y A
D
o L Bx
解 引入辅助曲线 L, L OA B BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdyLxdy
D
Ox Ad A yx B d B yx O,dy
两式相加得
QP
D(xy)dx dLyPdQ x dy
(2) 若区域D由按段光
滑的闭曲线围成.如图,
L3D 3
D2
L2
将 D分成三个既是 X 型又是 Y 型的区域 D1, D2, D3.
D1
L1
D
L
QP
QP
( )dxdy ( )dxdy
Dx y
x D 1D 2D 3 y
D 1( Q x P y )dx D 2d ( Q x y P y )dx D 3d ( Q x y P y )dx
D
o
x
(2) 当(0,0) D时,
作位于 D内圆周 l : x2 y2 r 2, y L
记 D1由 L和l 所围成,
应用格林公式,得
l D1
or
x
Lxx2d y y y2dx lxx2d y y y2dx 0 Lxxd 2 yyy2dxlxxd 2 yyy2dx
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
8.2.1 格林公式
定理8.2.1 设有界闭区域 D由分段光滑的曲线
L围成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在D上具有一
阶连续偏导数, 则有
ydx y2
,其中
L为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
向为逆时针方向。
解 记 L所围成的2
,
Q
x2
x
,
y2
则当 x2
y2
0时,
有 Q x
(
y2 x2
x2 y2 )2
P 。
y
y
(1) 当(0,0)D时,
L
由格林公式知
L
xdy x2
yy2dx0
由(2)知 D(Qx Py)dxdy D L 2 B
L3
E C
F A L1
{ }(Pd Q x)dy AB L 2 BA AFCCEL 3 EC CGA
( )P ( d Q x)dy L 2 L 3 L 1
PdxQdy L
(L1,L2,L3对D来说为正 ) 方
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分 与二重积分之间的联系。
解 可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这 里用格林公式。
O（AO（AAO AO D(Q xPy)dxdyOA [ex(syi n 1) exsiyn ]dx0 dy
D
0 dx0sinx e xdy
0 e x sin xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
|0
1 e
1 .
22
例4
计算 L
xdy x2