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毕业论文欧式期权定价理论及其数值计算方法摘 要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。
前人已经对欧式期权定价进行了很深入的研究，在1973年Fischer Black 和Myron Scholes 建立了看涨期权定价公式并因此获得诺贝尔学奖。
本文对欧式期权的定价的讨论主要在其定价模型和数值计算方法两个方面，探讨其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论。
本文将从以下六个方面讨论。
第一：介绍问题的背景和意义，先前的研究成果以及本文框架；第二：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第三：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期、二期和多期的欧式期权定价公式；第四：研究Black-Scholes 模型，通过求解Black-Scholes 方程得到Black-Scholes 公式()12(,)()()r T t C S t SN d Xe N d --=-，并探讨Black-Scholes 模型和二项式模型的联系，即得到波动率σ，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的u ，d 和q ；关键词 欧式期权定价 二项式模型 Black-Scholes 模型 有限差分 二叉树图目 录毕 业 论 文 (1)1 前言 (1)1.1 选题的背景和意义 ............................................................................................................ 1 期权交易的出现已达几个世纪之久。
在17世纪30年代的“荷兰郁金香热”时期，郁金香的一些品种堪称欧洲最为昂贵的稀世花卉。
1635年，那些珍贵品种的郁金香球茎供不应求，加上投机炒作，致使价格飞涨20倍，成为最早有记载的泡沫经济。
同时，这股投机狂潮却开启了期权交易的大门。
郁金香交易商向种植者收取一笔费用，授予种植者按约定最低价格向该交易商出售郁金香球茎的权利。
股票价格遵循O-U过程的几何型亚式期权定价刘兆鹏;张增林【摘要】讨论了股票价格过程遵循指数O-U(ORNstein-Uhlenback)过程的几何型亚式期权的定价问题,利用鞅方法,给出了具有固定执行价格的几何平均亚式期权的定价公式.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(028)003【总页数】3页(P258-260)【关键词】几何型亚式期权;Ornstein-Uhlenback过程;鞅方法【作者】刘兆鹏;张增林【作者单位】宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000;宿州学院,数学与统计学院,安徽,宿州,234000【正文语种】中文【中图分类】F830.91;O211.6亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的新型期权之一。
它与标准的欧式期权不完全相同，其在期权到期日的收益不仅取决于标的资产到期日的价格，还依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值。
一种为算术平均;另一种为几何平均。
亚式期权是一种强路径有关期权，相对于标准欧式期权，亚式期权比较便宜，对某些公司更有吸引力，它在许多金融领域有着广泛的应用，因此其定价也具有重要意义［1－3］。
此处选择能反映股票预期收益率波动变化的指数O－U 过程来刻画股票价格的变化规律，利用等价鞅测度法，给出了具有固定执行价格的几何型亚式期权的精确定价公式。
1 亚式期权定价模型考虑一个连续时间无套利的完备金融市场，假定市场存在两种资产:一种是无风险资产，如债券;另一种是风险资产（或股票）。
给定一个满足通常条件滤子流{Ft}t≥0的完备概率空间（Ω，F，（Ft）t≥0，P）。
股票价格过程S（t）遵循广义O-U过程:其中σ（t）为股票的波动率，μ（t）为股票的期望回报率，μ（t）和σ（t）充分光滑使得方程（1）有严格唯一正解，并且 S ＞0，α 为常数。
{W（t），0≤t≤T}是定义（Ω，F，（Ft）t≥0，P）在上的标准 Brown 运动。
欧式期权定价基本原理及其计算公式信阳师范学院(自然科学版)第19卷第2期2006年4月JournalofXinyangNormalUniversity(NaturalScienceEdition)V o1.19No.2Apr.2006综述?评论?争鸣?欧式期权定价基本原理及其计算公式孙胜利,豁祖顺.(1.清华大学数学科学系,北京100084;2.商丘职业技术学院,河南商丘476000:3.信用职业技术学院,河南信阳464OOO)摘要:文献【1]给出了买入和卖出期权定价的基本概念,费产定价定理和资产定价的数学结构,本史进一步阐述了欧式买入和卖出期权定价的基本原理殛其数学模型,并导出Slack-Scholes期权定价公式.关键词:Redundant债权;期权;套利;完备市场;Slack-Scholes公式中图分类号:0157.5文献标识码:A文章编号:1003-0972(2OO6)02.0233-03令=(五).,表示一项风险资产的价格序列,那么,就具有一种"风险,为了降低这种风险,我们可以利用"期权"即在时刻按照O时刻规定的价格买人权利.这个规定的价格称为"履约价格",这就是一个期权即买人期权.类似地,履约价格为的卖出期权在时刻的盈利表示为日(n,)=(一(埘)).这就是卖出期权.但它们是彼此联系的【,即一K=(+)'一(一),称为平价公式.考虑期权日=F()r=F(Xr;O≤J《T),它是的轨道函数.若有右连左极轨道有F.D—R+,其中D是右连左极函数:[0,]一只+组成的空间.若期权只能在截止日期实施,则称欧式期枕令日是上的随机变量.它表示一个未定债权.令表示它在t时刻的价值(或价格).从传统概率论观点可知=E{圳,如果考虑通货膨胀,把时问价值贴现回去,并且假定一个固定的利息率为,和时刻的盈利,那么可用￡,={万}取代={圳.根据"无套利机会"原,-/'理,用新的概率P'来代替P,使得证券价格x=(置)l10.r是鞅,只需选P'使得的期望为常数,即'{}为常数.其中E'表示在概率测度P'下的数学期望.从而,未定债权日的"无套利价格"不是{圳,而是'{圳,否则就会存在无风险的套利机会,其中P是实际控制证券变化的概率,而P'是人为计算出来的概率我们通过{}=E'{}来求P',然后得到P'近.II12,,似等于P'=1f1一l+Il,那么在P'下,'\\—//仍旧是二项的,但是此时它的均值为几P,方差为nP'(1'一P'),则((2以一n)/)均值为一(+)/,方差●渐近收敛到1.由中心极限定理,当n趋于无穷,s.收敛到一个对数正态分布:logS.均值为l0昏so一1/2t,方差为.厶这样St=Soe~p(o-,/iZ一.:1t),其中z在P'下为N(0,I)分布.这个方法就称为"二项式近似"方法].1Redundant债权若给定一个证券价格过程s.根据数值不变性,取R.;1.令=(s,;r《t),F-=VN,其中Ⅳ是(r2,F,P)中F的零测度集合,且F=V.,并取=n.那么,对某个给定的,s上的一个未定债权是一个随机变量日EFr.如果是一个非常数的随机过程,就可能改变所取的最小子域,那么利率过程将是(R.,s.),而不只是es..由金融资产定价理论可知,存在投资策略(口,b),使得它在时刻是日或尽可能地接近扭定义l令s为一项风险证券的价格过程,R为一项无风险债券的价格过程,并把它设为常数过程1.未定债权日EFr称为~dundant.当存在可容许的自融资策略(口.b). I1使得日口o+6.风+上atd~.+上asd~s-若把s标准化并记M=(1/R)S.那么,日在下为redundant,则有(对所有t,取R.一1)H=ao^f0+b0+.r【atdg,.如果P'是一个等价鞅测度使得是鞅,且日在P'下的数学期望有限,那么有'{圳=E'{口o+60}+-fE'{【口I埘.},若期望都是存在的,则有{圳=E'{口.矾+bo}+O.定理1设为redundant未定债权,并存在等价鞅测度P'满足日EL'(M),那么,存在日的惟一无套利价格E'{圳.证明由于对任一个等价鞅测度'{圳是不变收稿日期:2005-03-24;it订日期:2005-10-20作者简介:孙胜利(1963.),男,河南民权人,副教授,清华大学访问学者,主要从事随机分析与金融数学研究.233第19卷第2期信阳师范学院(自然科学版)2OO6年4月的,设Q.和Q:是两个等价鞅测度,那么,r{日f={ao+6oI+{【asdMsl,i=I,2?.r但是E口.{【}=0,且EQ.{aoMo+bol=aoMo+bo,由于ao,%和bo在0时刻是已知的,不失一般性.取它们为常数.假设有一个价格仃>E'{H}=a0+6o,那么用策略口=(口.)舢(忽视交易的手续费),在时刻要交给期权的买方金额为日,那么就无风险地获得了仃一n0+6o>0的利润,这是一个套利机会.另一方面,如果以仃<a0Mo+6.的价格购入债权金额为,那么时刻可以无风险地获得(口0+60)一仃的利润.定义2如果日是一个redundant债权,那么存在一个可容许的自融资策略(a,6),使得日=no+6o+JI.dM.,则称策略为复制债权且推论如果日是一个redundant债权,那么可以用一个自融资的方式复制债权日,且最初资本等于E'{Hf.P是标准化价格过程的任意等价鞅测度.令工'(M)表示P'意义下策略的集合.如果让完备市场(见下面定义)定义在P'下,实际上定义在P下更合适,但如果能在一个良好的情况下价格过程是P下的局部鞅,那么这个问题就解决了.定义3如果每个债权HEL'(,dP')对工()是redundant的,即对任意日∈L'(,dP'),存在一个可容许的自融资投资策略(口,b),口L'(M),满足H=‰Mo+,r,r占o+【asdM,,且(【as)..是一致可积,则称市场模型(肘.工'(M),P')是完备的.实际上.一个完备市场就是其中的每个债权都redundant,即每个未定债权都是可复制的.可料表示这条性质是非常好的性质,但只有极少数的鞅具有这个性质,比如布朗运动,补偿泊松过程和Azema鞅【3】,这样一来绝大多数的模型都不是完备的,并且绝大部分操作者也都认为实际的金融市场不是完备的.我们有下面的结果:定理2若存在惟一P',使JIlf是局部鞅仅当市场完备定理3若有连续轨道,存在惟一P'使』l,是意义下的一鞅当且仅当市场完备由于日是redundant债权.那么目的无套利价格是E'{日},对任意等价鞅测度P(如果曰是redundant,那么E'{驯在每个P下都相等).然而,如果一个良好的市场模型不是完备的,那么(i)会出现不可复制的债权;(ii)等价鞅测度不惟一.所以,当日是redundant时,总存在复制策略若日不是redundant时,它不可能被复制;这种情况只能在某种恰当的意义下尽可能处理(例如expectedsquared errorloss),称这种策略为对冲策略.2342寻找复制策略'实际上要计算出一个复制策略的精确表示是比较困难的,而计算出对冲策略的精确表示就更难了,然而在一些简单情况下还是有精确表示的;若没有精确表示时候,但可用数值技巧来准确的近似对冲策略.一个相对简单标准形式的未定债权形式为日=,(Sr),其中s是风险证券的价格.欧式买人和卖出期权是相关联的[1],但两者之间的区别是(—sr)'是值域[0,K]的有界随机变量,而(s,一)是一个无界的随机变量.我们通过一个数值变换取R;1,并设=,(5r)是一个redundant债权,在t时刻债权的一个复制自融资投资组合价值是=E{,(s,)l}=口o+bo+【d.现作一系列假设来进行更简单的分析.假设1若S在某个等价局部鞅测度P'下是马尔可夫过程.在假设1下有=E's)J}=E'Sr)J},但由测度论可知,对每个t,存在函数9(t,?)使得E'{,(Sr)ISI}=9(t,S.).假设2若9(t,)对￡是,而对是.根据伊藤公式=E'{_,(Sr)I}=(t,)=(o,so)+【,(5,s,一)d.一+【,一)山+^l^,寺上"(5,.)d[s,s]:+∑{(s,)一(j,SJ.)一(s,.)△S.}.假设3若s有连续轨道.由假设3和伊藤公式可推出=妒(f,)=妒(o,)+【妒,(J,)aS.+.(s,S,)ds+妒"(j,)d[s,s]..(1)由于在O'下是鞅,(1)的右边也一定在P'下是鞅,这需要l.(j,)山+寺l"(s,)d[s,s].=0?(2)为了使(2)式成立,自然就要求[s,s]有几乎处处绝对连续的轨道.但可让假设的更强一些,即假设[s,s]有一个特殊的结构:假设4[s,s]=【III(s,)ds,h为+×一的联合.-7测函数.由此可知,当tp为偏微分方程i1III(5,). (s,)警(s,)=o,(边界条件9(,);))的解时,(2)一定成立.如果结合假设1—4,便得到一个具有二次变差【h(5, s.)ds的连续马尔可夫过程{S.},一个明显的满足条件的孙胜利,等:欧式期权定价基本原理及其计算公式过程就是随机微分方程=.II(5,s.)dB,+b(s,S,,r≤5)(Is的解,其中是P下的标准布朗运动,.s在P'下是连续马尔可夫过程,且二次变差[s,s].=【^(1,s.).(Is满足假设条件,所以,二次变差具有轨道性质,在等价概率测度P' 改变时它是不变的,但是马尔可夫性呢?为什么当b是依赖轨道的时候,s在P'下是马尔可夫过程吗?因为P等价于P,可以令Z=dP/dP,且Z>0口.8. (dP).令={ZI}(它显然是鞅),由Girsanov定理,)dB.一Z-~[Z,)dBr]I(3)是一个P'鞅.若假设=1+【Z.dB.,因为B有鞅表示且z是鞅,那么(3)变为.II(S)dB.一..II(S)山;.II(5,S,)dB.一上.II(J,s.)山-如果取=b(J,;r≤s)/h(s,sI),那么有sl=【.II(J,sJ)dB.+【6(J,S,;r≤5)山是P'下的鞅;于是有=+是一个P'鞅;因为【肘,肘]=[B,B].=I,由Levy定理它是一个P'一布朗运动,并且有.=h(t,s.)dM,,从而S是P'下的马尔可夫过程.最后构造P'.由于半鞅S的随机指数是"指数方程"dr,=d置的解,其中=1.而这个解为=exp(五一1[,]:)n(1+)e,如果连续,那么=exp(X,一÷[,剐.),记作=g()..只需dg,=l-l,Z,dB.;令ⅣI=【dB.,并且有=()..然后设=一b(t;S,;r≤t)/h(t,),且令dP'=dP,因为Z>0a.s.(dP),所以有P和P'等价.为此假设有一个价格过程dS,=h(t,)凹.+6(t,S,;r≤t)dt.现在我们用dP'=dP来构造P',其中=().且=二爵..令妒为边值问题()()()=0(4((T,x)=,(),其中(t,)对t是',而对是)的(惟一)解,那么=(I,s|)=(o,)十(5,S.),所以,由这4个约束性更强的假设,便找到了所需的复制策略!即口=却(5,s.)/Ox.并且也得到了价值过程II,=(t,s1),通过解偏微分方程(4)即可得到.假如没有显式解,但也可以用数值近似求得.从而得出结论:风险资产的价格过程S是服从一个由布朗运动导出的随机微分方程.注1尽管假设价格过程服从SDE,dS,=h(I,)+b(t;S,;r≤I)dt.但是我们看到PDE(4)中根本没有漂移系数6,这样价格和复制策略中也不会含有b,经济学的解释有两层:首先,漂移系数b已经在市场价格中反映出来了,它是建立在证券的基本原则上的;第二,重要的是风险的程度,而它已经在h这一项中反映了.注2假设2不是一个宽泛的假设,因为是一个PDE的解,并希望能发现这个解的规律.当,为光滑的时候它是对的(当然典型例子l,()=(K—)不是光滑的),问题出现在边界上,而不是内部,这样对适当的,我们可以解决边界项,实际上,这项分析可以解决欧式买入卖出期权的情形.3Black—Scholes公式由上面可假设S服从一个常系数线性SDE:dS,=+dt,so=1(5)令五=.+,有(=S.dX,,So=1,则S.=().=e呐一(I/2).(5)的过程5是几何布朗运动,在这种简单的情形下PDE(4)的解可以表示为:'I)=佣1))e(6)在欧式买入期权的情形中有,()=(—K),那么可得=叫(10g素+1_f)))一K(l0g素一l2(-I)))),其中(z)=l_..LJI*~ae-w2/1d".对欧式买入期权还可以计算出复制策略(岳log+())-(7)下面我们计算欧式买人期权的价格(这里假设So=s)=(,0)=(1og素+1))一叫kg素一)),(8)(7)和(8)就是着名的Black-Scholcs期权公式,R=1.当存在利息率的时候,情况会有什么变化,为此假设有一个常数利息率r,则R.=e一,则公式(8)变成;=(,0)=(1og素十(r+12))一e(10g素+(r一))).(9)(下转第238页)235第19卷第2期信阳师范学院(自然科学版)2OO6年4月较大的小波系数,需要对阈值多次减半才能得以扫描到,这是本文算法的不足.参考文献:[I]M3~I.ATS.A~oryforMulti-resolutionDecomposition-t帅AnalysisandMachineIntelligence,1989,11(7):674-693-[2]SHAPIROJM.EmbeddingImageCodingUsingZerotreesofWaveletcD[J]'IEEETransa ctionsonSignalProe~sa~ing,1993,41(12):3445-3462.[3]ISO/IECFCD15444.I.JPEG2000StillimageCodingSystem【S/0L].httrC/March,20OO.[4]黄卓君,马争鸣.一种零树与游程相结合的小波图像编码方法[J].中国图象图形,2001,6(11):1118—1124-AnOrderedQuad.treeAlgorithmBased0nWa_veletTransformFENGY an(DepartmentofComputerScience,XinyangNormalUniversity,Xinyang464OOO,China) Abstract:AnimprovedalgorithmispresentedbasedondiscussingthealgorithmofEZW.Na melythelowestfre—quencysubbandisencodedseparately.theorderedquad-treeisdefinedinhighfrequencysub bandsSOthattheimportantwaveletcoefficientsaretransmittedbypriority,andtherun—lengthisapplied.Theoreticalanalysisand experimentalresultsshowthattheschemeisbetterthantheEZWintheaspectsofencoding/de codingtimeandrecoveryimagequality.Keywords:EZW;imagecoding;orderedquad—tree责任编校:郭红建(上接第235页)这些相对简单,精确,且容易计算的公式使得计算欧式买入卖出期权变得十分简单,这可能是由几何布朗运动构造出的价格模型比较简单,且Black-Scholcs公式中不出现漂移系数,但有时候它对真实市场模拟的并不精确.Black.scholea公式的应用广泛.如风险管理方法的设参考文献:计.融资和投资策略等;①期权定价公式可用于一般衍生物期权定价;②期权定价理论及其公式可用于债务定期和贷款担保;③期权定价理论及其公式可用于投资决策.一般来说,凡是具有期权特点的问题(已知目标.求初始投资)都可以利用Black—sc}10k期权定价理论和方法进行研究.[I]宋福庆,孙胜利.期权定价的数学模型[J].安阳师范学院,2005(2):14-16.[2]COXJ,ROSSS,RUBINSTEINM.OptionPricing:口鼢r归dApproach[1].J.FinancialEcon,1979(7):229-263.[3]DELBAENF,scHAcHERMAYERW.TheExistenceofAbsolutelyContinuousLocalM artingaleMeasures[J].AnnApplProbab,1995(5):926-945.[4]DRITSCHELM,pleteMarketswithDiscontinuousSecurityPrice[J].F inanceStochastice,1999(3):203-214.[5]DELBAENF,sc卧cHE砌AYERW.AGeneralV ersionoftheFundamentalTheoremofAssetPricing[J].MathAnn.1994(300);463-520.[6]DELBAENF,sc卧cHERMAⅥ'Rw.TheFundamentalTheorem向r占DHStochasticP,∞艄[J].MathAnn,1998(312):215-250.[7]孙胜利,刘永建.欧式期权定价原理及其应用[J].河南科学,2005,23(6):794-797.[8]DALANGR,MORTONA.WILLINGERw.Equi~le.zMartingaleMeasuresand110Arb itrageinStochaaic,&MarketMode/,[J].StochastiesStochasticRep,1990(29):185-201. TheBasicTheoryandAccountformulaofthePricingoftheEuropeanOptions SUNSheng.1il..HUOZu.shun(1.DepartmentofMathematicsScience,TsinghuaUniversity,Beijing100084,China;2.ShangqiuV ocational&TechnicalCollege,Shangqiu476000.China;3.XinyangV ocational&TechnicalCollege,Xinyang464OOO,China)Abstract:ThebasictheoryofbuyingandsellingtheassetpricingoftheEuropeanoptionsin[I]i sgiven.1'}le articleprobesintothebasictheoryofpricingEuropeanputandcalloptionandmathematicalm odeloftheEuro-pearloptions,andtheBlack.Scholesoptionformula.Keywords:redundantdebtee;options;arbitrage;completemarkets;black.scholesformula 责任编校:郭红建238。
