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《初等数学研究八轨迹》教案教案：《初等数学研究八轨迹》教学目标：1.了解轨迹的定义和意义。
2.能够利用几何工具画出已知条件下的几何图形的轨迹。
3.发现几何图形的轨迹之间的关系。
教学重点：1.轨迹的概念和特点。
2.轨迹的绘制方法。
3.轨迹之间的关系。
教学准备：1.教师准备教材和教具，如几何工具、几何图形模型等。
2.学生准备纸张和铅笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1.教师向学生提问：“你们对轨迹一词有什么了解？”2.学生回答并教师点评。
3.教师引导学生思考：轨迹在日常生活和数学中有哪些应用？二、概念讲解（10分钟）1.教师讲解轨迹的定义和概念。
2.教师通过举例说明轨迹的意义和特点。
三、绘制轨迹（25分钟）1.教师利用投影仪或黑板上给出一道题目，如：“已知一条线段AB，求其中点M的轨迹。
”2.学生结合几何工具和几何图形模型，尝试绘制出中点M的轨迹。
3.学生交流讨论并向教师展示自己的绘制结果。
4.教师点评学生的绘制结果，并给出正确答案和解释。
5.教师引导学生总结出绘制轨迹的方法和技巧。
四、轨迹之间的关系（25分钟）1.教师给出一道题目：“已知三角形ABC，角A的角平分线交边BC于点D，角B的角平分线交边AC于点E，角C的角平分线交边AB于点F，请绘制出点D、E、F的轨迹，并分析它们之间的关系。
”2.学生在纸上绘制点D、E、F的轨迹，并进行讨论和分析。
3.学生展示自己的绘制结果和分析结论。
4.教师点评学生的分析和讨论，并给出正确答案和解释。
5.教师提问学生：你们能否总结出轨迹之间的关系？五、拓展训练（15分钟）1.教师出示一系列的轨迹绘制题目，让学生尝试解答。
2.学生在纸上绘制轨迹，并计算出一些特殊情况下的轨迹点。
3.学生互相交流和讨论绘制结果，并向教师展示解答。
4.教师点评学生的解答和绘制结果，并给予指导和建议。
六、总结和评价（10分钟）1.教师对学生进行轨迹知识的总结和归纳，引导学生对轨迹的思考和应用。
1. 知识目标：（1）使学生掌握初等数论的基本概念、性质和定理；（2）使学生了解初等数论的研究方法和应用领域；（3）培养学生逻辑推理、抽象思维和数学建模能力。
2. 能力目标：（1）提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）培养学生独立思考、团队合作和创新能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣和热爱；（2）培养学生的严谨求实、勇于探索的科学精神。
二、教学内容1. 整数的基本性质；2. 同余及同余定理；3. 素数与哥德巴赫猜想；4. 最大公约数与最小公倍数；5. 完全数与亲和数；6. 数论的应用。
三、教学方法1. 讲授法：系统讲解数论的基本概念、性质和定理；2. 讨论法：引导学生积极参与课堂讨论，培养合作精神；3. 案例分析法：通过实际案例，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力；4. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识。
1. 导入新课（1）介绍数论的研究背景和意义；（2）提出本节课的学习目标。
2. 讲解整数的基本性质（1）讲解整数的定义、性质和运算；（2）举例说明整数的基本性质。
3. 讲解同余及同余定理（1）讲解同余的定义、性质和运算；（2）讲解同余定理，并举例说明。
4. 讲解素数与哥德巴赫猜想（1）讲解素数的定义、性质和分布；（2）介绍哥德巴赫猜想及其相关研究。
5. 讲解最大公约数与最小公倍数（1）讲解最大公约数和最小公倍数的定义、性质和计算方法；（2）举例说明最大公约数和最小公倍数的应用。
6. 讲解完全数与亲和数（1）讲解完全数和亲和数的定义、性质和寻找方法；（2）举例说明完全数和亲和数的应用。
7. 讲解数论的应用（1）介绍数论在密码学、计算机科学等领域的应用；（2）举例说明数论在实际问题中的应用。
8. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容；（2）强调数论的重要性和应用价值。
9. 作业布置（1）布置课后习题，巩固所学知识；（2）鼓励学生查阅相关资料，拓展知识面。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生的课堂参与度、回答问题的准确性和完整性；2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，了解学生对知识的掌握程度；3. 期中期末考试：综合评价学生的学习成果。
第1篇教学目标：1. 让学生了解一元二次方程的概念和意义。
2. 掌握一元二次方程的解法，包括公式法和因式分解法。
3. 培养学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
4. 通过小组合作学习，培养学生的团队协作精神和沟通能力。
教学重点：1. 一元二次方程的概念和意义。
2. 一元二次方程的解法：公式法和因式分解法。
教学难点：1. 一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
2. 小组合作学习中的沟通与协作。
教学准备：1. 多媒体课件2. 教学板书3. 学生分组4. 实例题和练习题教学过程：一、导入新课1. 提问：同学们，你们知道一元二次方程是什么吗？请举例说明。
2. 学生回答，教师总结：一元二次方程是形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，其中a、b、c是常数，x是未知数。
二、新课讲解1. 一元二次方程的解法a. 公式法- 讲解一元二次方程的求根公式：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a) - 通过实例讲解公式的推导过程和适用条件b. 因式分解法- 讲解因式分解法的基本原理- 通过实例讲解因式分解法的步骤和技巧2. 实例讲解a. 公式法实例：解方程x²-5x+6=0b. 因式分解法实例：解方程x²-4x+4=0三、小组合作学习1. 将学生分成小组，每组4-6人。
2. 每组选择一个组长，负责协调小组讨论和解答问题。
3. 小组成员共同完成以下任务：a. 复习一元二次方程的解法b. 分析实例题，找出解题思路c. 小组成员互相解答问题，共同进步d. 每组选取一名代表，向全班同学展示解题过程四、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：a. 解方程x²-6x+9=0b. 解方程x²+5x+6=0c. 解方程2x²-4x-6=02. 教师巡视课堂，解答学生疑问，指导学生完成练习。
五、总结与反馈1. 教师总结本节课的重点内容，强调一元二次方程的解法在实际问题中的应用。
初等数学研究教学大纲《初等数学研究》教学大纲Elementary Mathematics Research一、本大纲适用专业数学与应用数学。
二、课程性质与目的1. 课程目标（1）使学生了解初等数学的研究对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用以及本课程与中学数学的联系；（2）使学生理解初等数学中的概念、原理、法则、方法等；（3）使学生掌握初等数学的理论体系和结构以及初等数学中的重要的思想方法；（4）使学生学会运用高等数学的理论和观点分析研究初等数学，熟练地运用重要的思想方法解决初等数学中的问题；（5）使学生对中学数学新课程改革的基本思想和内容的设置有个较为全面地了解和认识，并产生自己的思考；（6）使学生提高分析、认识和处理中学数学教材的水平，培养学生独立思考、探索研究、分析和解决问题的能力，以及养成数学的思维习惯；（7）为学生今后从事数学教师职业提供必要的专业训练和知识准备，以及辅导中学生研究数学问题所需的基本方法。
2. 与其它课程的关系《初等数学研究》是在学习了《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等专业基础课的基础上开设的，并且与后继课程《现代教育学》、《教育心理学》、《数学课程与教学论》、《数学方法论与数学史》等教育理论，《几何画板与flash制作》、《竞赛数学》等紧密结合。
3. 开设学期按培养方案规定的学期开设。
三、教学方式及学时分配序号主要内容主要教学方式学时1 第一章数系面授讲课 42 第二章解析式面授讲课 63 第三章方程与函数面授讲课84 第四章数列面授讲课 65 第五章排列与组合面授讲课 26 第六章算法面授讲课 27 第七章平面几何问题与证明面授讲课 48 第八章初等几何变换面授讲课 29 第九章几何轨迹面授讲课 210 第十章几何作图问题面授讲课 211 第十一章立体几何面授讲课 2四、教学内容、重点第一章数系1. 教学目标（1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则；（2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造；（3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质；（4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质；（5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。
初中数学研究教案一、教学背景分析平面几何中的对称问题是初中数学的重要内容，也是学生容易混淆的部分。
通过研究对称问题，可以帮助学生更好地理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
本节课旨在通过实例分析，让学生掌握对称的概念，学会运用对称性质解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：理解对称的概念，掌握对称性质，能够判断一个图形是否对称；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生发现问题、解决问题的能力；3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力。
三、教学内容1. 对称的定义：在平面内，如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2. 对称性质：轴对称图形的对称轴是图形的中心线，它将图形分成两个完全相同的部分。
对称轴上的任意一点，到图形两端点的距离相等。
3. 对称的应用：解决实际问题，如计算线段长度、角度等。
四、教学过程1. 导入：通过展示一些生活中的对称现象，如剪纸、建筑等，引导学生发现对称的美，激发学生对对称问题的兴趣。
2. 新课导入：介绍对称的定义和性质，让学生初步理解对称概念。
3. 实例分析：展示一些几何图形，让学生判断它们是否对称，并说明理由。
4. 小组讨论：让学生分组讨论，总结对称性质，学会运用对称解决实际问题。
5. 练习巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对对称的理解。
6. 总结拓展：引导学生思考对称在实际生活中的应用，激发学生的创新意识。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生练习题的完成质量，评估学生对对称知识的掌握程度；3. 学生反馈：收集学生对对称问题的看法和建议，为下一步教学提供参考。
六、教学资源1. 教学课件：制作精美的课件，展示对称图形和实例；2. 练习题：准备一些有关对称的练习题，巩固学生所学知识；3. 参考资料：为学生提供一些关于对称的拓展资料，丰富学生的知识储备。
初等数学研究教案导言：初等数学是学生中学数学学科的基础，也是培养学生逻辑思维和解决实际问题能力的重要环节。
本教案旨在提供一种研究性学习的方法，引导学生主动思考和发现，全面提高他们数学素养和创新能力。
一、教学目标通过本教学，学生将能够：1. 理解和运用数系的概念；2. 掌握基本的数学运算规则；3. 发展解决问题的策略和思维习惯；4. 提高数学推理和证明的能力；5. 培养合作学习和团队沟通的技巧。
二、教学内容1. 数系的概念和性质2. 分数和小数的运算3. 代数表达式的简化与因式分解4. 一次函数的图像与性质5. 几何图形的特征与变换6. 统计与概率的基础知识三、教学步骤1. 数系的概念和性质a. 导入：通过举例让学生思考不同数的特征，引出数系的概念；b. 讲解：介绍自然数、整数、有理数、无理数等数系的概念和性质；c. 拓展：让学生归纳其他数系的性质，并通过练习巩固。
2. 分数和小数的运算a. 导入：通过生活中具体的例子，引出分数和小数；b. 讲解：介绍分数的加减乘除规则和小数的四则运算；c. 拓展：给学生一些实际问题，让他们运用分数和小数求解。
3. 代数表达式的简化与因式分解a. 导入：通过观察图形或数列，引出代数表达式的概念；b. 讲解：介绍代数表达式的合并同类项、提取公因子和因式分解的方法；c. 拓展：让学生解决一些实际问题，体会代数表达式的运用。
4. 一次函数的图像与性质a. 导入：通过观察直线的特点，引出一次函数的概念；b. 讲解：介绍一次函数的图像、斜率和截距等基本性质；c. 拓展：让学生通过练习，熟练掌握一次函数的相关概念和运用。
5. 几何图形的特征与变换a. 导入：通过观察生活中的图形，引出几何图形的特征；b. 讲解：介绍几何图形的性质和常见变换规则；c. 拓展：通过练习和实际问题，让学生深入理解几何图形的特征与变换。
6. 统计与概率的基础知识a. 导入：通过举例说明统计与概率的应用背景；b. 讲解：介绍统计与概率的基本概念和计算方法；c. 拓展：让学生通过实际数据进行统计和概率计算，培养数据分析和推理能力。
初等数学研究教学大纲一、简介初等数学是中学数学的基础，也是学习更高级数学的必备知识。
本教学大纲旨在指导初等数学研究的教学内容、目标和方法，以帮助学生建立扎实的数学基础，培养数学思维和解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 了解和掌握初等数学的基本概念、原理和定理。
2. 能够运用代数、几何、概率等数学方法进行数学问题的分析和解决。
3. 培养数学思维和逻辑推理的能力，提高问题解决的思考能力和创新意识。
4. 培养学生对数学的兴趣和自信心，将数学应用于日常生活中。
三、教学内容1. 数的概念和运算a. 自然数、整数、有理数、无理数的概念及其运算规则b. 代数式、方程式和不等式的表示和运算c. 实数的性质和运算规则2. 代数a. 一次方程与一次不等式的解法及应用b. 二次方程与二次不等式的解法及应用c. 指数和对数的基本概念和运算规则d. 因式分解、分式和根式的运算和应用3. 几何a. 平面图形的性质和判定b. 立体图形的性质和判定c. 直角三角形和勾股定理的应用d. 向量的概念、运算和应用e. 平面几何和立体几何的基本证明方法4. 概率与统计a. 概率的基本概念和性质b. 随机事件的概率计算和应用c. 统计数据的收集、整理和分析d. 统计图表的绘制和分析四、教学方法1. 理论与实践相结合：将抽象的数学概念与实际问题相结合，提供实际例子进行解释和演示。
2. 启发式教学法：通过提问、讨论和探究，引导学生主动发现和解决问题的方法。
3. 案例分析法：以实际问题为切入点，通过具体案例的分析和解决，培养学生的问题解决能力和应用能力。
4. 游戏化教学：利用数学游戏和竞赛，激发学生的兴趣和动力，培养他们的合作和竞争意识。
5. 多媒体辅助教学：利用多媒体技术，辅助讲解和演示，提高学生的理解和记忆效果。
五、教学评价1. 定期进行知识测试，检测学生的掌握情况和理解程度。
2. 鼓励学生进行课堂练习和作业，及时给予反馈和指导。
3. 定期组织小测验和期中、期末考试，评估学生的学习效果。
初等数学研究教学设计背景介绍初等数学是学生从小学就开始接触的重要学科，是其他学科的基础。
在现代社会，数学已成为科学技术和生产生活的重要工具。
因此，在学生的数学学习过程中，教师需要创新教学方法，并不断提高教学效果，以使学生更好地掌握数学知识和技能。
研究意义通过研究初等数学的教学设计，可以更好地促进学生数学学科的发展和提高学生学习初等数学的兴趣和能力。
同时，可以为教师们提供更多的教学方法和策略，以便更好地推进学生的数学学习。
研究内容1.教学目标在初等数学的教学过程中，我们需要在明确教学目标的基础上开展实际的教学工作。
教学目标应当是小步骤地制定的，以帮助学生更好地理解和掌握数学概念，进一步提高学生的数学思维和数学技能。
2.教学内容初等数学的教学内容包括数字、数学概念、计算和解决问题的方法等。
在教学过程中，我们需要尽可能地使教学内容简单、清晰，并根据学生的实际情况调整教学难度，以容易吸收掌握初等数学知识。
在选用教学方法时，我们需要考虑到学生的年龄、智力水平和学习习惯等方面的因素。
适当选用逻辑分析、故事讲解、游戏模式、数字谜语等多种方法，以帮助学生更好地理解和掌握初等数学知识。
4.教学评估在初等数学的教学过程中，教师需要及时、有效地评估学生的掌握程度，以便更好地调整教学策略和教学方法。
教学评估的形式有多种，包括笔试、口试、作业、实验等。
教学评估要尽可能客观、公正、严格，以保证学生的学业水平。
实例分析1.教学目标教学目标要明确，在不影响学生基本能力的情况下，教学目标要让学生很好地掌握初等数学的基础概念和基本技能。
例如，学生需要掌握数字的基本概念、运算符的含义、分数的概念、解方程的方法等。
2.教学内容针对初等数学教学内容，我们要采用适当的教学方式和教学材料，例如，可以用游戏、视频、图表等方式让学生更直观、形象地理解数学知识。
3.教学方法初等数学教学方法应用多元化，可以选择课堂讲解、示范、互动、实际操作等方式进行教学。
教案
课程名称：初等数学研究任课教师：
教师所在单位
课程简介
《初等数学研究》是初等教育专业的专业课。
它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教育学、心理学之后而开设的。
本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。
本课程的重点是培养中小学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练中小学数学教师的技巧。
《初等数学研究》包括《初等代数研究》和《初等几何研究》两部分，是初等教育专业开设的一门综合性的选修课程。
根据高等师范学校数学专业的培养目标，通过该课程的学习，使学生了解初等数学的发展过程，初等数学的内容结构，思想方法等。
理解初等数学理论知识，提高中学数学教学水平。
学习本课程，要求学生更好地掌握并处理中学数学的教材，还必须使学生理解中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念怎样给出精确的定义，未作证明的或证明不完整的数学命题怎样做出严格的证明，以及一些广泛应用的数学方法的理论依据。
本课程摆脱了中学数学里已有的基础，以及高等数学里已作详尽讨论的知识，按照自己的逻辑系统来阐述初等数学的内容，并进行研究，将避免造成与中学数学或高等数学不必要的重复。
对于中学数学中已经解决的问题，将不在展开讨论，已有的知识与技能将作为工具来应用，在高等数学里已讨论过的有关理论，可以直接指导中学数学的，将直接应用，不再讨论。
《初等数学研究》教案
1. 反射变换
函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称；函数)(1x f
-与)(x f y =的图象关于直线x y =对称．因此函数)(x f y -=，)(x f y -=和)(1
x f
-的
图象可由函数的图象分别对y 轴、x 轴和直线x y =作反射得到．
2. 平移变换
函数b x f y +=)(的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向上下平移b 个单位得到．当0>b 时，图象向上平移；当0<b 时，图象向下平移．
函数)(m x f y +=的图象可有函数)(x f y =的图象沿x 轴方向左右平移m 个单位得到．当0>m 时，图象向左平移；当0<m 时，图象向右平移．
３. 伸缩变换
函数)0)((>=k x kf y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿y 轴方向放大)1(>k k 倍或缩短
)10(<<k k 倍得到；而函数)0)((>=k kx f y 的图象可由函数)(x f y =的图象沿轴x 方向压缩)
1(>k k 倍或伸长)10(1
<<k k 倍得到．
例3 作出函数2
11x y -=的图象．
解 易知2
11
x
y -=
的定义域为),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞，且没有零点，)1,1(-是其正值区间．),1(),1,(+∞--∞是其负值区间．所给函数是偶函数，其图象关于y 轴对称．当0=x 时，该函数有极小值1．当]1,0[∈x 时单调递增，当)0,1(-∈x 时单调递减，当)1,1(-∈x 时，函数是下凸的．当),1(+∞∈x 时，函数单调递增，且上凸；当），（1-∞-时，函数单调递减，且上凸．由于0
11
lim 11lim 2
2=-=-+∞→-∞→x x x x 在)1,1(-区间内+∞=-=-+-
→→2121
11lim 11lim x x x x 在区间内-∞=---→2111
lim x
x 在),1(+∞区间内-∞=-+
→2
1
11
lim x
x 所以函数图象无限趋近于x 轴与直线1±=x 根据以上分析容易作出函数的图象。
复习思考题、作业题：
1、若函数)0(2>=a ax y 的图象已经作出，试通过图象变换作出函数y ＝13+x 2+的图象．
2、作出函数x y 3
11+=
的图象．
定义4 形如⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧===)
,,(),,(),,(),,(),,,(),,,(212121*********n k n k n
n n n x x x G x x x F x x x G x x x F x x x G x x x F (2)的集合称为含有n 个未知数x 1，x 2，…，n
x 的k 个方程的方程组.
定义5 在方程组⑵的定义域中使方程组成立的数组（a 1,a 2, …a n )称为方程组⑵的解，方程组⑵所有解的集合称为方程组⑵的解集，求方程组的解集的过程称为解方程组.
事实上，方程组（2）的解集也就是组成该方程的k 个方程的解集的交集. 1.2 不等式的基本概念
定义6 形如 F ,,(y x …),z ∨G ,,(y x …),z ⑶的式了称为善于变元x ,,y …,z 的不等式，其中∨表示不等号＞,＜,≥,≤,≠中的任何一种，F ,,(y x …),z 与G ,,(y x …),z 为变元的实函数，它们的定义域的交集称为不等式⑶的定义域.
定义7 在不等式⑶的定义域D 中，使不等式成立的数组),...,,(c b a 称为不等式⑶的解集，不等式⑶的解的全体组成的集合S 称为不等式⑶的解集.求不等式的解集的过程，称为解不等式.
显然，解集S 与定义域D 满足S ⊆D .
⑴若解集S ＝D ，则称⑶式为绝对不等式。
⑵若解集S ＝φ，则称⑶式为矛盾不等式。
⑶若解集S ⊂D ，则称⑶式为条件不等式。
1.3 方程的变形与某些类型的方程的解法
定理 若F 1（x ）≡F 2（x ），G 1（x ）≡G 2（x ），且方程F 1（x ）≡G 1（x ）与方程F 2（x ）≡G 2（x ）的定义域相同，则这两个方程同解
证明 设方程⑴、⑵的解集分别为S 1、S 2，它们的定义域为D .设a ∈S 1，则F 1（a ）= G 1（a ）,且a ∈D ，即a 在F 1（a ）与G 1（a ）的公共域中，由F 1（x ）≡F 2（x ），有F 1（a ）= F 2（a ）.同理G 1（a ）= G 2（a ），则有F 2（a ）= G 2（a ），即a ∈S 2，故S 1⊆S 2。
同理可证S 2⊆S 1.所以S 1＝S 2，即方程⑴与方程⑵同解. 这个定理是利用恒等代换求解方程的理论基础 复习思考题、作业题：
1023=+++r qx px x 的三个根分别为,,,321x x x 试求一个一元三次方程，使得其三根分别为2
13132
321,,x x x x x x x x x +++.。
