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电网络理论2013第二章图论

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电网络理论 第二章图论

电网络理论 第二章图论

电网络理论第二章图论第二章图论图论是电网络理论的重要分支，主要研究对象是图。

图是由节点和边构成的一种抽象模型，被广泛应用于计算机科学、数学和其他相关领域。

本章将介绍图论的基本概念、常用算法以及在电网络中的应用。

1. 图的定义和表示方式图由节点（也称为顶点）和边组成。

节点表示图中的元素，边表示节点之间的关联关系。

图可以分为有向图和无向图两种类型。

有向图中的边有方向性，表示从一个节点到另一个节点的单向关系。

无向图中的边没有方向性，表示节点之间的无序关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的关系。

邻接表则是由链表构成的数组，每个节点对应一条链表，链表中记录了该节点与其他节点的关系。

2. 图的基本术语和性质图论中有一些基本的术语和性质，包括：- 路径：指从一个节点到达另一个节点所经过的一系列边和节点。

- 简单路径：路径中不含有重复节点的路径。

- 环：起点和终点相同的路径。

- 连通图：图中任意两个节点之间都存在路径的图。

- 强连通图：有向图中任意两个节点之间都存在路径的图。

- 子图：由图中部分节点和对应的边组成的图。

- 度：节点所连接的边的数量。

- 入度和出度：有向图中节点的入边和出边的数量。

3. 常用图论算法图论中有许多重要的算法，下面介绍其中几个常用算法：- 广度优先搜索（BFS）：用于查找图中从起点到终点的最短路径，同时可以用于遍历图的所有节点。

- 深度优先搜索（DFS）：用于遍历图的所有节点，通过递归的方式沿着路径向前搜索，直到没有未访问的节点。

- 最小生成树（MST）：通过连接图中的所有节点，使得生成的树具有最小的总权重。

- 最短路径算法：例如迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，用于查找图中两个节点之间的最短路径。

- 拓扑排序：用于对有向无环图进行排序，使得图中的节点满足一定的顺序关系。

4. 图论在电网络中的应用图论在电网络领域有广泛的应用，包括：- 网络拓扑分析：通过图论算法可以对电网络的拓扑结构进行分析，了解网络中节点之间的连接关系。

电网络理论

电网络理论

目录1. 基本网络元件与网络性质 (1)1.1 网络变量 (1)1.2 基本网络元件 (2)1.2.1 电阻元件 (2)1.2.2 电容元件 (3)1.2.3 电感元件 (4)1.3 网络性质 (5)1.3.1 线性与非线性网络 (5)1.3.2 时变与时不变网络 (6)1.3.3 元件的无源性和有源性 (6)1.3.4 网络的无源性和有源性 (9)1.4 二端口元件 (9)1.4.1 阻抗变换器 (9)1.4.2 阻抗逆变器 (11)1.5 零器和泛器 (12)2. 网络图与网络方程 (15)2.1 网络图论基础 (15)2.2 拓扑矩阵 (18)2.2.1 关联矩阵 (18)2.2.2 回路矩阵 (18)2.2.3 割集矩阵 (19)2.2.4 拓扑矩阵之间关系 (20)2.3 矩阵形式的基尔霍夫定律 (21)2.4 直接法分析 (24)2.5 网络矩阵方程 (26)2.6 改进的结点方程 (29)2.7 混合变量方程 (31)2.8 含零泛器的结点方程 (32)2.9 撕裂法 (34)3. 网络函数 (40)3.1 多端口网络的短路参数矩阵 (40)3.2 多端口网络的开路参数矩阵 (42)3.3 多端口网络的混合参数矩阵 (43)3.4 含独立源的多端口网络 (46)3.5 多端网络的不定导纳矩阵 (47)3.6 原始不定导纳矩阵 (48)3.9 不定阻抗矩阵 (57)4. 网络状态方程分析 (60)4.1 网络状态变量的选取 (60)4.2 线性非常态网络的状态方程 (62)4.3 建立状态方程的系统公式法 (64)4.4 含受控源的系统公式法 (67)4.5 多端口法 (68)4.6 状态方程的时域解 (70)4.7 状态方程的变换域解 (73)5. 网络定理与网络等效 (77)5.1 特勒根定理 (77)5.2 伴随网络 (78)5.3 互易定理 (82)5.4 对偶网络 (83)5.5 网络等效 (86)5.5.1 等效网络 (86)5.5.2 保留结点集合 (87)5.5.3 边界结点集合 (89)5.6 戴维南等效与诺顿等效 (90)6. 网络变动计算与灵敏度分析 (94)6.1 参数变动定理 (94)6.2 补偿法 (96)6.2.1 矩阵求逆辅助定理 (96)6.2.2 变动网络的补偿法计算 (97)6.3 灵敏度 (99)6.4 增量网络法 (100)6.5 伴随网络法 (102)7. 二阶RC有源滤波器 (108)7.1 二阶滤波函数 (108)7.2 运放的时间常数 (111)7.3 有限增益正反馈滤波器 (113)7.4 无限增益多路负反馈滤波器 (118)7.5 多运放二阶RC滤波器 (121)7.6 基于电流传输器的RC滤波器 (123)7.6.1 电流传输器 (124)7.6.2 电流传输器运算单元 (125)7.6.3 基于电流传输器的滤波电路 (127)8. 滤波器综合基础 (129)8.2.1 电抗函数的性质 (133)8.2.2 福斯特综合法 (134)8.2.3 考尔综合法 (135)8.3 二端口带载LC网络实现 (138)8.4 滤波器的逼近函数 (140)8.4.1 巴特沃思滤波器 (141)8.4.2 切比雪夫滤波器 (145)9. 高阶有源滤波器 (150)9.1 滤波函数的转换 (150)9.2 元件模拟实现 (154)9.2.1 仿真电感实现 (155)9.2.2 频变负电阻实现 (156)9.3 运算模拟实现 (157)9.4 级联法实现 (159)10. 开关网络分析 (164)10.1 分析直流变换器的状态平均法 (164)10.2 准谐振变换器的分析 (167)10.3 传递函数转换 (170)10.4 开关电容网络的分析 (174)11. 非线性电阻网络 (180)11.1 非线性电阻网络方程 (180)11.2 分段线性化方法 (182)11.3 牛顿 拉夫逊法 (184)11.4 友网络模型法 (186)12. 非线性动态网络 (190)12.1 相空间、轨线 (190)12.2 平衡点类型 (193)12.2.1 平衡点领域的线性化 (193)12.2.2 二阶线性状态方程组的平衡点 (194)12.3 稳定性分析 (197)12.4 周期解与极限环 (199)12.4.1 极限环形式 (199)12.4.2 一些极限环的判据 (200)12.4.3 拟周期振荡 (201)12.5 非线性电路的分岔 (203)12.6 混沌振荡电路 (206)12.6.1 混沌振荡的特点 (206)12.6.2 李雅普诺夫(Lyapunov)指数 (209)12.6.4 超混沌电路 (213)13. 非线性动态网络解法 (216)13.1 动态网络的数值解法 (216)13.2 摄动法 (219)13.3 平均值法 (221)13.4 谐波平衡法 (223)13.5 铁磁谐振电路的分析 (224)13.5.1 铁磁谐振电路的谐波解 (226)13.5.2 铁磁谐振电路中的次谐波 (229)1. 基本网络元件与网络性质这里所称的网络是指电气网络，即电路。

王勤电网络理论第二章

王勤电网络理论第二章

⎧ 1, 若 ⎪ a jk = ⎨ − 1 , 若 ⎪ 0, 若 ⎩
j j j
k k k
② b1 ① b4 b5 ⑤ b7 b6 ④
b1 b2 b3 0 0 1 -1 0 b4 1 0 0 -1 0 b5 -1 0 0 0 1 b6 0 0 0 -1 1 b7 0⎤ 0⎥ ⎥ -1⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎦ 0 ① ⎡1 ⎢− 1 - 1 ② ⎢ 1 ③ ⎢0 ⎢ 0 ④ ⎢0 0 ⑤ ⎢0 ⎣
一般规定： ① 支路的编号采用先连支后树支的顺序； ② 各单连支回路的绕向与相应连支的方向一致； ③ 回路的序号与连支的序号要一致且顺次列写。 Bf=[1l | Bt ] Bt 1l (b-n)×n矩阵 b-n阶单位矩阵 基本回路与树支的关联关系 基本回路与连支的关联关系
② b1 ① b2 b5 ⑤ b7 b6 ④ b3 ③
0 ⎡ 1 ⎢− 1 - 1 A= ⎢ ⎢ 0 1 ⎢ 0 ⎣0
① 按“Aa每一列中只有两个非零元素，一个为+1， 另一个为–1”的关系，可由A还原成Aa 。 ② 故A也与有向图G一一对应。即已知G可唯一地写 出A；已知A也可唯一地画出G 。 ③ 通常采用的是A，且A也简称为关联矩阵。 定理5：连通图G的A的n×n子阵非奇异的充分必 要条件是：此子阵的列所对应的支路形成G的一 个树，且该子阵的行列式之值为±1 定理6：连通图G满足： 秩(Aa )= 秩(A )=n= nt –1
§2—3
一、关联矩阵Aa和A
图的矩阵表示
增广关联矩阵Aa表示G的节点和支路的关联关系 (augmented incidence matrix) Aa=[ajk]是一个nt × b的矩阵。
＋1第k条支路与第j个节点相关联，且支路方向离开节点j；

电网络 - 第二章电网络简单电路

电网络 - 第二章电网络简单电路

i2
R2 + 1V _
i3
R3 + 4V _
+ u3 _
i1+i2+i3=0 u1+u25+u33=0
u-2+(u-1)5+(u-4) 3=0
u
例
G1、G2为线性电导，非线性电阻为压控电阻
i2
U n1 i3
G2
U n 2 i4 u3 +
i3 5u
+
u5
3 3
+
u4
U n3
13 i4 10u4 15 i5 15u5
o
i
•非线性电阻的并联
i + u
i1
+ i2
u1
+
u2
i ( u)
i i1 i2 u u1 u2
i
i' ' i2
i '1
i1 ( u) i 2 ( u)
同一电压下电流相加得 相应的DP特性。
i1' o
u'
u
（3）曲线相交法（负载线法）可求工作点，可求TC（如电子学 三极管的转移特性） 若已知：u1-i1，u2-i2，u1=u2=u，i1=-i2=i，求工作点。
+ u6 _
R0 U0 _ +
º + u _ º
i + u _
将线性部分作戴维南等效，非线性部分用一个非线电阻等效
得出 u , i。 图中i 4= g (u4 )， u 5= f 1(i5 )， u 6= f 2(i6 )，则 曲线 i - i4 u (u4) → i4 → i5
u5(i - i4)

电网络理论第二章

电网络理论第二章

子图
二、回路（Loop） 路径的起点和终点重合 用支路表示 l(1,3,6)， l(1,2,4) 用节点表示 l(a,d,c,a)， l(a,d,b,a) 三、树（Tree） 包含所有节点；是连通的；不包含任何回路 树支：nt
a
4
6
a
4
b
2
5
c
3
1
d
6
b
2
5
c
a
4
b
2 3
c
a
1
b
2
c
连支: l
d d
可用（n-1)×b阶矩阵Q表示，其中元素qij定义如下：
1 支路j与割集i关联且方向一致 qij = -1 支路j与割集i关联且方向相反 0 支路j与割集i不关联
1 2 3 4 5 6 b
1
3
2 5
1 0 1 Q f = c2 0 1 1 1 0 1 c3 0 0 1 0 1 1
A= i ai1 n-1 a( n 1)1
a1b a2b aib a( n 1) b
2
……
b
b12 b11 b22 2 b21 Bf = bj2 i b j1 b-n+1 b(b n 1)1 a(b n 1)2
k 1
b
（1）回路j不通过节点i
a 、若支路k与回路j有关联，则必与节点i无关联
k j i j i j
i
即bjk 0, aik 0 即aik 0, bjk 0
aik bjk 0 aik bjk 0
b 、若支路k与节点i有关联，则必与回路j无关联
k

第二章 电网络分析与综合

第二章 电网络分析与综合

u 回路l1 u 回路l2 u l3 回路
0 0 0
BU＝0
对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得
c3
4 2
5 3 6 c1
0 1 1 i4 i1 1 1 1 i i 5 2 1 1 0 i3 i6
说明连支电压可以用树支电压的线性组合表示。 在全部支路电压中，树支电压是一组独立变量， (n 1) 个数等于树支数 取基本回路是列写独立KVL方程的一个充分非 必要条件 。
u 6 u1 u 2
推广到一般情况：在基本回路上列写的基尔霍夫 电压定律方程是一组独立方程，方程的数目等于 连支数，基本回路是一组独立回路。
推广，b条支路，n个节点，第n号节点为参考节点，支路电压和节 点电压列矢量分别记作 则基尔霍夫电压定律的关联矩阵形式是
ATU n U
四、基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式
基本回路矩阵(fundamental loop matrix):描述基本回路与各支路的 关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支路，B 是
c2
1
图 1-4 基本割集
连支电流列矢量为
I l [il1 il 2 il ,bl ]T
则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 B T I l I
五、基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式
基本割集矩阵(fundamental cut-set matrix) ：基本割集与各支 路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集，列对应支 路，其元素为:
第二章 网络图论和网络方程
本章是通过线图既点和线联结而成 的几何图形，抽象模拟比较复杂的电网 络，从而对形象直观的线图性质进行研 究，得到各种系统的分析综合方法。

电网络理论全套PPT课件共计210页

T
Qf Bf T 0 T Bf Qf 0
关联矩阵与回路矩阵
Aa Ba T 0
T A Ba a 0
A Bf T 0 B f AT 0
25
第1章 电网络概述
b b
证明：
Ba Qa 0
T
令 D Ba Qa
T
b ji qki d jk b ji qik
i 1 i 1
1. 支路电压与节点电压
Vb ATVn
2.
节点电压法
树支电压与连支电压、支路电压
B f Vb 0
Vl 1 Bt V 0 t
割集电压法
Vb Q f TVt
T Vl BV Q t t l Vt
33
第1章 电网络概述
二、各种电流关系
1. 连支电流和树支电流
节点电压列向量
Im
网孔电流列向量
Vt
树支电压列向量
1.7.1 基尔霍夫电流定律的矩阵形式 1.7.2 基尔霍夫电压定律的矩阵形式
30
第1章 电网络概述
1.7.1 基尔霍夫电流定律的矩阵形式
AI b 0 Qa I b 0
独立？
n I 1 I I 1 2 I I I 1 4 5 n I3 I I I I ＝0 3 4 6 2 I I I I4 2 3 5 n I5 I 3 I 6
1 1 1 1 0 0 1234 235 Qf 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 126
独立
Q f Ql
1
23
第1章 电网络概述

电网络理论-第二章

T i B il Q i 0
2-25
QB i 0
T l
Q B
T f f
T
0 or
T t
B Q
0
T
0
T t
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B
B 1 Ql 1
Ql B
§2-3 图的基本矩阵形式
A与Qf 之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连 枝顺序写出矩阵：
2-26
A At Al B f Bt 1 Q 1 Q l f
§2-3 图的基本矩阵形式
结 支 ② 1 -1 0 1 0 2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0 4 0 -1 1 0 5 0 0 1 -1
2-10
1 Aa= 2 3 4
6 ３ ４ 0 ６ ③ 1 ① ５ 0 ２ -1 ④ 1
降阶关联矩阵A
支路b
A=
结 点 n-1
(n-1) b
§2-3 图的基本矩阵形式
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
§2-3 图的基本矩阵形式 注意 连支电压可以用树支电压表示。 ut 1 T [u ] Qf ut T ut ul Ql ul QlT ut 小结
A KCL KVL B [B ] T [ il ] =[i] Q [Qf][i]=0
un1 un un2 un3
矩阵阵形式KVL
[u ] [ A] [un ]
T
§2-3 图的基本矩阵形式 2. 回路矩阵B
2-13
[B]=
独 立 回 路
支路b
注意

电网络理论概述

电网络分析综述电路CAD技术是电路分析、设计、验证的有力工具，随着集成电路特征尺寸进入纳米时代，电路的规模越来越大，工作频率越来越高，芯片上市时间越来越短，以集成电路CAD为基础的电子设计自动化(EDA)已经成为提高设计效率、优化电路性能，增加芯片可靠性和提高芯片合格率的新兴产业，渗入到集成电路设计的每一阶段。

电路CAD已经有近40年的历史，涉及电路理论、半导体器件物理、线性与非线性方程组的求解方法、最优化涉及、数值分析和计算机软件等多个领域。

纳米时代的到来既为电路CAD技术带来了机遇，也使之前面临更大的挑战。

随着集成电路与计算机的迅速发展，以电子计算机辅助设计为基础的电子设计自动化技术已经成为电子学领域的重要学科，并已形成一个独立的产业。

它的兴起与发展，又促进了集成电路和电子系统的迅速发展。

当前，集成电路的集成度越来越高，电子系统的复杂程度日益增大，而电子产品在市场上所面临的竞争却日趋激烈，产品在社会上的收益寿命越来越短，甚至只有一二年时间。

处于如此高速发展和激烈竞争的电子世界，电路设计工作者必须拥有强大有力的EDA 工具才能面对各种挑战，高效地创造出新的电子产品。

20世纪70年代到80年代初期，电子计算机的运算速度、存储量和图形功能还正在发展之中，电子CAD和EDA技术还没有形成系统，仅是一些孤立的软件程序。

这些软件在逻辑仿真、电路仿真和印刷电路板(PCB)、IC版图绘制等方面取代了设计人员靠手工进行繁琐计算、绘图和检验的方式，大大提高了集成电路和电子系统的设计效率和可靠性。

但这些软件一般只有简单的人机交互能力，能处理的电路规模不是很大，计算和绘图的速度都受限制。

而且由于没有采用统一的数据库管理技术，程序之间的数据传输和交换也不方便。

20世纪80年代后期，是计算机与集成电路高速发展的时期，也是EDA技术真正迈向自动化并形成产业的时期。

这一阶段，EDA的主要特点是：能够实现逻辑电路仿真、模拟电路仿真、集成电路的布局和布线、IC版图的参数提取与检验、印制电路板的布图与检验、以及设计文档制作等各设计阶段的自动设计，并将这些工具集成为一个有机的EDA系统，在工作站或超级微机上运行。

电网络理论(新)

称端口型线性网络
由线性元件组成的网络称为线性网络
二、时变性和时不变性
*含时变元件的网络称时变网络，否则称时不变网络 *建立的方程为常系数方程的网络称时不变网络（也称定常网络）， 否则称时变网络
*输入、输出间满足延时特性的网络称时不变网络，否则称时变网 络。
即当输入为F(t)时，输出为R(t)； 当输入为F(t-t0)时，输出为R(t-t0)
若 f (i,t) =0 t
时不变流控电感
线性时变电感：
L(t)i
非线性 f (i) 线性 Li
u
df (i) di
di dt
Cd (i)
di dt
u L di dt
u d L(t) di i dL(t)
dt
dt dt
实际中使用的电感会受到磁滞特性的影响，其ψ-i或i-ψ 具有磁滞特性，某一时刻的工作状态与前期状态有关。
i1 (t )
1 L1
t 0
u1dt
1 n
i2
(t
)
只有在L1→∞，从而L2→∞ M→∞ 时
i1 (t )
1 n
i2
(t
)
§3 网络的基本性质
一、线性与非线性
以单端口网络为例，激励u(t)，响应i(t) 若u(t)→i(t)，当α为某一定值时，
有α u(t)→ α i(t) -------齐次性
i(t)
+
u(t )
N
-
且当 u(1) (t ) i(1)，(t ) u(2) (t ) 时i，(2) (t ) 有 u(1) (t ) u(2) (t ) i(1) (t) -i-(2-)-(--t-)可加性
或当α、β皆为定值时， 有 u(1) (t ) u(2) (t ) i(1) (t ) --i-(-2-)-(-t可) 加性
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第2章 网络图论基础
§ 2-1 图论的基本知识
• 图(Graph) 图是拓扑（Topological）图的简称 节点和支路的一个集合
分类：
无向图：未赋以方向的图。 混合图：只有部分支路赋以方向的图。 有向图：所有支路都赋以方向的图。 ::图并不反映支路之间的耦合关系。
元件的图
i1 i2
1 2

1
T ˆ ˆ u i i b ub 0 T b b
T T ˆ ˆb 0 ub i b i b u
或者
ˆ u i k k 0
k 1
b
ˆi u
k 1
b
k k
0
3. 特勒根定理的差分形式
ˆ 具有相同的拓扑结构，在t时刻， N ˆ 设网络N和 N i b， N的支路电压和电 ˆ b和 ˆ 的支路电压和电流分别为 u 流的变化量分别为u b和 i b ，则
u i i ub 0
T b b T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
T u A un KVL： b

u u A
T b T n
u i u Aib u Aib
T b b T n T n
利用KCL：Ai b 0
u i 0
T b b
i ub 0
2

3 3
二端元件的图
i1 ＋ u1 － i2 ＋ u2 －
三端元件的图

1
2
双口元件的图
连通图
• 连通图 如果图G中的任何两个节点之间都至少存在一 条路径，则G称为连通图(Connected Graph)，否则 称为非连通图。
• 铰链图 由电路中的多口元件造成的非连通图，可以 把不连通的各部分中的任一节点(一部分只能取一 个节点)之间假设有一条短路线相连。把这些假设 短路线连接的节点合并成一个节点，这样所得的 图称为铰链图(Hinged Graph)。
:: 割集是把一个连通图分成两个连通的子图所需的最 少支路。
4 1 2 5 6 5 3 1 2 6 5 4 3 1 2 6 5 4 3 1 2 6 4 3
基本回路与基本割集
• 基本回路(Fundamental Loop) 只含有一条连支的回路（单连支回路） ::基本回路数＝连支数
4 1 5 2 5 2 4 3 5 2 6 4
• 线性变换 变换 L() 称为线性的，是指对于任意实数α和β
L(x1 x2 ) L( x1 ) L( x2 )
:: L(0) 0
常用线性变换 (1) 傅立叶变换 正变换
F ( j ) f (t )e jt dt


反变换
1 f (t ) 2



五、矩阵A、Bf 和 Qf 之间的关系
对于任一连通图，在支路排列顺序相同的情况下，矩 阵A、Bf和 Qf 满足正交关系(Orthogonality Relations):
AB 0
T f
或者 或者
Bf A 0
T
Q f BT f 0
A A l
Bf Q 0
T f
按先连支、后树支的顺序对支路编号
一、关联矩阵
(增广）关联矩阵Aa • 任一元素aij定义为
1 表示支路j与节点i关联，且方向为离开节点 aij 1 表示支路j与节点i关联，且方向为指向节点 0 表示支路j与节点i非关联
• Aa的秩
定理: 对于任意n个节点、b条支路的有向连通图， 它的关联矩阵Aa中有(n－1)个线性无关的行， 即Aa的秩为(n－1)。
4 1 5 2 3 6 5 1 2 4 3 6 5 1 2 4 3 6
补树图
若连通图G存在树的补树T也是G的一个树，则称
为补树图(Complementary tree Graph),或具有补树结构 (Complementary tree Structure)。
a e b h g d c
•2-树
移去树中的任一支路后所得子 图称为图G的2-树(2-tree)。
路径矩阵示例与性质
示例
1 1 1 P 1 0 1 0 0 1
0 1 1 At 1 1 0 0 0 1
3
①
2 1
②
③
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0 0 PA t 0 1 0 0 0 1
A P
1 t
T t
1 t
Ql B PAl
T t
§ 2-3 网络的互联规律性
基尔霍夫电流定律（KCL） ★ 基尔霍夫定律 基尔霍夫电压定律（KVL）
功率守恒 ★ 特勒根定理 拟功率守恒 差分形式
★
回路－割集不相容原理
一、基尔霍夫定律
基尔霍夫电流定律(KCL)：电荷守恒 基尔霍夫电压定律(KVL) ：能量守恒 基尔霍夫定律的矩阵形式
0
T ˆ ˆ u i ib ub 0
ˆ i i u ˆb 0 u
T b b T b
ˆi u
k 1
b
k k
0
2. 拟功率守恒定理
ˆ ), ˆ 具有相同的拓扑结构(即 A A 设网络N和 N 支路电压列向量和支路电流列向量分别为ub 、 ib ˆ b、ˆ i b , 则有 和u
F ( j )e jt d
常用线性变换（续）
(2) 相量变换
正变换 F
反变换
2 F cos(t ) j 2 F sin(t ) 2e jt
e jt ) e jt ) 或 f (t ) Im( 2F f (t ) Re( 2F
(3) 拉普拉斯变换
T b
或者
u i
k 1
b
k k
0
功率守恒定律的证明
扩展：
u u A
T b T n
T b b
ˆ AA


同理
ˆ ib

ˆ u u A
T b T n
T ˆˆ T ˆˆ ˆ u i un Aib un Aib

u iˆ
k 1 b k k
ˆˆ 利用KCL：Ai b
T b b
0
f
T abcd
Tc efgh
•生成子图(Spanning Subgraph)
包含图G所有节点的子图。 :: 树和2-树均为生成子图。
补树图
割集
• 割集(Cutset)：一组支路 (1)移去这组支路后，图变为两个分别连通的子图 (2)任意留下这组支路中的一条支路，图仍然是连 通的。
T T ˆ ˆ b i b 0 ib ub u
或者
ˆ i u
b k 1 k
k
ˆk ik 0 u


一条支路
功率守恒定律的证明
T u u A un un KVL： b b

ub AT un

同理
ˆ ib
T T ˆ ˆ ˆ ˆˆ u ib un Aib un Ai b T b
正变换 反变换
F ( s) f (t )e st dt
0

1 f (t ) 2j

j
j
F ( s )e st ds
(4) 其它线性变换
一维变换：取增量、取共轭、小波变换 多维变换：派克变换、 相模（解耦）变换、相序变换等
基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式 变换域的KCL方程和KVL方程
有关 At 的定理
对于n个节点的连通图G，G的关联矩阵A的一 个(n－1)阶子方阵非奇异的充分必要条件是此子方 阵的列对应图G的一个树的树支 。 :: 一个树的关联矩阵 At 是非奇异的，且det At 1 大子矩阵(Major Submatrix) 一个秩为n的n×m矩阵的大子矩阵定义为该 矩阵阶数为n的非奇异子矩阵。 :: At为大子矩阵。
关联矩阵（续）
(降阶)关联矩阵A 若把Aa中的任一行划去(相当于相应的节点选作参 考点)，剩下的(n－1)×b矩阵足以表征有向图中支路 与节点的关联关系，并且(n－1)行是线性无关的。这 种(n－1)×b阶矩阵称为降阶(Reduced)关联矩阵，简 称关联矩阵 。 :: 关联矩阵A的任何阶方子矩阵A0，det A0为0、1或－1 幺模矩阵(Unimodular Matrix) 一个矩阵如果它的每个方子矩阵的行列式值均为 ＋1、－1或0，则称该矩阵为单模矩阵或幺模矩阵 .
铰链图示例
1 2 4
1
2
4

3 5
原图
3
5
铰链图
• 可断图 若将连通图G中的一个节点移去后(把一个节 点移去意味着把它以及与它相连的支路全部移去) 所得子图不再连通，则称该节点为可断节点。 含有可断节点的图称为可断图(Separable Graph)。
子图
如果图G1中的每个节点和每条支路都是G图中 的一部分，则称G1为G 的子图(Subgraph)。

ˆˆ 0 利用KCL： Ai b
u ˆ ib 0 T ˆ ib ub 0
T b
T ˆ ub i b 0

或者
iˆ u
b k 1 k
T T ˆ ˆ ib ub ub i b 0
k
ˆk ik 0 u

三、基尔霍夫定律和特勒根定理的广义形式
全部非零大子式
二、基本回路矩阵Bf
• 任一元素bij定义
1 表示支路j与基本回路i关联，且二者方向一致 bij 1 表示支路j与基本回路i关联，且二者方向相反 0 表示支路j与基本回路i非关联