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“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践随着中国教育制度的不断改革，无论是教育目的还是方式方法，都是为了让学生拥有更加合理更加有效的学习环境而做出改变。
其中高中数学的教育目标，也不再单是让学生学会如何运用数学公式进行计算，除了针对学生对数学的学习兴趣以外，在实际解题方面，要求培养学生拥有更多更灵活的解题思路和方式，以改变统一性的教学模式。
就高中数学解题中“一题多解”与“多题一解”的解题方式加以分析研究。
高中数学解题方式思维模式学生在进入高中后，改变的不仅仅是学习的内容，学生自身的心智和思维模式也有较大的改变。
学生在思想成长的阶段，会出现种种的问题，这些问题会直接影响学生的学习情况，特别是数学。
因为高中阶段数学的难度将进一步加大，内容增多，因此学生解题的方式应更加的多样化。
因此，高中数学教学，首先要从学生解题过程中的思维模式入手，同时改变课堂教学的方式和内容，以此提高学生的学习成果。
一、“一题多解”在数学教学中的价值与实践（一）价值与实践在未来的社会发展中需求的人才将是多元化、多样化的，统一性思维的教育模式已经不再适用于现代社会。
因此，在高中数学教学中，“一题多解”的教学理念，是以学生学习为主，改变以老师为主导地位的教学模式。
因为每一个学生的受教育情况、性格、思维模式都不相同，因此一个固定性的解题方式不能最有效的适用于每一个学生，所以在数学教学的解题过程中，老师应引导学生多角度的去分析问题，让学生去探究、发现多样化的解题方式。
“一题多解”的根本在于问题本身，老师在创设和选择问题时，首先应考虑到问题自身是否具备多样化的解答模式。
同时，在培养学生多样化解题思维时，应注意调动学生解题的积极性，被动、消极的解题态度很难让学生产生多样化的解题思维。
所以针对这方面数学问题的内容应结合学生平时感兴趣的东西，让学生自觉的参与到多样化的解题中。
如有的学生喜欢足球，老师就把其融入习题中，让学生用原本感到枯燥的公式，运算他喜欢的与足球相关的问题。
第七讲 一题多解学奥数的本意是开发智力，整合知识。
我们通过一题多解的训练形式，要努力形成举一反三、融会贯通的能力，常见的解题方法主要是算术方法和方程等，算术方法是我们解小学奥数题的主力，方程作为一种数学工具也是我们解题时经常依赖的，除了这些以外，我们还有很多非常规、非典型的解题方法，如（1） 特殊值法；（2） 利用图形解题；（3） 取特殊情形、极限考虑.分析：转动小三角形使小三角形和大三角形相反方向，容易看出小三角形的 面积是大三角形的四分之一.Ⅰ 考虑特殊情况与特殊值特殊情况与特殊值的方法一般只适合用于巧解填空题，利用特殊情况和特殊值的原则，主要有：1）不违背题目条件；2）特殊情况或特殊值代入原题后不会产生逻辑或数值上的矛盾； 3）特殊情况或特殊值有利于题目的解决.由于特殊情况和特殊值的特殊性，建议大家不要在解答题或证明题中使用这种方法，这种方法仅仅作为一种应试技巧和参考.教学目标专题精讲想挑战吗 ？一个正三角形中内接一个圆， 圆中又内接一个小三角形，问小 三角形的面积是大三角形面积的 几分之几？【例1】 如图，在一个边长为6正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原长正形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为 .分析：（方法一）对于任意一个梯形（如图），上底和下底分别为a 和b 时，阴影部分的面积可以表示为bs1、s2、s3的和，而s3：s4=s1：s2=（s1+s3）：（s2+s4）=a ：b ，同理s1：s3=s2：s4=a ：b ，所以：s1：s2：s3：s4=a2：ab ：ab ：b2，所以阴影部分的面积等于22222a ab a ab b +++.连接两个正方形的对应顶点，则可以得到四个梯形，运用这条结论，每个梯形中阴影部分的面积都占到了222222672226616+⨯⨯=+⨯⨯+，所以阴影部分面积是两个正方形之间的面积的716，阴影部分的面积为227(62)1416⨯-=,（方法二）取特殊情况，使得两个正方形的中心相互重合，由上右图可知，A 、B 、C 、D 均为相邻两格点的中点，则图中四个空白处的三角形的高为1.5，因此空白处的总面积为5.16⨯ 222242=⨯+⨯÷，阴影部分的面积是142266=-⨯.【例2】 （★★★★人大附中入学测试题）如图，有三个正方形ABCD 、BEFG 和CHIJ ，其中正方形ABCDDFI 的面积是 ．S EHIF－21(6+a)(4+a)＝20。
利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力作者：苏淑妮来源：《中学课程辅导·教师教育（中）》2017年第04期（广东省惠州市惠阳区崇雅中学广东惠州 516000）【摘要】数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。
通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。
【关键词】一题多解一题多变初中数学发散思维【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。
例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。
例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。
例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。
由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。
而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学解题中的应用作者：李凤悦来源：《儿童大世界·教学研究》 2017年第12期为了提高高中数学教学的有效性，开展数学教学要以学生发展为中心，通过设计和运用符合学生身心特点的教学方法，就能高效地实现教学目标，完成教学任务。
但是在目前的高中数学教学中，面对高考的压力，许多教师仍然采用“题海战术”的方式进行教学，这样不但无助于提高教学有效性，而且增加了学生的负担，使学生失去对数学的学习兴趣。
而“一题多解”与“多题一解”教学方法的运用，能有效提高教学质量，培养学生的数学解题能力。
一、“一题多解”与“多题一解”教学原则和模式（一）教学原则在高中数学教学中，运用“一题多解”与“多题一解”进行教学应坚持以下原则：一是目标导向原则，以教学目标为牵引来选择和使用该教学方法，将渗透新课改的教学理念，就能较好完成教学目标；二是分层教学原则，运用该教学方式，要能满足不同层次学生的学习需要，使所有学生的学习能得到提高；三是选题典型原则，在教学中要发挥每个习题的作用，就要选择具有典型的题目根据学情开展变式教学；四是主体参与原则，运用该方式进行教学，要注重发挥学生的主体作用，让学生在积极的参与过程中提高解题能力；五是探究学习原则，利用该方式进行变式教学，要有利于学生开展自主、合作探究学习，使学生的学习能力得到增强。
（二）教学模式运用“一题多解”与“多题一解”进行教学，应坚持如下基本模式：“设置例题——引导探究——培养思维——变式拓展——变式训练”这样五个基本环节，这几个环节不是简单的递进关系，它是复合交叉，从学情出发，进行分层教学和因材施教的有效教学模式。
例1在研究y=A sin（wxx+p）图像的画法时，可启发学生理解该函数图像与y=smx的图像之间的关系，并把该题目设计成“题组”的形式，开展变式解题研究：如，(l)y=sin(x+l)如何是从y=smx的图像变换出来的？( 2)y=2sinx如何是从y=smx的图像变换出来的？(3 )y=sin2x如何是从y=smx的图像变换出来的？(4)y=sin(2x-l)如何是从y=sin2x的图像变换出来的？(5)y=2sin(2x-l)如何是从y=smx的图像变换出来的？通过这样进行“一题多解”就能让学生完整掌握正弦函数的图像变换过程。
一题多解，多解归一作者：杨露露来源：《读与写·下旬刊》2018年第08期中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）24-0146-01解题，作为数学教学活动过程中的核心内容，它既是推进数学认知过程的有效手段，也是培养学生数学思维能力的重要途径.在解题教学中，越来越多的人提倡“一题多解”.但是面对“一题多解”，教师有些茫然，导致他们在教学中经常会进入一些误区.例如盲目地罗列多种解法，重“量”轻“质”，教师以为把自己的“研究成果”无私地奉献给学生，却不知道学生在惊叹于教师的高明之余茫然于各种解法的得到，甚至会使学生产生自卑感等消极的心态.教师致力于寻找各种不同的解法却忘了对多种解法中的思想方法理解透彻、融会贯通.目前这种状况就需要教师对“一题多解”的教学及时反思，找出相应的教学策略。
面对“一题多解”，教师应何去何从呢？1.一题多解，多解归一，一题一解对于书上的解答或者是学生提出的多种解法，教师都应该对这多种解法进行分析，分析多种解法中分别运用的方法，涉及到的知识点，蕴含的数学思想方法.如果几种解法虽然算式、程序不完全一样，而解题的立义和根据无根本的不同，其实可以多解归一.一个题目的多种解法中总会找到共通点，教师应充分挖掘其内在联系及背后的思想方法。
“一题”之所以能“多解”，往往就在于这些解法之间是有联系的，这些联系之间是有规律可循的，通过“多解”后的“归一”，让学生能站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认识世界，这样就可以形成强大的认识力，由此获得对数学的通透理解。
[1]到底讲哪些方法好？时间允许吗？该不该给学生讲所有的方法？等等这些问题困惑着一线教师。
笔者认为，其实问题的关键不在于解法的多少，而在于透过这些不同的解法，能够挖掘出多种解法的内在联系，提炼出多种解法中的思想方法。
因此最根本的是掌握基本概念、定义、性质等，进而把问题化归转化为已知问题求解。
第30讲一题多解学习目标通过一题多解培养学生从不同角度解决问题的能力，有助于发散思维。
知识梳理一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。
典例分析例1、有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等。
四周一共种了多少棵树？例2、一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。
瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？例3、甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等？例4、从小青家经小红和小强家到学校有450米，从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有320米。
从小红家到小强家有多少米？例5、小青以均匀的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？例6、一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？例7、一艘轮船4小时航行108千米，照这样的速度，继续航行270千米，共需多少小时？例8、幸福小学原计划买12个篮球，每个72元，从买篮球的钱中先拿出432元买足球，剩下的钱还够买几个篮球?例9、南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里?例10、一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了150千米。
照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。
甲、乙两地相距多少千米？实战演练➢课堂狙击1、在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？2、有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种10棵，每两颗之间距相等，四周一共种了多少棵？3、少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，一共站了多少人？4、一袋大米，连袋共重50千克，吃掉一半后，连袋剩下27千克，大米重多少千克？袋重多少千克？5、一筐苹果连筐共重85千克，倒去一半后，连筐共重45千克，苹果和筐各重多少千克？6、甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等？7、小明有18枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买了13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？➢课后反击1、甲仓库有粮食420吨，乙仓库有粮食370吨，又运来粮食180吨，怎样分才能使两仓库粮食一样多？2、有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果25千克，乙筐有苹果18千克，又买来13千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？3、池塘边种了150棵柏树，种的杨树的棵树比柏树多45棵，种的柳树的棵树比杨树多32棵。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践作者：钱万毅来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2017年第02期摘要：经新课标的多次改革，高中数学教学由从前的教师为主导，逐渐演变为教师的作用为指导、引导，而学生为主体的自主多样性课堂，这样的课堂可以帮助学生更加主动地学习，锻炼学生思考、组织、分析、归纳等的能力。
其中“一题多解”和“多题一解”在高中数学教学中有良好的价值，值得实践与推广。
关键词：高中数学；解题方式；思维模式中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2017）02-057-01学生在进入高中学习后，不仅仅面临着学习内容的改变，学习的难度上了一个更高的台阶，还面临着思想的成熟和思维方式的养成。
在这一阶段，学生要学会用发散思维和提纲挈领的方法处理问题，而数学的学习，对培养学生这些能力都非常有益，其中“一题多解”与“多题一解”正是培养这些能力的关键教学实践方法。
在此阶段，注重数学教学的方式方法，传递给学生正确的思考方式，锻炼学生正确的思考能力，对于学生今后学习能力以及生活能力的提高都尤为重要。
一、“一题多解”在数学教学中的价值研究与实践（一）价值在传统的数学教学模式中，通常是老师在讲台上教授数学公式、概念等内容，学生在下面记笔记。
学生和老师都认为掌握了大量的定理、定义，以及数学公式，就能做好题，做对题，就能够在考试中取得好成绩。
在此背景和环境下，培养学生的发散性思维是很必要的。
老师不应该对数学题目只做生硬的讲解，只讲一种“标准答案”，这样只会禁锢学生的思维。
长久下去，学生只会变成“书呆子”。
教师应该多注重教学的有效性，应在课堂上观察学生的状态，倾听学生的需求，倾听学生的提问与回答，倾听学生的讨论。
这样才能使课堂互动起来。
数学的学习，本来就应该是丰富多彩的。
这样一个锻炼逻辑思维的学科，教师在教授的过程中应当充分发挥学科特点，让学生学习了数学，真正能有所用。
论一题多解与多题一解作者：刘建明来源：《科教导刊·电子版》2017年第36期摘要在数学的教学过程中，一题多解与多题一解经常被人提及，所谓一题多解，是通过不同的解题思路，采用不同的解题方法和不同的运算过程去分析求解，而多题一解是对同一类型或者能够采用统一的解题方法的题型，归纳总结出相应一体化的解题方案，达到以不变应万变的解题高度。
前者在于拓宽解题思路，发散思维，培养学生积极思考的解题素质，后者在于培养学生对同类题型进行归纳总结，提高解题能力。
关键词多题一解一题多解发散思维归纳总结中图分类号：G642 文献标识码：A克莱恩说过“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。
”数学的魅力在于它的多样性，一道题目能够有不同的解决方式，即人们常说的一题多解；这两种数学思想对于激发学生的学习兴趣，发展学生的思维能力，进一步提高中学生的数学能力有着极其重要的作用。
1一题多解在中学数学中的运用一题多解是指一道数学题会有不同的解题方法和不同的运算过程去分析求解，这是数学教学中最常用于拓展学生发散思维的一种方法。
它在几何与代数教学中都有体现。
一题多解在几何中运用最广泛的是平面几何内容，例如以下这道题。
在△ABC中，AB=BC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE连线交BC于F，求证：DF=EF证法1：过D做DG平行于AE，通过△DGF≌△ECF，从而得到DF=EF。
证法2：过E做DG平行于AB交BC延长线于G，通过证明△FDB≌△FEG从而得到DF=EF。
证法3：过B做BG平行于AE，过E做EG平行于BC，连接GF，通过证明BG=CE=BD，△BDF=△BGF，∠GEF=∠BFD=∠BFG=∠EGF，得证CF=GF=DF。
证法4：过D做DG平行于BC，过C做CG平行于BD，连接FG，与上面证法类似，得出DF=EF。
证法5：过E做EG平行于BC交AB延长线于G，通过证AG=AE，BG=CE=BD，由平行线等分线段定理得证DF=FE。
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１０８数学学习与研究㊀２０１９ ２４一题多解多题一解在高中数学教学中的价值一题多解 与 多题一解 在高中数学教学中的价值Һ韩云凤㊀(云南省昌宁县第一中学ꎬ云南㊀保山㊀６７８１００)㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解 与 多题一解 是锻炼学生思维能力的重要途径.高中数学具有一定的抽象性ꎬ对学生的思维能力提出了更高的要求.所以ꎬ高中数学教师应当巧用以上两种方式ꎬ帮助学生灵活运用数学概念㊁数学公式以及数学性质ꎬ不断锤炼学生的思维能力和提升学生的思维水平ꎬ为了达到重建学生思维体系的目的ꎬ从而提高学生的数学学习效率.ʌ关键词ɔ高中数学ꎻ解题能力ꎻ价值意义数学教学的本质是不断锻炼学生的思维ꎬ不断帮助学生解决问题. 一题多解 与 多题一解 这两种解决问题的方法对提高学生的思维品质有重要影响.因此ꎬ在日常数学教学中ꎬ高中数学教师能结合实际教学内容ꎬ有针对性㊁计划性地利用这两种方式锤炼学生的思维水平ꎬ扩大学生解题视野和解决思路ꎬ不断提高学生解决问题的能力.一㊁ 一题多解 的含义概述一题多解的含义是指:在原有问题的基础上ꎬ引导学生从不同的角度和层次思考原题ꎬ拓展学生的问题解决视野.实现思维扩散式发展ꎬ以帮助学生寻找到多种解题途径.允许学生使用不同的方法和方法来分析数学问题ꎬ可以帮助学生加深对数学知识ꎬ定理和自然的理解ꎬ并灵活地应用它们.在一定程度上ꎬ它还提高了学生的思维能力和创新能力.在高中数学课堂上ꎬ应用 一问与多解 的求解方法要求学生从原问题的实际情况出发.对题意进行深入分析ꎬ尝试从多个角度入手解决问题ꎬ通过对比ꎬ最终筛选出最佳解题方案.学生解决 一问与多解 问题的习惯和能力ꎬ可以有效激活学生的思维能力.学生的思维活起来ꎬ也就避免了 钻牛角尖 思维定式 等问题的出现.例如ꎬ在教授 不平等 相关知识点时ꎬ可以使用 一问与多解 教学模式.首先ꎬ要求学生用比较法㊁分析法来解析ꎻ接着ꎬ要求学生从不同角度再次解决问题.此外ꎬ为了提升学生对数学知识的掌握熟练度ꎬ还可以指导学生利用换元法㊁向量法等方式来进行解题.如果问题得到解决ꎬ学生将接受 一个问题和多个解决方案 的培训ꎬ学生将从解决方法演变为各种解决问题的方法.学生也实现了对此类问题的融会贯通ꎬ学生的思维能力㊁解题能力也得到了有效地提升.又如ꎬ在解析 概率 相关例题时ꎬ可以有意识地引导学生从不同角度进行排列计算ꎬ从而让学生掌握多样化求概率的方法.不难看出ꎬ 一个问题和多个解决方案 问题的解决方案并不仅仅意味着数量从 一个 变为 多个 .其本质意义在于锻炼学生的思维能力ꎬ培养学生的创新思维ꎬ帮助学生实现思想的质变.二㊁ 多题一解 的含义概述多题一解 的含义是指:利用一种解题思路去解析不同的题目ꎬ虽然利用到的数学性质㊁数学公式可能不同ꎬ但是ꎬ解题过程和解题思维是相同的. 多题一解 要求学生能够拥有较为完整的知识体系ꎬ能够在日常解题过程中ꎬ不断归纳和总结相应的解题方式ꎬ从而提高学生自己的解题水平.在高中数学问题解决中运用 多问题ꎬ一解 教学模式ꎬ引导学生运用一种方法探索数学的内在规律和本质标志.通过掌握问题解决方法之间的联系ꎬ可以发现数学问题的共同特征ꎬ并总结和总结解决相同类型问题的常用方法.从而提高学生的解题效率.多题一解 教学模式能够使学生的思维更加缜密ꎬ强化了学生对相关概念㊁性质㊁定理的理解以及运用ꎬ这也在一定程度上打破了 题海战术 的弊端ꎬ起到了 做题精炼 的效果.例如ꎬ在教授 寻找功能价值 等数学时ꎬ可以引导学生通过 数字组合 来解决问题.以函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－２的值为例ꎬ首先提醒学生绘制函数图像ꎬ让学生使用图像识别函数的形式.然后让学生把它变成找到斜率的问题(假设移动点Ｐ(ｃｏｓｘꎬｓｉｎｘ)和固定点Ａ(２ꎬ０)ꎬ迅速计算出ＰＡ的斜率值ꎬ即[－ꎬ０])ꎻ又如ꎬ在教学三角函数求值相关问题时ꎬ也可以采用数形结合的方法进行解析.总之ꎬ数学教师应该经常向学生提出一些类似的问题ꎬ引导学生掌握 多问题ꎬ一个解决 的常见问题解决思路.这样学生可以继续反思和总结ꎬ学会推理ꎬ触摸类比ꎬ然后提高学生解决数学问题的能力.三ꎬ 多题一解 和 一题多解 的数学价值(一)帮助学生构建系统的知识体系无论是 一问多解 ꎬ还是 多问题一解 ꎬ其教学价值在于培养学生的思维能力ꎬ提高学生的思维品质.两者解题方式的顺利实施ꎬ离不开学生的主动思考.学生在利用两种方式解题的时候ꎬ也是学生温习旧知的重要途径ꎬ通过对旧概念㊁旧定义和旧公式的复习ꎬ学生可以更清楚地了解知识的相关性ꎬ并帮助学生建立系统的知识体系.自然也就提高了学生的学习效率.(二)帮助学生提高解题能力利用 一题多解 和 多题一解 两种方法解决问题ꎬ可以有效地消除 题海战术 引起的枯燥无聊的感觉.真正实现了量变向质变的有效过渡.学生解决问题的思维更加灵活多变ꎬ有效地避免了学生 深陷 的困境ꎻ学生解决问题的思路更加广泛ꎬ各种问题都清晰可见ꎬ有效地提高了学生解决问题的效率.(三)提升学生的创新思维通过这两种解题方式不断锤炼学生的思维品质ꎬ带领学生积极思考㊁温故知新ꎬ最大化地激发了学生的思维潜能.学生不仅能在有限时间内找到快速解题的方式ꎬ也在一定程度最大化激发了学生的潜能ꎬ提升了学生的创新能力ꎬ发展了学生的创新思维能力.以上只是作者的粗略见解ꎬ旨在抛出砖块吸引玉石ꎬ希望广大数学教育家批评和纠正.ʌ参考文献ɔ[１]朱如昌.例析一题多解㊀一题多变㊀多题一解[Ｊ].数理化学习(高中版)ꎬ２００５(１):４７－４９.[２]申祝平.一题多解㊁多题一解㊁一解多写与多解一写[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ１９９５(５):１３－１５.。
谈谈数学问题中的一题多解摘要：一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，文中主要从一题多解的定义、解题思想、典型例子以及其对学生产生的意义出发，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚。
学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩。
关键词：定义；思想；范例；意义一、一题多解一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，即由多种途径获得同一数学问题的最终结论，它属于解题的策略问题。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
在数学解题中一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
一题多解则是诸多解题策略的综合运用。
在教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
二、一题多解的解题思想数学思想是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、原理以及数学方法的本质性认识。
在数学研究范围的拓展、研究对象的延伸、数学方法的形成、各种方法之间的融合并发展成新的方法等过程之中，都体现出数学思想的核心作用。
数学知识和方法是形成数学思想的基础，但有了知识不等于有思想，方法如果没有思想作为灵魂，就只能是一种机械的“操作手册”数学思想是数学的核心与灵魂，它不仅是数学的重要组成部分，而且是数学发展的源泉与动机。
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。
因此，教师必须打破禁锢。
想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。
在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。
一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。
学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。
因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。
那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。
为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。
例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。
浅谈“一题多解”与“多题一解”在研究与实践高中数学教学
中的价值
谢聪奎
【期刊名称】《课程教育研究：外语学法教法研究》
【年(卷),期】2017(000)005
【摘要】在高中教育改革中，教育体制对于教学方法的研究格外关注。
高中数学
教学难度较大，在实际教学中需要迫切的优化教学方法，提升学生的数学理解能力。
在实际教学中，“一题多解”，是培养学生发散思维的重要方式，而“多题一解”是一种化繁为简的解题技巧，这些技巧在高中数学教学中应用，能够有效的提升高中数学教学质量。
基于此，在本文中针对高中数学教学中的“一题多解”、“多题一解”教学价值以及教学实践进行研究。
【总页数】1页(P96-96)
【作者】谢聪奎
【作者单位】福建省泉州市培元中学,福建泉州362000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1."一题多解"与"多题一解"在高中数学教学中的价值研究与实践 [J], 阚志超
2.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值与实践探析 [J], 吕小花
3.“一题多解”与“多题一解”在小学数学教学中的价值研究与实践 [J], 张春莲;
4.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值 [J], 韩云凤
5.“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践 [J], 周正旭因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。
“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。
“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。
这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。
在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。
“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。
这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。
在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。
在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。
通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。
同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。
通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。
1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。
一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。
另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。
在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
数学解题之一题多解与多题一解[1]摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。
本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。
与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。
所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。
也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。
培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。
“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。
” 数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。
因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。
惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。
本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。
一、一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。
其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。
一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。
苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。
（一）提高分析、解决问题的能力一题多解，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如，大大提升分析问题和解决问题的能力。
通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用，增强求简意识、优化思维品质，提升学生分析问题和解决问题的能力。
（二）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。
例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法一：假设左边第一个位置为排头，那么甲的站法有如下五种可能：①□甲□□□□②□□甲□□□③□□□甲□□④□□□□甲□⑤□□□□□甲。
又因为乙不能站排尾，故①-④中乙的站法各有C1 4种，在⑤中乙的站法有C1 5种，各图中其他人的站法均为A4 4种。
根据乘法和加法原理，不同的站法种数共有4C1 4A4 4+C15A4 4=504种。
解法二：有了上述分析为基础，我们可更抽象地分析如下：若甲站在中间4个位置之一，则乙可站在除排尾及甲的位置之外的4个位置之一，其余4人站在空下的4个位置之上，有C1 4C1 4A4 4种；若甲站排尾，则其余5人可站在空下的位置上，有5A种站法。
据加法原理共有C1 4C1 4A4 4+A5 55=504种不同的站法。
解法三：排头、排尾的站法可分三类，其一是由甲、乙之外的四人站，然后其他人再站，有A2 4A4 4种；其二是甲站排尾，其余五人再站，有A5 5种站法；其三是乙站排头，甲不站排尾，有C1 4A4 4种站法。
根据加法原理共有A2 4A4 4+A5 5+C1 4A4 4=504种不同的站法。
解法四：不考虑甲乙的要求共有A6 6种站法，其中甲站排头的有A5 5种站法，乙站排尾的也有A5 5种站法，但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形，即A4 4种站法，因此符合要求的站法种数有A6 6-（2A5 5-A4 4）=504种。
四种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除，从而得出结论。
四种解法入手点各有不同，前两者从人员入手，第三种从位置入手，最后一种从反面入手，逆向思维。
通过这种多角度解题方法的训练，可以培养学生思维的立体性，多面性，灵活性，避免思维的单一和固化。
在遇到实际问题时，若一种角度无法解决，可另辟蹊径多角度分析，也许会收到更好的结果，正所谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
”（三）培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。
例3.已知：a>0,b>0,1a+2b=1,求ab的最小值。
解法一：利用不等关系∵a>0,b>0,1=1a+2b≥2ab2,∴ab≥8(当且仅当1a=2b=21，即a=2,b=4时取“=”号），∴ab的最小值是8。
解法二：平方法∵a>0,b>0,1a +2b=1， ∴1=（1a +2b ）²=2a 1+2b 4+ab 4≥222b a 4+ab 4=ab 8(当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。
∴ab 的最小值是8。
解法三：利用三角恒等关系换元∵a>0,b>0,1a +2b=1,可令α2cos 1=a ，α2sin 2=b 。
∴α2cos 1=a ，α2sin 2=b ， ∴82sin 8sin cos 2222≥=⋅=αααab (当且仅当1a =2b =21，即a=2,b=4时取“=”号）。
∴ab 的最小值是8。
解法四：均值换元∵a>0,b>0,1a +2b=1, 可令1a =21+t ，2b =21-t ，其中-21<t<21, ∴ab=24t -188≥,﹙∵1－4t ²∈(0,1]，当1－4t ²=1，即t=0，a=2，b=4时，取“=”号）解法五：导数求最值∵a>0,b>0,1a +2b=1, ∴b=1-a a 2>0,a>1,∴ab=1-a a 22。
令ƒ（a ）=1-a a 22（a>1), ∴ƒˊ(a)=21-a 2-a a 2）（）（。
令ƒˊ(a)=0，解得a=2>1。
当a ∈（1,2）时，ƒˊ(a)<0,此时ƒ（a ）是减函数，当a ∈（2，+∞）时，ƒˊ(a)>0,此时ƒ（a ）是增函数。
∴当a>1时，ƒ()最小值a =ƒ()极小值a =ƒ（2）=1-2222⨯=8。
（此时a=2,b=4)。
五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方法，目的是通过对已知条件进行操作使之出现所求的量，进而求解；第三、第四种都属于换元法，通过三角换元和均值换元，将所求的量变形为一元关系，即α2或t 的关系，进而求解；最后一种解法是通过导数求出函数单调性，进而求出最值，得出结果。
从知识面的角度来讲，这一道题目的五种解法，至少包含了五方面的知识，这不仅丰富了解法，同时也使一些知识点得到了充分的展示，更体现了数学知识的前后连贯性。
这种多知识点的解法，让学生真正体会到了数学的魅力，更深刻的理解了“条条大路通罗马”的寓意，对培养学生的发散思维能力起到了积极的影响作用。
二、多题一解对学生思维能力的培养用同一种数学思想方法解决不同的数学问题我们称之为“多题一解”。
在解题过程中，为强化某一解题方法，我们可将一些不同内容的练习题批编在一起，让学生用同一种方法去解，达到强化训练的目的，提高学生解题技巧技能，收到举一反三、触类旁通的效果。
例4.根据题意，完成下列填空：如图1，l 1和l 2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点。
如果在这个平面内再画第三条直线l 3，那么这三条直线最多有＿个交点；如果在这个平面内再画第四条直线l 4，那么这四条直线最多可有＿个交点。
由此，我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有＿个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有＿个交点（用含n的代数式表示）。
分析：“两条直线相交，有且只有一个交点。
”平面内有n 条直线，若全过同一点，则它们只有一个交点；若n 条直线两两相交，且交点各不相同，则其中一条与其他直线的交点有（n-1）个，故共有n （n-1)个交点。
但l i 与l j 的交点即为l j 与l i 的交点（其中i 、j 均为不大于n 的正整数），故最多共有()21-nn 个交点。
解：若同一平面有3条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有3个交点（如图2）若同一平面有4条直线，都两两相交，且交点各不相同，则最多有6个交点（如图3）我们可以猜想：在同一平面内的6条直线最多可有15个交点，n （n 为大于1的整数）条直线最多可有()21-nn 个交点。
在解这道题的过程中，我们得到了一个很有用的式子()21-nn ，这个式子有着广泛的应用。
我们只要掌握它的实际含义，在很多相似问题的解法中，注意对比联想，会收到意想不到的效果。
相似 ：在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定让全市中小学放假两周，以切实保障广大中小学生的安全。
育英中学初二（1）班的全体同学在自主完成学习任务的同时，互相关心，两周内全班每个同学都通过一次电话，彼此问候。
如果该班有45名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？如果该班有n 名同学，那么共通了多少次电话？分析：由例4可知，选择其中任一个人，如甲，他与其他人共通了（n-1）次电话，因而如果该班有n 名同学，那么共通了()21-nn 次电话。
45人共通了()21-4545⨯=990（次）电话。
