北京市西城区2009届高三一模(数学理)

09年高考模拟试题北京市西城区2009届高三5月抽样测试测试题 2019.91,下图表示的是某物质所发生的A．取代反应 B．水解反应 C．中和反应 D．电离过程2,下列叙述正确的是A．直径介于1 nm ~ 100 nm之间的微粒称为胶体B．电泳现象可证明胶体带电C．用盐析法可分离皂化反应后所得的产物D．用含1 mol FeCl3的溶液可制得6.02×1023个Fe(OH)3胶体粒子3,将液体Y滴加到盛有固体X的试管中，并在试管口对生成的气体进行检验。

下表中固体X、液体Y及检测方法对应关系错误的是S O、Al3+和X四种离子以物质的量之比2:4:1:1大量共存于同一4,Fe3+、2－4溶液中，X 可能是A ．Na +B ．OH -C ．2－3CO D ．Cl - 5,X 、Y 、Z 、W 四种短周期元素在周期表中相对位置如表所示，Y 、Z 质子数之和为21，下列说法中不正确的是A ．X 、Y 、Z 、W 均为非金属元素B ．X 、Y 、W 的氢化物中，Y 的氢化物沸点最高C ．Z 的阳离子与Y 的阴离子电子层结构相同D ．W 元素的简单离子半径大于Z 元素的简单离子半径6,某新型可充电电池，能长时间保持稳定的放电电压。

该电池的总反应为：A ．放电时负极反应为：Zn-2e -+2OH -=Zn(OH)2B ．放电时正极反应为：2－4FeO +4H 2O+3e -=Fe(OH)3+5OH - C ．放电时每转移3 mol 电子，正极有1 molK 2FeO 4被氧化 D ．充电时阳极附近溶液的碱性减弱7,一定温度下，1 molX 和n molY 在容积为2 L 的密闭容器中发生如下反应：X(g)+Y(g) Z(g)+M(s)，5 min 后达到平衡，此时生成a molZ 。

下列说法正确的是A．向平衡后的体系中加入1 molM，平衡向逆反应方向移动B．用X表示此反应的反应速率是(0.1－0.1a) mol•(L•min)－1C．向上述平衡体系中再充入1 molX，U (正)增大，U (逆)减小，平衡正向移动D．当混合气体的质量不再发生变化时，说明反应达到平衡状态8,分子式为C8H8O3的芳香族化合物有多种不同的结构，这些物质在食品、化妆品等行业有广泛用途。

北京市西城区高三4月统一测试（一模）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项．2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是（ ） （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（ ）（A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：11元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（ ） （A ）20 （B ）30 （C ）35（D ）4013. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧 的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字 和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的 分珠计数法有____种.16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB =（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a ，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较 20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W :2214x y m m +=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.[]定义1122st s t s t sn tn p a a a a a a =+++(,1,2,,)s t n =为第s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t（st ），都有0st p =，则称数表A 为完美数表. （Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，证明：kl n ≤.【参考答案】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．1122n -- 10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.[三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ……………… 3分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于3 . ……………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=， ……………… 11分得sin2321 sin21427a BAb==⨯=. ……………… 13分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//AB CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以//AB平面CDE. ……………… 2分同理//AF平面CDE，又因为AB AF A=，所以平面//ABF平面CDE. ……………… 3分又因为BF⊂平面ABF，所以//BF平面CDE. ……………… 4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD AD=，DE AD⊥，所以DE⊥平面ABCD. 则DE DB⊥.又因为DE AD⊥，AD BE⊥，DE BE E=，所以AD⊥平面BDE，则AD BD⊥.故,,DA DB DE两两垂直，所以以,,DA DB DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，……………… 6分则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，(0,0,2)E ，(1,0,1)F ， 所以(0,1,2)BE =-,(1,0,1)EF =-，(0,1,0)=n 为平面DEF 的一个法向量. 设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， []由0BE ⋅=m ，0EF ⋅=m ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1,2,1)=m . ………………8分所以cos ,||||⋅<>=m n m n m n如图可得二面角B EF D --为锐角， 所以二面角B EF D --.………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分 证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈， 所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩……………… 12分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， ……………… 13分 解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. ……………… 2分 由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分 （Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. ……………… 5分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分 所以随机变量的分布列为：……………… 9分 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分X当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分 （Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()gx 的变化情况如下表所示： 所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)eg g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e e m -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =， 代入椭圆W的方程，得C，(1,D ， 易得CB的方程为2)y x =-.则(4,M,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分 当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1), 1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分 由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分 又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++0=，所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A . 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示）， 则10x y z w +++=①由120p =，得x y z w +=+； ② 由130p =，得x z y w +=+； ③ 由230p =，得x w y z +=+. ④ 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =和1,2,,j k =，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. ……………… 9分又因为对于任意,s t （st ），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. ……………… 11分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。

4 2009年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题(共8道小题，每小题4分，共32分) 1．－2的相反数等于( ) A ．2B ．－2C ．21 D ．－212．2009年，全国普通高校本、专科共计划招生6290000人，将6290000用科学记数法表示应为( )A ．6.29×105B ．62.9×105C ．6.29×106D ．0.629×1073．右图是由五个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是( )第3题图4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )A ．5B ．6C ．7D ．85．2004—2008年社会消费品零售总额及增长速度情况如下图所示，那么社会消费品零售总额比上年增长最快的年份是( )第5题图A ．2005年B ．2006年C ．2007年D ．2008年6．如图，AB ∥DF ，AC ⊥BC 于C ，BC 与DF 交于点E ，若∠A ＝20°，则∠CEF 等于( )A ．110°B ．100°C ．80°D ．70°第6题图 第7题图7．如图，在边长为1的等边三角形ABC 中，若将两条含120°圆心角的、及边AC所围成的阴影部分的面积记为S ，则S 与△ABC 面积的比等于( )A ．21 B ．31 C ．41 D ．618．若m 、n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是( ) A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜b C ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题(共4道小题，每小题4分，共16分) 9．在函数421+=x y 中，自变量x 的取值范围是________．10．若0)4(12=-++y x ，则x y的值等于________．11．如图，△ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于E ，BE ⊥AC ，DE ∥BC 交AB 于D ，若BC＝4，则DE ＝________．第11题图12．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＜AC ，若BC ·AC ＝41AB 2，则∠A ＝________°．三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算：60sin 221)π3(121-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-．14．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-,43233)1(2x x x x ，在数轴上表示它的解集，求它的整数解．第14题图15．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BC 为最大边，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD ＝CE ，F 为BA 延长线上一点，BF ＝CD ．求证：∠DEF ＝∠DFE ．第15题图16．解方程：42122-=--x x x ．17．已知抛物线y ＝－x 2＋(m ＋2)x ＋3m －20经过点(1，－3)，求抛物线与x 轴交点的坐标及顶点的坐标．18．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，BC ＝4，求CD 的长．第18题图四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分) 19．已知：如图，AB 为⊙O 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D ＝∠ACB ．(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若⊙O 的半径等于4，tan ∠ACB ＝34，求CD 的长．第19题图20．有三个完全相同的小球，上面分别标有数字1、－2、－3，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次(第一次摸出球后放回摇匀)，设第一次摸到的球上所标的数字为m ，第二次摸到的球上所标的数字为n ，依次以m 、n 作为点M 的横、纵坐标． (1)用树状图(或列表法)表示出点M (m ，n )的坐标所有可能的结果； (2)求点M (m ，n )在第三象限的概率．21．某运输公司用10辆相同的汽车将一批苹果运到外地，每辆汽车能装8吨甲种苹果或10吨乙种苹果，或11吨丙种苹果．公司规定每辆车只能装同一种苹果，而且必须满载．已知公司运送了甲、乙、丙三种苹果共100吨，且每种苹果不少于一车．(1)设用x 辆车装甲种苹果，y 辆车装乙种苹果，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；并求出最大利润．22．已知：如图，△ABC 中，AC ＜AB ＜BC ．(1)在BC 边上确定点P 的位置，使∠APC ＝∠C ．请画出图形，不写画法；(2)在图中画出一条直线l ，使得直线l 分别与AB 、BC 边交于点M 、N ，并且沿直线l将△ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形．请画出直线l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留作图痕迹，无需尺规作图．第22题图五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分) 23．已知：反比例函数xy 2=和xy 8=在平面直角坐标系xOy 第一象限中的图象如图所示，点A 在x y 8=的图象上，AB ∥y 轴，与xy 2=的图象交于点B ，AC 、BD 与x 轴平行，分别与xy 2=、xy 8=的图象交于点C 、D ．(1)若点A 的横坐标为2，求梯形ACBD 的对角线的交点F 的坐标；(2)若点A 的横坐标为m ，比较△OBC 与△ABC 的面积的大小，并说明理由； (3)若△ABC 与以A 、B 、D 为顶点的三角形相似，请直接写出点A 的坐标．第23题图24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线643+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，将∠OBA 对折，使点O 的对应点H 落在直线AB 上，折痕交x 轴于点C ． (1)直接写出点C 的坐标，并求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上是否存在点P ，使得四边形ODAP 为平行四边形?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)设抛物线的对称轴与直线BC 的交点为T ，Q 为线段BT 上一点，直接写出｜QA －QO ｜的取值范围．第24题图25．已知：2=PA ，PB ＝4，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB的两侧．(1)如图，当∠APB ＝45°时，求AB 及PD 的长；(2)当∠APB 变化，且其他条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB 的大小．第25题图答 案4．2009年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．A 7．B 8．A 二、填空题9．x ≠－2 10．1 11．2 12．15 三、解答题13．解：60sin 221)π3(1210-⎪⎭⎫⎝⎛--+-2322132⨯--+=13-=．14．解：⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-②①,432,33)1(2x x x x由①得x ≥1．由②得x ＜5．不等式组的解集在数轴上表示如下：第14题答图所以原不等式组的解集为1≤x ＜5．所以原不等式组的整数解为1，2，3，4． 15．证明：如图，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．在△BDF 和△CED 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD BF C B CE BD∴△BDF ≌△CED ，∴DF ＝ED ，∴∠DEF ＝∠DFE ．第15题答图16．解：去分母，得x (x ＋2)－(x 2－4)＝2．去括号，得x 2＋2x －x 2＋4＝2． 整理，得2x ＝－2．解得x ＝－1．经检验，x ＝－1是原方程的解．17．解：∵抛物线y ＝－x 2＋(m ＋2)x ＋3m －20经过(1，－3)点，∴－12＋(m ＋2)＋3m －20＝－3， 整理，得4m －19＝－3．解得m ＝4．∴二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －8． 令y ＝0，可得－x 2＋6x －8＝0， 解得x 1＝2，x 2＝4，∴抛物线与x 轴的交点坐标为(2，0)，(4，0)． ∵y ＝－x 2＋6x －8＝－(x －3)2＋1， ∴抛物线的顶点坐标为(3，1)．18．解：连结BD ，作DE ⊥BC 于点E ．(如图)∵AB ＝AD ＝2，∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，BD ＝2，∠ADB ＝60°． ∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝60°．在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，∠DBE ＝60° ∴DE ＝BD ·sin60°＝3，BE ＝BD ·cos60°＝1． 在Rt △CDE 中，∠CED ＝90°，CE ＝BC －BE ＝3， 3222=+=∴CEDECD ．第18题答图解法二：作DE ∥AB 交BC 于E ，作EF ⊥CD 于F ． 解法三：连结BD ，并延长BA 、CD 交于E ． 四、解答题19．解：(1)直线BD 与⊙O 相切．证明：如图，连结OB ．∵∠OCB ＝∠CBD ＋∠D ，∠1＝∠D ， ∴∠2＝∠CBD ．∵AB ∥OC ，∴∠2＝∠A ，∴∠A ＝∠CBD ． ∵OB ＝OC ，∴∠BOC ＋2∠3＝180°． ∵∠BOC ＝2∠A ，∴∠A ＋∠3＝90°， ∴∠CBD ＋∠3＝90°．∴∠OBD ＝90°． ∴直线BD 与⊙O 相切．第19题答图(2)解：∵∠D ＝∠ACB ，34tan =∠ACB ，34tan =∴D ．在Rt △OBD 中，∠OBD ＝90°，OB ＝4，34tan =D ，54sin =∴D ，5sin ==DOB OD ，∴CD ＝OD －OC ＝1．20．解：(1)组成的点M (m ，n )的坐标的所有可能性为：或列表如下：落在第三象限的概率为94．21．解：(1)∵8x ＋10y ＋11(10－x －y )＝100， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－3x ＋10．∵y ≥1，解得x ≤3．∵x ≥1，10－x －y ≥1，且x 是正整数，∴自变量x 的取值范围是x ＝1或x ＝2或x ＝3．(2)W ＝8x ×0.22＋10y ×0.21＋11(10－x －y )×0.2＝－0.14x ＋21． 因为W 随x 的增大而减小，所以x 取1时，可获得最大利润，此时W ＝20.86(万元)．获得最大运输利润的方案为：用1辆车装甲种苹果，用7辆车装乙种苹果，2辆车装丙种苹果．22．解：(1)答案见图①、②(任选一种即可)．(2)答案见图③．剪拼方法：取AB 的中点M ，过点M 作AP 的平行线l ，与BC 交于点N ，过点A 作BC 的平行线，与l 交于点H ，将△BMN 绕点M 顺时针旋转180°到△AMH ，则四边形ACNH 为拼接后的等腰梯形．第22题答图五、解答题23．解：(1)如图①，当点A 的横坐标为2时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为A (2，4)，B (2，1)，⎪⎭⎫⎝⎛4,21C ，D (8，1)． 解一：直线CD 的解析式为52152+-=x y ．∵AB ∥y 轴，F 为梯形ACBD 的对角线的交点， ∴x ＝2时，517521252=+⨯-=y ．∴点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛517,2． 解二：，23=AC ，BD ＝6，AB ＝3．∵梯形ACBD ，AC ∥BD ，F 为梯形ACBD 的对角线的交点， ∴△ACF ∽△BDF ．41==∴BDAC BFAF ．51=∴ABAF ，53=AF ，点F 的纵坐标为517．∴点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛517,2．第23题答图(2)如图②，作BM ⊥x 轴于点M ．作CN ⊥x 轴于点N ．当点A 的横坐标为m 时，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛m m A 8,，⎪⎭⎫ ⎝⎛m m B 2,，⎪⎭⎫ ⎝⎛m m C 8,4，⎪⎭⎫ ⎝⎛m m D 2,4． 496432121=⨯⨯=⨯⨯=∆m m AB AC S ABC .S △OBC ＝S 梯形CNMB ＋S △OCN －S △OBM415432821=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+==m mm S CNMB 梯形. ∴S △OBC ＞S △ABC ．(3)点A 的坐标为(2，4)．24．解：(1)点C 的坐标为(3，0)．∵点A 、B 的坐标分别为A (8，0)，B (0，6)，∴可设过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y ＝a (x －3)(x －8)．将x ＝0，y ＝6代入抛物线的解析式，得a ＝41．∴过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为6411412+-=x x y ．(2)可得抛物线的对称轴为211=x ，顶点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-1625,211，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ．直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋6． 设点P 的坐标为(x ，－2x ＋6)．①解法一：如图①，作OP ∥AD 交直线BC 于点P ，连结AP ，作PM ⊥x 轴于点M ． ∵OP ∥AD ，∴∠POM ＝∠GAD ，tan ∠POM ＝tan ∠GAD ．GADG OMPM =∴，即2118162562-=+-xx ． 解得716=x ．经检验716=x 是原方程的解．此时点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛710,716． 但此时716=OM ，25=GA ，OM ＜GA ．POMOM OP ∠=cos ，GADGA AD ∠=cos ，GAD POM ∠=∠，∴OP ＜AD ，即四边形的对边OP 与AD 平行但不相等，∴直线BC 上不存在符合条件的点P ．解法二：如图②，取OA 的中点E ，作点D 关于点E 的对称点P ，作PN ⊥x 轴于点N ．则∠PEO ＝∠DEA ，PE ＝DE ． 可得△PEN ≌△DEG ． 由42==OA OE ，可得E 点的坐标为(4，0)． 23==EG NE ，25=-=NE OE ON ，DG NP =1625=．∴点P 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛1625,25． 25=x 时，16251625262≠=+⨯-=+-x ，∴点P 不在直线BC 上．∴直线BC 上不存在符合条件的点P ．第24题答图(3)｜QA －QO ｜的取值范围是0≤x ≤4．说明：如图③，由对称性可知QO ＝QH ，｜QA －QO ｜＝｜QA －QH |．当点Q 与点B 重合时，Q 、H 、A 三点共线，｜QA －QO ｜取得最大值4(即为AH 的长)；设线段OA 的垂直平分线与直线BC 的交点为K ，当点Q 与点K 重合时，｜QA －QO ｜取得最小值0．25．解：(1)①如图①，作AE ⊥PB 于点E ．∵△APE 中，∠APE ＝45°，P A ＝2，1222sin =⨯=∠=∴⋅APE PA AE ，1222cos =⨯=∠=⋅APE PA PE∵PB ＝4，∴BE ＝PB －PE ＝3．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，1022=+=∴BE AE AB .第25题答图②解法一：如图②，因为四边形ABCD 为正方形，可将△P AD 绕点A 顺时针旋转90°得到△P 'AB ，可得△P AD ≌△P 'AB ，PD ＝P 'B ，PA ＝A P '．∴∠P PA '＝90°，∠P AP '＝45°，∠PB P 'PB ＝90°．∴P P '＝2PA ＝2．52422222=+=+'='=∴PB P P B P PD 解法二：如图③，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ．在Rt △AEG 中，可得310cos cos =∠=∠=ABE AEEAG AEAG ，31=EG ，32=--=EG BE PB PG ．在Rt △PFG 中，可得PF ＝PG ·cos ∠FPG ＝PG ·cos ∠ABE 510=，1510=FG ．在Rt △PDF 中，可得22)(FG AG AD PF PD +++= 522015103101051022==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=．(2)如图④所示，将△PAD 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB P '，PD 的最大值即为B P '的最大值．∵△P 'PB 中，P 'B ＜P P '＋PB ，P P '＝2PA ＝2，PB ＝4，且P 、D 两点落在直线AB 的两侧，∴当P '、P 、B 三点共线时，P 'B 取得最大值(见图⑤)．此时P 'B ＝P P '＋PB ＝6，即P 'B 的最大值为6．此时∠APB ＝180°－∠A P P '＝135°．。

北京市西城区2009年抽样测试高三数学试卷（文科）2009.5一、选择题（共3小题；共15分）1. 已知集合，满足，那么下列各式中一定成立的是______A. B. C. D.2. 设向量，，则“ ”是“ ”的______A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线，在平面内一定存在一条直线，使得与 ______A. 平行B. 相交C. 异面D. 垂直二、填空题（共1小题；共5分）4. 设，，则的内角 ______．三、解答题（共2小题；共26分）5. 已知函数．（1）求的值域和最小正周期；（2）设，且，求的值．6. 已知是直角坐标系平面到自身的一个映射，点在映射下的象为点，记作．设，，，，，如果存在一个圆，使所有的点都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点的一个收敛圆．特别地，当时，则称点为映射下的不动点．若点在映射下的象为点．（1）求映射下不动点的坐标；（2）若的坐标为，求证：点存在一个半径为的收敛圆．四、选择题（共5小题；共25分）7. 函数的反函数是______A. B.C. D.8. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离等于______A. B. C. D.9. 数列对任意满足，且，则等于______A. B. C. D.10. 某校要从高三的六个班中选出名同学参加市中学生英语口语演讲，每班至少选人，则这个名额的分配方案共有______A. B. C. D.11. 根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点沿正东偏北方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但的大小以及何时改变方向不定（如下图）．假定机器人行走速度为米/分钟，设机器人行走分钟时的可能落点区域为，则可以用不等式组表示为______．A. B. C. D.五、填空题（共5小题；共25分）12. 为了了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出条鱼．将这个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为和，则 ______．13. 若的展开式中常数项为，则 ______．14. 设函数，则 ______；若，则的取值范围是______．15. 已知一个球的表面积为，球面上有、两点，且球心到直线的距离为，那么此球的半径 ______，、两点间的球面距离为______．16. 已知三个函数：①；②；③．其中满足性质："对于任意，若，，，则有成立"的函数是______．（写出全部正确结论的序号）六、解答题（共4小题；共52分）17. 甲、乙两人射击，每次射击击中目标的概率分别是、．现两人玩射击游戏，规则如下：若某人某次射击击中目标，则由他继续射击，否则由对方接替射击．甲、乙两人共射击次，且第一次由甲开始射击．假设每人每次射击击中目标与否均互不影响．（1）求次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标的概率；（2）求乙至少有次射击击中目标的概率．18. 如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的大小；（3）求二面角的余弦值．19. 已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若函数在其图象上任意一点处切线的斜率都小于，求的取值范围．20. 已知的顶点在射线：上，，两点关于轴对称，为坐标原点，且线段上有一点满足．当点在上移动时，记点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）设，过的直线与相交于、两点．求证：不存在直线，使得．答案第一部分1. C2. A3. D第二部分4.第三部分5. （1）因为，所以，即函数的值域为．函数的最小正周期为．（2）由（1）得，所以．因为，所以，所以，或，所以，或．6. （1）设不动点的坐标为，由题意，得解得所以此映射下不动点为．（2）由，得所以因为，，所以，，所以由等比数列定义，得数列是公比为，首项为的等比数列，所以则同理，．所以．设，则因为，所以，所以故所有的点都在以为圆心，为半径的圆内，即点存在一个半径为的收敛圆．第四部分7. D 8. C 9. B 10. A11. B第五部分12.13.14. ；或15. ；16. ②③第六部分17. （1）记“ 次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙射击未击中目标”为事件，则事件的概率（2）记“乙至少有次射击击中目标”为事件，事件包含以下两个互斥事件：①事件：三次射击的人依次是甲、甲、乙，且乙击中目标，其概率为②事件：三次射击的人依次是甲、乙、乙，其概率为由①②，得事件的概率为所以事件"乙至少有次射击击中目标"的概率为．18. （1）取中点，设为点，连接和．，平面，平面，所以 平面．同理可得 平面．，所以平面 平面．又因为平面，所以 平面．（2）如图，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，从而所以因此，异面直线与所成的角为．（3）在直三棱柱，，又，，所以平面．连接，在中，因为，，所以，即，因为是在平面内的射影，所以，所以为二面角的平面角．由，，得所以二面角的余弦值为．19. （1）由已知得由，解得由，解得或所以函数的单调增区间为，减区间为和．（2）由已知得根据题意，得即对任意成立．设，则从而于是解得或故实数的取值范围是或．20. （1）因为，两点关于轴对称，所以直线与轴平行．设，由题意，得，，从而由，得化简，得因此，的轨迹的方程为．（2）若直线得方程为，则，，从而，不符合题意．设，当直线为时，由方程组消去，得因为直线与双曲线的右支相交两点，所以解得设，，则因为所以要使，则必有解得，代入不符合．综上，不存在直线使得．。