第07周 等比数列的前n项和-试题君之周末培优君2017-20
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第07周 等比数列的前n 项和 （测试时间：50分钟，总分：100分）班级：____________ 姓名：____________ 座号：____________ 得分：____________ 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12=2=4a a ，，那么10S 等于 A ．210＋2 B ．29－2 C ．210－2D ．211－2【答案】D 【解析】∵212a q a ==，∴101011102(12)=2(21)2212S -=-=--，故选D ． 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和3(12)nn S =-，则其首项1a 和公比q 分别为A ．13a =，2q =B ．13a =-，2q =C ．13a =，2q =-D ．13a =-，2q =-【答案】B【解析】由题设令1113n a S =⇒==-，令12229n a a S =⇒+==-， 易得26a =-，则公比623q -==-，故选B ． 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，416S =，则6S = A ．25 B ．26 C ．51D ．52【答案】D【解析】由等比数列前n 项和的性质知，24264,,S S S S S --成等比数列，即64,12,16S -成等比数列，可得26124(16)S =-，解得652S =，故选D ．4．在各项为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和321S =，则345a a a ++的值为 A ．33 B ．72 C ．84D ．189【答案】C【解析】依题意，233321q q ++=，解得2q =或3q =-（舍去），∴23612a a ==，， ∴2345342184a a a q S ⋅++==⨯=，故选C ． 5．在等比数列{}n a 中，已知其前n 项和12n n S a +=+，则a 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．2【答案】C【解析】当1n =时，21124a S a a ==+=+， 当2n ≥时，11(2)(2)2n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=，因为{}n a 为等比数列，所以1a 也应该符合2nn a =，从而可得422a a +=⇒=-，故选C ．6．在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，1232nn a a a a m ++++=+ ，则2222123n a a a a ++++=A ．1(4)3nm +B ．1(21)3n-C ．41n -D ．2(2)n m +【答案】A7．（2017新课标全国II 理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．8．已知数列}{n a 满足132n n a a +=+（*n ∈Ν），且12a =，则数列}{n a 的前n 项和n S =A ．1332n n +--B ．1332n +-C ．13312n +--D ．332n n --【答案】A9．对于数列{}n a ，定义数列1{}n n a a +-为数列{}n a 的“差数列”，若12a =，{}n a 的“差数列”的通项为2n ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12log (2)n S +的最大值为A ．1-B ．2-C ．0D ．3【答案】B【解析】由题意得12nn n a a +-=，∴112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=， 3232n n n a a ----=，…212a a -=，将以上各式相加得：112312(12)22222212n n n n n n a a ------=++++==-- ，所以2nn a =，2312(12)22222212n nn n S +-=++++==-- ，故1224n n S ++=≥，所以12log (2)n S +的最大值为12log 42=-，故选B ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将正确的答案填在题中的横线上． 10．在等比数列{}n a 中，若11a =，48a =-，则12n a a a +++= _________________．【答案】 21n -【解析】因为{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则341881a q a -===-，所以2q =-， 易知12,,,n a a a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12122112nn n a a a -+++==-- ．【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比数列的前n 项和公式，属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 11．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =_________________．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确； ②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．12．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S =_________________尺．【答案】11212nn --+ 【解析】大老鼠是首项为1公比为2的等比数列，小老鼠是首项为1公比为12的等比数列， 故111()121221112212nnn n n S ---=+=-+--． 【思路点晴】解答此类问题的一般步骤如下：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； ②建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．13．已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，若27128a a ⋅=，84=a ，则=1a _________________，n S =_________________．【答案】1 12-n【解析】由27128a a ⋅=，84=a ，则数列各项均为正，得4278128a a a =⎧⎨⋅=⎩，312718128a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩，则11a =，1(1)211n n n a q S q -==--． 14．在等比数列{}n a 中，已知5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，则首项=1a _________________，n =_________________．【答案】2 5【解析】由知条件，得51113162(13)24213n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②，由①得181162,a =解得12a =．将12a =代入②，得2(13)24213n -=-，即3243n =，解得5n =．三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，2a ，3a 是方程2680x x -+=的两根． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n n a ⋅的前n 项和n S ． 【答案】（1）12n -；（2）12(1)2n n ++-．【解析】（1）易知方程2680x x -+=的两根分别为2，4，（2分） 依题意可得22a =，34a =．（3分） 所以32422a q a ===，（4分） 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（5分）16．（本小题满分10分）（2017北京）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++ ．【答案】（1）21n a n =-；（2）312n -．【思路分析】（1）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（2）由{}n b 是等比数列，知21{}n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为2410a a +=，所以12410a d +=，解得2d =，（2分） 所以21n a n =-．（4分）【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法： ①分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式； ②裂项相消法求和，一般适用于1+=n n n a a cc ，nn c c n ++=1等的形式；③错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；④倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和． 17．（本小题满分10分）（2017天津理）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+． 【思路分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程求出等差数列的首项1a 和公差d 及等比数列的公比q ，即可写出等差数列和等比数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求出数列221{}n n a b -的前n 项和．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ，（6分）23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-，（8分） 即1328433n n n T +-=⨯+， 所以数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+．（10分） 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．。
