第7章 随机利率模型 0

基于随机利率模型的零息债券定价方法研究作者：谌雪莺黄宜平来源：《中小企业管理与科技·下旬》2011年第01期摘要：债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。

本文对三种随机利率模型的优劣作了比较，并在此基础上，讨论了零息债券的定价，给出了Vasicek模型和CIR模型的解析解，同时讨论了Hull-White模型的数值方法。

关键词：Vasicek模型 CIR模型 Hull-White模型零息债券债券融资是直接融资的一种方式，债券定价的高低直接影响到发行人的融资成本和投资人的获利空间，所以债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。

正是基于此，本文研究了零息债券的定价方法。

零息债券是一种以贴现方式发行，不附息票，在到期日按票面值支付的债券。

假定到期日t=T，则零息债券的价格是r，t，T的函数，不妨记作P(r，t，T)。

当利率r（t）是确定的函数时，零息债券的价格满足r（t）P（t），（0≤t≤T），P（r，T，T）=1可解得零息债券的价格为，特别地，当利率为常数r时，债券的价格为P(r，t，T)=e-(T-t)r。

当利率r（t）为随机过程时，零息债券的价格为此时零息债券的价格依赖于随机利率的模型。

现代利率期限结构理论认为，在确定利率时，许多因素都在同时起作用，各种利率的运动过程均表现出一定的随机性，但同时又具有向一个均值水平靠拢的行为，即，当利率较高时，利率呈现下降趋势；当利率较低时，利率呈现上升趋势，一般将利率的这一特性称为均值回复(mean reversion)现象。

随机利率模型有很多，如Brennan and Schwartz(1979，1982)，Courtadon(1982)，Cox，Ingersoll，Ross(1985)， Dothan(1978)， Longstaff(1989)， Vasicek(1977) and Hull，White(1990)等。

这些模型所考虑的利率过程都具有均值回复现象。

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目录第一部分历年真题2011年秋季中国精算师《A2金融数学》真题及答案2011年春季中国精算师《A2金融数学》真题及详解第二部分章节题库第一章利息的基本概念第二章年金第三章收益率第四章债务偿还第五章债券及其定价理论第六章利率期限结构理论第七章随机利率模型第八章金融衍生工具介绍第九章金融衍生工具定价理论第十章投资组合理论第十一章CAPM和APT第三部分考前押题中国精算师《金融数学》考前押题及详解（一）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（二）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（三）第一篇利息理论第1章利息的基本概念第2章年金第3章收益率第4章债务偿还第5章债券及其定价理论第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论第7章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第8章金融衍生工具介绍第9章金融衍生工具定价理论第四篇投资组合理论第10章投资组合理论第11章CAPM和APT附录2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇利息理论第1章利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。

随机利率的三因子模型及其参数估计本文在分析利率期限结构模型的基础上，将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型。

并且对模型参数进行了有效矩估计，比较几个同类模型，结果表明三因子模型对我国国债回购利率具有较好的拟合能力。

关键词：随机利率三因子模型有效矩估计随机利率模型概述利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，一直是金融学研究的重点，特别是短期利率，它直接影响着资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等金融活动。

因此，学者们提出了许多利率期限结构模型来刻画利率的随机行为，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，这些模型假设利率的动态变化都遵循扩散过程，即瞬时利率可用下列随机微分方程的一般形式来表达：drt=m(rt)dt+s(rt)dWt其中，m(rt)为漂移项，表示利率变化的瞬时期望；s(rt)为扩散项；s2(rt)为利率变化的瞬时方差；dWt为布朗运动的微分增量。

当漂移项或波动率函数选择不同形式时，就能得到已有的各个著名随机利率模型，它们都属于单因子利率参数模型。

但金融市场自身的复杂性决定了仅仅用单因子模型来描述是不完全的，国内外大部分的实证研究表明，瞬时利率变动的总体方差绝大部分来自于两到三个因素的贡献，并且三个主要因素基本上能解释短期利率曲线80%以上的动态特征。

因此本文将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型；并利用上海证交所国债回购利率数据，对模型参数进行了有效矩估计，比较已有的同类模型，说明该模型具有较好的拟合能力。

三因子模型的建立在已有的期限结构模型中，CKLS模型对短期利率的动态行为特点的研究具有推动作用，现今几乎所有与期限结构相关的实证大都基于CKLS 模型或与其有关，其具体形式为：drt=(α+βrt)dt+σrtγdWt（1）式中，(α+βrt)dt为漂移项，α为短期利率的长期均值水平。

2015年全国会计专业技术中级资格考试内部资料财务管理第七章 营运资本管理知识点：目标现金余额的确定（三）——随机模型（米勒-奥尔模型）● 详细描述：1.控制原理企业根据历史经验和现实需要，测算出一个现金持有量的控制范围，即制定出现金持有量的上限和下限，将现金量控制在上下限之内。

2.三条线的确定（1）下限（L）的确定现金管理部经理在综合考虑以下因素的基础上确定：①短缺现金的风险程度；②公司借款能力；③公司日常周转所需资金；④银行要求的补偿性余额。

（2）回归线R的计算公式：（3）最高控制线H的计算公式为：H=3R-2L【例7-3】设某企业现金部经理决定L值应为10000元，估计公司现金流量标准差为1000元，持有现金的年机会成本为15%，换算为i值是0.00039，b=150元。

【补充要求】根随机模型计算目标现金余额，并且分析如何控制企业的现金持有额目标现金余额16607元当现金余额达到29821元时：应买进证券=29821-16607=13214（元）当现金余额达到10000元时：应出售证券=16607-10000=6607（元）3.特点适用于所有企业最佳现金持有量的测算.建立在企业的现金未来需求总量和收支不可预测的前提下,计算出来的现金持有量比较保守。

例题：1.某公司持有有价证券的平均年利率为5%，公司的现金最低控制线为1500元，现金余额的回归线为8000元。

如果公司现有现金20000元，根据米勒—奥尔模型，此时应当投资于有价证券的金额是（）元。

A.0B.6500C.12000D.18500正确答案：A解析：H=3R-2L=3×8000-2×1500=21000（元）＞20000元，所以不需要进行有价证券投资。

2.下列关于目标现金余额确定的随机模式中“回归线”的表述中，正确的是（）。

A.回归线的确定与企业最低现金每日需求量无关B.有价证券利息率增加，会导致回归线上升C.有价证券的每次固定转换成本上升，会导致回归线上升D.当现金的持有量高于或低于回归线时，应立即购入或出售有价证券正确答案：C解析：确定现金回归线时需要考虑最低现金每日需求量，所以选项A不正确；有价证券利息率与回归线是呈反向变动的，选项B不正确；转换成本与回归线同向变动，所以选项C正确；现金高于或达到上限时购入有价证券，低于或达到下限时出售有价证券，所以选项D不正确。

?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。

利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。

实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。

等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。

(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。

(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。

(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。

例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。

(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。

例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。

习题：1、2、3、4、15、16、19、24。

第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。

硕士学位论文图２．１长期确定利军准备金情景分析从图中可以看出，定期寿险的准备金是一个中间高，两头低的曲线，在前半期，准备金的提留额度是随着固定利率值的增加而降低的，也即前半期低利率情景的准备金曲线处于最上面，当过了准备金提留额最大值后并通过交汇点后（此处大约在第１６期），不同固定利率情景下的准备金提留额排序反转且直至到期。

这里利率等额变化给准备金造成的影响在不同的期间表现不同。

利率假设的变化能同时影响准备金资产和纯保费的增值，两方面影响的净值决定了最后的准备金水平。

在同时考虑过去法和未来法计算准备金时，利率变化而造成的影响能够在两种方法中产生相同的结果，这里就不做具体说明，有兴趣者可参阅南开大学出版社《寿险精算实务》第２８６页【２４】。

２．２．３．２利率趋势情景分析所谓利率趋势情景分析是指，利率在每一情景条件下都采用不同的利率趋势假设，即在每一情景中，利率假设随着保单期的变化而变化。

较为常见的利率趋势分析方法是“纽约利率七景”【１‘”。

在中国精算师考试０１３课程中也被称为主观法０３］。

它原是纽约证券交易中心金融分析人员用于进行现金流测试的利率情景模型，是指在进行利率风险评估过程中所采取的７种不同变化趋势的利率走向，对金融产品的现金流进行测试，从而获得在不同利率趋势假设下各种指标的预先评价。

显然这七种利率趋势要反映利率市场中最典型的七种情景。

通常采用的七组不同利率假设如下：随机利率模型下寿险准备金的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ分析根据上面的利率趋势假设，通过前面推导的变动利率条件下的换算函数表，可以计算出每种情景下对应的利率趋势的准备金。

图２．３即为所示在七种不同情景下准备金趋势图。

在图中可以看到，情景３—“先增后减”是令准备金变动幅度最大的一种情景，它对未来中期带来的准备金最大值要高与其它利率情景条件。

而情景２一“逐增”情景产生了相对最小的各期准备金变动幅度。

各情景按照在准备金最大值时刻附近大小排序后如下所示：情景３）情景５）情景７）情景１）情景６＞情景４＞情景２从以上可以看出，准备金各期提留最大额度取决于未来利率的高低。

随机利率下多维吉萨诺夫定理随机利率是金融领域中一个重要的概念，它指的是利率的变动具有一定的随机性。

在金融市场中，利率的变动对于投资者和借款人来说具有重要的影响。

为了能够更好地理解随机利率下的金融市场行为，学者们提出了多维吉萨诺夫定理。

多维吉萨诺夫定理是由俄罗斯数学家维亚切斯拉夫·伊万诺维奇·吉萨诺夫于20世纪50年代提出的。

它是关于随机过程的一种重要定理，可以用于研究金融市场中的随机利率行为。

在金融市场中，利率的变动是一个复杂的过程。

它受到多种因素的影响，包括经济基本面、市场情绪、政策调控等。

这些因素的变化会导致利率的波动，从而影响到金融市场的行为。

多维吉萨诺夫定理的核心思想是将随机利率看作一个随机过程，通过对其进行建模和分析，可以得出关于其行为的一些重要结论。

多维吉萨诺夫定理给出了随机利率的平均水平、方差、协方差等统计特征，从而帮助投资者和借款人更好地理解利率的变动规律。

在金融市场中，投资者和借款人对于随机利率的行为非常关注。

他们希望能够预测利率的走势，以便做出更合理的投资和融资决策。

多维吉萨诺夫定理为他们提供了一种分析工具，可以帮助他们更好地理解利率的变动规律，从而提高投资和融资的效果。

随机利率下的多维吉萨诺夫定理在金融学的研究中具有重要的应用价值。

它不仅可以用于分析利率的变动规律，还可以用于研究其他金融市场中的随机行为。

通过对随机利率进行建模和分析，可以为投资者和借款人提供更准确的决策依据，帮助他们更好地把握市场机会。

随机利率下的多维吉萨诺夫定理是金融学中的一个重要理论工具，它可以帮助我们更好地理解金融市场中利率的变动规律。

通过对随机利率进行建模和分析，可以为投资者和借款人提供更准确的决策依据，提高他们的投资和融资效果。

通过进一步的研究和应用，我们可以进一步提升金融市场的运行效率，推动经济的稳定和发展。