第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征第一课时简单多面体的结构特征一、教学目标1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学思路（一）、学生了解教学目标见PPT（二）、学生自学教材P2~P4，探究新知自主探究，通过学生观察、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、棱锥、棱台等。
并且通过交流、讨论、概括出各几何体的结构特征，完成下表。
教师对学生的活动及时给予评价。
1、自学检测题填空：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的叫做空间几何体；常见的空间几何体有和两类。
2、完成表格，认识几何体的结构特征见PPT①棱柱名称棱柱直棱柱正棱柱图形动画展示定义有两个面互相平行，而其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形②棱锥和棱台名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所两侧面所成角都相等成角都相等③几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
第1课时 平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一 基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2．符号表达：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点二 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.( × ) 2．没有公共点的两条直线是异面直线．( × )3．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( × )类型一 基本性质4的应用例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．解 在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点， 所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD . 所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1 如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明 设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1. 又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三 空间四边形的认识例3 如图，设E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明 (1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EHBD ＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，∴EH 綊GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF . ∴四边形EFGH 是梯形．反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD ”，不包含平面四边形，说明“A ，B ，C ，D 四点必不共面”，不能因直观图中AD 与BC 看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3 已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，判定AE 与DF 的位置关系． 解 由已知，得E ，F 不重合． 设△BCD 所在平面为α， 则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ， 所以AE 与DF 异面．1．直线a ∥b ，直线b 与c 相交，则直线a ，c 一定不存在的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．无法判断答案 B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是( )A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4．下面三个命题，其中正确的个数是( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1 B．2 C．3 D．0答案 D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案 B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案 D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形答案 B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案 A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD 不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面A 1C 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解 如图所示，在面A 1C 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .13.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23.(1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′与BB ′相交于O 点， 且AO OA ′＝BO OB ′，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， 因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 答案 D解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )． 在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )． 15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。
