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第二十六讲比较与估算
在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大
小的方法•今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题.
例题1.
现有7个数，其中5个是3.&&、3-、116、3.&&、3凹•如果按照从小到大排列的第三
7 37 273
个数是空，那么位于最中间的数是多少？
37
「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果.
练习1.
有8个数，0.&& -、5、0.5& 24、13是其中的6个.如果按从小到大的顺序排列时,
3 9 47 25
第4个数是0.5&.那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？
例题2.
2 5 3
在不等式2 5 3的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.
3 □4
「分析」分子相同，分母大的分数小.但分子不一样怎么比较大小呢?
练习2
在不等式2□的方框中填入一个自然数，使得不等式成立.那么方框中最大可以填多少?
在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符
合题意.
例题3.
算式33.333 33.333计算结果的整数部分是多少？
「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数部分就可以了•我们可以从以下两个方面考虑：
(1)估算结果的大致情况，推出整数部分.
(2)计算出准确结果，确定整数部分.
那大家想一想应该怎么办？
练习3.
算式66.666 66.666计算结果的整数部分是多少?
算式的缩放是估算问题中经常用到的方法. 缩放的方法有很多.在放缩的时候要注意不
可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用.
例题4.
2 2 2 2
算式---L —计算结果的整数部分是多少？
11 12 13 20
「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦•如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算, 还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了.
练习4.
3
3 3 3
算式-
— L
—计算结果的整数部分是多少?
20 21 22
29
同例题4,需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分.
例题6.
(1) 两个小数的整数部分分别是 4和5,那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能 的取值？ (2)
将两个小数四舍五入到个位后，所得到
的数值分别是
7和9•将这两个小数的乘积四 舍五入到
个位后共有多少种可能的取值？
「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围， 那么乘积也一定有一个连续 的取值范围.
例题 5.
求出
99 100 999 1000
9999999999 的计算结果的整数部分.
10000000000
「分析」
等号与不等号的历史
、等号，不等号
为了表示等量关系，用“=”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了.
说来话长，在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里，常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思.
1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto （等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没
有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了.”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且
相等的线段“=”表示“相等”，“=”叫做等号.
用“=”替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用.历史上也有人用其它符号表示过相等. 例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用表示过“相等”.直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“=”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认.
顺便提一下，“工”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号.“工”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a+ 1工a+ 5.
二、大于号，小于号
现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系.我们知道，相等关系可以用“=”表示，不等关系用什么符号来表示呢？
为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁. 1629年，法国
数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”
表示“小于”.例如，A大于B记作：“ AffB”，A小于B记作“ A§B”. 1631年，英国数
学家哈里奥特，首先创用符号“〉”表示“大于”，“V”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.例如5>3,—2V0, a>b, m V n.
与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号.例如，1631年，数
学家奥乌列德曾采用“ | —”代表“大于”；用“ _ ”代表“小于”.1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a >b用符号“a3|2b”表示；b v a用符号“b2|3a”表示.因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了.只有哈里奥特创用的“〉”和“V” 一直广为使用.
