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构造置信区间估计的一般方法

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delta method置信区间

delta method置信区间

delta method置信区间
摘要：
1.置信区间的概念和作用
2.Delta method 的定义和原理
3.Delta method 置信区间的计算方法
4.Delta method 置信区间的优点和应用
5.结论
正文：
1.置信区间的概念和作用
置信区间是指根据样本数据计算出的一个区间，它表示我们对总体参数的估计范围。

在统计学中，置信区间是一种重要的数据分析工具，它可以帮助我们对总体参数进行估计，并对估计的精确度进行评估。

2.Delta method 的定义和原理
Delta method 是一种用于构造置信区间的方法，它主要适用于连续型随机变量的参数估计。

Delta method 的原理是基于样本数据的分布，通过计算样本数据的函数值，来估计总体参数的值。

3.Delta method 置信区间的计算方法
Delta method 置信区间的计算步骤如下：
（1）计算样本数据的均值和标准差
（2）计算t 分布的分位数
（3）计算样本数据的函数值
（4）根据t 分布的分位数和样本数据的函数值，计算置信区间的上下限
4.Delta method 置信区间的优点和应用
Delta method 置信区间的优点在于，它可以适用于各种分布的随机变量，并且计算简单，只需要计算样本数据的均值和标准差即可。

此外，Delta method 置信区间的精度较高，可以提供较为准确的参数估计。

Delta method 置信区间广泛应用于各种实际问题中，例如在医学研究中，可以用Delta method 置信区间估计某种疾病的发病率；在社会科学中，可以用Delta method 置信区间估计某种社会现象的比例等。

统计推断中的置信区间构造方法

统计推断中的置信区间构造方法

统计推断中的置信区间构造方法在统计学中，置信区间是对总体参数的估计范围的一种范围估计方法，用来说明参数的真实值可能处于估计范围内的概率。

构造置信区间是统计推断的一个重要应用，下面将介绍几种常用的置信区间构造方法。

1. 正态总体均值的置信区间当总体服从正态分布且方差已知时，对总体均值的置信区间可以用下面的方法构造：假设总体均值为μ，方差为σ^2，样本容量为n，样本均值为x¯。

则总体均值的置信区间为：\[ \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]其中，z_{\alpha/2}为标准正态分布的上α/2分位数。

通常取显著性水平为0.05时，z_{\alpha/2}取1.96。

这个公式构造的置信区间具有置信水平为95%的特性。

2. 正态总体方差的置信区间当总体服从正态分布时，对总体方差的置信区间可以用下面的方法构造：假设总体方差为σ^2，样本容量为n，样本方差为s^2。

则总体方差的置信区间为：\[ \left( \frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2} , \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2} \right) \]其中，χ_{\alpha/2}^2和χ_{1-\alpha/2}^2分别为自由度为n-1的卡方分布的上α/2分位数和1-α/2分位数。

这个公式构造的置信区间具有置信水平为1-α的特性。

3. 总体比率的置信区间当需要估计总体比率（比如成功率）时，可以用下面的方法构造置信区间：假设总体比率为p，样本容量为n，成功次数为x。

则总体比率的置信区间为：\[ \left( p - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}, p + z_{\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \right) \]其中，z_{\alpha/2}为标准正态分布的上α/2分位数。

置信区间估计方法

置信区间估计方法

置信区间估计方法
置信区间估计方法是统计学中一种常用的区间估计方法，它通过构造一个置信区间来估计未知参数的取值范围。

这个区间通常包含了未知参数的真实值，并且随着置信水平的提高，这个区间的长度也会相应地缩短。

在应用置信区间估计方法时，我们首先需要选择一个合适的置信水平，通常为95%或99%。

然后，根据样本数据和选定的置信水平，计算出置信区间的上下限。

这个计算过程可以通过一些常见的统计软件或在线工具来完成。

置信区间估计方法在许多领域都有广泛的应用。

例如，在医学研究中，我们可以通过置信区间估计方法来评估治疗效果的有效性，并确定治疗方案的适用范围。

在经济学中，置信区间估计方法可以用于预测模型的误差范围和评估政策效果的不确定性。

在社会科学中，它可以帮助我们了解社会现象的发展趋势和变化范围。

值得注意的是，置信区间估计方法也存在一些局限性。

例如，当样本量较小或者数据不符合正态分布时，置信区间估计的结果可能会存在较大的误差。

此外，置信区间估计方法也不能提供关于单个观测值的预测或决策。

综上所述，置信区间估计方法是一种实用的统计方法，它可以用于估计未知参数的取值范围，并且在许多领域都有广泛的应用。

然而，在使用置信区间估计方法时，我们也需要注意其局限性，并根据实际情况选择合适的方法来进行参数估计。

区间估计

区间估计

x
）
x
） ）
x x
（
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
ˆ ˆ ( X ,..., X ) 是统计量, 若对给定的 定义3: 设 L L 1 n
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ } 1- P{ L
ˆ 是θ的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限. 则称 L
ˆ ˆ ( X ,..., X )是统计量, 若对给定的 定义4: 设 U U 1 n
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
(3)
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为
n
( u1 2 )2 2
E2 96.04 97
(1.96)2 2000 2 4002
即应抽取97人作为样本。
四、大样本置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限 定理, 可近似地视为 2 x ~ N (, )
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？
解： 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.
解：已知Ｘ ~ N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490

统计推断中的置信区间构造方法

统计推断中的置信区间构造方法

统计推断中的置信区间构造方法统计推断是统计学的一个重要分支，它通过从样本中推断总体特征，为决策和推断提供依据。

其中，置信区间是一种常见的统计推断方法，用来估计总体参数的取值范围。

本文将介绍统计推断中的置信区间构造方法，包括点估计和区间估计的概念、置信水平的选择、置信区间的计算方法等。

一、点估计和区间估计在统计推断中，我们通常需要估计总体参数的取值。

点估计是一种方法，通过使用样本数据得到总体参数的一个点估计值。

例如，通过样本均值估计总体均值、通过样本方差估计总体方差等。

点估计给出了参数的一个估计值，但并没有提供关于估计误差的信息。

为了更全面地估计总体参数，我们需要使用区间估计。

区间估计是在给定的置信水平下，给出一个参数取值的范围。

这个范围被称为置信区间，表示参数真值落在该区间内的概率为置信水平。

二、置信水平的选择在进行置信区间估计时，我们需要选择置信水平。

常见的置信水平有90%、95%和99%等。

置信水平越高，置信区间的宽度就越大，对参数的估计也就越准确。

一般来说，我们常用的置信水平是95%。

这意味着在进行推断时，我们有95%的置信度认为参数真值在估计的置信区间内。

三、置信区间的计算方法1. 正态分布情况下的置信区间当样本服从正态分布时，我们可以使用Z分布来计算置信区间。

置信区间的计算公式为：估计值 ± Z分数 ×标准误其中，估计值是样本统计量，Z分数是对应于置信水平的标准正态分布的临界值，标准误是样本统计量的标准差。

常用的统计量有样本均值和样本比例。

2. 大样本情况下的置信区间当样本量很大时，我们可以使用大样本的置信区间计算方法。

根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本统计量的抽样分布近似服从正态分布。

在大样本情况下，我们可以使用样本均值的标准差来计算置信区间。

3. 小样本情况下的置信区间当样本量较小时，我们无法假设样本服从正态分布。

这时，我们可以使用t分布来计算置信区间。

t分布与正态分布类似，但会根据样本量的不同调整分布的形态。

求未知参数置信区间一般方法

求未知参数置信区间一般方法

求未知参数置信区间一般方法未知参数的置信区间是统计学中一种重要的概念，用来衡量样本估计值的不确定性。

一般方法包括点估计、置信区间估计和假设检验。

在本文中，我们将重点介绍置信区间估计的一般方法。

置信区间估计是用样本估计值构造区间估计，以描述未知参数的可能取值范围。

它包括点估计和间隔估计两个部分。

点估计是用样本统计量估计未知参数的具体值，而置信区间估计则是在点估计基础上，给出未知参数可能的取值区间。

构造置信区间的一般步骤如下：1.选择一个合适的概率分布假设：在进行置信区间估计之前，需要选择适当的概率分布假设，以确定参数的分布。

一般来说，如果样本容量较大，可以使用正态分布进行近似；而对于小样本容量，可以使用t分布。

2.确定置信水平：置信水平描述了对参数估计的可信程度。

常见的置信水平有95%和99%。

一般来说，置信水平越高，置信区间就越宽。

3.计算样本统计量：使用给定的样本数据计算出所需的样本统计量，比如样本均值、样本比例等。

这些统计量可以作为点估计。

4.计算标准误差：标准误差是样本估计值与真实参数值之间的平均差异。

它可以用来估计置信区间的宽度。

标准误差可以使用公式计算，也可以通过抽样方法进行估计。

5.确定置信界限：根据所选的概率分布，计算出相应的临界值。

临界值分为两个，分别对应于置信区间的下限和上限。

一般使用正态分布或t 分布的分位数。

6.构造置信区间：使用估计值、标准误差和置信界限，可以构造出一个包含未知参数真实值的区间。

这个区间就是所求的置信区间。

需要注意的是，置信区间并不是参数的真实取值区间，而仅仅是对其可能取值的一个估计。

在统计学中，我们不能确定未知参数的真实值，只能通过样本数据进行估计。

总结起来，构造未知参数的置信区间所使用的一般方法包括：选择概率分布假设、确定置信水平、计算样本统计量、计算标准误差、确定置信界限和构造置信区间。

这些方法可以帮助我们理解样本估计值的不确定性，并提供了对未知参数可能取值范围的估计。

可信区间的估计方法

可信区间的估计方法一、引言在统计学中，可信区间是用于估计未知参数的一种方法。

它提供了一个范围，该范围内有一定概率包含真实的参数值。

可信区间的估计方法是统计学中一个重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍可信区间的估计方法及其在实际问题中的应用。

二、点估计与区间估计在统计学中，点估计是一种估计未知参数的方法，它给出一个具体的数值作为估计值。

然而，点估计只能提供一个数值，无法反映估计值的不确定性。

为了解决这个问题，统计学引入了可信区间的估计方法。

可信区间是用于估计未知参数的一种区间估计方法。

它提供了一个范围，该范围内有一定概率包含真实的参数值。

可信区间的估计方法主要有频率派方法和贝叶斯方法。

三、频率派方法频率派方法是一种基于频率统计理论的可信区间估计方法。

它假设参数是固定的但未知的，并利用样本信息对参数进行估计。

常用的频率派方法有置信度法和最大似然估计。

1. 置信度法置信度法是一种常用的可信区间估计方法。

它通过构造置信区间来估计未知参数。

置信区间是一个区间，它有一定的概率包含真实的参数值。

置信度是指在重复抽样的情况下，置信区间包含真实参数的概率。

构造置信区间的方法主要有正态分布法和t分布法。

正态分布法适用于大样本情况，t分布法适用于小样本情况。

2. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的可信区间估计方法。

它通过寻找最大化似然函数的参数值来估计未知参数。

最大似然估计得到的估计值具有一定的不确定性，因此可以构造可信区间来表示估计值的不确定性。

四、贝叶斯方法贝叶斯方法是一种基于贝叶斯统计理论的可信区间估计方法。

它假设参数是随机的，并利用先验分布和样本信息来估计参数。

贝叶斯方法通过后验分布来表示参数的不确定性。

贝叶斯方法的核心是贝叶斯公式，它将先验分布和似然函数结合起来，得到后验分布。

通过后验分布可以得到参数的可信区间。

五、实际应用可信区间的估计方法在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在市场调查中，我们可以利用可信区间的估计方法来估计产品的市场份额。

第二章 参数估计2-3 区间估计


I=0.814
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钢厂铁水含碳量X 例3. 钢厂铁水含碳量 ~ N(µ,0.1082), 现在随机测定 该厂9炉铁水得 炉铁水得X=4.484,求在置信度为 求在置信度为0.95 的条件 该厂 炉铁水得 求在置信度为 下铁水平均含碳量的置信区间。 下铁水平均含碳量的置信区间。 解
置信区间为
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联合方差
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返回
1、 µ1 - µ2的1-α置信区间 、 α (1)、 σ12 、σ22已知 、
由于 X −Y ~ N(µ1 − µ2 ,
选取
2 2 σ1 σ2
n1
+
n2
)
因此置信度为1-α 因此置信度为 α的µ1 - µ2置信区间可为
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返回
(2)、σ12 、σ22未知，且n1,n2较大 如大于 、 未知， 较大(如大于 如大于50)
=27.5， ，
=6.26， ，
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返回
测量一批铅锭的比重，设铅锭的比重X 例6. 测量一批铅锭的比重，设铅锭的比重 ~ N(µ, 现进行16次检测得铅锭的比重有 σ2),现进行 次检测得铅锭的比重有 现进行 次检测得铅锭的比重有X=2.705， ， S2=0.0292，试求总体 的均值µ和方差 σ2置信度为 求总体X的均值 0.95 的置信区间。 的置信区间。 解 (1)求µ的置信区间 σ2未知 n=16,α=0.05. 求 的置信区间, 未知, α 选取 查表得 置信区间为
(二)、总体X数学期望 (二)、总体X数学期望µ未知 数学期望µ 样本X 的无偏估计. 样本 1,X2, • • • , Xn, 且S2是σ2的无偏估计
选取样本函数

置信区间计算

置信区间计算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。

在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。

置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。

置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。

置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α(希腊字母alpha)，如前所述，绝大多数情况会将α设为0.05。

置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。

于是，如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。

置信区间的常用计算方法如下：
Pr(c1<=μ<=c2)=1-α
其中：α是显著性水平（例：0.05或0.10）；
Pr表示概率，是单词probablity的缩写；
100%*(1-α)或(1-α)或指置信水平（例如：95%或0.95）；
表达方式：interval(c1,c2) - 置信区间。

求解步骤
第一步：求一个样本的均值
第二步：计算出抽样误差。

经过实践，通常认为调查：100个样本的抽样误差为±10%；500个样本的抽样误差为±5%；1200个样本时的
抽样误差为±3%。

第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。

在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。

统计推断中的置信区间构造原理

统计推断中的置信区间构造原理统计推断是统计学中的一个重要概念，用于对总体参数进行估计和推断。

在实际应用中，我们常常需要对样本数据进行分析，然后通过构造置信区间来推断总体参数的范围。

本文将介绍置信区间的构造原理以及相关的统计方法。

一、置信区间的概念及作用在统计推断中，置信区间是对总体参数估计的范围的一种度量。

它表示我们对总体参数的估计结果具有一定的信心水平。

通常，置信区间由一个下限和一个上限构成，这两个边界值分别表示了参数值的最低和最高可能范围。

置信区间的作用是在样本数据的基础上对总体参数进行估计并提供可信的估计范围。

它可以帮助我们了解样本数据的稳定性和可靠性，同时也可以用于比较不同样本之间的差异。

二、置信区间的构造原理置信区间的构造通常依赖于参数估计、样本容量以及置信水平等因素。

下面将介绍几种常见的置信区间构造方法：1. 正态分布下的置信区间当总体符合正态分布，并且总体标准差已知时，可以使用正态分布的性质构建置信区间。

一般采用样本均值与标准误差的乘积与临界值的乘积来计算置信区间。

2. 正态分布下的样本均值置信区间当总体符合正态分布，但总体标准差未知时，可以通过样本均值的抽样分布来构造置信区间。

通常使用t分布来代替正态分布，并结合样本均值以及标准误差进行计算。

3. 大样本下的置信区间当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理逼近正态分布，并构建置信区间。

这是因为大样本时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

4. 二项分布下的置信区间对于二项分布，可以采用正态分布来近似。

通过计算样本比例以及标准误差，使用正态分布的方法来构造置信区间。

5. 自助法置信区间自助法是一种非参数的统计方法，通过自助重复取样来构造置信区间。

该方法适用于样本容量较小、总体分布未知或偏态分布的情况。

三、置信水平的选择置信水平表示置信区间包含真实总体参数的概率。

一般常用的置信水平有95%和99%，也可以根据实际需求进行选择。

置信水平的选择与统计推断的准确性和可信度有关，较高的置信水平对应较宽的置信区间。

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第三章 估计理论
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⎧ nx n −1 ，若0 ≤ x ≤ θ ， d ⎪ n −1 f ( n ) ( x) = F( n ) ( x) = n[F ( x)] f ( x) = ⎨ θ n dx ⎪ 0 ，若不然 ． ⎩
∞
所以
EX ( n ) =
−∞
∫ xf
(n)
( x)dx = ∫ x
从而，有
P { F ( X − 0) < y} ≥ y
推论：若随机变量 X 的分布函数 F ( x) 为连续函数，则 Y = F ( X ) ~ U (0,1) 。 对 给 定 的 α ∈ (0,1) ， 要 构 造 θ 的 置 信 水 平 为 1 − α 的 置 信 区 间 ， 我 们 从 统 计 量
即 θ 是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限；
第三章 估计理论
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P θ {θ ≤ θ ≤ θ } = P θ {θ ≥ θ } − P θ {θ < θ } ≥ 1 − α1 − α 2 = 1 − α
即 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦。 （2）注意到：当 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递减函数时，则对 α ∈ (0,1) ， θ 为
T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 出发，并基于 T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 寻找枢轴量，然后构造 θ 的置信区间。
设 T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) 的分布函数为
G (t , θ ) = P θ {T ( X 1 , X 2 , … , X n ) ≤ t}
P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { X ≤ x0 } = F ( x0 ) = y
当 F ( x0 ) < y 时， P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { X ≤ x0 } = F ( x0 ) < y ，这就证明了不等式：
P { F ( X ) ≤ y} ≤ y
（不等式： P { F ( X ) ≤ y} ≤ y 另证明： 1） 设集合 { x : F ( x ) = y} 非空，并且该集合的上确界可以达到，即
的解； θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
的解；而 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中 θ , θ 分别为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α1 ， G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α 2
α
2 1−
= P {T ≤ λ1} = P { X ( n ) ≤ λ1θ } = F( n ) (λ1θ ) = λ1n， λ1 =
n
α
2
；
α
2
= P {T < λ2 } = P { X ( n ) < λ2θ } = F( n ) (λ2θ ) = λ2n， λ2 = n 1 −
α
2
，
α
2
= P {T ≥ λ2 } = P { X ( n ) ≥ λ2θ } ；
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
的解； θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
定理 3.18 （1）若 G (t , θ ) 是 θ 的严格递增函数，则对 α ∈ (0,1)
θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) ≤ α }
第三章 估计理论
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⎧ θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) ≥ 1 − α1} ⎪ θ ∈Θ ⎨ θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ),θ ) ≤ α 2 } ⎪ θ ∈Θ ⎩
0
θ
nx n −1
θ
n
dx =
n θ． n +1
n +1 这样， θˆ = X ( n ) 是 θ 的有偏估计量．显然， θ 的无偏估计量为 X ( n) ． n
．利 (2) 求端点 θ 的 0.95 置信区间．选统计量 T = X (n ) θ （枢轴量，其分布与参数 θ 无关） 用 X ( n ) 的分布函数 F( n ) ( x ) ，确定两个常数 λ1 和 λ2 ，使之满足下列关系式：
θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0,θ ) ≤ 1 − α }
θ ∈Θ
分别是 θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信下限和置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限。 而对 α ∈ (0,1) ， θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中
其中 α1 + α 2 = α ，且 0 < α1 , α 2 < 1 。 （2）若 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递减函数，则对 α ∈ (0,1) ，θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧） 置信下限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
P { FZ ( Z ) ≤ 1 − y} ≤ 1 − y
由于
FZ ( z ) = P {Z ≤ z} = P { X ≥ − z} = 1 − F (− z − 0)
所以
1 − y ≥ P { FZ ( Z ) ≤ 1 − y} = P { F (− Z − 0) ≥ y} = 1 − P { F ( X − 0) < y}
则有引理可知：
P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) ≤ y} ≤ y ≤ P {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < y}
0 ≤ y ≤ 1, ∀θ ∈ Θ
定理 3.17 （1）若 G (t , θ ) 是 θ 的严格递减函数，则对 α ∈ (0,1)
∑X
i =1
n
i
，我们基于 T 构造参数 p 的置信区间。 T 的分布函
⎧θ = inf {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ),θ ) ≤ α1} ⎪ θ ∈Θ ⎨ θ = sup {θ : G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0,θ ) ≥ 1 − α 2 } ⎪ θ ∈Θ ⎩
其中 α1 + α 2 = α ，且 0 < α1 , α 2 < 1 。 （2）若 G (t , θ ) 是 θ 的连续严格递增函数，则对 α ∈ (0,1) ，θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧） 置信下限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ), θ ) = α
的解； θ 的置信水平为 1 − α 的（单侧）置信上限 θ 为
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) = 1 − α
的解；而 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎡ ⎣θ , θ ⎤ ⎦ ，其中 θ , θ 分别为
且满足 α1 + α 2 = α 和 0 < α1 , α 2 < 1 的解。 证： （1）因为 G (t , θ ) 是 θ 的严格递减函数，则当
G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < 1 − α
时，必有 θ ≥ θ ，由引理知

P θ {θ ≥ θ } ≥ P θ {G (T ( X 1 , X 2 ,… , X n ) − 0, θ ) < 1 − α } ≥ 1 − α
⎧ X ⎫ ⎪ X (n) ⎪ P⎨ < θ < ( n ) ⎬ = P{λ1 < T < λ2 } = 1 − α ． n 1−α 2 nα 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
从而，端点 θ 的 1 − α 置信区间为
⎛ X (n ) X (n ) ⎞ ⎜ ⎟． , ⎜ n 1−α 2 n α 2 ⎟ ⎝ ⎠
3.5.8 构造置信区间估计的一般方法
证明：对 0 < y < 1 ，记
x0 = sup { x : F ( x) ≤ y}
则对 ∀ε > 0 ，有 F ( x0 − ε ) ≤ y ≤ F ( x0 + ε ) ，令 ε → 0 + ，得
F ( x0 − 0) ≤ y ≤ F ( x0 )
当 F ( x0 ) = y ，由 x0 的定义知： { x : x ≤ x0 } ⊃ { F ( x ) ≤ y} ，从而
设总体 X 的分布函数为 F ( x, θ ) ，θ ∈ Θ ， X 1 , X 2 ,… , X n 是来自总体 X 的样本，寻找 参数 θ 的置信区间的一般方法是：
ˆ = θ ( X , X ,… , X ) ，一般首先考虑 θ 的极大似然估计， 1） 选取 θ 的一个点估计量 θ 1 2 n
或 θ 的充分统计量；
P { F ( X ) ≤ y} ≤ P { F ( X ) < F ( x)} = P { X < x} = F ( x − 0) ≤ y
这就证明了不等式：
P { F ( X ) ≤ y} ≤ y
）
第三章 估计理论
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下面我们来证明不等式 P { F ( X − 0) < y} ≥ y 。令 Z = − X ，并设 Z 的分布函数为 FZ ( z ) ， 由已有的结果，有