广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期11月联考数学试题(含答案解析)

广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三联考物 理一、单项选择题；本题共7小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，选对得4分，选错或不答得0分。

1. 中山大学是许多广东学子的梦想，如图所示是某大一新生家长从广州火车站驾车去中大南校区导航的截屏画面，该地图提供了三种驾车线路规划方案。

由图中信息，下列说法不正确的是A. 研究汽车在地图上的实时位置时，汽车可以被看成质点B. 三条线路的位移相等C. 图中显示28分钟和10公里分别指的是时间间隔和路程D. 第一条线路的平均速度最大2. 如图所示，两个点电荷所带电荷量分别为和，固定在直角三角形的AB Q +4Q -两点，其中。

若长度为d ，则点电场强度大小为ABC 30︒∠=AC CA. B. D. 22kQ d 2kQ d 22kQ d 3.自卸式运输车又称为翻斗车、工程车，由汽车底盘、液压举升机构、取力装置和货厢组成。

如图所示，在车厢由水平位置逐渐抬起至竖直的过程中，有关货物所受车厢的支持力和摩擦力，下列说法中正确的是N F f FA.摩擦力逐渐增大f F B.摩擦力先增大后减小f F C.支持力逐渐增大N F D.支持力先减小后不变N F 4.如图所示，质量均为0.5kg 的两个小物体A 、B 放在水平地面上相距13.5m ，它们与水平地面的动摩擦因数均为，现使它们分别以初速度和0.3μ=A 9m /s v =同时相向运动，g 取。

则它们3m /s B v =210m /sA.经2s 相遇B.经3s 相遇C.经4s 相遇D.不可能相遇5.北京时间2020年7月23日，在中国文昌航天发射场（我国四大发射场中纬度最低），长征五号运载火箭将“天问一号”直接送入地火转移轨道。

天问一号探测器将在地火转移轨道飞行约7个月（关闭发动机）后，到达火星附近，通过“刹车”完成火星捕获，进入环火轨道，并择机开展着陆、巡视等任务，进行火星科学探测。

2021年高三上学期11月教学质量检测考试数学文试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合，若，则实数的值为（）A．1或-1 B．1 C．-1 D．22、下函数中，其图象既是轴对称图形，又是在区间上单调递增的是A． B． C． D．3、函数的最小正周期是A． B． C． D．4、若，则A． B． C． D．5、已知命题，命题，使，则下列命题为真命题的是A． B． C． D．6、“”是数列为等差数列的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7、设四边形ABCD为平行四边形，，若点M、N满足，则A．-1 B．0 C．1 D．28、某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为A．6 B．34C．44 D．549、设满足约束条件，若目标函数的最大值为1，则的最小值为A． B． C．8 D．1010、如图，函数的图象为折线ACB，则不等式的解集是A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.11、已知向量，且，则12、函数函数的定义域为13、一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是14、函数的最大值为15、定义在R上的实数满足，且对任意都有，则不等式的解集为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）在锐角中，分别为角所对的边，若向量，且（1）求的值；（2）若，且，求的面积。

17、（本小题满分12分）如图，在各棱长均为相等的三棱柱中，，D为AC的中点。

（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18、（本小题满分12分）用五点法画函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据，，如下表：（1）请将上表空格中出所缺的数据填写在答题卡的相应位置上，并直接写出函数的解析式；（2）将图象向左平移个单位，得到的图象，求时，函数 的值域。

2021年高三数学上学期11月联考试题理试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足( i为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部是（）A. B. C. D.2．下列说法中，正确的是（）A．命题“若，则”的逆命题是真命题B．命题“存在，”的否定是：“任意，”C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知，则“”是“”的充分不必要条件3．某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N（110，102），若P（100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（）A．10 B．9 C．8 D．74．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C． D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为( )A． B． C．D．6. 在数列中，若对任意的均有为定值，且，则数列的前100项的和( )A．132 B．299 C．68 D．997. 若函数的图象如图所示，则等于（ ） A ． B. C ． D ．8. 一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:, 的单位:)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;)是( ) A ． B ． C ． D ．9．已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），那么x1+2x2+x3的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 已知点F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为9a ，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．5C ．3D ．2或5二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题） 11. 设f(x)＝lg2＋x2－x，则的定义域为__________________. 12. 已知集合A ＝{(x ，y)|x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|kx －y －2≤0}，其中x 、y∈R.若A ⊆B ，则实数k 的取值范围是________． 13. 菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________. 14. 若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_______. （二）选考题 15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且∥．过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，则线段的长为________。

2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．45．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A．1 B．C．D．9．A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，假设三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为，那么球O的体积为〔〕A．81πB．128π C．144π D．288π10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．512．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．2021-2021学年广东省揭阳一中、汕头金山中学联考高三〔上〕期中数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1．假设集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么集合A可能是〔〕A．{1，2}B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1}D．R【考点】子集与真子集．【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，那么故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，应选：A2．复数z=的共轭复数在复平面上对应的点位于〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法那么、几何意义即可得出．【解答】解：复数z===的共轭复数为在复平面上对应的点为在第四象限．应选：D．3．平面向量、满足•〔+〕=5，且||=2，||=1，那么向量与夹角的余弦值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件进行向量数量积的运算便可得出，从而得出向量夹角的余弦值．【解答】解：根据条件，=；∴．应选：C．4．执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1，那么输出的k值为〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，那么b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，应选：B5．在?张邱建算经?中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日〞，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的〔〕A．33% B．49% C．62% D．88%【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：每日的织布量形成等差数列{a n}，且a1=5，a30=1，设公差为d，那么1=5+29d，解得d=﹣．∴S10=5×10+=．S30==90．∴该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的×≈0.49=49%．应选：B．6．某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔〕A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一局部，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一局部，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．应选：D．7．为了得到y=cos2x，只需要将y=sin〔2x+〕作如下变换〔〕A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】利用诱导公式，函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin〔2x+〕=cos〔2x﹣〕=cos2〔x﹣〕的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，应选：C．8．假设A为不等式组表示的平面区域，那么当a从﹣2连续变化到1时，那么直线x+y=a扫过A中的那局部区域的面积为〔〕A ．1B ．C ．D ．【考点】简单线性规划．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x +y=a 的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB ，动直线x +y=a 〔即y=﹣x +a 〕在y 轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC 是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC 是直角边为1等腰直角三角形， 所以区域的面积S 阴影=S △ADC ﹣S △EOC =×3×﹣×1×1= 故答案为：D ．9．A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=60°，C 为该球面上的动点，假设三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为，那么球O 的体积为〔 〕 A ．81π B ．128π C ．144π D ．288π 【考点】球的体积和外表积．【分析】当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，利用三棱锥O ﹣ABC 体积的最大值为18，求出半径，即可求出球O 的体积．【解答】解：如下图，当点C 位于垂直于面AOB 时，三棱锥O ﹣ABC 的体积最大，设球O 的半径为R ，此时V O ﹣ABC =V C ﹣AOB =，故R=6，那么球O 的体积为πR 3=288π， 应选D ．10．焦点在x轴上的椭圆方程为+=1〔a＞b＞0〕，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，那么椭圆的离心率为〔〕A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，S ABC=AB•OC=•2c•b=bc，S ABC=〔a+a+2c〕•r=•〔2a+2c〕×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．11．函数f〔x〕=，那么关于方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数不可能为〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得求函数y=f〔|x|〕的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f〔|x|〕的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论．【解答】解：方程f〔|x|〕=a，〔a∈R〕实根个数即为函数y=f〔|x|〕和直线y=a的交点个数．由y=f〔|x|〕为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f〔|x|〕的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有5个交点，即不可能有5个实根．应选：D．12．函数f〔x〕=Asin〔2x+φ〕〔|φ|≤，A＞0〕局部图象如下图，且f〔a〕=f〔b〕=0，对不同的x1，x2∈[a，b]，假设f〔x1〕=f〔x2〕，有f〔x1+x2〕=，那么〔〕A．f〔x〕在〔﹣，〕上是减函数B．f〔x〕在〔﹣，〕上是增函数C．f〔x〕在〔，〕上是减函数D．f〔x〕在〔，〕上是增函数【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出函数f〔x〕的最小正周期，且b﹣a为半周期，再根据f〔x1〕=f 〔x2〕时f〔x1+x2〕的值求出φ的值，从而写出f〔x〕的解析式，判断f〔x〕的单调性．【解答】解：∵f〔x〕=Asin〔2x+φ〕，∴函数最小正周期为T=π；由图象得A=2，且f〔a〕=f〔b〕=0，∴•=b﹣a，解得b﹣a=；又x1，x2∈[a，b]，且f〔x1〕=f〔x2〕时，有f〔x1+x2〕=，∴sin[2〔x1+x2〕+φ]=，即2〔x1+x2〕+φ=，且sin〔2•+φ〕=1，即2•+φ=，解得φ=，∴f〔x〕=2sin〔2x+〕；令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴函数f〔x〕在区间[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z上是单调增函数，∴f〔x〕在区间〔﹣，〕上是单调增函数．应选：B．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，总分值20分〕13．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，那么抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为12．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故答案为：12．14．x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，那么+的最小值是4．【考点】根本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．【分析】由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合根本不等式求解即可．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=〔x+3y〕lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，那么x+3y=1，进而由根本不等式的性质可得，=〔x+3y〕〔〕=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．15．抛物线y2=2px〔p＞0〕上一点M〔1，m〕到其焦点的距离为5，双曲线x2﹣=1的左顶点为A，假设双曲线一条渐近线与直线AM垂直，那么实数a=．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，由AM的斜率可求出a的值．【解答】解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M〔1，4〕，那么AM的斜率为2，由得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．16．设函数f〔x〕=，g〔x〕=，对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么正数k的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【分析】利用参数别离法将不等式恒成立进行转化，利用根本不等式求出函数f〔x〕的最小值，利用导数法求出函数g〔x〕的最大值，利用最值关系进行求解即可．【解答】解：对任意x1，x2∈〔0，+∞〕，不等式≤恒成立，那么等价为≤恒成立，f〔x〕==x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时取等号，即f〔x〕的最小值是2，由g〔x〕=，那么g′〔x〕==，由g′〔x〕＞0得0＜x＜1，此时函数g〔x〕为增函数，由g′〔x〕＜0得x＞1，此时函数g〔x〕为减函数，即当x=1时，g〔x〕取得极大值同时也是最大值g〔1〕=，那么的最大值为=，那么由≥，得2ek≥k+1，即k〔2e﹣1〕≥1，那么，故答案为：．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．〕17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S9=90，S15=240．〔1〕求{a n}的通项公式a n和前n项和S n；〔2〕设a n b n=，S n为数列{b n}的前n项和，假设不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意可知，解得即可，〔2〕求出数列b n的通项公式，根据裂项求和求出S n，即可求出t的范围．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S9=90，S15=240，得，解得a1=d=2，∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，S n=2n+=n〔n+1〕，〔2〕∵a n b n=，∴b n==〔﹣〕，∴S n=〔1﹣+…+﹣〕=〔1﹣〕＜，∴不等式S n＜t对于任意的n∈N*恒成立，∴t≥18．国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n〔单位：百人〕的关系有如下规定：当n∈[0，100〕时，拥挤等级为“优〞；当n∈[100，200〕时，拥挤等级为“良〞；当n∈[200，300〕时，拥挤等级为“拥挤〞；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤〞．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：〔Ⅰ〕下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；游客数量[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400]〔单位：百人〕天数 a 10 4 1频率 b〔Ⅱ〕某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率．【分析】〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．〔Ⅱ〕利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优〞的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率．【解答】解：〔Ⅰ〕游客人数在[0，100〕范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…游客人数的平均数为=120〔百人〕．…〔Ⅱ〕从5天中任选两天的选择方法有：〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔1，5〕，〔2，4〕，〔2，5〕，〔3，4〕，〔3，5〕，〔4，5〕，共10种，…其中游客等级均为“优〞的有〔1，4〕，〔1，5〕，〔4，5〕，共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优〞的概率为．…19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为a正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH〔1〕求证：平面AGH⊥平面EFG〔2〕假设a=4，求三棱锥G﹣ADE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥平面BCFG，从而CD⊥GH．再求出GH⊥FG，由此能证明平面AGH⊥平面EFG．〔2〕由V G﹣ADE =V E﹣ADE，能求出三棱锥G﹣ADE的体积．【解答】证明：〔1〕连接FH，由题意，知CD⊥BC，CD⊥CF，∴CD⊥平面BCFG．又∵GH⊂平面BCFG，∴CD⊥GH．又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，…由题意，得BH=，CH=，BG=，∴GH2=BG2+BH2=，FG2=〔CF﹣BG〕2+BC2=，FH2=CF2+CH2=，那么FH2=FG2+GH2，∴GH⊥FG．…又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG．…∵GH⊂平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．…解：〔2〕∵CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，∴CF∥BG，又∵ED∥CF，∴BG∥ED，∴BG∥平面ADE，∴V G﹣ADE =V E﹣ADE，∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE，∴三棱锥G﹣ADE的体积V G﹣ADE =V E﹣ADE=．20．椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切．〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；〔3〕在〔2〕的条件下求△AMN面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕根据椭圆C： +=1〔a＞b＞0〕短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与圆x2+〔y﹣b〕2=a2相切，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；〔2〕由得〔m2+4〕y2﹣4my=0，求出M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，即可证明结论；〔3〕求出三角形的面积，变形，利用根本不等式求△AMN面积的最大值．【解答】解：〔1〕由题意即…〔2〕∵A〔﹣2，0〕设l1：x=my﹣2，由得〔m2+4〕y2﹣4my=0∴同理∴i〕m≠±1时，过定点ii〕m=±1时过点∴l MN过定点〔3〕由〔2〕知=令时取等号，∴时去等号，∴21．函数f〔x〕=a〔x﹣1〕〔e x﹣a〕〔常数a∈R且a≠0〕．〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕存在两个极值点x1，x2，证明：0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】〔Ⅰ〕证明：当a＞0时，f′〔x〕=0只有一个根，即可证明函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕求出函数f〔x〕存在两个极值的等价条件，求出a的取值范围，结合不等式的性质进行求解即可．【解答】〔Ⅰ〕证明：函数的导数f′〔x〕=a[e x﹣a+〔x﹣1〕e x]=a〔xe x﹣a〕，当a＞0时，由f′〔x〕=0，得xe x=a，即e x=，作出函数y=e x和y=的图象，那么两个函数的图象有且只有1个交点，即函数f〔x〕有且只有一个极值点；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a＞0时，函数f〔x〕有且只有一个极值点；不满足条件，那么a＜0，∵f〔x〕存在两个极值点x1，x2，∴x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，令h′〔x〕=a〔x+1〕e x=0，得x=﹣1，令h′〔x〕＞0得x＜﹣1，令h′〔x〕＜0得x＞﹣1，∴h〔x〕在〔﹣∞，﹣1]上是增函数，在[﹣1，+∞〕上是减函数，∵h〔0〕=f′〔0〕=﹣a2＜0，∴必有x1＜﹣1＜x2＜0．令f′〔t〕=a〔te t﹣a〕=0，得a=te t，此时f〔t〕=a〔t﹣1〕〔e t﹣a〕=te t〔t﹣1〕〔e t﹣te t〕=﹣e2t t〔t﹣1〕2=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕，∵x1，x2，是h〔x〕=f′〔x〕=a〔xe x﹣a〕的两个零点，∴f〔x1〕=﹣e〔x13﹣2x12+x1〕，f〔x2〕=﹣e〔x23﹣2x22+x2〕，将代数式﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕看作以t为变量的函数g〔t〕=﹣e2t〔t3﹣2t2+t〕．g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕，当t＜﹣1时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＞0，那么g′〔t〕在〔﹣∞，﹣1〕上单调递增，∵x1＜﹣1，∴f〔x1〕=g〔x1〕＜g〔﹣1〕=，∵f〔x1〕=﹣e x1〔x1﹣1〕2＞0，∴0＜f〔x1〕＜，当﹣1＜t＜0时，g′〔t〕=﹣e2t〔t2﹣1〕〔2t﹣1〕＜0，那么g′〔t〕在〔﹣1，0〕上单调递减，∵﹣1＜x2＜0，∴0=g〔0〕=g〔x2〕=f〔x2〕＜g〔﹣1〕=综上，0＜f〔x1〕＜且0＜f〔x2〕＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．〔1〕写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；〔2〕设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；〔2〕把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．【解答】解：〔1〕∵ρ=4cosθ．∴ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴x2+y2=4x，所以曲线C的直角坐标方程为〔x﹣2〕2+y2=4，由〔t为参数〕消去t得：．所以直线l的普通方程为．〔2〕把代入x2+y2=4x得：t2﹣3t+5=0．设其两根分别为t1，t2，那么t1+t2=3，t1t2=5．所以|PQ|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2．〔1〕解不等式|g〔x〕|＜5；〔2〕假设对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】〔1〕利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．〔2〕利用条件说明{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：〔1〕由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…〔2〕因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f〔x1〕=g〔x2〕成立，所以{y|y=f〔x〕}⊆{y|y=g〔x〕}，又f〔x〕=|2x﹣a|+|2x+3|≥|〔2x﹣a〕﹣〔2x+3〕|=|a+3|，g〔x〕=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…2021年1月6日。