广东六校2011届高三12月联考数学文科试题
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广东六校2011届高三12月联考数学(文)试题联考学校:惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中命题:广州二中 2010.12.23本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分为150分。
考试用时120分钟。
一、选择题:(每小题5分,共50分)1.若A=04|{2<-x x x },B={0,1,2,3},则A B =A . {0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4}2. 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-,且a b ⊥ ,则x =A .3- B.1-C.1D. 33. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6aA. 6B. 8C. 10D. 16 4. 下列函数中,既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A. 3y x = B. cos y x = C. x y tan = D . ln y x = 5.在ABC ∆中,a=15,b=10,A=60°,则B sin = A.33 B. 33±C. D. 36± 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍,则椭圆的离心率等于( ). A .31 B .32 C .322 D .310 7. 已知2z x y =-,式中变量x ,y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z 的最大值为___________.A. 0B.5C.6D. 108.为了了解某地区学生的身体情况,抽查了该地区100名年龄为高三男生体重(kg ),得到频率分布直方图如下图,根据上图可得这100名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( )A .20B .30C .40D .509. 方程 03log 3=-+x x 的解所在的区间是( )A . (0,1) B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4) 10、已知过点(1,2)的二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,给出下列论断:①0>abc ,②0<+-c b a ,③1<b , ④21>a 其中正确论断是( ) A . ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④二、填空题:(每小题5分,共30分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 11. 已知}{n a 是等差数列,12,3432=+=a a a ,则}{n a 的前n 项和n S =______12. 图中的三个直角三角形是一个体积为320cm 的几何体的三视图,则h=_________cm13. 如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出值x =________。
14.如右上图示,利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线0222===y x x y 及与两直线所围成的阴影部分的面积S :(1)先产生两组0~1的均匀随机数,a=RAND(),b=RAND();(2)做变换,令x=2a, y=2b;(3)产生N 个点(x,y ),并统计满足条件22x y <的点(x, y )的个数1N .已知某同学用计算器做模拟试验结果当N=1000时1N =332,则据此可估计S=_________ 。
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15. (本小题满分12分)已知)2sin(3)2cos()(x x x f -+-=ππ∈x (R ).(1)求函数)(x f 的最小正周期;(2)求函数)(x f 的最大值,并指出此时x 的值.第14题在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号恰好相同的概率;(Ⅱ)求取出的两个球上的标号至少有一个大于2的概率.17.(本小题满分14分)如图,已知四边形ABCD 与''ABB A 都是正方形,点E 是A A '的中点,ABCD A A 平面⊥' (1) 求证:C A '//平面BDE ; (2) 求证:平面AC A '⊥平面BDE18、(本小题满分14分)某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房。
经初步估计得知,如果将楼房建为x (x ≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x (单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=建筑总面积购地总费用)已知ABC ∆的边AB 边所在直线的方程为360x y --=点B 关于点(20)M ,的对称点为C, 点(11)T -,在AC且满足0=⋅AB AT .(I )求AC 边所在直线的方程; (II )求ABC ∆的外接圆的方程;(III )若点N 的坐标为),0,(n -其中n 为正整数。
试讨论在ABC ∆的外接圆上是否存在点P ,使得||||PT PN =成立?说明理由。
20.(本题满分14分)已知n 为正整数,曲线n n n n n L y x P nx y C 处的切线在其上一点),(:=总经过定点(1-,0)(1)求证点列:n P P P ,,,21 在同一直线上 (2)若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)++ f(n)=∑=nki i f )(,其中k, n 为正整数且k ≤n求证:∑=++<<+ni in yn 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)2011届六校高三毕业班联合考试试卷 文科数学答案2010。
12。
231.B 2. C 3. B 4. D 5.A 6、C 7.B 8.C 9. C 10、B 11. 2n 12. 4 13. 12 14. 1.32815. 解:(1)∵()x x x f cos 3sin += …… 4分 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 23sin 212⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin cos 3cos sin 2ππx x …… 6分 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx . …… 7分 ∴2T π=. …… 8分 (2) 当13sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx 时, )(x f 取得最大值, 其值为2 . ……10分 此时232x k πππ+=+,即26x k ππ=+∈k (Z ). ……12分16.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种且每种结果是等可能的. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相同整数的结果有1-1,2-2,3-3,4-4,共4种. ……6分故根据古典概型公式,所求概率41164==P . 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为41. ……8分(Ⅱ)记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于2”为A则A 的对立事件是A =“取出的两个球上的标号都不于大2”所取出的两个球上的标号都不大于3的结果有1-1,1-2,2-1,2-2, 共4种. ……10分43)(1)(41164)(=-=∴==A P A P A P . 答:取出的两个球上的标号至少有一个大于3的概率为43. ……12分 (注:利用列表或列数对的方法求解以及 II 直接列出A 的结果, 仿照上述解法给分)17.(1)设BD 交AC 于M ,连结ME .ABCD 为正方形,所以M 为AC 中点, ……2分 又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线C A ME '//∴ ……4分又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂',//'C A ∴平面BDE . ……6分(2)AC BD ABCD ⊥∴为正方形 ……8分分平面平面平面分平面又分平面平面14.......... .'2.........1 .''.10..........','BDE AC A BDEBD AC A BD A A A AC BD A A ABCD BD ABCD A A ⊥∴⊂⊥∴=⊥∴⊂⊥18、解:设楼房每平方米的平均综合费为)(x f 元,依题意得300020000504000100008000)()(++=⨯+=xx x x Q x f ),12(N x x ∈≥ ……..6分法一:500030002000050230002000050)(=+⋅≥++=xx x x x f ……….11分 当且仅当202000050==x xx 即上式取”=” ……….13分 因此,当20=x 时,)(x f 取得最小值5000(元).答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费最小值为5000元 ……….14分 法二:22000050)(',30002000050)(xx f x x x f -=++= ………10分 5000)20()(,20)(0)('20)(0)(',20020)0(0)('==∴>><<<=⇔>=f x f x x ,f x ,f x ;x ,f x f x x x x f 有最小值时当且仅当是增函数时是减函数时 ………13分19.解:(I ) 0=⋅ABC Rt ABC AB ,AC AC T AB AT ∆∆⊥∴⊥∴为上在又,, ………………..1分又AB 边所在直线的方程为360x y --=,,所以直线AC 的斜率为3-.……2分又因为点(11)T -,在直线AC 上, 所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+.即320x y ++=. …………3分(II )AC 与AB 的交点为A ,所以由36032=0x y x y --=⎧⎨++⎩,解得点A 的坐标为(02)-,,…5分外接圆的圆心即为斜边上的中点为的对称点为关于点ABC Rt ABC Rt M C M B ∆∆∴,,)0,2( …………6分又r=AM == …………7分从ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=. …………8分(III )若在ABC ∆的外接圆圆M 上存在点P ,使得||||PT PN =成立,则P 为线段NT 的垂直平分线L 与圆M 的公共点。
所以当L 与圆M 相离时,不存在满足条件的点P ;当L 与圆M 相交或相切时则存在满足条件的点P 。
由N ),0,(n -(11)T -,,知NT 的斜率为11-n ,线段NT 的中点为)21,21(+-n 线段NT 的垂直平分线L 为0)2(2)1(2 )21)(1(212=-+--++--=-n y x n n x n y 即 ………10分 圆M 的圆心M 到直线L 的距离为d=222|64|)2()1(4|20)1(4|22222+--+=-+--+--n n n n n n n …………11分i)当n=1时,d=r d ,r <=由而22,21,此时直线L 与圆M 相交,存在满足条件的点P ii)当n=2时 d=r =<8223,此时直线L 与圆M 相交,存在满足条件的点P iii)当3≥n 时,r n n n n n n n n n n d =>-⋅>+--++-=+--+=886221)228622(21222642222 此时直线L 与圆M 相离,不存在满足条件的点P 。