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2020年中考必考经典（江苏版）专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。
有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． （4）同底三角形的面积比等于高的比． （5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式；（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积．2(1)y x k =-+x A B A B y(0,3)C -P m 0m >P x ABP ∆C P C )P h h m m 9h =BCP ∆【分析】（1）将点代入即可；（2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值；（3）①当时，；当时，；当时，；②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积；【解析】解：（1）将点代入，得，； （2）令，或， ，，；抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， ；（3）①当时，；当时，；当时，；(0,3)C -2(1)y x k =-+(1,0)A -(3,0)B (1,4)-P ABP ∆)01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P BCP ∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=(0,3)C -2(1)y x k =-+4k =-22(1)423y x x x ∴=--=--0y =1x =-3x =(1,0)A ∴-(3,0)B 4AB ∴=(1,4)-P ABP ∆14482S =⨯⨯=01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+②当时若，此时△，无解； 若，则， ，，，的面积；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式训练】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标； （3）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可求得、的值，可求得抛物线解析； （2）可求得点关于轴的对称点的坐标，连接交轴于点，再求得直线的解析式，可求得点坐标；（3）过点作轴于点，设，可表示出、，再证明，可表示出，可得出关于的解析式，再根据二次函数的性质可求得点的坐标； （4）分、和三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进一步求得点坐标即可． 【解析】解：9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P ∴(3,0)B (0,3)C -BCP ∴∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=22(0)y ax ax c a =-+≠y (0,4)C x A B A (4,0)N x K CK KN +K Q AB Q //QE AC BC E CQ CQE ∆Q A C a c C x C 'C N 'x K C K 'K E EG x ⊥G (,0)Q m AB BQ BQE BAC ∆≅∆EG CQE ∆m Q DO DF =FO FD =OD OF =F P（1）抛物线经过点，， ，解得，抛物线解析式为；（2）由（1）可求得抛物线顶点为，如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，设直线的解析式为，把、点坐标代入可得，解得，直线的解析式为，令，解得， 点的坐标为，； （3）设点，过点作轴于点，如图2，由，得，，(0,4)C (4,0)A ∴416840c a a =⎧⎨-+=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2142y x x =-++9(1,)2N C x (0,4)C '-C N 'x KK C N 'y kx b =+C 'N 924k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴C N '1742y x =-0y =817x =∴K 8(170)(,0)Q m E EG x ⊥G 21402x x -++=12x =-24x =点的坐标为，，，又， ，，即，解得； ．又，当时，有最大值3，此时；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式；（2）当的面积为5时，求点的坐标；（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；（3）分当、、三种情况，分别求解即可．∴B (2,0)-6AB =2BQ m =+//QE AC BQE BAC ∴∆∆∽∴EG BQ CO BA =246EG m +=243m EG +=2211241281()(2)(4)(1)32233333CQE CBQ EBQ m S S S CO EG BQ m m m m ∆∆∆+∴=-=-=+-=-++=--+24m -∴1m =CQE S ∆(1,0)Q 229y x bx c =-++x (1,0)A -(5,0)B C xD P CD P C D C PB PBE xF PCF ∆P PCF ∆P 2(1)(5)9y x x =+-PB CE 2(23mF -0)112(2)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=CP CF =CP PF =CP PF =【解析】解：（1）函数的表达式为：；（2）抛物线的对称轴为，则点， 设点，将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：，，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：， 解得：， 故点，， ，解得：或， 故点或；（3）由（2）确定的点的坐标得：，，， ①当时，即：，解得：或舍去）， ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：（舍去， 故点或或或 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；222810(1)(5)9999y x x x x =+-=-++2x =(2,2)C (2,)P m P B y sx t =+PB 1533my mx =-+CE PE ⊥CE k 3mC CE 36(2)y x m m=+-223mx =-2(23mF -0)112(2|)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=5m =3-(2,3)P -(2,5)F 22(2)CP m =-222()43m CF =+2222()3mPF m =+CP CF =222(2)()43m m -=+0m =36(05CP PF=m CF PF =2m =±2)36(2,)5P (2,2)-23y ax bx =++(1,0)A (3,0)B -y C POP BC D :1:2CPD BPD S S ∆∆=D（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；（4）如图3，是否存在点，使四边形的面积为8？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2），则，即可求解； （3），，则，故，即可求解； （4）利用，即可求解．【解析】解：（1）函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①，顶点坐标为； （2）， ， ，， ，则点；（3）如图2，设直线交轴于点，E (0,1)-G x 15OGE ∠=︒PE 2PEG OGE ∠=∠P P BOCPP 2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ==⨯15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∠=︒1OH OE ==8OBC PBC BOCP S S S ∆∆=+=四边形2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-33a -=1a =-223y x x =--+⋯(1,4)-OB OC =45CBO ∴∠=︒:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ∴==⨯=sin 2D y BD CBO =∠=(1,2)D -PE x H，， ， ，则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：（舍去正值）， 故点； （4）不存在，理由：连接，过点作轴的平行线交于点， 直线的表达式为：，设点，点，则，整理得：， 解得：△，故方程无解， 则不存在满足条件的点．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点为的中点，点在抛物线上．（1） 2 ；（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，与、分别交于点、．是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∴∠=︒1OH OE ∴==HE 1y x =--⋯x =P BC P y BC H BC 3y x =+2(,23)P x x x --+(,3)H x x +()211332333822OBC PBC BOCP S S S x x x ∆∆=+=⨯⨯+--+--⨯=四边形23970x x ++=0<P 23y x bx =-++x A B y C A (1,0)-D OC P b =P P PH x ⊥H PH BC BD M N P PM MN NH ==P请说明理由；（3）若点的横坐标小于3，过点作，垂足为，直线与轴交于点，且，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式即求得的值．（2）求点、、坐标，求直线、解析式．设点横坐标为，则能用表示点、、、的坐标，进而用含的式子表示、、的长．以为等量关系列得关于的方程，求得的值合理（满足在第一象限），故存在满足条件的点，且求得点坐标．（3）过点作轴于，交直线于，根据同角的余角相等易证，所以，即在中，在中，，进而得，．设点横坐标为，可用表示、，即得到用表示、．又由易得．要对点位置进行分类讨论得到与的关系，即列得关于的方程．求得的值要注意是否符合各种情况下的取值范围．【解析】解：（1）二次函数的图象与轴交于点解得： 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点，使得．二次函数解析式为P P PQ BD ⊥Q PQ x R 2PQB QRB S S ∆∆=P A b B C D BC BD P t t P M N H t PM MN NH PM MN =t t P P P P PF x ⊥F BD E EPQ OBD ∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE ∆cos PQ EPQ PE ∠==Rt PFR ∆cos PF RPF PR ∠==PQ =PR P t t PE PF t PQ PR 2PQB QRB S S ∆∆=2PQ QR =P PQ PR t t t 23y x bx =-++x (1,0)A -130b ∴--+=2b =P PM MN NH ==223y x x =-++当时，当时， 解得：， ，直线的解析式为点为的中点，直线的解析式为， 设，，则，，，，解得：，（舍去） ，的坐标为，，使得．（3）过点作轴于，交直线于 ，，于点，轴于点0x =3y =(0,3)C ∴0y=2230x x-++=11x =-23x =(1,0)A ∴-(3,0)B ∴BC 3y x =-+D OC 3(0,)2D ∴∴BD 1322y x =-+(P t 223)(03)t t t -++<<(,3)M t t -+13(,)22N t t -+(,0)H t 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+13133()2222MN t x t =-+--+=-+1322NH t =-+MN NH ∴=PM MN =213322t t t ∴-+=-+112t =23t =1(2P ∴15)4P ∴1(215)4PM MN NH ==P PF x ⊥F BD E 3OB =32OD =90BOD ∠=︒BD ∴=cos OB OBD BD ∴∠==PQ BD ⊥Q PF x ⊥F 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒，即 在中， 在中， ，，设直线与抛物线交于点，解得：（即点横坐标），点横坐标为 设，，则，①若，则点在直线上方，如图2，，，即解得：，（舍去）②若，则点在轴上方、直线下方，如图3，此时，，即不成立． ③若，则点在轴下方，如图4，，，即 EPQ OBD ∴∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE∆cos PQ EPQ PE ∠==PQ ∴=Rt PFR∆cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB QRB S S ∆∆=12PQB S BQ PQ ∆=12QRB S BQ QR ∆=2PQ QR ∴=BD G 2132322x x x -+=-++13x =B 212x =-∴G 12-(P t 223)(3)t t t -++<13(,)22E t t -+2|23|PF t t ∴=-++221353|23()|||2222PE t t t t t =-++--+=-++132t -<<P BD 223PF t t ∴=-++25322PE t t =-++2PQ QR=23PQ PR ∴=∴253PF =65PE PF =22536()5(23)22t t t t ∴-++=-++12t =23t =(2,3)P ∴112t -<<-P x BD PQ QR <2PQB QRB S S ∆∆=1t <-P x 22(23)23PF t t t t ∴=--++=--221353(23)2222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR =2PQ PR ∴=∴52PF =25PE PF =解得：，（舍去），综上所述，点坐标为或，．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．【变式训练】如图，抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22532()5(23)22t t t t ∴--=--143t =-23t =4(3P ∴-13)9-P (2,3)4(3-13)9-P 2y ax bx c =++(1,0)A -(3,0)B (0,3)C P PAC ∆P PAC ∆x M C PAM PAC S S ∆∆=M【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．（3）由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．若点在点上方，则有．由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一种情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点所在直线的解析式． 【解析】解：（1）抛物线与轴交于点、可设交点式把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小． 如图1，连接、点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称x (1,0)A -(3,0)B (1)(3)y a x x =+-C a A B 1x =PA PB =PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++C P B PAC C AC CB ∆=+A B C AC CB BC 1x =P PAM PAC S S ∆∆=PA C M PA M P //CM PA A P AP CM CM M M P M PA CM PA M x (1,0)A -(3,0)B ∴(1)(3)y a x x =+-(0,3)C 33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴223y x x =-++P PAC ∆PB BC P 1x =A B PA PB ∴=当、、在同一直线上时，最小 、、， 最小设直线解析式为把点代入得：，解得：直线点使．（3）存在满足条件的点，使得．当以为底时，两三角形等高点和点到直线距离相等①若点在点上方，如图2，，，设直线解析式为 解得：直线直线解析式为：解得：（即点， 点坐标为②若点在点下方，如图3，则点所在的直线，且直线到的距离等于直线到的距离直线向下平移2个单位得即为直线的解析式解得：点在轴上方PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++C P B PC PB CB +=(1,0)A -(3,0)B (0,3)C AC ∴=BC ==PAC C AC CB ∆∴=+=BC 3y kx =+B 330k +=1k =-∴:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴(1,2)P PAC ∆M PAM PAC S S ∆∆=PAM PAC S S ∆∆=∴PA ∴C M PA M P //CM PA ∴(1,0)A -(1,2)P AP y px d =+∴02p d p d -+=⎧⎨+=⎩11p d =⎧⎨=⎩∴:1AP y x =+∴CM 3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩1103x y =⎧⎨=⎩)C 2214x y =⎧⎨=⎩∴M (1,4)M P M //l PA l PA 3y x =+PA ∴:1AP y x =+1y x =-l 2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M x点坐标为综上所述，点坐标为或时，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题利用等底等高面积相等可知点和点到直线距离相等，即点所在的直线与直线平行，有这样的直线有两条，需要分类讨论． 【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式；（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；0y ∴>∴M M (1,4)PAM PAC S S ∆∆=C M PA M PA x A B D B (5,0)D (1,3)E BD E x F ED EF =E G ADG ∆BDG ∆35G（2）可通过点，点求出线段所在的直线关系式，点在线段上，即可设点的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求解；（3）先求线段所在的直线解析式，当点在轴的上方时，过点作直线的垂线，交点垂足为，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．当点在轴的下方时，由，所以当与的高相等时，即存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，求得与抛物线的交点即可．【解析】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为将点代入得，得 二次函数的表达式为： （2）依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得线段所在的直线为， 设点的坐标为：，，，整理得， 解得，（舍去） 故点的纵坐标为点的坐标为 （3）存在点， 当点在轴的上方时，B D BD E BD E EF ED =AD G x G :3490AD x y -+=(,)Q x y ADG ∆BDG ∆G x :3:5AO OB =ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =2(1)3y a x =-+B 20(51)3a =-+316a =-∴23(1)316y x =--+(5,0)B (1,3)D BD y kx b =+053k b k b =+⎧⎨=+⎩34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BD 31544y x =-+E 315(,)44x x -+222315(1)(3)44ED x x ∴=-+-+-22315()44EF x =-+ED EF =222315315(1)(3)()4444x x x ∴-+-+-=-+225250x x +-=152x =25x =-E 3515154248y =-⨯+=∴E 515(,)28G G x设点的坐标为，点的坐标为，对称轴点的坐标为，设所在的直线解析式为，代入得，解得．直线的解析式为 的距离为5，过点作直线的垂线，交点垂足为， 得，化简得 由上式整理得，点到的距离为：， 由（2）知直线的解析式为：，的距离为5，同理得点至的距离为：， ， 整理得 点在二次函数上， 代入得， 整理得，G (,)m n B (5,0)1x =∴A (3,0)-∴AD y kx b =+033k b k b =-+⎧⎨=+⎩3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AD 3944y x =+AD ∴G :3490AD x y -+=(,)Q x y 3()143490y n x m x y -⎧=-⎪-⎨⎪-+=⎩22222(34)[()()](349)x m y n m n +-+-=-+||GQ ∴==∴G AD 1349||5m n d -+=BD 31544y x =-+BD ∴∴G BD 23415||5m n d +-=∴121349321341552ADG BDGAD d S m n S m n BD d ∆∆-+===+-632900m n -+=G 23(1)316n m ∴=--+23632[(1)3]90016m m ---++=2660(1)0m m m m -=⇒-=解得，（舍去） 此时点的坐标为 当点在轴下方时，如图2所示，当与的高相等时，存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点代入得， 故，则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点为， 综上所述，点的坐标为或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形10m =21m =G 45(0,)16G x :3:5AO OB =∴ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =D 3k =3y x =233(1)316y x y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩(1)(15)0x x -+=11x =215x =-15x =-45y =-G (15,45)--G 45(0,)16(15,45)--2y ax bx c =++(1,0)A -(0,3)C OB OC =D E 1x =1DE =D E ACDE的周长的最小值．（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；（3），即可求解．【解析】解：（1），点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：①，函数的对称轴为：；（2）的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小，取点关于函数对称点，则， 取点，则，故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，四边形的周长的最小值；P CP CP CBPA 3:5P OB OC =(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=OB OC =∴(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--33a -=1a =-223y x x =-++⋯1x =ACDE AC DE CD AE =+++AC 1DE =CD AE +C (2,3)C 'CD C D ='(1,1)A '-A D AE '=CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'ACDE 111AC DE CD AE A D DC A C =+++=+'+'+''（3）如图，设直线交轴于点，直线把四边形的面积分为两部分，又，则，或， 则或， 即：点的坐标为，或，，将点、的坐标代入一次函数表达式：， 解得：或，故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去）， 故点的坐标为或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点点来求最小值，是本题的难点．【达标检测】1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为，，且，求的值．CP x E CP CBPA 3:511:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=:BE AE 3:5=5:352AE =32E 3(20)1(20)E C 3y kx =+6k =-2-CP 23y x =-+63y x =-+⋯4x =P (4,5)-(8,45)-A '23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B y C C //CD x D (30)y m m =-<<AD BD G H G EG x ⊥E H HF x ⊥F GEFH 1y kx =+ABCD 1S 2S 12:4:5S S =k【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、先利用待定系数法求出直线，的解析式，进而求出，的坐标，进而求出，即可得出结论；方法2、利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可求出，即可得出结论； （3）先求出四边形的面积，分两种情况讨论计算即可．【解析】解：（1）抛物线与轴交于点和点，，，抛物线的解析式为；（2）方法1、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，直线的解析式为，直线的解析式为，直线与线段、分别交于、两点， ，，，AD BD G H GH GH ADNM 23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B ∴933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+-223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B ∴AD 39y x =--BD 1y x =-(30)y m m =-<<AD BD G H 1(33G m ∴--)m (1,)H m m +，，，矩形的最大面积为3．方法2、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，如图1，过点作轴于，交于， ，直线与线段、分别交于、两点， ，， ， ，，，矩形的最大面积为3．（3），，，，， ，，，141(3)433GH m m m ∴=+---=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH 223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B D DM x ⊥M GH N 3DN m ∴=+(30)y m m =-<<AD BD G H DGH DAB ∴∆∆∽∴DN GHDM AB =∴334m GH+=443GH m ∴=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH (3,0)A -(1,0)B 4AB ∴=(0,3)C -(2,3)D --2CD ∴=()134292ABCD S ∴=⨯+=四边形12:4:5S S =，如图，当直线与相交时，设直线与线段相交于，与线段相交于， ，，，，，，，， 当点与点重合时，直线的解析式为， ，，，直线和线段相交时， 直线不能和线段相交，即：，2．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左边），点，在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式．（2）当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．14S ∴=1y kx =+CD 1y kx =+AB M CD N 1(M k ∴-0)4(N k -3)-13AM k ∴=-+42DN k =-+1114(32)342S k k ∴=-+-+⨯=157k ∴=N D MN 21y x =+1(2M ∴-0)15(3)22AM ∴=---=∴MN AD 151534224AMN S ∆=⨯⨯=<最大∴1y kx =+AD 157k=2(0)y ax bx a =+<(10,0)E ABCD AB OE AB C D (,0)A t 2t =4AD =t ABCD 2t =ABCD G H GH【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由得出点、、、及对角线交点的坐标，由直线平分矩形的面积知直线必过点，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点平移后的对应点是知是中位线，据此可得． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为， 当时，，点的坐标为，将点坐标代入解析式得，解得：， 抛物线的函数表达式为；（2）由抛物线的对称性得， ，当时，，矩形的周长，， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为；E D (2,4)BE OA t ==102AB t =-x t =21542AD t t =-+2t =A B C D P GH GH P //AB CD OD GH OD Q P PQ OBD ∆(10)y ax x =-2t =4AD =∴D (2,4)∴D 164a -=14a =-21542y x x =-+BE OA t ==102AB t ∴=-x t =21542AD t t =-+∴ABCD 2()AB AD =+2152[(102)()]42t t t =-+-+21202t t =-++2141(1)22t =--+102-<∴1t =ABCD 412（3）如图，当时，点、、、的坐标分别为、、、，矩形对角线的交点的坐标为，当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时也不能将矩形面积平分；当，中有一点落在线段或上时，直线不可能将矩形面积平分；当点，分别落在线段，上时，直线过点，必平分矩形的面积． ，线段平移后得到线段．线段的中点平移后的对应点是．，由平移知， 是的中位线， ，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．3．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．（1）求点、、的坐标． （2）求直线的函数解析式． （3）试说明：．（4）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2t =A B C D (2,0)(8,0)(8,4)(2,4)∴ABCD P (5,2)A H (4,4)GH C G (6,0)GH ∴G H AD BC GH G H AB DC GH P ABCD //AB CD ∴OD GH ∴OD Q P DP PB ∴=//PQ OB PQ ∴ODB ∆142PQ OB ∴==223y x x =--x A B y C M A B C BM 90CBM CMB ∠+∠=︒P CP BCM ∆P【分析】（1）根据题意可以直接可求点、、的坐标； （2）用待定系数法可求解析式；（3）根据两点距离公式可求，，的长度，根据勾股定理的逆定理可得，即可证：；（4）根据题意可求线段中点坐标，即可求直线解析式，且点在抛物线上，可列方程，即可求点坐标．【解析】解：（1）抛物线与轴交于、两点，点，点抛物线与轴交于点当时， 点坐标为（2）抛物线点设直线的解析式：过点，解得：，直线的解析式：（3）点，点，点A B C BM BC CM 90BCM ∠=︒90CBM CMB ∠+∠=︒BM CP P P 223y x x =--x A B 2023x x ∴=--13x ∴=21x =-∴(1,0)A -(3,0)B 223y x x =--y C ∴0x =3y =-∴C (0,3)-2223(1)4y x x x =--=--∴(1,4)M -BM y kx b =+(3,0)B (1,4)M -∴403k b k b -=+⎧⎨=+⎩2k =6b =-∴BM 26y x =-(1,4)M -(3,0)B (0,3)C -BC ∴=， ．．（4）如图：设直线与的交点为直线把分成面积相等的两部分和是等高的两个三角形即点是的中点 点，点点坐标为设直线的解析式为解得：， 直线解析式 点是直线与抛物线的交点BM=CM =2220BC CM +=220BM =222BC CM BM ∴+=90BCM ∴∠=︒90CBM CMB ∴∠+∠=︒CP BMF CP BCM ∆CMF BCF S S ∆∆∴=CMF ∆BCF ∆FM BF ∴=F BM (3,0)B (1,4)M -∴F (2,2)-CP y mx n =+∴322n m n =-⎧⎨-=+⎩12m =3n =-∴CP 132y x =-P CP 223y x x =--∴213232x x x -=--解得：（不合题意舍去）， 当时， 点坐标为，4．如图1，抛物线与相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点． （1）求的值； （2）若，求的面积；（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；②如图2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用和表示出、两点的坐标，利用为的中点可得到和之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得点坐标，过作轴于点，可证得，由相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得和的长，可求得的面积； （3）①连接与的交点即为满足条件的点，可求得的解析式，则可求得点坐标；②设出点坐标，则可表示出的面积，过点作轴的平行线交直线于点，可先求得的解析式，则可表示出的长，进一步可表示出的面积，则可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及点的坐标．10x =252x =52x =255723424y =-⨯-=-∴P 5(27)4-21:C y x ax =+22:C y x bx =-+O C 1C 2C x B A B AO abOC AC ⊥OAC ∆2C l M P 2C l PAC ∆P E 2C O M OBCEE a b A B B OA a b C C CD x ⊥D OCD CAD ∆∆∽a OA CD OAC ∆OC l P OC P E EOB ∆E x BC N BC EN EBC ∆OBCE E【解析】解：（1）在中，当时，，，，，在中，当时，，，，，为的中点，，； （2）联立两抛物线解析式可得，消去整理可得，解得，，当时，，，过作轴于点，如图1，，， ，， ，即，2y x ax =+0y =20x ax +=10x =2x a =-(,0)B a ∴-2y x bx =-+0y =20x bx -+=10x =2x b =(,0)A b ∴B OA 2b a ∴=-∴12a b =-222y x ax y x ax ⎧=+⎨=--⎩y 2230x ax +=10x =232x a =-32x a =-234y a =∴233(,)24C a a -C CD x ⊥D ∴3(,0)2D a -90OCA ∠=︒OCD CAD ∴∆∆∽∴CD ODAD CD=2CD AD OD ∴=22313()()422a a a =--（舍去），（舍去），， （3）①抛物线， 其对称轴， 点关于的对称点为，， 则为直线与的交点， 设的解析式为，，得， 的解析式为， 当，； ②设，，， 则，而，，设直线的解析式为， 由，解得， 直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图2，10a ∴=2a =3a =∴2OA a =-=2314CD a ==∴12323OACS OA CD ∆==22:C y x x =-∴2:l x =A 2l (0,0)O C P OC 2l OC y kx=∴1=k OC ∴y =x=23y =∴2)3P 223(,)E m m m -+(E m 223)(0)m m -+2214)23OBE S m m ∆=-=+B C BC y kx b =+10b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2k b ==-∴BC 2y =-E x BC N则，即， ，，， 当，当， ，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线与该抛物线在第四象限内交于点，与线段交于点，与轴交于点，且． ①求的值；②连接，，线段与线段交于点，与是否全等？请说明理由； （3）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴22m -+-243x m =+224133EN m m m ∴=++-=+∴2213111(236EBC S m m m ∆=-+=+2222413362OBE EBC OBCE S S S m m m m ∆∆⎛⎫⎛∴=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭四边形230m∴m =S =最大m =2354y =-+=∴5)4E S 最大232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B y C y x n =-+D BC E x F 4BE EC =n AC CD AC DF G AGF ∆CGD ∆(0)y m m =>M N M N M y的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为．求点到的距离的值．【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，可得抛物线的解析式；（2）①过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例定理，可得，设点的坐标为，则，，根据，可得，再根据直线的解析式为，即可得到，，把的坐标代入直线，可得的值；②根据，，可得，再根据点的坐标为，点的坐标为，可得轴，，再根据，，即可判定；（3）根据轴对称的性质得出，进而判定四边形是平行四边形，再根据四边形的面积为，求得，再根据点的坐标为，，得到，中，运用勾股定理可得，最后根据，即可得到【解析】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ，解得，该抛物线的解析式；（2）①如图，过点作轴于，则，， M 'H (1,0)OM NH '53H OM 'd 232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B E EE x '⊥E '//EE OC '4BE OE ''=E (,)x y OE x '=4BE x '=2OB =25x =BC 332y x =-2(5E 12)5-E y x n =-+n (2,0)F -(1,0)A -1AF =D (1,3)-C (0,3)-//CD x 1CD =AFG CDG ∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∆≅∆1OH M N '==OM NH 'OM NH '5353OP =M 4(3-5)343PM '=Rt OPM '∆OM '=53OM d '⨯=d =232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B ∴302620b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩323b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴233322y x x =--E EE x '⊥E '//EE OC '∴BE BEOE CE'='，，设点的坐标为，则，， ，，即，， 抛物线与轴交于点， ，设直线的解析式为， ，， ，解得，直线的解析式为， 当时，， ，，把的坐标代入直线，可得，解得；②与全等．理由如下： 直线的解析式为，当时，，，， ， ，，由解得，， 4BE EC =4BE OE ''∴=E (,)x y OE x '=4BE x '=(2,0)B 2OB ∴=42x x +=25x ∴=233322y x x =--y C (0,3)C ∴-BC y kx b '=+(2,0)B (0,3)C -∴203k b b '+=⎧⎨'=-⎩323k b ⎧=⎪⎨⎪'=-⎩∴BC 332y x =-25x =125y =-2(5E ∴12)5-E y x n =-+21255n -+=-2n =-AGF ∆CGD ∆EF 2y x =--∴0y =2x =-(2,0)F ∴-2OF =(1,0)A -1OA ∴=211AF ∴=-=2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩112343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2213x y =⎧⎨=-⎩点在第四象限，点的坐标为，点的坐标为， 轴，，，， ；（3）抛物线的对称轴为，直线与该抛物线的交点为，， 点、关于直线对称， 设，则， 点关于轴的对称点为点， ，点在直线上，轴，， ， ，四边形是平行四边形，设直线与轴交于点， 四边形的面积为， ，即， ， 当时，解得，，点的坐标为，，，，即，中，， D ∴D (1,3)-C (0,3)-//CD x ∴1CD =AFG CDG ∴∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∴∆≅∆122b x a =-=(0)y m m =>M N ∴M N 12x =(,)N t m (1,)M t m -M y M '(1,)M t m '∴-∴M 'y m =//M N x '∴(1)1M N t t '∴=--=(1,0)H 1OH M N '∴==∴OM NH 'y m =y P OM NH '53513OH OP m ∴⨯=⨯=53m =53OP ∴=23353223x x --=143x =-273x =∴M 4(3-5)34(3M '∴5)343PM '=Rt OPM '∴∆OM '四边形的面积为， ， ．6．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数图象于点．（1）求的值和直线的解析式；（2）过点作于点，设，的面积分别为，，若，求的值；（3）点是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点是线段上的动点，当四边形是平行四边形，且周长取最大值时，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入可求，应用待定系数法可求直线的解析式；（2）用表示、，易证，，得到与的数量关系可以构造方程；OM NH '5353OM d '∴⨯=41d ∴=23(2)34y ax a x =--+(4,0)A y B x(C m 0)(04)m <<C x AB E D a AB D DF AB ⊥F ACE ∆DEF ∆1S 2S 124S S =m H G AB DEGH DEGHG A 23(2)34y ax a x =--+a AB m DE AC DEF AEC ∆∆∽124S S =DE AE（3）用表示，由平行四边形性质，可得，之间数量关系，利用相似用表示，表示周长，利用函数性质求出周长最大时的值，可得值，进而求点坐标．【解析】解：（1）把点代入，得解得 函数解析式为： 设直线解析式为 把，代入 解得直线解析式为：（2）由已知，点坐标为点坐标为轴，n GH DE GH =m n GM EG DEGH m n G (4,0)A 2304(2)434a a =--⨯+34a =-∴239344y x x =-++AB y kx b =+(4,0)A (0,3)B 043k bb =+⎧⎨=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 334y x =-+D 239(,3)44m m m -++E 3(,3)4m m -+4AC m ∴=-223933(3)(3)34444DE m m m m m =-++--+=-+//EC y ∴43AC AO EC OB ==5(4)4AE m ∴=-90DFA DCA ∠=∠=︒FBD CEA ∠=∠DEF AEC ∴∆∆∽124S S =解得，（舍去） 故值为（3）如图，过点做于点，设点的横坐标为，由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．2AE DE ∴=∴253(4)2(3)44m m m -=-+156m =24m =m 56G GM DC ⊥M Gn 2334DE m m =-+2334HG n n =-+DEGH 22333344m m n n ∴-+=-+3()[()3]04n m n m -+-=m n ≠4m n ∴+=4n m =-42MG n m m ∴=-=-EMG BOA ∆∆∽∴43MG EM =5(42)4EG m ∴=-DEGH ∴223532[3(42)]10442L m m m m m =-++-=-++302a =-<113232()2b m a ∴=-=-=⨯-L。
2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
面积系列之面积比例分析除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类 【2019陕西中考（删减）】综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】（1）可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS ⨯⨯， 3396442BCDAOCSS =⨯=⨯=， 此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A 3)-和点B 0)．过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B两点坐标代入即可求得解析式：212y x =； （2）由题意可知C 点坐标为（0，-3），故132AOCS=⨯， 比例计算：93AOQAOCS S==， 再根据面积即可确定Q 点坐标．【小结】再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代入A 点坐标，可得解析式为：228y x x =-++．当x =3时，y =5，故点B 坐标为（3,5），∴直线AB 的解析式为：y =2x -1． （2）铅垂法表示△ACD 的面积：设点D 坐标为()2,28m m m -++，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点， 则P 点坐标为(),21m m -，线段DP =-m ²+9，()221492182ACDSm m =⨯⨯-+=-+，面积公式表示△MCD 的面积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ =1-m ，()11814422MCDS MC DQ m m =⨯⨯=⨯⨯-=-+ 2DACDCMSS=，()2218244m m -+=-+解得：m =5或-1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m =-1． D 点坐标为（-1,5）．策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．DCBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA【2019毕节中考（删减）】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】（1）223y x x =--+；顶点坐标为（-1,4）． （2）根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B （-3,0）、C （0,3）， ∴D 点坐标为（-1,2）．【2019深圳中考（删减）】如图抛物线经2y ax bx c =++过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x =-++，对称轴为直线x =1． （2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAPCBPSS=或:5:3CAPCBPSS=．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBPSSAM BM =①AM ：BM =5：3，点M 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x =-+，联立方程：22323x x x -++=-+，解得：10x =（舍），24x =． 故P 点坐标为（4，-5）．②AM ：BM =3：5，点M 坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x =-+，联立方程：22363x x x -++=-+，解得：10x =（舍），28x =． 故P 点坐标为（8，-45）．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB =，若要APAT取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=， 故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值， 过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可．但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ【2018本溪中考（删减）】如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC ==． （1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x =-++（2）显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2） 过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2． 直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+， 解得：11x =，22x =．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+， 解得11m =，22m =，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．【2019鞍山中考（删减）】在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式为234y x x =-++ （2）转化面积比为底边比：::2:1AQDAPQDQ PQ SS==，考虑P 、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A ”字型线段比：∵BD =4，∴取E （-3,0）满足BE =2，过点E 作AB 平行线，与抛物线交点即为所求P 点，方法同上题．“8”字型同样可解，此处就不再啰嗦了．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：:::ABDACDSSBD CD BM CN ==．MNABCD还是以2019连云港中考题为例 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP除了转化为“A ”字型线段比之外，亦可构造垂线之比 分别过A 、P 向BD 边作垂线，垂足分别记为M 、N ， 则TP PNAT AM=，考虑到AM 是定值，故只需PN 最大，比值即最大． MN T ABCD PMNT A BCDP如上右图所示，当PN 过点C 时，PN 取到最大值，即可求出本题的最大值．上述例子并不能代表作垂线的价值，在有些题目中，作垂线会是更优解．【2019营口中考】在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．【分析】（1）设解析式为()()13y a x x =+-，去括号为223y ax ax a =--，即c =-3a ．（2）211=22S AO OC OC ⨯⨯=，过点D 作DM ⊥x 轴交x 轴于M 点，11322S OB DM DM =⨯⨯=若1223S S =，即322132DMOC =，29DM OC =，计算到这一步，接下来的问题便是如何将DM 与OC 联系起来？考虑对称的性质，记AD 与BC 交于点E ，E 为OD 中点且E 为垂足，过点E 作EN ⊥x 轴交x 轴于点N ． 转化DM ：12EN DM =，故19EN OC =， 13BN =，83ON =，射影定理可求：EN∴9OC EN ==∴a =-如图，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b = ；（2）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【分析】（1）将A （-1,0）代入得：b =2； （2）2PQBQRBSS=转化为PQ =2QR ，但这里PQ 与QR 均不易表示，所以继续转化线段比．过P 点作PF ⊥x 轴，交BD 于E 点，交x 轴于F 点．PQ PE PR PF∴PF ：PE =6：5，设P 点坐标，分别表示PE 、PF ，根据比例即可求出P 点坐标．当P 点在y 轴左侧时，同理，过点P 作PM ⊥x 轴分别交x 轴、BD 延长线于M 、N 两点，此时PR ：PQ =1：2，PR PM =，PQ PN =1:2=， 化简得：PN ：PM =5：2，设点P 坐标，分别表示PM 、PN ，代入比例计算可得点P 坐标．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得ADG∆的面积是BDG∆的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式()213y a x =-+，代点B （5,0），解得：316a =-， 故抛物线解析式为()231316y x =--+． （2）当点G 在x 轴下方时，如图所示，记DG 与x 轴交点为M 点，化面积比为线段比：::ADGBDGSSAM BM =考虑AM =8，当AM ：BM =3：5时，M 点坐标为（0,0） 又D 点坐标为（1,3），故直线DM 解析式为：y =3x ， 与抛物线联立方程：23345316816x x x -++=，解得115x =-，21x =（舍） 故第1个G 点坐标为（-15，-45）．当点G 在x 轴上方时，如图所示，此时△ADG 和△BDG 共底边DG ，但高并不易求，故可用铅垂法分别算两三角形面积．过点G 作x 轴的垂线分别交AD 、BD 的延长线于M 、N 两点，1422ADGS GM GM =⨯⨯=（A 、D 两点之间水平距离为4） 1422BDGSGN GN =⨯⨯=（B 、D 两点之间的水平距离为4） ∴:3:5ADGBDGSS=，即GM ：GN =3:5，设G 点坐标为23345,16816m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，AD 解析式为：3944y x =+，BD 解析式为：31544y x =-+， 故M 、N 坐标分别为39,44m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、315,44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22334539339168164416816GM m m m m m ⎛⎫=-++-+=--+ ⎪⎝⎭ 2231533453915441681616816GN m m m m m ⎛⎫=-+--++=-+ ⎪⎝⎭223393168163915516816m m m m --+=-+，解得：m =0或1（舍） 故第2个G 点坐标为450,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个计算量是不是有点大，所以，其实，可以，再转化一下： 化底边之比为其他线段之比．记AD 、GD 、ND 与y 轴交点分别为P 、Q 、R ，则GM ：GN =QP ：QR放大DNGMP QR可求P 点坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，R 点坐标为150,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，当PQ ：PR =3：5时，Q 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．接下来根据D 、Q 求G ：由D 、Q 坐标求直线DQ 解析式为：3451616y x =+， 与抛物线联立方程：23345345168161616x x x -++=+，解得10x =，21x =（舍）， 故G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭，巧了，本题G 、Q 重合．写在最后：面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行．。
2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解； （2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ， 由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， 当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．7．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1，当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．9．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG的最小值为P 的坐标（﹣919，19）． 【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC =NQ QC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，RT △QCN 中，QN=CN=7，∠QNC=90°，∴，∵sin ∠ACM=AM AC =NQ QC ，∴AM=65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，∴AP=1219，PM=RM=619，∴MC=22AC AM -=1419，∴PC=CM ﹣PM=819，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，PK=123，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG 的最小值为219，此时点P 的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．12．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ，∴PE PBOD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ，∴PE PBOC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8， ①当m ＝2时，CQ ＝22OC OQ +＝25，BQ ＝22AQ AB +＝45，∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC＝5，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5（10﹣t ）， ∴25t ＝5（10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3． Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M的坐标为，点N的坐标为，32)2t ++．Q 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．∆为直角三角形时，t的值为1或4．综上所述：当AMN【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（13），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C的坐标．【答案】（1）2235333y x x =-+；（2）t＞4；（3）∠BOC =60°，C （32，3） 【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ．（3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ， ∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大． ∵A（1B （3 ∴∠AOF=60°，∠BOF=30°， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。
2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题专题三 二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{ a ＝−18b ＝−14c ＝3 ，∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3； （2）①存在点D ，使得△APQ 和△CDO 全等，当D 在线段OA 上，∠QAP=∠DCO ，AP=OC=3时，△APQ 和△CDO 全等，∴tan ∠QAP=tan ∠DCO ，OC OA＝OD OC ， ∴36＝OD 3，∴OD=32， ∴点D 坐标为（-32，0）.由对称性，当点D 坐标为（32，0）时，由点B 坐标为（4，0），此时点D （32，0）在线段OB 上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB ，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN ，CM ，则DN=DM ，∠NDC=∠MDC ，∴∠NDC=∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴AN NC ＝AD DB ＝1，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52，∴OM=DM-OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值； （2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==，∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。
2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．3．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y xy x x⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114xy⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241xy⎧⎨⎩＝＝，∴点A的坐标为（1，14），点B的坐标为（4，1）．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B（4，1），直线l为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：1443k bk b⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2-. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．8．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，-33）、F （0，233）或E （-1，43-3），F （-4，1033） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+-； 联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=，即E 的纵坐标为∴ E （-1，）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，-3），F （-4，3）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，），F （-4）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题9．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．10．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2﹣3x 。
