2020年中考数学二次函数压轴题核心考点突破10面积比例分析

2020年中考必考经典（江苏版）专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题【方法指导】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． （4）同底三角形的面积比等于高的比． （5）同高三角形的面积比等于底的比．【题型剖析】【类型1】二次函数与面积最值问题【例1】如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式；（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积．2(1)y x k =-+x A B A B y(0,3)C -P m 0m >P x ABP ∆C P C )P h h m m 9h =BCP ∆【分析】（1）将点代入即可；（2）易求，，抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值；（3）①当时，；当时，；当时，；②当时若，此时△，无解；若，则，则，的面积；【解析】解：（1）将点代入，得，； （2）令，或， ，，；抛物线顶点为，当位于抛物线顶点时，的面积有最大值， ；（3）①当时，；当时，；当时，；(0,3)C -2(1)y x k =-+(1,0)A -(3,0)B (1,4)-P ABP ∆)01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P BCP ∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=(0,3)C -2(1)y x k =-+4k =-22(1)423y x x x ∴=--=--0y =1x =-3x =(1,0)A ∴-(3,0)B 4AB ∴=(1,4)-P ABP ∆14482S =⨯⨯=01m <223(23)2h m m m m =----=-+12m <3(4)1h =---=2m >2223(4)21h m m m m =----=-+②当时若，此时△，无解； 若，则， ，，，的面积；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，是二次函数综合题；熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．【变式训练】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、，点坐标为．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为，在轴上找一点，使最小，并求出点的坐标； （3）点是线段上的动点，过点作，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；【分析】（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可求得、的值，可求得抛物线解析； （2）可求得点关于轴的对称点的坐标，连接交轴于点，再求得直线的解析式，可求得点坐标；（3）过点作轴于点，设，可表示出、，再证明，可表示出，可得出关于的解析式，再根据二次函数的性质可求得点的坐标； （4）分、和三种情况，分别根据等腰三角形的性质求得点的坐标，进一步求得点坐标即可． 【解析】解：9h =229m m -+=0<m 2219m m -+=4m =(4,5)P ∴(3,0)B (0,3)C -BCP ∴∆1118451(41)36222=⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=22(0)y ax ax c a =-+≠y (0,4)C x A B A (4,0)N x K CK KN +K Q AB Q //QE AC BC E CQ CQE ∆Q A C a c C x C 'C N 'x K C K 'K E EG x ⊥G (,0)Q m AB BQ BQE BAC ∆≅∆EG CQE ∆m Q DO DF =FO FD =OD OF =F P（1）抛物线经过点，， ，解得，抛物线解析式为；（2）由（1）可求得抛物线顶点为，如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求，设直线的解析式为，把、点坐标代入可得，解得，直线的解析式为，令，解得， 点的坐标为，； （3）设点，过点作轴于点，如图2，由，得，，(0,4)C (4,0)A ∴416840c a a =⎧⎨-+=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2142y x x =-++9(1,)2N C x (0,4)C '-C N 'x KK C N 'y kx b =+C 'N 924k b b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩1724k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴C N '1742y x =-0y =817x =∴K 8(170)(,0)Q m E EG x ⊥G 21402x x -++=12x =-24x =点的坐标为，，，又， ，，即，解得； ．又，当时，有最大值3，此时；【类型2】二次函数与面积定值问题【例2】抛物线与轴交于，两点，顶点为，对称轴交轴于点，点为抛物线对称轴上的一动点（点不与，重合）．过点作直线的垂线交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式；（2）当的面积为5时，求点的坐标；（3）当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2）确定、的表达式，联立求得点，，，即可求解；（3）分当、、三种情况，分别求解即可．∴B (2,0)-6AB =2BQ m =+//QE AC BQE BAC ∴∆∆∽∴EG BQ CO BA =246EG m +=243m EG +=2211241281()(2)(4)(1)32233333CQE CBQ EBQ m S S S CO EG BQ m m m m ∆∆∆+∴=-=-=+-=-++=--+24m -∴1m =CQE S ∆(1,0)Q 229y x bx c =-++x (1,0)A -(5,0)B C xD P CD P C D C PB PBE xF PCF ∆P PCF ∆P 2(1)(5)9y x x =+-PB CE 2(23mF -0)112(2)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=CP CF =CP PF =CP PF =【解析】解：（1）函数的表达式为：；（2）抛物线的对称轴为，则点， 设点，将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得： 函数的表达式为：，，故直线表达式中的值为， 将点的坐标代入一次函数表达式， 同理可得直线的表达式为：， 解得：， 故点，， ，解得：或， 故点或；（3）由（2）确定的点的坐标得：，，， ①当时，即：，解得：或舍去）， ②当时，同理可得：， ③当时，同理可得：（舍去， 故点或或或 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．【变式训练】已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图1，连接交于点，当时，请求出点的坐标；222810(1)(5)9999y x x x x =+-=-++2x =(2,2)C (2,)P m P B y sx t =+PB 1533my mx =-+CE PE ⊥CE k 3mC CE 36(2)y x m m=+-223mx =-2(23mF -0)112(2|)(22)5223PCF mS PC DF m ∆=⨯⨯=---=5m =3-(2,3)P -(2,5)F 22(2)CP m =-222()43m CF =+2222()3mPF m =+CP CF =222(2)()43m m -=+0m =36(05CP PF=m CF PF =2m =±2)36(2,)5P (2,2)-23y ax bx =++(1,0)A (3,0)B -y C POP BC D :1:2CPD BPD S S ∆∆=D（3）如图2，点的坐标为，点为轴负半轴上的一点，，连接，若，请求出点的坐标；（4）如图3，是否存在点，使四边形的面积为8？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：，即可求解；（2），则，即可求解； （3），，则，故，即可求解； （4）利用，即可求解．【解析】解：（1）函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①，顶点坐标为； （2）， ， ，， ，则点；（3）如图2，设直线交轴于点，E (0,1)-G x 15OGE ∠=︒PE 2PEG OGE ∠=∠P P BOCPP 2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ==⨯15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∠=︒1OH OE ==8OBC PBC BOCP S S S ∆∆=+=四边形2(1)(3)(23)y a x x a x x =-+=+-33a -=1a =-223y x x =--+⋯(1,4)-OB OC =45CBO ∴∠=︒:1:2CPD BPD S S ∆∆=2233BD BC ∴==⨯=sin 2D y BD CBO =∠=(1,2)D -PE x H，， ， ，则直线的表达式为：②， 联立①②并解得：（舍去正值）， 故点； （4）不存在，理由：连接，过点作轴的平行线交于点， 直线的表达式为：，设点，点，则，整理得：， 解得：△，故方程无解， 则不存在满足条件的点．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．【类型3】二次函数与等面积问题【例3】如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点的坐标为，点为的中点，点在抛物线上．（1） 2 ；（2）若点在第一象限，过点作轴，垂足为，与、分别交于点、．是否存在这样的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，15OGE ∠=︒230PEG OGE ∠=∠=︒45OHE ∴∠=︒1OH OE ∴==HE 1y x =--⋯x =P BC P y BC H BC 3y x =+2(,23)P x x x --+(,3)H x x +()211332333822OBC PBC BOCP S S S x x x ∆∆=+=⨯⨯+--+--⨯=四边形23970x x ++=0<P 23y x bx =-++x A B y C A (1,0)-D OC P b =P P PH x ⊥H PH BC BD M N P PM MN NH ==P请说明理由；（3）若点的横坐标小于3，过点作，垂足为，直线与轴交于点，且，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入二次函数解析式即求得的值．（2）求点、、坐标，求直线、解析式．设点横坐标为，则能用表示点、、、的坐标，进而用含的式子表示、、的长．以为等量关系列得关于的方程，求得的值合理（满足在第一象限），故存在满足条件的点，且求得点坐标．（3）过点作轴于，交直线于，根据同角的余角相等易证，所以，即在中，在中，，进而得，．设点横坐标为，可用表示、，即得到用表示、．又由易得．要对点位置进行分类讨论得到与的关系，即列得关于的方程．求得的值要注意是否符合各种情况下的取值范围．【解析】解：（1）二次函数的图象与轴交于点解得： 故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点，使得．二次函数解析式为P P PQ BD ⊥Q PQ x R 2PQB QRB S S ∆∆=P A b B C D BC BD P t t P M N H t PM MN NH PM MN =t t P P P P PF x ⊥F BD E EPQ OBD ∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE ∆cos PQ EPQ PE ∠==Rt PFR ∆cos PF RPF PR ∠==PQ =PR P t t PE PF t PQ PR 2PQB QRB S S ∆∆=2PQ QR =P PQ PR t t t 23y x bx =-++x (1,0)A -130b ∴--+=2b =P PM MN NH ==223y x x =-++当时，当时， 解得：， ，直线的解析式为点为的中点，直线的解析式为， 设，，则，，，，解得：，（舍去） ，的坐标为，，使得．（3）过点作轴于，交直线于 ，，于点，轴于点0x =3y =(0,3)C ∴0y=2230x x-++=11x =-23x =(1,0)A ∴-(3,0)B ∴BC 3y x =-+D OC 3(0,)2D ∴∴BD 1322y x =-+(P t 223)(03)t t t -++<<(,3)M t t -+13(,)22N t t -+(,0)H t 2223(3)3PM t t t t t ∴=-++--+=-+13133()2222MN t x t =-+--+=-+1322NH t =-+MN NH ∴=PM MN =213322t t t ∴-+=-+112t =23t =1(2P ∴15)4P ∴1(215)4PM MN NH ==P PF x ⊥F BD E 3OB =32OD =90BOD ∠=︒BD ∴=cos OB OBD BD ∴∠==PQ BD ⊥Q PF x ⊥F 90PQE BQR PFR ∴∠=∠=∠=︒90PRF OBD PRF EPQ ∴∠+∠=∠+∠=︒，即 在中， 在中， ，，设直线与抛物线交于点，解得：（即点横坐标），点横坐标为 设，，则，①若，则点在直线上方，如图2，，，即解得：，（舍去）②若，则点在轴上方、直线下方，如图3，此时，，即不成立． ③若，则点在轴下方，如图4，，，即 EPQ OBD ∴∠=∠cos cos EPQ OBD ∠=∠=Rt PQE∆cos PQ EPQ PE ∠==PQ ∴=Rt PFR∆cos PF RPF PR ∠==PR ∴==2PQB QRB S S ∆∆=12PQB S BQ PQ ∆=12QRB S BQ QR ∆=2PQ QR ∴=BD G 2132322x x x -+=-++13x =B 212x =-∴G 12-(P t 223)(3)t t t -++<13(,)22E t t -+2|23|PF t t ∴=-++221353|23()|||2222PE t t t t t =-++--+=-++132t -<<P BD 223PF t t ∴=-++25322PE t t =-++2PQ QR=23PQ PR ∴=∴253PF =65PE PF =22536()5(23)22t t t t ∴-++=-++12t =23t =(2,3)P ∴112t -<<-P x BD PQ QR <2PQB QRB S S ∆∆=1t <-P x 22(23)23PF t t t t ∴=--++=--221353(23)2222PE t t t t t =-+--++=--2PQ QR =2PQ PR ∴=∴52PF =25PE PF =解得：，（舍去），综上所述，点坐标为或，．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，同角的余角相等，三角函数的应用．第（3）题解题过程容易受第（2）题影响而没有分类讨论点的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路．【变式训练】如图，抛物线的图象过点、、．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标及的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在点（不与点重合），使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．22532()5(23)22t t t t ∴--=--143t =-23t =4(3P ∴-13)9-P (2,3)4(3-13)9-P 2y ax bx c =++(1,0)A -(3,0)B (0,3)C P PAC ∆P PAC ∆x M C PAM PAC S S ∆∆=M【分析】（1）由于条件给出抛物线与轴的交点、，故可设交点式，把点代入即求得的值，减小计算量．（2）由于点、关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当、、在同一直线上时，最小．利用点、、的坐标求、的长，求直线解析式，把代入即求得点纵坐标．（3）由可得，当两三角形以为底时，高相等，即点和点到直线距离相等．若点在点上方，则有．由点、坐标求直线解析式，即得到直线解析式．把直线解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点坐标．若点在点下方，则此时所在的直线到直线的距离等于第一种情况时到的距离，故可用平移的方法来求此时点所在直线的解析式． 【解析】解：（1）抛物线与轴交于点、可设交点式把点代入得：抛物线解析式为（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小． 如图1，连接、点在抛物线对称轴直线上，点、关于对称轴对称x (1,0)A -(3,0)B (1)(3)y a x x =+-C a A B 1x =PA PB =PAC C AC PC PA AC PC PB ∆=++=++C P B PAC C AC CB ∆=+A B C AC CB BC 1x =P PAM PAC S S ∆∆=PA C M PA M P //CM PA A P AP CM CM M M P M PA CM PA M x (1,0)A -(3,0)B ∴(1)(3)y a x x =+-(0,3)C 33a -=1a ∴=-2(1)(3)23y x x x x ∴=-+-=-++∴223y x x =-++P PAC ∆PB BC P 1x =A B PA PB ∴=当、、在同一直线上时，最小 、、， 最小设直线解析式为把点代入得：，解得：直线点使．（3）存在满足条件的点，使得．当以为底时，两三角形等高点和点到直线距离相等①若点在点上方，如图2，，，设直线解析式为 解得：直线直线解析式为：解得：（即点， 点坐标为②若点在点下方，如图3，则点所在的直线，且直线到的距离等于直线到的距离直线向下平移2个单位得即为直线的解析式解得：点在轴上方PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴=++=++C P B PC PB CB +=(1,0)A -(3,0)B (0,3)C AC ∴=BC ==PAC C AC CB ∆∴=+=BC 3y kx =+B 330k +=1k =-∴:3BC y x =-+132P y ∴=-+=∴(1,2)P PAC ∆M PAM PAC S S ∆∆=PAM PAC S S ∆∆=∴PA ∴C M PA M P //CM PA ∴(1,0)A -(1,2)P AP y px d =+∴02p d p d -+=⎧⎨+=⎩11p d =⎧⎨=⎩∴:1AP y x =+∴CM 3y x =+2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩1103x y =⎧⎨=⎩)C 2214x y =⎧⎨=⎩∴M (1,4)M P M //l PA l PA 3y x =+PA ∴:1AP y x =+1y x =-l 2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M x点坐标为综上所述，点坐标为或时，．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题利用等底等高面积相等可知点和点到直线距离相等，即点所在的直线与直线平行，有这样的直线有两条，需要分类讨论． 【类型4】二次函数与面积数量关系【例4】如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，为顶点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求该二次函数的表达式；（2）点是线段上的一点，过点作轴的垂线，垂足为，且，求点的坐标．（3）试问在该二次函数图象上是否存在点，使得的面积是的面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求解；0y ∴>∴M M (1,4)PAM PAC S S ∆∆=C M PA M PA x A B D B (5,0)D (1,3)E BD E x F ED EF =E G ADG ∆BDG ∆35G（2）可通过点，点求出线段所在的直线关系式，点在线段上，即可设点的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求解；（3）先求线段所在的直线解析式，当点在轴的上方时，过点作直线的垂线，交点垂足为，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求．当点在轴的下方时，由，所以当与的高相等时，即存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为，求得与抛物线的交点即可．【解析】解：（1）依题意，设二次函数的解析式为将点代入得，得 二次函数的表达式为： （2）依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得线段所在的直线为， 设点的坐标为：，，，整理得， 解得，（舍去） 故点的纵坐标为点的坐标为 （3）存在点， 当点在轴的上方时，B D BD E BD E EF ED =AD G x G :3490AD x y -+=(,)Q x y ADG ∆BDG ∆G x :3:5AO OB =ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =2(1)3y a x =-+B 20(51)3a =-+316a =-∴23(1)316y x =--+(5,0)B (1,3)D BD y kx b =+053k b k b =+⎧⎨=+⎩34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BD 31544y x =-+E 315(,)44x x -+222315(1)(3)44ED x x ∴=-+-+-22315()44EF x =-+ED EF =222315315(1)(3)()4444x x x ∴-+-+-=-+225250x x +-=152x =25x =-E 3515154248y =-⨯+=∴E 515(,)28G G x设点的坐标为，点的坐标为，对称轴点的坐标为，设所在的直线解析式为，代入得，解得．直线的解析式为 的距离为5，过点作直线的垂线，交点垂足为， 得，化简得 由上式整理得，点到的距离为：， 由（2）知直线的解析式为：，的距离为5，同理得点至的距离为：， ， 整理得 点在二次函数上， 代入得， 整理得，G (,)m n B (5,0)1x =∴A (3,0)-∴AD y kx b =+033k b k b =-+⎧⎨=+⎩3494k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AD 3944y x =+AD ∴G :3490AD x y -+=(,)Q x y 3()143490y n x m x y -⎧=-⎪-⎨⎪-+=⎩22222(34)[()()](349)x m y n m n +-+-=-+||GQ ∴==∴G AD 1349||5m n d -+=BD 31544y x =-+BD ∴∴G BD 23415||5m n d +-=∴121349321341552ADG BDGAD d S m n S m n BD d ∆∆-+===+-632900m n -+=G 23(1)316n m ∴=--+23632[(1)3]90016m m ---++=2660(1)0m m m m -=⇒-=解得，（舍去） 此时点的坐标为 当点在轴下方时，如图2所示，当与的高相等时，存在点使得，此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点代入得， 故，则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点为， 综上所述，点的坐标为或．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【变式训练】如图抛物线经过点，点，且．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形10m =21m =G 45(0,)16G x :3:5AO OB =∴ADG ∆BDG ∆G :3:5ADG BDG S S ∆∆=DG DG y kx =D 3k =3y x =233(1)316y x y x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩(1)(15)0x x -+=11x =215x =-15x =-45y =-G (15,45)--G 45(0,)16(15,45)--2y ax bx c =++(1,0)A -(0,3)C OB OC =D E 1x =1DE =D E ACDE的周长的最小值．（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；（3），即可求解．【解析】解：（1），点，则抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：①，函数的对称轴为：；（2）的周长，其中、是常数， 故最小时，周长最小，取点关于函数对称点，则， 取点，则，故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，四边形的周长的最小值；P CP CP CBPA 3:5P OB OC =(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'11:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=OB OC =∴(3,0)B 22(1)(3)(23)23y a x x a x x ax ax a =+-=--=--33a -=1a =-223y x x =-++⋯1x =ACDE AC DE CD AE =+++AC 1DE =CD AE +C (2,3)C 'CD C D ='(1,1)A '-A D AE '=CD AE A D DC +='+'A 'D C 'CD AE A D DC +='+'ACDE 111AC DE CD AE A D DC A C =+++=+'+'+''（3）如图，设直线交轴于点，直线把四边形的面积分为两部分，又，则，或， 则或， 即：点的坐标为，或，，将点、的坐标代入一次函数表达式：， 解得：或，故直线的表达式为：或② 联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去）， 故点的坐标为或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点点来求最小值，是本题的难点．【达标检测】1．如图，已知抛物线与轴交于点和点，交轴于点，过点作轴，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式；（2）若直线与线段、分别交于、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，求矩形的最大面积；（3）若直线将四边形分成左、右两个部分，面积分别为，，且，求的值．CP x E CP CBPA 3:511:():():22PCB PCA C P C P S S EB y y AE y y BE AE ∆∆=⨯-⨯-=:BE AE 3:5=5:352AE =32E 3(20)1(20)E C 3y kx =+6k =-2-CP 23y x =-+63y x =-+⋯4x =P (4,5)-(8,45)-A '23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B y C C //CD x D (30)y m m =-<<AD BD G H G EG x ⊥E H HF x ⊥F GEFH 1y kx =+ABCD 1S 2S 12:4:5S S =k【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）方法1、先利用待定系数法求出直线，的解析式，进而求出，的坐标，进而求出，即可得出结论；方法2、利用相似三角形的对应边上的高的比等于相似比，即可求出，即可得出结论； （3）先求出四边形的面积，分两种情况讨论计算即可．【解析】解：（1）抛物线与轴交于点和点，，，抛物线的解析式为；（2）方法1、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，直线的解析式为，直线的解析式为，直线与线段、分别交于、两点， ，，，AD BD G H GH GH ADNM 23y ax bx =+-x (3,0)A -(1,0)B ∴933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩∴12a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+-223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B ∴AD 39y x =--BD 1y x =-(30)y m m =-<<AD BD G H 1(33G m ∴--)m (1,)H m m +，，，矩形的最大面积为3．方法2、由（1）知，抛物线的解析式为，， ， 或，，和点，如图1，过点作轴于，交于， ，直线与线段、分别交于、两点， ，， ， ，，，矩形的最大面积为3．（3），，，，， ，，，141(3)433GH m m m ∴=+---=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH 223y x x =+-(0,3)C ∴-2233x x ∴+-=-0x ∴=2x =-(2,3)D ∴--(3,0)A -(1,0)B D DM x ⊥M GH N 3DN m ∴=+(30)y m m =-<<AD BD G H DGH DAB ∴∆∆∽∴DN GHDM AB =∴334m GH+=443GH m ∴=+()22444343()33332GEFH S m m m m m ⎛⎫∴=-+=-+=-++ ⎪⎝⎭矩形32m ∴=-GEFH (3,0)A -(1,0)B 4AB ∴=(0,3)C -(2,3)D --2CD ∴=()134292ABCD S ∴=⨯+=四边形12:4:5S S =，如图，当直线与相交时，设直线与线段相交于，与线段相交于， ，，，，，，，， 当点与点重合时，直线的解析式为， ，，，直线和线段相交时， 直线不能和线段相交，即：，2．如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左边），点，在抛物线上．设，当时，． （1）求抛物线的函数表达式．（2）当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．14S ∴=1y kx =+CD 1y kx =+AB M CD N 1(M k ∴-0)4(N k -3)-13AM k ∴=-+42DN k =-+1114(32)342S k k ∴=-+-+⨯=157k ∴=N D MN 21y x =+1(2M ∴-0)15(3)22AM ∴=---=∴MN AD 151534224AMN S ∆=⨯⨯=<最大∴1y kx =+AD 157k=2(0)y ax bx a =+<(10,0)E ABCD AB OE AB C D (,0)A t 2t =4AD =t ABCD 2t =ABCD G H GH【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得；（3）由得出点、、、及对角线交点的坐标，由直线平分矩形的面积知直线必过点，根据知线段平移后得到的线段是，由线段的中点平移后的对应点是知是中位线，据此可得． 【解析】解：（1）设抛物线解析式为， 当时，，点的坐标为，将点坐标代入解析式得，解得：， 抛物线的函数表达式为；（2）由抛物线的对称性得， ，当时，，矩形的周长，， 当时，矩形的周长有最大值，最大值为；E D (2,4)BE OA t ==102AB t =-x t =21542AD t t =-+2t =A B C D P GH GH P //AB CD OD GH OD Q P PQ OBD ∆(10)y ax x =-2t =4AD =∴D (2,4)∴D 164a -=14a =-21542y x x =-+BE OA t ==102AB t ∴=-x t =21542AD t t =-+∴ABCD 2()AB AD =+2152[(102)()]42t t t =-+-+21202t t =-++2141(1)22t =--+102-<∴1t =ABCD 412（3）如图，当时，点、、、的坐标分别为、、、，矩形对角线的交点的坐标为，当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点时，点的坐标为，此时也不能将矩形面积平分；当，中有一点落在线段或上时，直线不可能将矩形面积平分；当点，分别落在线段，上时，直线过点，必平分矩形的面积． ，线段平移后得到线段．线段的中点平移后的对应点是．，由平移知， 是的中位线， ，所以抛物线向右平移的距离是4个单位．3．已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，该抛物线的顶点为．（1）求点、、的坐标． （2）求直线的函数解析式． （3）试说明：．（4）在抛物线上是否存在点，使直线把分成面积相等的两部分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2t =A B C D (2,0)(8,0)(8,4)(2,4)∴ABCD P (5,2)A H (4,4)GH C G (6,0)GH ∴G H AD BC GH G H AB DC GH P ABCD //AB CD ∴OD GH ∴OD Q P DP PB ∴=//PQ OB PQ ∴ODB ∆142PQ OB ∴==223y x x =--x A B y C M A B C BM 90CBM CMB ∠+∠=︒P CP BCM ∆P【分析】（1）根据题意可以直接可求点、、的坐标； （2）用待定系数法可求解析式；（3）根据两点距离公式可求，，的长度，根据勾股定理的逆定理可得，即可证：；（4）根据题意可求线段中点坐标，即可求直线解析式，且点在抛物线上，可列方程，即可求点坐标．【解析】解：（1）抛物线与轴交于、两点，点，点抛物线与轴交于点当时， 点坐标为（2）抛物线点设直线的解析式：过点，解得：，直线的解析式：（3）点，点，点A B C BM BC CM 90BCM ∠=︒90CBM CMB ∠+∠=︒BM CP P P 223y x x =--x A B 2023x x ∴=--13x ∴=21x =-∴(1,0)A -(3,0)B 223y x x =--y C ∴0x =3y =-∴C (0,3)-2223(1)4y x x x =--=--∴(1,4)M -BM y kx b =+(3,0)B (1,4)M -∴403k b k b -=+⎧⎨=+⎩2k =6b =-∴BM 26y x =-(1,4)M -(3,0)B (0,3)C -BC ∴=， ．．（4）如图：设直线与的交点为直线把分成面积相等的两部分和是等高的两个三角形即点是的中点 点，点点坐标为设直线的解析式为解得：， 直线解析式 点是直线与抛物线的交点BM=CM =2220BC CM +=220BM =222BC CM BM ∴+=90BCM ∴∠=︒90CBM CMB ∴∠+∠=︒CP BMF CP BCM ∆CMF BCF S S ∆∆∴=CMF ∆BCF ∆FM BF ∴=F BM (3,0)B (1,4)M -∴F (2,2)-CP y mx n =+∴322n m n =-⎧⎨-=+⎩12m =3n =-∴CP 132y x =-P CP 223y x x =--∴213232x x x -=--解得：（不合题意舍去）， 当时， 点坐标为，4．如图1，抛物线与相交于点、，与分别交轴于点、，且为线段的中点． （1）求的值； （2）若，求的面积；（3）抛物线的对称轴为，顶点为，在（2）的条件下：①点为抛物线对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标；②如图2，点在抛物线上点与点之间运动，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由两抛物线解析式可分别用和表示出、两点的坐标，利用为的中点可得到和之间的关系式；（2）由抛物线解析式可先求得点坐标，过作轴于点，可证得，由相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得和的长，可求得的面积； （3）①连接与的交点即为满足条件的点，可求得的解析式，则可求得点坐标；②设出点坐标，则可表示出的面积，过点作轴的平行线交直线于点，可先求得的解析式，则可表示出的长，进一步可表示出的面积，则可表示出四边形的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，及点的坐标．10x =252x =52x =255723424y =-⨯-=-∴P 5(27)4-21:C y x ax =+22:C y x bx =-+O C 1C 2C x B A B AO abOC AC ⊥OAC ∆2C l M P 2C l PAC ∆P E 2C O M OBCEE a b A B B OA a b C C CD x ⊥D OCD CAD ∆∆∽a OA CD OAC ∆OC l P OC P E EOB ∆E x BC N BC EN EBC ∆OBCE E【解析】解：（1）在中，当时，，，，，在中，当时，，，，，为的中点，，； （2）联立两抛物线解析式可得，消去整理可得，解得，，当时，，，过作轴于点，如图1，，， ，， ，即，2y x ax =+0y =20x ax +=10x =2x a =-(,0)B a ∴-2y x bx =-+0y =20x bx -+=10x =2x b =(,0)A b ∴B OA 2b a ∴=-∴12a b =-222y x ax y x ax ⎧=+⎨=--⎩y 2230x ax +=10x =232x a =-32x a =-234y a =∴233(,)24C a a -C CD x ⊥D ∴3(,0)2D a -90OCA ∠=︒OCD CAD ∴∆∆∽∴CD ODAD CD=2CD AD OD ∴=22313()()422a a a =--（舍去），（舍去），， （3）①抛物线， 其对称轴， 点关于的对称点为，， 则为直线与的交点， 设的解析式为，，得， 的解析式为， 当，； ②设，，， 则，而，，设直线的解析式为， 由，解得， 直线的解析式为，过点作轴的平行线交直线于点，如图2，10a ∴=2a =3a =∴2OA a =-=2314CD a ==∴12323OACS OA CD ∆==22:C y x x =-∴2:l x =A 2l (0,0)O C P OC 2l OC y kx=∴1=k OC ∴y =x=23y =∴2)3P 223(,)E m m m -+(E m 223)(0)m m -+2214)23OBE S m m ∆=-=+B C BC y kx b =+10b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩2k b ==-∴BC 2y =-E x BC N则，即， ，，， 当，当， ，． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式；（2）直线与该抛物线在第四象限内交于点，与线段交于点，与轴交于点，且． ①求的值；②连接，，线段与线段交于点，与是否全等？请说明理由； （3）直线与该抛物线的交点为，（点在点的左侧），点关于轴22m -+-243x m =+224133EN m m m ∴=++-=+∴2213111(236EBC S m m m ∆=-+=+2222413362OBE EBC OBCE S S S m m m m ∆∆⎛⎫⎛∴=+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭四边形230m∴m =S =最大m =2354y =-+=∴5)4E S 最大232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B y C y x n =-+D BC E x F 4BE EC =n AC CD AC DF G AGF ∆CGD ∆(0)y m m =>M N M N M y的对称点为点，点的坐标为．若四边形的面积为．求点到的距离的值．【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，可得抛物线的解析式；（2）①过点作轴于，则，根据平行线分线段成比例定理，可得，设点的坐标为，则，，根据，可得，再根据直线的解析式为，即可得到，，把的坐标代入直线，可得的值；②根据，，可得，再根据点的坐标为，点的坐标为，可得轴，，再根据，，即可判定；（3）根据轴对称的性质得出，进而判定四边形是平行四边形，再根据四边形的面积为，求得，再根据点的坐标为，，得到，中，运用勾股定理可得，最后根据，即可得到【解析】解：（1）抛物线与轴交于，两点， ，解得，该抛物线的解析式；（2）①如图，过点作轴于，则，， M 'H (1,0)OM NH '53H OM 'd 232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B E EE x '⊥E '//EE OC '4BE OE ''=E (,)x y OE x '=4BE x '=2OB =25x =BC 332y x =-2(5E 12)5-E y x n =-+n (2,0)F -(1,0)A -1AF =D (1,3)-C (0,3)-//CD x 1CD =AFG CDG ∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∆≅∆1OH M N '==OM NH 'OM NH '5353OP =M 4(3-5)343PM '=Rt OPM '∆OM '=53OM d '⨯=d =232y x bx c =++x (1,0)A -(2,0)B ∴302620b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩323b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴233322y x x =--E EE x '⊥E '//EE OC '∴BE BEOE CE'='，，设点的坐标为，则，， ，，即，， 抛物线与轴交于点， ，设直线的解析式为， ，， ，解得，直线的解析式为， 当时，， ，，把的坐标代入直线，可得，解得；②与全等．理由如下： 直线的解析式为，当时，，，， ， ，，由解得，， 4BE EC =4BE OE ''∴=E (,)x y OE x '=4BE x '=(2,0)B 2OB ∴=42x x +=25x ∴=233322y x x =--y C (0,3)C ∴-BC y kx b '=+(2,0)B (0,3)C -∴203k b b '+=⎧⎨'=-⎩323k b ⎧=⎪⎨⎪'=-⎩∴BC 332y x =-25x =125y =-2(5E ∴12)5-E y x n =-+21255n -+=-2n =-AGF ∆CGD ∆EF 2y x =--∴0y =2x =-(2,0)F ∴-2OF =(1,0)A -1OA ∴=211AF ∴=-=2333222y x x y x ⎧=--⎪⎨⎪=--⎩112343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2213x y =⎧⎨=-⎩点在第四象限，点的坐标为，点的坐标为， 轴，，，， ；（3）抛物线的对称轴为，直线与该抛物线的交点为，， 点、关于直线对称， 设，则， 点关于轴的对称点为点， ，点在直线上，轴，， ， ，四边形是平行四边形，设直线与轴交于点， 四边形的面积为， ，即， ， 当时，解得，，点的坐标为，，，，即，中，， D ∴D (1,3)-C (0,3)-//CD x ∴1CD =AFG CDG ∴∠=∠FAG DCG ∠=∠AGF CGD ∴∆≅∆122b x a =-=(0)y m m =>M N ∴M N 12x =(,)N t m (1,)M t m -M y M '(1,)M t m '∴-∴M 'y m =//M N x '∴(1)1M N t t '∴=--=(1,0)H 1OH M N '∴==∴OM NH 'y m =y P OM NH '53513OH OP m ∴⨯=⨯=53m =53OP ∴=23353223x x --=143x =-273x =∴M 4(3-5)34(3M '∴5)343PM '=Rt OPM '∴∆OM '四边形的面积为， ， ．6．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交该二次函数图象于点．（1）求的值和直线的解析式；（2）过点作于点，设，的面积分别为，，若，求的值；（3）点是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点是线段上的动点，当四边形是平行四边形，且周长取最大值时，求点的坐标．【分析】（1）把点坐标代入可求，应用待定系数法可求直线的解析式；（2）用表示、，易证，，得到与的数量关系可以构造方程；OM NH '5353OM d '∴⨯=41d ∴=23(2)34y ax a x =--+(4,0)A y B x(C m 0)(04)m <<C x AB E D a AB D DF AB ⊥F ACE ∆DEF ∆1S 2S 124S S =m H G AB DEGH DEGHG A 23(2)34y ax a x =--+a AB m DE AC DEF AEC ∆∆∽124S S =DE AE（3）用表示，由平行四边形性质，可得，之间数量关系，利用相似用表示，表示周长，利用函数性质求出周长最大时的值，可得值，进而求点坐标．【解析】解：（1）把点代入，得解得 函数解析式为： 设直线解析式为 把，代入 解得直线解析式为：（2）由已知，点坐标为点坐标为轴，n GH DE GH =m n GM EG DEGH m n G (4,0)A 2304(2)434a a =--⨯+34a =-∴239344y x x =-++AB y kx b =+(4,0)A (0,3)B 043k bb =+⎧⎨=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴AB 334y x =-+D 239(,3)44m m m -++E 3(,3)4m m -+4AC m ∴=-223933(3)(3)34444DE m m m m m =-++--+=-+//EC y ∴43AC AO EC OB ==5(4)4AE m ∴=-90DFA DCA ∠=∠=︒FBD CEA ∠=∠DEF AEC ∴∆∆∽124S S =解得，（舍去） 故值为（3）如图，过点做于点，设点的横坐标为，由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．2AE DE ∴=∴253(4)2(3)44m m m -=-+156m =24m =m 56G GM DC ⊥M Gn 2334DE m m =-+2334HG n n =-+DEGH 22333344m m n n ∴-+=-+3()[()3]04n m n m -+-=m n ≠4m n ∴+=4n m =-42MG n m m ∴=-=-EMG BOA ∆∆∽∴43MG EM =5(42)4EG m ∴=-DEGH ∴223532[3(42)]10442L m m m m m =-++-=-++302a =-<113232()2b m a ∴=-=-=⨯-L。

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

面积系列之面积比例分析除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类．大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法．策略一：运用比例计算类 【2019陕西中考（删减）】综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =++经过点(2,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）BCD ∆的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；【分析】（1）可重设解析式为交点式：()()24y a x x =+-，展开得：228y ax ax a =--，常数项对应相等，-8a =6，解得：34a =-，故抛物线解析式为：233642y x x =-++．（2）考虑△AOC 和△BCD 并无太多关联，并且△AOC 是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导△BCD 的面积．1=26=62AOCS ⨯⨯， 3396442BCDAOCSS =⨯=⨯=， 此问题变为面积定值问题，就不难了．【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题．如图，已知抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A 3)-和点B 0)．过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、B两点坐标代入即可求得解析式：212y x =； （2）由题意可知C 点坐标为（0，-3），故132AOCS=⨯， 比例计算：93AOQAOCS S==， 再根据面积即可确定Q 点坐标．【小结】再次转化为定值问题，事实教育我，关于面积的定值问题要好好练呐！已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ． （1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上A 、M 两点之间的部分（不包含A 、M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式，代入A 点坐标，可得解析式为：228y x x =-++．当x =3时，y =5，故点B 坐标为（3,5），∴直线AB 的解析式为：y =2x -1． （2）铅垂法表示△ACD 的面积：设点D 坐标为()2,28m m m -++，过点D 作DP ⊥x 轴交AB 于P 点， 则P 点坐标为(),21m m -，线段DP =-m ²+9，()221492182ACDSm m =⨯⨯-+=-+，面积公式表示△MCD 的面积：过点D 作DQ ⊥MC 交MC 于点Q ，则DQ =1-m ，()11814422MCDS MC DQ m m =⨯⨯=⨯⨯-=-+ 2DACDCMSS=，()2218244m m -+=-+解得：m =5或-1．考虑D 点在A 、M 之间的抛物线上，故m =-1． D 点坐标为（-1,5）．策略二：转化面积比如图，B 、D 、C 三点共线，考虑△ABD 和△ACD 面积之比．DCBA转化为底：共高，面积之比化为底边之比：则::ABDACDSSBD CD =．HABCD更一般地，对于共边的两三角形△ABD 和△ACD ，连接BC ，与AD 交于点E ，则:::ABDACDSSBM CN BE CE ==．M N EDCBA【2019毕节中考（删减）】已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ；（2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标．【分析】（1）223y x x =--+；顶点坐标为（-1,4）． （2）根据:1:2CPD BPD S S ∆∆=可得CD ：BD =1：2，故D 点是线段BC 靠近点C 的三等分点，又B （-3,0）、C （0,3）， ∴D 点坐标为（-1,2）．【2019深圳中考（删减）】如图抛物线经2y ax bx c =++过点(1,0)A -，点(0,3)C ，且OB OC =． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．【分析】（1）解析式为223y x x =-++，对称轴为直线x =1． （2）连接CP ，可将四边形CBP A 分为△CAP 和△CBP ．即:3:5CAPCBPSS=或:5:3CAPCBPSS=．考虑△CAP 和△CBP 共底边CP ，记CP 与x 轴交于点M ，则::CAP CBPSSAM BM =①AM ：BM =5：3，点M 坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式：23y x =-+，联立方程：22323x x x -++=-+，解得：10x =（舍），24x =． 故P 点坐标为（4，-5）．②AM ：BM =3：5，点M 坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据C 、M 坐标求解直线CM 解析式为：63y x =-+，联立方程：22363x x x -++=-+，解得：10x =（舍），28x =． 故P 点坐标为（8，-45）．策略三：进阶版转化在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A ”字型线段比、“8”字型线段比． “A ”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD BA AM ==．MDCBA“8”字型线段比：:::ABDACDSSBD CD AB CM ==．MDCBA以2019连云港中考填空压轴为例： 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP【分析】AP 、AT 均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段． 构造“A ”字型线段比：过点P 作PQ ∥DB 与AB 的延长线交于点Q ，QTA BCDP由平行得：AP AQ AT AB =，若要APAT取到最大值，只要AQ 最大即可． M PDCBATQBC =3，39344BM =⨯=，515344CM =⨯=，15121234520PM =+=， 1235412034MQ =⨯=，41941244AQ =+-=， 故最大值为1234AP AQ AT AB ===．思路2：构造“8”字型线段比是否可行？ 虽然问题是AP AT 的比值，为便于构造“8”字，可转化为“TP AT +1”，即求TPAT的最大值， 过点P 作PQ ∥AB 交BD 延长线于Q 点，可得：TP PQAT AB=，考虑到AB 是定线段，故只要PQ 最大即可．但是本题P 点在圆上运动，故很难分析出点P 在何位置，PQ 取到最大值，若P 点换个轨迹路线，或许就很容易分析了．PD CBA TQ【2018本溪中考（删减）】如图，抛物线22(0)y ax x c a =++<与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，3OB OC ==． （1）求该抛物线的函数解析式．（2）如图，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ∆∆=时，求点D 的坐标．【分析】（1）解析式：223y x x =-++（2）显然△COF 和△CDF 共高，可将面积之比化为底边之比．::3:2COFCDFOF DF SS==，思路1：转化底边之比为“A ”字型线段比在y 轴上取点E （0，5），（为何是这个点？因此此时OC ：CE =3：2） 过点E 作BC 的平行线交x 轴于G 点，EG 与抛物线交点即为所求D 点，根据平行线分线段成比例，OF ：FD =OC ：CE =3：2． 直线EG 解析式为：y =-x +5，与抛物线联立方程，得：2235x x x -++=-+， 解得：11x =，22x =．故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．思路2：转化底边之比为“8”字型线段比过点D 作DG ∥y 轴交BC 边于点G ，则OF OCFD DG=，又OC =3，故点G 满足DG =2即可．这个问题设D 点坐标即可求解．也可以构造水平“8”字，过点D 作DG ∥x 轴交BC 于点G ，则OF OBFD DG=，又OB =3，∴DG =2即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议．其实本题分析点的位置也能解：思路3：设点D 坐标为()2,23m m m -++，根据OF ：DF =3：2，可得F 点坐标为23369,5555m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点F 在直线BC 上，将点坐标代入直线BC 解析式：y =-x +3，23693+35555m m m -+=-+， 解得11m =，22m =，故D 点坐标为（1，4）或（2，3）．这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标．【2019鞍山中考（删减）】在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．【分析】（1）抛物线解析式为234y x x =-++ （2）转化面积比为底边比：::2:1AQDAPQDQ PQ SS==，考虑P 、Q 均为动点，故可转化底边之比为“A ”字型线段比：∵BD =4，∴取E （-3,0）满足BE =2，过点E 作AB 平行线，与抛物线交点即为所求P 点，方法同上题．“8”字型同样可解，此处就不再啰嗦了．转化为垂线：共底，面积之比化为高之比：:::ABDACDSSBD CD BM CN ==．MNABCD还是以2019连云港中考题为例 【2019连云港中考】如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则APAT的最大值是 ． TA BCDP除了转化为“A ”字型线段比之外，亦可构造垂线之比 分别过A 、P 向BD 边作垂线，垂足分别记为M 、N ， 则TP PNAT AM=，考虑到AM 是定值，故只需PN 最大，比值即最大． MN T ABCD PMNT A BCDP如上右图所示，当PN 过点C 时，PN 取到最大值，即可求出本题的最大值．上述例子并不能代表作垂线的价值，在有些题目中，作垂线会是更优解．【2019营口中考】在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．【分析】（1）设解析式为()()13y a x x =+-，去括号为223y ax ax a =--，即c =-3a ．（2）211=22S AO OC OC ⨯⨯=，过点D 作DM ⊥x 轴交x 轴于M 点，11322S OB DM DM =⨯⨯=若1223S S =，即322132DMOC =，29DM OC =，计算到这一步，接下来的问题便是如何将DM 与OC 联系起来？考虑对称的性质，记AD 与BC 交于点E ，E 为OD 中点且E 为垂足，过点E 作EN ⊥x 轴交x 轴于点N ． 转化DM ：12EN DM =，故19EN OC =， 13BN =，83ON =，射影定理可求：EN∴9OC EN ==∴a =-如图，二次函数23y x bx =-++的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(1,0)-，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b = ；（2）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ BD ⊥，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且2PQB QRB S S ∆∆=，求点P 的坐标．【分析】（1）将A （-1,0）代入得：b =2； （2）2PQBQRBSS=转化为PQ =2QR ，但这里PQ 与QR 均不易表示，所以继续转化线段比．过P 点作PF ⊥x 轴，交BD 于E 点，交x 轴于F 点．PQ PE PR PF∴PF ：PE =6：5，设P 点坐标，分别表示PE 、PF ，根据比例即可求出P 点坐标．当P 点在y 轴左侧时，同理，过点P 作PM ⊥x 轴分别交x 轴、BD 延长线于M 、N 两点，此时PR ：PQ =1：2，PR PM =，PQ PN =1:2=， 化简得：PN ：PM =5：2，设点P 坐标，分别表示PM 、PN ，代入比例计算可得点P 坐标．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为(5,0)，点D的坐标为(1,3)．（1）求该二次函数的表达式；（2）试问在该二次函数图像上是否存在点G，使得ADG∆的面积是BDG∆的面积的35？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设顶点式()213y a x =-+，代点B （5,0），解得：316a =-， 故抛物线解析式为()231316y x =--+． （2）当点G 在x 轴下方时，如图所示，记DG 与x 轴交点为M 点，化面积比为线段比：::ADGBDGSSAM BM =考虑AM =8，当AM ：BM =3：5时，M 点坐标为（0,0） 又D 点坐标为（1,3），故直线DM 解析式为：y =3x ， 与抛物线联立方程：23345316816x x x -++=，解得115x =-，21x =（舍） 故第1个G 点坐标为（-15，-45）．当点G 在x 轴上方时，如图所示，此时△ADG 和△BDG 共底边DG ，但高并不易求，故可用铅垂法分别算两三角形面积．过点G 作x 轴的垂线分别交AD 、BD 的延长线于M 、N 两点，1422ADGS GM GM =⨯⨯=（A 、D 两点之间水平距离为4） 1422BDGSGN GN =⨯⨯=（B 、D 两点之间的水平距离为4） ∴:3:5ADGBDGSS=，即GM ：GN =3:5，设G 点坐标为23345,16816m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，AD 解析式为：3944y x =+，BD 解析式为：31544y x =-+， 故M 、N 坐标分别为39,44m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭、315,44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，22334539339168164416816GM m m m m m ⎛⎫=-++-+=--+ ⎪⎝⎭ 2231533453915441681616816GN m m m m m ⎛⎫=-+--++=-+ ⎪⎝⎭223393168163915516816m m m m --+=-+，解得：m =0或1（舍） 故第2个G 点坐标为450,16⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个计算量是不是有点大，所以，其实，可以，再转化一下： 化底边之比为其他线段之比．记AD 、GD 、ND 与y 轴交点分别为P 、Q 、R ，则GM ：GN =QP ：QR放大DNGMP QR可求P 点坐标为90,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，R 点坐标为150,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，当PQ ：PR =3：5时，Q 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭．接下来根据D 、Q 求G ：由D 、Q 坐标求直线DQ 解析式为：3451616y x =+， 与抛物线联立方程：23345345168161616x x x -++=+，解得10x =，21x =（舍）， 故G 点坐标为450,16⎛⎫⎪⎝⎭，巧了，本题G 、Q 重合．写在最后：面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行．。

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案解析一、二次函数1．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭.∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.2．如图1，对称轴为直线x =1的抛物线y =12x 2+bx +c ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且点A 坐标为(-1，0).又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，点C 与坐标原点O 关于该对称轴成轴对称. （1）求点 B 的坐标和抛物线的表达式； （2）当 AE ：EP =1：4 时，求点 E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到 OC ′，旋转角为 α(0°＜α＜90°)，连接 C ′D 、C′B ，求 C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2 3C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AE AP =AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝973．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论： ①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m 10，即点C 坐标为：（10，0）或（﹣10，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5222±，即：点C 坐标为（5222+，0）或（5﹣220）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222±，0）或（9710，0）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125=，故函数的表达式为：y125=x﹣3，设点P坐标为（m，12 5m2485-m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12=•PH•x B52=（125-m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m--+，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．答：△PAB的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．某市实施产业精准扶贫，帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克，到了收获季节投入市场销售时，调查市场行情后，发现该蜜柚不会亏本，且每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）某村农户今年共采摘蜜柚12000千克，若该品种蜜柚的保质期为50天，按照（2）的销售方式，能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能，请说明理由；若不能，应定销售价为多少元时，既能销售完又能获得最大利润？【答案】（1）y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）当x ＝15.5时，w 的最大值为1805元；（3）当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【解析】 【分析】（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 即可求解； （2）由题意得：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6），∵﹣20＜0，故w 有最大值，即可求解；（3）当x ＝15.5时，y ＝190，50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完；由50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13，当x ＝13时，既能销售完又能获得最大利润． 【详解】解：（1）将点（15，200）、（10，300）代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：2001530010k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：20500k b =-⎧⎨=⎩，即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500，（x ≥6）；（2）设：该品种蜜柚定价为x 元时，每天销售获得的利润w 最大， 则：w ＝y （x ﹣6）＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， ∵﹣20＜0，故w 有最大值， 当x ＝﹣2b a ＝312＝15.5时，w 的最大值为1805元； （3）当x ＝15.5时，y ＝190， 50×190＜12000，故：按照（2）的销售方式，不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时，既能销售完又能获得最大利润w ， 由题意得：50（500﹣20x ）≥12000，解得：x ≤13， w ＝﹣20（x ﹣25）（x ﹣6）， 当x ＝13时，w ＝1680，此时，既能销售完又能获得最大利润． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）.5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x 元． （1）写出销售量y （件）和获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）y ＝﹣10x+1000；w=﹣10x 2+1300x ﹣30000 （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【解析】 【分析】（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y ＝600﹣10（x ﹣40），再利用w= y•（x ﹣30）即可表示出w 与x 之间的关系式；（2）先将w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x ＝46时有最大值，代入求值即可解题. 【详解】 解：（1）依题意，易得销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系：y ＝600﹣10（x ﹣40）＝﹣10x+1000获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系为：w ＝y•（x ﹣30）＝（1000﹣10x ）（x ﹣30）＝﹣10x 2+1300x ﹣30000（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46 w ＝﹣10x 2+1300x ﹣30000＝﹣10（x ﹣65）2+12250 ∵a ＝﹣10＜0，对称轴x ＝65 ∴当44≤x≤46时，y 随x 的增大而增大 ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.6．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ． （1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y1 3 =x2﹣3；（3）M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【解析】【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y＝x+m中解答即可；（2）把y＝0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：390ba b=-⎧⎨+=⎩，解得：133ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y13=x2﹣3；（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC ＝45°+15°＝60°， ∴OD ＝OC•tan30°=设DC 为y ＝kx ﹣3，0），可得：k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：1212036x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（6）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ， 则∠OEC ＝45°-15°＝30°， ∴OE ＝OC •tan60°＝设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（0）可得：k 3=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：1212032x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 所以M 2，﹣2）．综上所述M 的坐标为（，6，﹣2）． 【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．7．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【解析】【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．【详解】（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩， 解得14a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4； （2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．又∵PE=3PF ，∴PC PB PF PE =． ∴∠FPC=∠EPB ．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP ⊥PE ．（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．∵CF=3BE=18﹣3a ，∴OF=20﹣3a ．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q （﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18，∴OF=3a ﹣20．∴F （0，20﹣3a ）．∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．8．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标；（3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩ 解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t=﹣（t ﹣1）2+1，当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．9．如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似．①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【答案】（1）()2,9；（2）①95DP =②92155n <<. 【解析】【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可；（2）由对称轴可知点C （2，95），A （-52，0），点A 关于对称轴对称的点（132，0），借助AD 的直线解析式求得B （5，3）；①当n=275时，N （2，275），可求DA=2，DN=185，CD=365，当PQ ∥AB 时，△DPQ ∽△DAB ，；当PQ 与AB 不平行时，②当PQ ∥AB ，DB=DP 时，DN=245，所以N （2，215），则有且只有一个△DPQ 与△DAB 相似时，95＜n ＜215. 【详解】（1）顶点为()2,9D ；故答案为()2,9；（2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴， 由已知可求5(,0)2A -， 点A 关于2x =对称点为13(,0)2， 则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ，2DA ∴=，182DN =，365CD = 当PQ AB ∥时，PDQ DAB ∆∆:，DAC DPN ∆∆Q :，DP DN DA DC∴=，DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆:，DNQ DCA ∴∆∆:，DP DN DB DC∴=，DP ∴=综上所述DP =②当PQ AB ∥，DB DP =时，DB =DP DN DA DC∴=，245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，三角形的相似；熟练掌握二次函数的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．10．已知：二次函数2432y x x a =-++(a 为常数)．(1)请写出该二次函数图象的三条性质；(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)523a ≤<． 【解析】【分析】(1)可从开口方向、对称轴、最值等角度来研究即可；(2) 先由二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，即关于x 的一元二次方程26330x x a -++=有两个不相等的实数根，由此可得2a <，再根据二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，也就是说二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，将x=4代入求得a 的取值范围，由此即可求得答案.【详解】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线2x =；③当2x >时，y 随x 的增大而增大；④当2x <时，y 随x 的增大而减小；⑤当2x =时，函数有最小值；(2)∵二次函数的图象与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴243221x x a x -++=-，即26330x x a -++=，364(33)12240a a ∆=-+=-+>，解得2a <，∵二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点，∴二次函数2633w x x a =-++的图象与x 轴4x ≤的部分有两个交点，画出二次函数2633w x x a =-++的图象，结合图象，可知当4x =时，26330x x a -++≥，∴当4x =时，2633350x x a a -++=-≥，得53a ≥， ∴当二次函数的图象在4x ≤的部分与一次函数21y x =-的图象有两个交点时， a 的取值范围为523a ≤<． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，二次函数的图象与x 轴交点问题，正确进行分析并运用数形结合思想、灵活运用相关知识是解题的关键.11．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG的最小值为P 的坐标（﹣919，19）． 【解析】试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=AM AC =NQ QC求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标（23-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：21{30k b k b -+=+=，解得：35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =⎧⎨=⎩或125{5125x y =-=，∴点M 坐标（125-，5125）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6，RT △QCN 中，QN=CN=7，∠QNC=90°，∴，∵sin ∠ACM=AM AC =NQ QC ，∴AM=65719，∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，∴AP=1219，PM=RM=619，∴MC=22AC AM -=1419，∴PC=CM ﹣PM=819，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，PK=123，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐标（﹣919，12319），∴PA+PC+PG 的最小值为219，此时点P 的坐标（﹣919，12319）．考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．12．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax 2+bx+4过点B ，C 两点，且与x 轴的一个交点为D （﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP =t （0＜t ＜10）．（1）请直接写出B 、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE ⊥BC ，交抛物线于点E ，连接BE ，当t 为何值时，∠PBE =∠OCD ？ （3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM ∥BQ ，交CQ 于点M ，作PN ∥CQ ，交BQ 于点N ，当四边形PMQN 为正方形时，请求出t 的值．【答案】（1）B （10，4），C （0，4），215463y x x =-++；（2）3；（3）103或 203. 【解析】试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C 点坐标，由矩形的性质可求得B 点坐标，由B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P （t ，4），则可表示出E 点坐标，从而可表示出PB 、PE 的长，由条件可证得△PBE ∽△OCD ，利用相似三角形的性质可得到关于t 的方程，可求得t 的值；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则可证得△COQ ∽△QAB ，利用相似三角形的性质可求得CQ 的长，在Rt △BCQ 中可求得BQ 、CQ ，则可用t 分别表示出PM 和PN ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值． 试题解析：解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得10010444240a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得1653a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4； （2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4）， ∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ， ∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ，∴PE PBOD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去）， ∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ，∴PE PBOC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去） 综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ， ∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8， ①当m ＝2时，CQ ＝22OC OQ +＝25，BQ ＝22AQ AB +＝45，∴sin ∠BCQ ＝BQ BC ＝25，sin ∠CBQ ＝CQ BC＝5，∴PM ＝PC •sin ∠PCQ ＝25t ，PN ＝PB •sin ∠CBQ ＝5（10﹣t ）， ∴25t ＝5（10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203． 点睛：本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识．在（1）中注意利用矩形的性质求得B 点坐标是解题的关键，在（2）中证得△PBE ∽△OCD 是解题的关键，在（3）中利用Rt △COQ ∽Rt △QAB 求得CQ 的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．13．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3 的图象与x 轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D 为抛物线的顶点，试判断△BCD 的形状，并说明理由；（3）将直线BC 向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M ，N 两点（点M 在y 轴的右侧），当△AMN 为直角三角形时，求t 的值．【答案】（1）243y x x =-+；（2）△BCD 为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t 的值为1或4．【解析】 【分析】（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数解析式；（2）利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征，可求出点C 、D 的坐标，利用两点间的距离公式可求出CD 、BD 、BC 的长，由勾股定理的逆定理可证出△BCD 为直角三角形； （3）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，进而可找出平移后直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组可找出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式可求出AM 2、AN 2、MN 2的值，分别令三个角为直角，利用勾股定理可得出关于t 的无理方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）将()1,0A 、()3,0B 代入23y ax bx =++，得：309330a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∴此二次函数解析式为243y x x =-+．（2）BCD ∆为直角三角形，理由如下：()224321y x x x Q =-+=--， ∴顶点D 的坐标为()2,1-．当0x =时，2433y x x =-+=，∴点C 的坐标为()0,3． Q 点B 的坐标为()3,0，BC ∴==，BD ==，CD ==22220BC BD CD +==Q ，90CBD ∴∠=︒，BCD ∴∆为直角三角形．（3）设直线BC 的解析式为()0y kx c k =+≠， 将()3,0B ，()0,3C 代入y kx c =+，得：303k c c +=⎧⎨=⎩，解得：13k c =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，∴将直线BC 向上平移t 个单位得到的直线的解析式为3y x t =-++．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：2343y x ty x x =-++⎧⎨=-+⎩，解得：1132x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点M的坐标为，点N的坐标为，32)2t ++．Q 点A 的坐标为()1,0，(22223321057122t AM t t t ⎛⎫⎛⎫+-∴=-+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(22223321057122t AN t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+-=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222188MN t =+=+⎝⎭⎝⎭． AMN ∆Q 为直角三角形， ∴分三种情况考虑：①当90MAN ∠=︒时，有222AM AN MN +=，即((22571571188t t t t t t t ++-+++++=+，整理，得：220t t +-=，解得：11t =，22t =-（不合题意，舍去）； ②当90AMN ∠=︒时，有222AM MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t ++-++=++++，整理，得：2280t t --=，解得：14t =，22t =-（不合题意，舍去）； ③当90ANM ∠=︒时，有222AN MN AN +=，即((22571188571t t t t t t t +++++=++-+，10t ++=．0t >Q ，∴该方程无解（或解均为增解）．∆为直角三角形时，t的值为1或4．综上所述：当AMN【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．14．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；当m=-时，最大值L=9；（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，,∴，所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,所以，顶点坐标为C（-1,4）．（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．由题意可知，AO=BO,∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，∴DE=EF．L=4DE=-4m2-12m．L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．∵a=-4<0,∴二次函数有最大值当m=-时，最大值L=9．（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．15．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（13），点B（3，﹣3），O为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C的坐标．【答案】（1）2235333y x x =-+；（2）t＞4；（3）∠BOC =60°，C （32，3） 【解析】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax 2+bx ，求出a 、b 的值即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；（3）观察图形，点A ，点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ；同时用点A （1，3），点B （3，﹣3）求出相关角度．详解：（1）把点A （1，3），点B （3，﹣3）分别代入y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩，解得2353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + （2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=54， 当x ＞54时，y 随x 的增大而减小， ∴当t ＞4时，n ＜m ．（3）如图，设抛物线交x 轴于点F ，分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ，BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ，BC≥BE ， ∴AD+BE≤AC+BE=AB ，∴当OC ⊥AB 时，点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大． ∵A（1B （3 ∴∠AOF=60°，∠BOF=30°， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°．当OC ⊥AB 时，∠BOC=60°，点C 坐标为（32 点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．。

2020年中考数学冲刺难点突破 二次函数问题专题三 二次函数中的相似三角形综合问题1、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点分别为A （﹣6，0）和点B （4，0），与y 轴的交点为C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．①是否同时存在点D 和点P ，使得△APQ 和△CDO 全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由； ②若∠DCB=∠CDB ，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．【答案】（1）y=﹣18x 2﹣14x+3；（2）①点D 坐标为（﹣32，0）；②点M （32，0）.【分析】（1）应用待定系数法问题可解；（2）①通过分类讨论研究△APQ 和△CDO 全等②由已知求点D 坐标，证明DN ∥BC ，从而得到DN 为中线，问题可解【解析】（1）将点（-6，0），C （0，3），B （4，0）代入y=ax 2+bx+c ，得{36a −6b +c ＝016a +4b +c ＝0c ＝0，解得：{ a ＝−18b ＝−14c ＝3 ，∴抛物线解析式为：y=-18x 2-14x+3； （2）①存在点D ，使得△APQ 和△CDO 全等，当D 在线段OA 上，∠QAP=∠DCO ，AP=OC=3时，△APQ 和△CDO 全等，∴tan ∠QAP=tan ∠DCO ，OC OA＝OD OC ， ∴36＝OD 3，∴OD=32， ∴点D 坐标为（-32，0）.由对称性，当点D 坐标为（32，0）时，由点B 坐标为（4，0），此时点D （32，0）在线段OB 上满足条件．②∵OC=3，OB=4，∴BC=5，∵∠DCB=∠CDB ，∴BD=BC=5，∴OD=BD-OB=1，则点D 坐标为（-1，0）且AD=BD=5，连DN ，CM ，则DN=DM ，∠NDC=∠MDC ，∴∠NDC=∠DCB ，∴DN ∥BC ，∴AN NC ＝AD DB ＝1，则点N 为AC 中点．∴DN 时△ABC 的中位线，∵DN=DM=12BC=52，∴OM=DM-OD=32∴点M （32，0）【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数待定系数法、三角形全等的判定、锐角三角形函数的相关知识．解答时，注意数形结合2、如图，已知二次函数22y x x m =-+的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点.（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan 3ABQ ∠=，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得QBP ∆∽COA ∆？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）()4,21Q -或()2,3Q -；（3）不存在，理由见解析.【思路引导】（1）设对称轴与x 轴交于点E ，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE 的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA 的长，进而可得点A 的坐标，再把点A 的坐标代入抛物线解析式即可求出m 的值； （2）设点Q 的横坐标为n ，当点Q 在x 轴上方时，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，利用tan 3ABQ ∠=可得关于n 的方程，解方程即可求出n 的值，进而可得点Q 坐标；当点Q 在x 轴下方时，注意到tan 3BAC ∠=，所以点Q 与点C 关于直线1x =对称，由此可得点Q 坐标；（3）当点Q 为x 轴上方的点时，若存在点P ，可先求出直线BQ 的解析式，由BP ⊥BQ 可求得直线BP 的解析式，然后联立直线BP 和抛物线的解析式即可求出点P 的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P 是否满足条件；当点Q 取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.【解析】解：（1）设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，如图1，∴y 轴//ED ，∴::1AC CD AO OE ==，∵抛物线的对称轴是直线212x -=-=，∴OE =1，∴1AO OE ==，∴()1,0A - ∴将点()1,0A -代入函数表达式得：120m ++=，∴3m =-；（2）设()2,23Q n n n --， ①点Q 在x 轴上方时，0n <，如图2，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，∵tan 3ABQ ∠=，∴22333n n n--=-，解得：4n =-或3n =（舍），∴()4,21Q -；②点Q 在x 轴下方时，∵OA =1，OC =3，∴tan 3BAC ∠=，∵tan 3ABQ ∠=，∴点Q 与点C 关于直线1x =对称，∴()2,3Q -；（3）①当点Q 为()4,21-时，若存在点P ，使QBP ∆∽COA ∆，则∠PBQ =∠COA =90°，由B （3，0）、Q ()4,21-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-+，所以直线PB 的解析式为：113y x =-， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2223119x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴211,39P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在；②当点Q 为()2,3-时，如图4，由B （3，0）、Q ()2,3-可得，直线BQ 的解析式为：39y x =-，所以直线PB 的解析式为：113y x =-+， 联立方程组：211323y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=--⎩，解得：1130x y =⎧⎨=⎩，2243139x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴413,39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵:1:3OA OC =，:1:3BP BQ =≠， ∴::BP BQ OA OC ≠，∴P 不存在.综上所述，不存在满足条件的点P ，使QBP ∆∽COA ∆.【方法总结】本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.3、在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为.（1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D.若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.()2y ax c a x c =+-+L 'L '【答案】(1) y =－x 2－5x －6；(2)符合条件的点P 的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案一、二次函数1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．已知如图，抛物线y =x 2+bx +c 过点A （3，0），B （1，0），交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动（点P 不与点A 重合），过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；（3）△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．3．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B （3，0），∴BC=32，点P 在y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB 时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC ﹣OC=32﹣3∴P 1（0，3+32），P 2（0，3﹣32）；②当PB=PC 时，OP=OB=3，∴P 3（0，-3）；③当BP=BC 时，∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合，∴P 4（0，0）；综上所述，点P 的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，则DN=2t ，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y xy x x⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114xy⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241xy⎧⎨⎩＝＝，∴点A的坐标为（1，14），点B的坐标为（4，1）．作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．∵点B（4，1），直线l为y=-1，∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：1443k bk b⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值， ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴0021x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．对于二次函数 y=ax2+（b+1）x+（b﹣1），若存在实数 x0，使得当 x=x0，函数 y=x0，则称x0为该函数的“不变值”.（1）当 a=1，b=﹣2 时，求该函数的“不变值”；（2）对任意实数 b，函数 y 恒有两个相异的“不变值”，求 a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若该图象上 A、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”，且 A、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称，求 b 的最小值.【答案】（1）－1，3；（2）0<a<1；（3）－9 8【解析】【分析】（1）先确定二次函数解析式为y=x2-x-3，根据x o是函数y的一个不动点的定义，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，然后解此一元二次方程即可；（2）根据x o是函数y的一个不动点的定义得到ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，整理得ax02+bx o+（b-1）=0，则根据判别式的意义得到△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，把b2-4ab+4a看作b的二次函数，由于对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，则（4a）2-4.4a<0，然后解此不等式即可.（3）（利用两点关于直线对称的两个结论，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.找到a，b之间的关系式，整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解：（1）当a=1，b=-2时，二次函数解析式为y=x2-x-3，把（x o，x o）代入得x02-x0-3=x o，解得x o=-1或x o=3，所以函数y的不动点为-1和3；（2）因为y=x o，所以ax o2+（b+1）x o+（b-1）=x o，即ax02+bx o+（b-1）=0，因为函数y恒有两个相异的不动点，所以此方程有两个不相等的实数解，所以△=b2-4a（b-1）>0，即b2-4ab+4a>0，而对任意实数b，b2-4ab+4a>0成立，所以（4a）2-4.4a<0，解得0<a<1.（3）设A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），则x 1+x 2b a =- A ，B 的中点的坐标为（1212,22x x x x ++ ），即M （,22b b a a-- ） A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称，又∵A ，B 在直线y=x 上，∴k=-1，A ，B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上.∴b a -=b a-2a+3 得：b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时，b 有最小值－98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查，是一道好题.关于两点关于直线对称的问题，有两个结论同时存在，一是中点在已知直线上，二是两点连线和已知直线垂直.7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(1,2-或317(1,)2-. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t +=，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．8．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，-33）、F （0，233）或E （-1，43-3），F （-4，1033） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =--+，a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+-； 联立两解析式求交点22343232323y=x+y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=，即E 的纵坐标为∴ E （-1，）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；②当AC 为平行四边形的对角线时，∵ C （-3,0），且A （-2，∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，），设E （-1，t ），F （x ，y ），则x-1=2×（-2.5），y+t=∴x= -4，y=，×（-4），解得t=， ∴E （-1，-3），F （-4，3）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，）或E （-1，），F （-4）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题9．如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y 13=x 2﹣3；（3）M 的坐标为（3632）． 【解析】【分析】 （1）把C （0，﹣3）代入直线y ＝x +m 中解答即可；（2）把y ＝0代入直线解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可； （3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可．【详解】（1）将C （0，﹣3）代入y ＝x +m ，可得：m ＝﹣3；（2）将y ＝0代入y ＝x ﹣3得：x ＝3，所以点B 的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y ＝ax 2+b 中，可得：390b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以二次函数的解析式为：y 13=x 2﹣3； （3）存在，分以下两种情况：①若M 在B 上方，设MC 交x 轴于点D ，则∠ODC ＝45°+15°＝60°，∴OD ＝OC •tan30°3=设DC 为y ＝kx ﹣33，0），可得：k 3= 联立两个方程可得：233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 解得：121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以M 1（36）；②若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则∠OEC ＝45°-15°＝30°，∴OE ＝OC •tan60°＝3设EC 为y ＝kx ﹣3，代入（30）可得：k 3= 联立两个方程可得：2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩，， 所以M 2（3，﹣2）．综上所述M 的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．【点睛】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．10．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+（2k ﹣1）x+k+1的图象与x 轴相交于O 、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；（3）对于（2）中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2﹣3x 。

二次函数压轴综合问题【考点1】二次函数有关计算与推理综合问题【例1】（2020•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x=12时，y=−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜1 16．【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x=x1+x22，当x=x1+x22时，y=−(x1−x2)24是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[−(x1−12)2+14][−(x2−12)2+14]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0＜−(x1−12)2+14≤14，0＜−(x2−12)2+14≤14，即可求解．【解析】（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x 1＝0，x 2＝1， ∴y ═x （x ﹣1）＝x 2﹣x ， 当x =12时，y =−14， ∴乙说的不对； （2）对称轴为x =x 1+x 22， 当x =x 1+x 22时，y =−(x 1−x 2)24是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点， ∴m ＝x 1x 2，n ＝1﹣x 1﹣x 2+x 1x 2，∴mn ＝[−(x 1−12)2+14][−(x 2−12)2+14] ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴0＜−(x 1−12)2+14≤14，0＜−(x 2−12)2+14≤14， ∵x 1≠x 2，∴m 与n 不能同时取到14，∴0＜mn ＜116． 点评：本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn 准确的用x 1和x 2表示出来是解题的关键．【例2】（2020•湖州）已知抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 与x 轴有两个不同的交点． （1）求c 的取值范围；（2）若抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 经过点A （2，m ）和点B （3，n ），试比较m 与n 的大小，并说明理由． 【分析】（1）由二次函数与x 轴交点情况，可知△＞0；（2）求出抛物线对称轴为直线x ＝1，由于A （2，m ）和点B （3，n ）都在对称轴的右侧，即可求解； 【解析】（1）∵抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 与x 轴有两个不同的交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣8c ＞0， ∴c ＜2；（2）抛物线y ＝2x 2﹣4x +c 的对称轴为直线x ＝1， ∴A （2，m ）和点B （3，n ）都在对称轴的右侧， 当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，∴m＜n；点评：本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．【例3】（2020•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；（2）m=−b2，n=4c−b24，得n＝2b﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜−b2≤1时，函数有最大值25﹣3b；当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，b＝2；【解析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m=−b2，n=4c−b24，∴n=8b−b2 4，∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；（3）y＝x2+bx+2b＝（x+b2）2−b24+2b，对称轴x=−b 2，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0＜b≤8，∴﹣4≤x=−b2≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值−b24+2b，当﹣5≤−b2＜−2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜−b2≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+b24−2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4＜b≤10，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+b24−2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．【考点2】二次函数与几何图形交点综合问题【例4】（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．【解析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E （2，1），F （2，2），观察图象可知，当点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）， 当抛物线经过点E 时，﹣（2﹣m ）2+m +2＝1， 解得m =5−√132或5+√132（舍弃）， 当抛物线经过点F 时，﹣（2﹣m ）2+m +2＝2， 解得m ＝1或4（舍弃）， ∴当5−√132≤m ＜1时，顶点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．点评：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．【考点3】二次函数与距离综合问题【例5】（2020•宁波）如图，已知二次函数y ＝x 2+ax +3的图象经过点P （﹣2，3）． （1）求a 的值和图象的顶点坐标． （2）点Q （m ，n ）在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；【解析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．【考点4】二次函数与几何变换综合问题【例6】（2020•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．【解析】（1）令y＝0，则−12x2+2x+6=0，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A （﹣2，0），B （6，0），由函数图象得，当y ≥0时，﹣2≤x ≤6；（2）由题意得，B 1（6，m ），B 2（6﹣n ，m ），B 3（﹣n ，m ）， 函数图象的对称轴为直线x =−2+62=2， ∵点B 2，B 3在二次函数图象上且纵坐标相同， ∴6−n+(−n)2=2，∴n ＝1，∴m =−12×(−1)2+2×(−1)+6=72， ∴m ，n 的值分别为72，1．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题． 【考点5】二次函数与实际应用综合问题【例7】（2020•嘉兴）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图1，当10≤t ≤25时可近似用函数p =150t −15刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p =−1160（t ﹣h ）2+0.4刻画． （1）求h 的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 满足函数关系：生长率p0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）51015①请运用已学的知识，求m 关于p 的函数表达式； ②请用含t 的代数式表示m ．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w （元）与大棚温度t （℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．【分析】（1）把（25，0.3）代入p =−1160（t ﹣h ）2+0.4，解方程即可得到结论； （2）①由表格可知，m 是p 的一次函数，于是得到m ＝100p ﹣20； ②当10≤t ≤25时，p =150t −15，求得m ＝100（150t −15）﹣20＝2t ﹣40；当25≤t ≤37时，根据题意即可得到m ＝100[−1160（t ﹣h ）2+0.4]﹣20=−58（t ﹣29）2+20； （3）（Ⅰ）当20≤t ≤25时，（Ⅱ）当25≤t ≤37时，w ＝300，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解析】（1）把（25，0.3）代入p =−1160（t ﹣h ）2+0.4得，0.3=−1160（25﹣h ）2+0.4， 解得：h ＝29或h ＝21， ∵h ＞25， ∴h ＝29；（2）①由表格可知，m 是p 的一次函数， ∴m ＝100p ﹣20； ②当10≤t ≤25时，p =150t −15， ∴m ＝100（150t −15）﹣20＝2t ﹣40；当25≤t ≤37时，p =−1160（t ﹣h ）2+0.4， ∴m ＝100[−1160（t ﹣h ）2+0.4]﹣20=−58（t ﹣29）2+20； （3）（Ⅰ）当20≤t ≤25时，由（20，200），（25，300），得w ＝20t ﹣200，∴增加利润为600m +[200×30﹣w （30﹣m ）]＝40t 2﹣600t ﹣4000， ∴当t ＝25时，增加的利润的最大值为6000元； （Ⅱ）当25≤t ≤37时，w ＝300，增加的利润为600m +6000﹣w （30﹣m ）=−11252（t ﹣29）2+15000； ∴当t ＝29时，增加的利润最大值为15000元，此时，m＝20，综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．【例8】（2020•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：x（元）…190 200 210 220 …y（间）…65 60 55 50 …（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？【分析】（1）描点、连线即可得；（2）待定系数法求解可得；（3）由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．【解析】（1）如图所示：（2）设y ＝kx +b ，将（200，60）、（220，50）代入，得：{200k +b =60220k +b =50，解得{k =−12b =160，∴y =−12x +160（170≤x ≤240）；（3）w ＝xy ＝x （−12x +160）=−12x 2+160x ， ∴对称轴为直线x =−b2a=160， ∵a =−12＜0，∴在170≤x ≤240范围内，w 随x 的增大而减小， ∴当x ＝170时，w 有最大值，最大值为12750元．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．【例9】（2020•舟山）某农作物的生长率p 与温度t （℃）有如下关系：如图，当10≤t ≤25时可近似用函数p =150t −15刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p =−1160（t ﹣h ）2+0.4刻画． （1）求h 的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m （天）与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：生长率p0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m （天）51015求：①m 关于p 的函数表达式； ②用含t 的代数式表示m ．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t ≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t ≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）【分析】（1）把（25，0.3）代入p =−1160（t ﹣h ）2+0.4中，便可求得h ； （2）①由表格可知，m 是p 的一次函数，由待定系数法可解； ②分别求出当10≤t ≤25时和当25≤t ≤37时的函数解析式即可；③分别求出当20≤t ≤25时，增加的利润和当25＜t ≤37时，增加的利润，然后比较两种情况下的最大值，即可得结论．【解析】（1）把（25，0.3）代入p =−1160（t ﹣h ）2+0.4得： 0.3=−1160（25﹣h ）2+0.4 解得：h ＝29或h ＝21， ∵25≤t ≤37 ∴h ＝29．（2）①由表格可知，m 是p 的一次函数， 设m ＝kp +b把（0.2，0），（0.3，10）代入得{0=0.2×k +b10=0.3×k +b解得{k =100b =−20∴m ＝100p ﹣20．②当10≤t ≤25时，p =150t −15∴m ＝100（150t −15）﹣20＝2t ﹣40；当25≤t ≤37时，p =−1160（t ﹣h ）2+0.4∴m ＝100[−1160（t ﹣h ）2+0.4]﹣20=−58（t ﹣29）2+20 ∴m ={2t −40，10≤t ≤25−58(t −29)2+20，25≤t ≤37③当20≤t ≤25时，增加的利润为：600m +[100×30﹣200（30﹣m ）]＝800m ﹣3000＝1600t ﹣35000 当t ＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元； 当25＜t ≤37时，增加的利润为：600m +[100×30﹣400（30﹣m ）]＝1000m ﹣9000＝﹣625（t ﹣29）2+11000 ∴当t ＝29时，增加的利润的最大值为11000元．综上，当t ＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及一次函数和二次函数的实际应用，难度较大．【考点6】二次函数与几何综合问题【例10】（2020•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连结AC ，OA ＝3，tan ∠OAC =√33，D 是BC 的中点． （1）求OC 的长和点D 的坐标；（2）如图2，M 是线段OC 上的点，OM =23OC ，点P 是线段OM 上的一个动点，经过P ，D ，B 三点的抛物线交x 轴的正半轴于点E ，连结DE 交AB 于点F ．①将△DBF 沿DE 所在的直线翻折，若点B 恰好落在AC 上，求此时BF 的长和点E 的坐标；②以线段DF 为边，在DF 所在直线的右上方作等边△DFG ，当动点P 从点O 运动到点M 时，点G 也随之运动，请直接写出点G 运动路径的长．【分析】（1）由OA ＝3，tan ∠OAC =OC OA =√33，得OC =√3，由四边形OABC 是矩形，得BC ＝OA ＝3，所以CD =12BC =32，求得D （32，√3）；（2）①由易知得ACB ＝∠OAC ＝30°，设将△DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点B 恰好落在AC 上的B '处，则DB '＝DB ＝DC ，∠BDF ＝∠B 'DF ，所以∠BDB '＝60°，∠BDF ＝∠B 'DF ＝30°，所以BF ＝BD •tan30°=√32，AF ＝BF =√32，因为∠BFD ＝∠AEF ，所以∠B ＝∠FAE ＝90°，因此△BFD ≌△AFE ，AE ＝BD =32，点E 的坐标（92，0）；②动点P 在点O 时，求得此时抛物线解析式为y =−29x 2+√3x ，因此E （92，0），直线DE ：y =−√33x +3√32，F 1（3，12√3）；当动点P 从点O 运动到点M 时，求得此时抛物线解析式为y =−227√3x 2+√33x +2√33，所以E （6，0），直线DE ：y =−2√39x +4√33，所以F 2（3，2√33）；所以点F 运动路径的长为F 1F 2=2√33−√32=√36，即G 运动路径的长为√36． 【解析】（1）∵OA ＝3，tan ∠OAC =OC OA =√33， ∴OC =√3，∵四边形OABC 是矩形， ∴BC ＝OA ＝3， ∵D 是BC 的中点， ∴CD =12BC =32， ∴D （32，√3）；（2）①∵tan ∠OAC =√33，∴∠OAC ＝30°，∴∠ACB ＝∠OAC ＝30°，设将△DBF 沿DE 所在的直线翻折后，点B 恰好落在AC 上的B '处， 则DB '＝DB ＝DC ，∠BDF ＝∠B 'DF ， ∴∠DB 'C ＝∠ACB ＝30° ∴∠BDB '＝60°， ∴∠BDF ＝∠B 'DF ＝30°，∵∠B ＝90°， ∴BF ＝BD •tan30°=√32，∵AB =√3， ∴AF ＝BF =√32， ∵∠BFD ＝∠AEF ， ∴∠B ＝∠FAE ＝90°， ∴△BFD ≌△AFE （ASA ）， ∴AE ＝BD =32， ∴OE ＝OA +AE =92， ∴点E 的坐标（92，0）；②动点P 在点O 时，∵抛物线过点P （0，0）、D （32，√3）、B （3，√3）求得此时抛物线解析式为y =−29√3x 2+√3x ， ∴E （92，0），∴直线DE ：y =−√33x +3√32，∴F 1（3，12√3）； 当动点P 从点O 运动到点M 时， ∵抛物线过点P （0，2√33）、D （32，√3）、B （3，√3） 求得此时抛物线解析式为y =−227√3x 2+√33x +2√33， ∴E （6，0）， ∴直线DE ：y =−2√39x +4√33， ∴F 2（3，2√33）； ∴点F 运动路径的长为F 1F 2=2√33−√32=√36，如图，当动点P 从点O 运动到点M 时，点F 运动到点F '，点G 也随之运动到G '．连接GG '．当点P 向点M 运动时，抛物线开口变大，F 点向上线性移动，所以G 也是线性移动． 即GG '＝FF '．∵△DFG 、△DF 'G '为等边三角形，∴∠GDF ＝∠G 'DF '＝60°，DG ＝DF ，DG '＝DF '， ∴∠GDF ﹣∠GDF '＝∠G 'DF '﹣∠GDF '， 即∠G 'DG ＝∠F 'DF 在△DFF '与△FGG '中， {DF ′=DG ′∠F ′DF =∠G ′DG DF =DG， ∴△DFF '≌△FGG '（SAS ）， ∴GG '＝FF '=√36 即G 运动路径的长为√36． 点评：本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．1．（2020•下城区模拟）已知点A （1，1）为函数y ＝ax 2+bx +4（a ，b 为常数，且a ≠0）上一点． （1）用a 的代数式表示b ； （2）若1≤a ≤2，求−b2a 的范围；（3）在（2）的条件下，设当1≤x ≤2时，函数y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ，最小值为n ，求m ﹣n （用a 的代数式表示）．【分析】（1）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4，整理后即可得到结论；（2）由（1）可知b ＝﹣a ﹣3，则−b 2a =12+32a ，根据1≤a ≤2即可求得−b2a的范围； （3）根据题意当x ＝1时，得到m ＝1，当x =a+32a 时，得到n =−a4−94a +52，①当54≤−b2a ≤32时，x＝2函数值最大，m ＝4a ﹣2a ﹣6+4＝2a ﹣2，即可得到m ﹣n =9a 4+94a −92；②当32＜−b 2a≤2时，x ＝1函数值最大，m ＝a ﹣a ﹣3+4＝1，即可得到m ﹣n ═a 4+94a−32．【解答】解：（1）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4得，1＝a +b +4， ∴b ＝﹣a ﹣3； （2）∵b ＝﹣3﹣a ，∴y ＝ax 2﹣（a +3）x +4＝a （x −a+32a ）2−a 4−94a +52， ∴对称轴为直线x =a+32a ， ∵1≤a ≤2， ∴54≤12+32a≤2，∴54≤−b2a≤2；（3）∵54≤−b 2a≤2，1≤x ≤2，∴当x =a+32a 时，n =−a4−94a +52， ∵抛物线开口向上，∴离对称轴越远，函数值越大， ①当54≤−b 2a≤32时，x ＝2函数值最大，∴m ＝4a ﹣2a ﹣6+4＝2a ﹣2，∴m ﹣n ＝2a +a4+94a −92=9a4+94a −92， ②当32＜−b 2a ≤2时，x ＝1函数值最大，∴m ＝a ﹣a ﹣3+4＝1， ∴m ﹣n ═a4+94a−32．2．（2020•拱墅区校级一模）已知一次函数y 1＝2x +b 的图象与二次函数y 2＝a （x 2+bx +1）（a ≠0，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为（0，1）．（1）求出a 、b 的值，并写出y 1，y 2的表达式；（2）验证点B 的坐标为（1，3），并写出当y 1≥y 2时，x 的取值范围；（3）设u ＝y 1+y 2，v ＝y 1﹣y 2，若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值； （2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值． 【解答】解：（1）把A （0，1）代入y 1＝2x +b 得b ＝1， 把A （0，1）代入y 2＝a （x 2+bx +1）得，a ＝1， ∴y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1；（2）解方程组{y =2x +1y =x 2+x +1得{x =0y =1或{x =1y =3，∴B （1，3），作y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1的图象如下：由函数图象可知，y 1＝2x +1不在y 2＝x 2+x +1下方时，0≤x ≤1， ∴当y 1≥y 2时，x 的取值范围为0≤x ≤1；（3）∵u ＝y 1+y 2＝2x +1+x 2+x +1＝x 2+3x +2＝（x +1.5）2﹣0.25， ∴当x ≥﹣1.5时，u 随x 的增大而增大；v ＝y 1﹣y 2＝（2x +1）﹣（x 2+x +1）＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣0.5）2+0.25，∴当x ≤0.5时，v 随x 的增大而增大，∴当﹣1.5≤x ≤0.5时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大， ∴m 的最小值为﹣1.5，n 的最大值为0.5．3．（2020•温州模拟）已知，如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ．此抛物线与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式．（2）若点M 为抛物线上一动点，是否存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，可以先求的点A 和点B 的坐标，然后即可求得该抛物线的解析式；（2）先判断是否存在点M ，然后根据题意和图形即可得到点M 的坐标，本题得以解决． 【解答】解：（1）∵直线y ＝﹣x +3， ∴当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，x ＝3， ∵直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ， ∴点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过直线y ＝﹣x +3与坐标轴的两个交点A ，B ，∴{−32+3b +c =0c =3，得{b =2c =3，即抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）存在点M ．使△ACM 与△ABC 的面积相等．∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣3）（x +1）＝﹣（x ﹣1）2+4与x 轴的另一个交点为C ．抛物线的顶点为D ，∴点C 的坐标为（﹣1，0），点D 的坐标为（1，4）， ∵△ACM 与△ABC 的面积相等，点B 的坐标为（0，3）， ∴点M 的纵坐标是3或﹣3，当点M 的纵坐标为3时，3＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝0，x 2＝2， 则点M 的坐标为（2，3）；当点M 的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x 2+2x +3，得x 3=√7+1，x 4=−√7+1， 则点M 的坐标为（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）；由上可得，点M 的坐标为（2，3）、（√7+1，﹣3）或（−√7+1，﹣3）． 4．（2020•上城区模拟）已知函数y ＝﹣x 2+bx +c （其中b ，c 是常数）（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x ＝0时，y ＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x ＝2；丁发现4是方程﹣x 2+bx +c ＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；（2）在（1）的条件下，函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象顶点为A ，与x 轴正半轴交点为B ，与y 轴的交点为C ，若将该图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求m 的取值范围；（3）若c ＝b 2，当﹣2≤x ≤0时，函数y ＝﹣x 2+bx +c 的最大值为5，求b 的值．【分析】（1）假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论；（2）y ＝﹣x 2+4x +5，则点A （2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m ），按照平移后的图象顶点在点A 、H 之间求解即可；（3）分12b ≥0、﹣2＜12b ＜0、b ≤﹣4三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）甲发现当x ＝0时，y ＝5，则c ＝5；乙发现函数的最大值为9，即c +b 24=9；丙发现函数图象的对称轴是直线x ＝2，则−b−2=4，即b ＝4；丁发现4是方程﹣x 2+bx +c ＝0的一个根，则c +4b ＝16，假设甲和丙正确，即c ＝5，b ＝4，则即c +b24=9，故乙正确，而丁错误，故错误的是丁，函数的表达式为：y ＝﹣x 2+4x +5；（2）y ＝﹣x 2+4x +5，则点A （2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m ），y ＝﹣x 2+4x +5，令y ＝0，则x ＝5或﹣1，故点B （5，0），而点C （0，5），过点A 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设直线BC 解析式为：y ＝kx +5，把点B 的坐标代入，得5k +5＝0． 解得k ＝﹣1．故直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +5， 当x ＝2时，y ＝3，故点H （2，3），函数图象的顶点落在△ABC 的内部，则3＜9﹣m ＜9， 解得：0＜m ＜6；（3）c ＝b 2，则抛物线的表达式为：y ＝x 2+bx +b 2，函数的对称轴为：x =12b ， ①当12b ≥0时，即b ≥0，则x ＝0时，y 取得最大值，即b 2＝5，解得：b =±√5（舍去负值）； ②当﹣2＜12b ＜0时，即﹣4＜b ＜0，当x =12b 时，y 取得最大值，即﹣（12b ）2+12b 2+b 2＝5，解得：b ＝±2（舍去2）；③当b ≤﹣4时，同理可得：b ＝1−√10（舍去）； 综上，b =√5或﹣2．5．（2020•衢州模拟）金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y （千克）与销售价格x （元/千克）的函数关系如下图所示： （1）求y 与x 之间的函数解析式；（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W 的最大值；（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．【分析】（1）①当12≤x ≤20时，设y ＝kx +b ．代（12，2000），（20，400），求得k 和b ；②当20＜x ≤24时，y ＝400．（2）分别写出①当12≤x ≤20时，②当20＜x ≤24时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比较，取较大者即可；（3）分两种情况：①当12≤x ≤20时，②当20＜x ≤24时，分别令其W 值等于或者大于等于3600，即可得解．【解答】解：（1）①当12≤x ≤20时，设y ＝kx +b ．代（12，2000），（20，400）， 得{2000=12k +b 400=20k +b 解得{k =−200b =4400∴y ＝﹣200x +4400②当20＜x ≤24时，y ＝400．综上，y ={−200x +4400(12≤x ≤20)400(20＜x ≤24)（2）①当12≤x ≤20时，W ＝（x ﹣12）y＝（x ﹣12）（﹣200x +4400） ＝﹣200（x ﹣17）2+5000当x ＝17时，W 的最大值为5000； ②当20＜x ≤24时，W ＝（x ﹣12）y＝400x ﹣4800．当x ＝24时，W 的最大值为4800． ∴最大利润为5000元． （3）①当12≤x ≤20时，W ＝（x ﹣12﹣1）y＝（x ﹣13）（﹣2000x +4400） ＝﹣200（x ﹣17.5）2+4050 令﹣200（x ﹣17.5）2+4050＝3600x 1＝16，x 2＝19∴定价为16≤x ≤19 ②当20＜x ≤24时，W ＝400（x ﹣13）＝400x ﹣5200≥3600∴22≤x ≤24．综上，销售价格确定为16≤x ≤19或22≤x ≤24．6．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y ＝ax 2﹣3ax +c 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 直线y ＝﹣x +4经过点B 、C ． （1）求抛物线的表达式；（2）过点A 的直线交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ．①点N 位于x 轴上方时，是否存在这样的点M ，使得AM ：NM ＝5：3？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角∠ANB 等于∠ACB 的2倍时，请求出点M 的横坐标．【分析】（1）由直线y ＝﹣x +4知：点B 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y ＝ax 2﹣3ax +4，将点A 的坐标代入上式，即可求解；（2）①设点N （m ，mk +k ），即：mk +k ＝﹣m +4…①，则点M [52m +32，5k(m+1)2]，将点M 的坐标代入二次函数表达式得：5k(m+1)2=−（5m 2+32）2+3（5m 2+32）+4…②，联立①②即可求解；②当∠ANB ＝2∠ACB 时，则∠ANB ＝90°，即可求解．【解答】解：（1）由直线y ＝﹣x +4知：点B 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 则二次函数表达式为：y ＝ax 2﹣3ax +4，将点A 的坐标代入上式并解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x +4， 则点A （﹣1，0）； （2）①不存在，理由：设直线AM 的表达式为：y ＝kx +b ， 将点A 的坐标代入上式并解得： 直线AM 的表达式为：y ＝kx +k ，如图1所示，分别过点M 、N 作x 轴的垂线交于点H 、G ，∵AM ：NM ＝5：3，则MH =52NG ，设点N （m ，mk +k ），即：mk +k ＝﹣m +4…①， 则点M [52m +32，5k(m+1)2]，将点M 的坐标代入二次函数表达式得：5k(m+1)2=−（5m 2+32）2+3（5m 2+32）+4…②，联立①②并整理得：5m 2﹣2m +3＝0， △＜0，故方程无解， 故不存在符合条件的M 点； ②当∠ANB ＝2∠ACB 时，如下图，则∠NAC ＝∠NCA ，、 ∴CN ＝AN ，直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +4 设点N （n ，﹣n +4），由CN ＝AN ，即：（n ）2+（4﹣n ﹣4）2＝（n +1）2+（4﹣n ）2， 解得：n =176， 则点N （176，76），将点N 、A 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线NA 的表达式为：y =723x +723⋯③， 将③式与二次函数表达式联立并解得：x =8523， 故点M （8523，252193）．7．（2020•金华模拟）如图1，抛物线y 1=−43x 2−43tx ﹣t +2与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），过y 轴上的点C （0，4），直线y 2＝kx +3交x 轴，y 轴于点M 、N ，且ON ＝OC ． （1）求出t 与k 的值．（2）抛物线的对称轴交x 轴于点D ，在x 轴上方的对称轴上找一点E ，使△BDE 与△AOC 相似，求出DE 的长．（3）如图2，过抛物线上动点G 作GH ⊥x 轴于点H ，交直线y 2＝kx +3于点Q ，若点Q '是点Q 关于直线MG 的对称点，是否存在点G （不与点C 重合），使点Q '落在y 轴上？若存在，请直接写出点G 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将C （0，4）代入抛物线y 1=−43x 2−43tx ﹣t +2即可求出t 的值，由ON ＝OC 可写出点N 坐标，将其代入直线y 2＝kx +3即可求出k 的值；（2）由条件知∠AOC ＝∠EDB ＝90°，故分两种情况讨论△BDE 与△AOC 相似，通过对应边的比相等可求出DE 的长；（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ 'G 为菱形，分别用字母表示出Q ，G 的坐标，分两种情况讨论求出GQ '的长度，利用三角函数可求出点G 的横坐标． 【解答】解：（1）将点C （0，4）代入抛物线y 1=−43x 2−43tx ﹣t +2， 得，﹣t +2＝4， ∴t ＝﹣2，∴抛物线y 1=−43x 2+83x +4， ∵C （0，4），ON ＝OC ， ∴N （﹣4，0），将N （﹣4，0）代入直线y 2＝kx +3， 得，﹣4k +3＝0， ∴k =34，∴直线y 2=34x +3， ∴t 的值为﹣2，k 的值为34；（2）如图1，连接BE ，在y 1=−34x 2+83+4中， 当y ＝0时，x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1.0），B （3，0）， 对称轴为x =−b2a =1， ∴D （1，0），∴AO ＝1，CO ＝4，BD ＝2， ∵∠AOC ＝∠EDB ＝90°， ①∴当△AOC ∽△BDE 时， ∴AO BD =OC DE，∴12=4DE，∴DE ＝8，②当△AOC ∽△EDB 时， ∴AO DE =OC BD ，∴1DE=42，∴DE =12，综上所述，DE 的长为8或12．（3）如图2﹣1，点Q ′是点Q 关于直线MG 的对称点，且点Q ′在y 轴上时， 由轴对称的性质知，QM ＝Q 'M ，QG ＝Q 'G ，∠Q 'MG ＝∠QMG ， ∵QG ⊥x 轴， ∴QG ∥y 轴， ∴∠Q 'MG ＝∠QGM ， ∴∠QMG ＝∠QGM ， ∴QM ＝QG ，∴QM ＝Q 'M ＝QG ＝Q 'G ， ∴四边形QMQ 'G 为菱形，设G （a ，−43a 2+83a +4），则Q （a ，34a +3），过点G 作GK ⊥y 轴于点K ，∵GQ '∥QN ， ∴∠GQ 'K ＝∠NMO ， 在Rt △NMO 中，NM =√ON 2+OM 2=5，∴sin ∠NMO =ON MN =45， ∴sin ∠GQ 'K =GK GQ′=45， ①当点G 在直线MN 下方时，QG ＝Q 'G =43a 2−2312a −1，∴a 43a 2−2312a−1=45，解得，a 1=19+√55316，a 2=19−√55316， ②如图2﹣2，当点G 在直线MN 上方时，QG ＝Q 'G ＝﹣（43a 2−2312a −1），∴a−4 3a2+2312a+1=45，解得，a1=1+√134，a2=1−√134，综上所述，点G的横坐标为1+√134，1−√134，19+√55316或19−√55316．8．（2020•余杭区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．（1）求点A的坐标．（2）求抛物线的表达式．（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．【分析】（1）令y=−12x+2＝0，解得：x＝4，即可求解；（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．【解答】解：（1）令y=−12x+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，即：点A坐标为：（4，0），B点坐标为：（0，2）；（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，解得：b=−32，c＝﹣2，故：二次函数表达式为：y=12x2−32x﹣2；（3）设点M （m ，−12m +2），则Q （m ，12m 2−32m ﹣2），以B 、D 、Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时， 则：|MQ |＝±（12m 2﹣m ﹣4）＝BD ＝4，当12m 2﹣m ﹣4＝4，解得：m ＝1±√17； 当12m 2﹣m ﹣4＝﹣4，解得：m ＝2，m ＝0（舍去）； 故：m ＝2或1+√17或1−√17．9．（2020•拱墅区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣2mx ﹣3（m ≠0）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若∠ACB ＝45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3＜x 1＜x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题； （2）确定点C 坐标，利用待定系数法即可解决问题；（3）如图，当直线l 在直线l 1与直线l 2之间时，x 3＜x 1＜x 2，求出直线l 经过点A 、点C 时的x 1+x 3+x 2的值即可解决问题；【解答】解：（1）∵抛物线y ＝mx 2﹣2mx ﹣3 （m ≠0）与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为（0，﹣3）；∵抛物线y ＝mx 2﹣2mx ﹣3 （m ≠0）的对称轴为直线x ＝1， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵∠ACB ＝45°， ∴点C 的坐标为（1，﹣4）， 把点C 代入抛物线y ＝mx 2﹣2mx ﹣3 得出m ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．（3）如图，当直线l 1经过点A 时，x 1＝x 2＝0，x 3＝2，此时x 1+x 3+x 2＝2， 当直线l 2经过点C 时，直线AB 的解析式为y ＝3x ﹣3， ∵C （1，﹣4）， ∴y ＝﹣4时，x =−13此时，x 1＝x 2＝1，x 3=−13，此时x 1+x 3+x 2=53， 当直线l 在直线l 1与直线l 2之间时，x 3＜x 1＜x 2 ∴53＜x 1+x 2+x 3＜2．10．（2020•下陆区模拟）如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，点A 的坐标为（0，8），点C 的坐标为（6，0）．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ． （1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S ． ①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线y =−49x 2+bx +c ，即可求得抛物线的解析式； （2）①先用m 表示出QE 的长度，进而求出三角形的面积S 关于m 的函数； ②直接写出满足条件的F 点的坐标即可，注意不要漏写． 【解答】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得 {c =8−49×36+6b +c =0， 解得：{b =43c =8，∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8；（2）①∵OA ＝8，OC ＝6， ∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QEQC =ABAC =35， ∴QE 10−m=35，∴QE =35（10﹣m ），∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ；。

二次函数压轴题的十大类型（一）二次函数中的面积与特殊四边形（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴顶点M的坐标为（2，﹣2），∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N（2，2），设直线AN解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，联立方程组得：， 解得：，，∴点D （4，6），∴S △ABD ＝×2×6＝6，设点E （m ，2m ﹣2），∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，∴S △ABE ＝S △ABD ＝2或S △ABE ＝S △ABD ＝4， ∴×2×（2m ﹣2）＝2或×2×（2m ﹣2）＝4，∴m ＝2或3，∴点E （2，2）或（3，4）；（3）若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD ＝PQ ，∴x D ﹣x A ＝x P ﹣x Q 或x D ﹣x A ＝x Q ﹣x P ，∴x P ＝4﹣1+2＝5或x P ＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P 坐标为（5，16）或（﹣1，16）；若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD 与PQ 互相平分， ∴，∴x P ＝3，∴点P 坐标为（3，0），综上所述：当点P 坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形． （二）二次函数中的四边形面积最值与三角形相似已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，其图像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C 。

2020年中考数学压轴题之二次函数专题突破1． 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C 点，D 为抛物线的顶点，A （-1，0），B （3，0）．（1）求出二次函数的表达式．（2）点P 在x 轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P 的坐标．（3）在x 轴上方抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q ，C ，B ，O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （6，0）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点Q 1122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况，①P 在B 的右侧时，延长BD 交y 轴于点H ，由∠OCB=∠OBC=45°，可证明∠HCB=∠CBP，从而△PCB≌△HBC，由直线BD 即可求得：OH=OP=6，从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时，此时PC∥BD，根据一次函数解析式即可求出P ；（3）分以下两种情况分别求解，①点Q 在y 轴右侧时，由OB=OC ，可得出OQ 是∠BOC 的平分线，联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时，可得这条对角线只能是BQ ，过点C 作x 轴的平行线EF ，过点Q ，B 分别作EF 的垂线，垂足分别为F ，E ，延长FQ 交x 轴于点G ，设点Q 的坐标为(m ，n)，根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于m ，n 的关系式，再与二次函数的解析式联立即可求解．2．已知，如图，二次函数2y ax bx c =++图像交x 轴于(1,0)A -，交y 交轴于点(0,3)C ，D 是抛物线的顶点，对称轴DF 经过x 轴上的点(1,0)F ．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴DF 与BC 交于点M ，点P 为对称轴DF 上一动点．①求AP PD +的最小值及取得最小值时点P 的坐标； ②在①的条件下，把APF V 沿着x 轴向右平移t 个单位长度(04)t ≤≤时，设APF V 与MBF V 重叠部分面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并求出S 的最大值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2P 坐标为(1,1)；②2221(2)1(01)4751(12)12331(4)(24)6t t S t t t t t ⎧--+≤≤⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，当107t =时，S 最大值67=． 【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B （3，0），用交点式表达式得：y=a （x+1）（x-3）=a （x 2-2x-3），即可求解；（2）①连接BD ，过点A 作AH⊥BD 于点H ，交DF 于点P ，PD=AP+PD ，此时PD=AH 最小，即可求解；②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t ＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．3．平面直角坐标系中，0是坐标原点，抛物线21233y x x c =-+交x 轴于,A B 两点(如图)，顶点是C ，对称轴交x 轴于点,2,D OB OA =（1）如图(1)求抛物线的解析式；（2）如图(2)E 是第三象限抛物线上一点，连接ED 并延长交抛物线于点F ，连接,,EC FC 求证：90ECF ∠=︒；（3）如图(3)在(2)问条件下，,M N 分别是线段,OA CD 延长线上一点，连接,MN CM ，过点C 作CQ MN ⊥于,Q CQ 交DM 于点P ，延长FE 交MC 于R ，若2,NMD DMC ∠=∠DN BO +,:7:3,MP MR RC ==求点F 坐标．【答案】（1）2128333y x x =--；（2）证明见解析；（3）75,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设DA=DB=m ，根据抛物线对称性和OB=2OA ，建立方程求解即可；（2）配方法可求得抛物线顶点坐标，过点E 作EH⊥CD 于G ，过F 作FG⊥CD 于G ，可证明△DEH∽△DFG，tan∠GFC=tan∠ECH，即可证明∠ECF=90°；（3）以DM 为边在x 轴上方作正方形DMKT ，延长CQ 交KT 于S ，过S 作SG⊥DM 于G ，连接MT ，作∠SCT 平分线交MT 于I ，过点I 作IJ⊥CT 于J ，设DM=t ，则DT=TK=t ，易证：△MDC≌△CJI，△MDN≌△SGP，可得：SZ=SL=t-7，CZ=CJ=t ，CS=2t-7，利用勾股定理建立方程即可求得点M 坐标，再利用相似三角形性质可求得点R 坐标，运用待定系数法即可求得直线DR 解析式，解方程组可求得点F 的坐标．4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣2经过点A （﹣2，与x 轴相交于B ，C 两点，且B 点坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BCD 沿直线BD 翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D 的坐标；（3）抛物线与y 轴交于点Q ，连接BQ ，DQ ，在抛物线上有一个动点P ，且S △PBD ＝S △BDQ ，求满足条件的点P 的横坐标．【答案】（1）2y x =-（2）1D ⎛ ⎝⎭；（3）83 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设对称轴于BC 的交点为E ，先求出点C ，点E 坐标，可求BC=4，BE=CE=2，由折叠的性质可得BC'的长，由勾股定理可求C'E ，DE 的长，即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等底等高的两个三角形的面积相等，可求解．5．已知：在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若8CG AG =，求点P 的坐标．【答案】（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】 （1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN⊥BE 于点N ，过点P 作PM⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明Rt△PME≌Rt△ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=BG=6m ，过点G 作GL⊥x 轴于点L ，在Rt△ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入3322t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标. 6．已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-（1）若2,k =则新函数y = ；（2）若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ； （3）设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值；②求n 与m 的函数解析式；（4）请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．【答案】（1）261-+x x ；（2）5,12-；（3）①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；（4）1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】（1）将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；（2）先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；（3）①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值；②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；（4）先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．。

2020-2021中考数学压轴题之二次函数(中考题型整理,突破提升)及答案一、二次函数1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2y x 2x 3=--；（2）存在，P （1-132，13-12）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP，∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-132（m＝1+132＞0，舍），∴P（1-13，13-1）．（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，∴1DQADOD DB=，即56=135，∴DQ1＝52，∴OQ1＝72，即Q1（0，-72）；②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，∴2OQOBOD OB=，即2363OQ=，∴OQ2＝32，即Q2（0，32）；③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，则△BOQ3∽△Q3EA，∴33OQOBQ E AE=，即33341OQOQ=-∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．综上，Q点坐标为（0，-72）或（0，32）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．【解析】分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．∵该抛物线经过点（4，1），∴1=4a，解得：a=14，∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1．（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，14）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43， 当y=-1时，有-1312x+43=-1， 解得：x=2813， ∴点P 的坐标为（2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，∴n=14m2-m+1，∴m2-2x0m+x02-2y0（14m2-m+1）+y02=2（14m2-m+1）+1，整理得：（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．∵m为任意值，∴00220001110222220230yx yx y y⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩＝＝＝，∴021xy⎧⎨⎩＝＝，∴定点F的坐标为（2，1）．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【详解】(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y＝kx+b，∴303k bb-+=⎧⎨=⎩解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S＝12AM×EM＝12．(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D(﹣1，4)，∴DQ＝DC∵FG ＝22DQ ， ∴FG ＝4．设F(n ，﹣n 2﹣2n+3)，则G(n ，n+3)， ∵点G 在点F 的上方且FG ＝4， ∴(n+3)﹣(﹣n 2﹣2n+3)＝4． 解得n ＝﹣4或n ＝1， ∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m 表示出矩形PMNQ 的周长．4．如图，直线AB 和抛物线的交点是A （0，﹣3），B （5，9），已知抛物线的顶点D 的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x 轴上是否存在一点C ，与A ，B 组成等腰三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB 的下方抛物线上找一点P ，连接PA ，PB 使得△PAB 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）21248355y x x =--，顶点D （2，635-）；（2）C （10±0）或（5222±0）或（9710，0）；（3）752【解析】 【分析】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）分AB =AC 、AB =BC 、AC =BC ，三种情况求解即可；（3）由S △PAB 12=•PH •x B ，即可求解． 【详解】（1）抛物线的顶点D 的横坐标是2，则x 2ba=-=2①，抛物线过A （0，﹣3），则：函数的表达式为：y =ax 2+bx ﹣3，把B 点坐标代入上式得：9=25a +5b ﹣3②，联立①、②解得：a 125=，b 485=-，c =﹣3，∴抛物线的解析式为：y 125=x 2485-x ﹣3． 当x =2时，y 635=-，即顶点D 的坐标为（2，635-）； （2）A （0，﹣3），B （5，9），则AB =13，设点C 坐标（m ，0），分三种情况讨论：①当AB =AC 时，则：（m ）2+（﹣3）2=132，解得：m ，即点C 坐标为：（，0）或（﹣，0）；②当AB =BC 时，则：（5﹣m ）2+92=132，解得：m =5±，即：点C 坐标为（5+，0）或（5﹣0）；③当AC =BC 时，则：5﹣m ）2+92=（m ）2+（﹣3）2，解得：m =9710，则点C 坐标为（9710，0）．综上所述：存在，点C 的坐标为：（，0）或（5±0）或（9710，0）； （3）过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ．设直线AB 的表达式为y =kx ﹣3，把点B 坐标代入上式，9=5k ﹣3，则k 125=，故函数的表达式为：y 125=x ﹣3，设点P 坐标为（m ，125m 2485-m ﹣3），则点H 坐标为（m ，125m ﹣3），S △PAB 12=•PH •x B 52=（125-m 2+12m ）=－6m 2+30m =25756()22m --+，当m =52时，S △PAB 取得最大值为：752． 答：△PAB 的面积最大值为752．【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．5．如图，过()A 1,0、()B 3,0作x 轴的垂线，分别交直线y 4x =-于C 、D 两点.抛物线2y ax bx c =++经过O 、C 、D 三点．()1求抛物线的表达式；()2点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；()3若AOC V 沿CD 方向平移(点C 在线段CD 上，且不与点D 重合)，在平移的过程中AOC V 与OBD V 重叠部分的面积记为S ，试求S 的最大值．【答案】（1）2413y x x 33=-+；（2）32或3322+或3322-；（3）13． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3．设点M 的横坐标为x ，则求出MN =|43x 2﹣4x |；解方程|43x 2﹣4x |=3，求出x 的值，即点M 横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），利用平移性质求出S 的表达式：S 16=-（t ﹣1）213+；当t =1时，s 有最大值为13． 【详解】（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y =ax 2+bx ，∴3931a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得43133a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的表达式为：y 43=-x 2133+x ． （2）存在．设直线OD 解析式为y =kx ，将D （3，1）代入，求得k 13=，∴直线OD 解析式为y 13=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，13x ），N （x ，43-x 2133+x ），∴MN =|y M ﹣y N |=|13x ﹣（43-x 2133+x ）|=|43x 2﹣4x |． 由题意，可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN =AC =3，∴|43x 2﹣4x |=3． 若43x 2﹣4x =3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：x 32+=或x 32-= 若43x 2﹣4x =﹣3，整理得：4x 2﹣12x +9=0，解得：x 32=，∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：32或32+或32-． （3）∵C （1，3），D （3，1），∴易得直线OC 的解析式为y =3x ，直线OD 的解析式为y 13=x ． 如解答图所示，设平移中的三角形为△A 'O 'C '，点C '在线段CD 上． 设O 'C '与x 轴交于点E ，与直线OD 交于点P ； 设A 'C '与x 轴交于点F ，与直线OD 交于点Q ．设水平方向的平移距离为t （0≤t ＜2），则图中AF =t ，F （1+t ，0），Q （1+t ，1133+t ），C '（1+t ，3﹣t ）． 设直线O 'C '的解析式为y =3x +b ，将C '（1+t ，3﹣t ）代入得：b =﹣4t ，∴直线O 'C '的解析式为y =3x ﹣4t ，∴E （43t ，0）． 联立y =3x ﹣4t 与y 13=x ，解得：x 32=t ，∴P （32t ，12t ）． 过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，则PG 12=t ，∴S =S △OFQ ﹣S △OEP 12=OF •FQ 12-OE •PG 12=（1+t ）（1133+t ）12-•43t •12t 16=-（t ﹣1）213+ 当t =1时，S 有最大值为13，∴S 的最大值为13．【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN =AC =3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S 的表达式，注意图形面积的计算方法．6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2和y ＝a （x ﹣h ）2，抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2经过原点，与x 轴正半轴交于点A ，与其对称轴交于点B ；点P 是抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2上一动点，且点P 在x 轴下方，过点P 作x 轴的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ，过点D 作PD 的垂线交抛物线y ＝a （x ﹣h ）2于点D ′（不与点D 重合），连接PD ′，设点P 的横坐标为m ：（1）①直接写出a 的值；②直接写出抛物线y ＝a （x ﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点时，设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L ： ①求PD DD'的值； ②直接写出L 与m 之间的函数关系式；（3）当h 为何值时，存在点P ，使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1； ②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)m m m π⎧+<⎪⎨+++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值．【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中，得：0＝a （0﹣2）2﹣2，解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12；∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭ PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭， 2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…； （3）如图3，∵OADD ′为菱形∴AD ＝AO ＝DD ′＝4，∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2．∵EG 关于y 轴对称，∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG设点E 的坐标为(n ，n +3)，点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n∵DE ＝DC ＝4，∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3)将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)．∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++．∵EC ＝CD ＝4，∴2k 2+8k +16＝16，解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4．∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1)将点E 上移1个单位长度得点G ．∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，已知点A （0，2），B （2，2），C （-1，-2），抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2与直线x=-2交于点P ．（1）当抛物线F 经过点C 时，求它的解析式；（2）设点P 的纵坐标为y P ，求y P 的最小值，此时抛物线F 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），且x 1＜x 2≤-2，比较y 1与y 2的大小.【答案】(1) 221y x x =+-；(2)12y y >.【解析】【分析】 （1）根据抛物线F ：y=x 2-2mx+m 2-2过点C （-1，-2），可以求得抛物线F 的表达式； （2）根据题意，可以求得y P 的最小值和此时抛物线的表达式，从而可以比较y 1与y 2的大小.【详解】(1) ∵抛物线F 经过点C （－1，－2），∴22122m m -=++-.∴m 1=m 2=-1.∴抛物线F 的解析式是221y x x =+-.(2)当x=-2时，2442P y m m =++-=()222m +-. ∴当m=-2时，P y 的最小值为－2.此时抛物线F 的表达式是()222y x =+-.∴当2x ≤-时，y 随x 的增大而减小.∵12x x <≤－2，∴1y >2y .【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．9．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111x x k +=-，求k 的值．【答案】（1）k ≥﹣14；（2）k＝2．【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.【详解】解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1∵△≥0∴4k +1≥0∴k ≥﹣14；（2）∵x 1，x 2是方程两根，∴x 1+x 2＝2k +1x 1x 2＝k 2，又∵121111x x k +=-， ∴121211x x x x k +=⋅-， 即22111k k k +=+ ，解得：12k k ==又∵k ≥﹣14 ，即：k＝12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a - ，两根之积等于c a”是解题的关键.10．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）假；（2）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．【解析】分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122b b =⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x=，∴ S=122⨯=12x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122b b =⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-． ∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．11．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数（）的图象与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC ，在线段BC 上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P （m ，n ）是该二次函数图象上的一个动点（其中m ＞0，n ＜0），连结PB ，PD ，BD ，求△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）；（2）E 的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）． 【解析】试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；（2）先求得直线BC 的解析式为，则可设E （m ，），然后分三种情况讨论即可求得；（3）利用△PBD的面积即可求得．试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C （8，0）两点，∴，解得：，∴该二次函数的解析式为；（2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，∵△PBD的面积===，∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．考点：二次函数综合题．12．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32． （1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=32列出关于a 、c 的方程组求解即可；（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】（1）当y=0时，140 33x-=，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=32，得161203322a ca-+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩，解得14ac=⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=13x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴PC PBPF PE=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴22x x x xQ P F E++=，22y y y yQ P F E++=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，∴22x x x x Q P F E ++=，22y y y yQ P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．13．如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）．（1）求点B 的坐标；（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． 【答案】（1）点B 的坐标为（1，0）. （2）①点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）. ②线段QD 长度的最大值为94. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标．（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标．②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为(q,-q-3)，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为(q,q 2+2q-3)，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解. 【详解】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）.（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），∴2a 1b12a 9a 3b c 0=⎧⎪⎪-=-⎨⎪-+=⎪⎩，解得a 1b 2c 3=⎧⎪=⎨⎪=-⎩. ∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-.∴B 点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC 13S 1322∆=⨯⨯=. 设点P 的坐标为(p,p 2+2p-3)，则POC 13S 3p p 22∆=⨯⨯=. ∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴3p 62=，解得p 4=±. 当p 4=时2p 2p 321+-=；当p 4=-时，2p 2p 35+-=， ∴点P 的坐标为（4，21）或（－4，5）.②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩. ∴直线AC 的解析式为y x 3=--.∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为(q,-q-3). 又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为(q,q 2+2q-3).∴()22239QD q 3q 2q 3q 3q q 24⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭. ∵a 10<=-，-3302<<- ∴线段QD 长度的最大值为94.14．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①P 点的横坐标为4或412或5-41②点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．【解析】分析：（1）利用一次函数解析式确定C （0，-5），B （5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；（2）①先解方程-x 2+6x-5=0得A （1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以2，接着根据平行四边形的性质得到2，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到2PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式得到3=13+62x，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0）， 把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0）， ∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ， ∴PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，∴PD=2PQ=2×22=4，设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），当P点在直线BC上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+412，m2=5-412，综上所述，P点的横坐标为4或5+41或5-41；②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（12，﹣52，设直线EM1的解析式为y=﹣15x+b，把E（12，﹣52）代入得﹣110+b=﹣52，解得b=﹣125，∴直线EM1的解析式为y=﹣15x﹣125解方程组511255y xy x=-⎧⎪⎨=--⎪⎩得136176xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则M1（136，﹣176）；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），∵3=13+ 62x∴x=236，∴M2（236，﹣76）.综上所述，点M的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）．点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．15．已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣92）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．【答案】（1）983bc⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【解析】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣239168x x ++3=0，通过解该方程求得x 的值即为抛物线与x 轴交点横坐标． 【详解】（1）把A （0，3），B （﹣4，﹣92）分别代入y=﹣316x 2+bx+c ，得339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x 2+98x+3， △=（98）2﹣4×（﹣316）×3=22564＞0， 所以二次函数y=﹣316x 2+bx+c 的图象与x 轴有公共点， ∵﹣316x 2+98x+3=0的解为：x 1=﹣2，x 2=8， ∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．。

备考2020中考数学高频考点分类突破二次函数一．选择题（共3小题）1．（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象﹣抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点．拱高为78米（即最高点O到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（）A．y=26675x2B．y=−26675x2C．y=131350x2D．y=−131350x2【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，将B（45，﹣78）代入得：﹣78＝a×452，解得：a=−26 675，故此抛物线钢拱的函数表达式为：y=−26 675x2．故选：B．2．（2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A ．25min ～50min ，王阿姨步行的路程为800mB ．线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50）C ．5min ～20min ，王阿姨步行速度由慢到快D ．曲线段AB 的函数解析式为s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）【解答】解：A 、25min ～50min ，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m ，故A 没错；B 、设线段CD 的函数解析式为s ＝kt +b ，把（25，1200），（50，2000）代入得，{1200=25k +b 2000=50k +b解得：{k =32b =400， ∴线段CD 的函数解析式为s ＝32t +400（25≤t ≤50），故B 没错；C 、在A 点的速度为5255=105m /min ，在B 点的速度为1200−52520−5=67515=45m /min ，故C 错误；D 、当t ＝20时，由图象可得s ＝1200m ，将t ＝20代入s ＝﹣3（t ﹣20）2+1200（5≤t ≤20）得s ＝1200，故D 没错．故选：C ．3．（2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．其中正确的是（）A．①④B．①②C．②③④D．②③【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a=−40 9，∴函数解析式为h=−409（t﹣3）2+40，把h＝30代入解析式得，30=−409（t﹣3）2+40，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选：D．4．（2019•兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞2【解答】解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．5．（2019•淄博）将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜5【解答】解：∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2﹣4+a，∴将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y＝（x ﹣2+1）2﹣4+a+1，即y＝x2﹣2x+a﹣2，将y＝2代入，得2＝x2﹣2x+a﹣2，即x2﹣2x+a﹣4＝0，由题意，得△＝4﹣4（a﹣4）＞0，解得a＜5．故选：D．6．（2019•雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误；根据平移的规律，y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度得到y ＝（x ﹣2）2，再向上平移1个单位长度得到y ＝（x ﹣2）2+1；故选项D 的说法正确，故选：C ．7．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2+（2m ﹣1）x +2m ﹣4与y ＝x 2﹣（3m +n ）x +n关于y 轴对称，则符合条件的m ，n 的值为（ ）A ．m =57，n =−187B ．m ＝5，n ＝﹣6C ．m ＝﹣1，n ＝6D ．m ＝1，n ＝﹣2 【解答】解：∵抛物线y ＝x 2+（2m ﹣1）x +2m ﹣4与y ＝x 2﹣（3m +n ）x +n 关于y 轴对称，∴{2m −1=3m +n 2m −4=n ，解之得{m =1n =−2， 故选：D ．8．（2019•遂宁）二次函数y ＝x 2﹣ax +b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是（ ）A ．a ＝4B ．当b ＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C ．当x ＝﹣1时，b ＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b∴对称轴为直线x=a2=2∴a＝4，故A选项正确；当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0即1+4+b＜0∴b＜﹣5，故C选项不正确；∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；故选：C．9．（2019•温州）已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值﹣1，有最小值﹣2B．有最大值0，有最小值﹣1C．有最大值7，有最小值﹣1D．有最大值7，有最小值﹣2【解答】解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，∴在﹣1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值﹣2，当x＝﹣1时，有最大值为y＝9﹣2＝7．故选：D．10．（2019•衢州）二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，﹣3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），故选：A．11．（2019•重庆）抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A．直线x＝2B．直线x＝﹣2C．直线x＝1D．直线x＝﹣1【解答】解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．故选：C．12．（2019•恩施州）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图4所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝5．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【解答】解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴−b2a=−1，a+b+c＝0，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴ab＞0且c＞0，故①错误，∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），∴x＝﹣4时，y＜0，∴16a﹣4b+c＜0，∵b＝2a，∴16a ﹣8a +c ＜0，即8a +c ＜0，故③错误，∵c ＝﹣3a ＝3a ﹣6a ，b ＝2a ，∴c ＝3a ﹣3b ，故④正确，∵直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，∴方程ax 2+（b ﹣2）x +c ﹣2＝0的两个根分别为x 1，x 2，∴x 1+x 2=−b−2a ，x 1•x 2=c−2a ，∴x 1+x 2+x 1x 2=−b−2a +c−2a =−2a−2a +−3a−2a =−5，故⑤错误， 故选：D ．13．（2019•南充）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数），a ＞0，顶点坐标为（12，m ），给出下列结论：①若点（n ，y 1）与（32−2n ，y 2）在该抛物线上，当n ＜12时，则y 1＜y 2；②关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，那么（ ）A ．①正确，②正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①错误，②错误 【解答】解：①∵顶点坐标为（12，m ），n ＜12，∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x =12的对称点为（1﹣n ，y 1），∴点（1﹣n ，y 1）与（32−2n ，y 2）在该抛物线上， ∵（1﹣n ）﹣（32−2n ）＝n −12＜0，∴1﹣n ＜32−2n ，∵a ＞0，∴当x ＞12时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；②把（12，m ）代入y ＝ax 2+bx +c 中，得m =14a +12b +c ， ∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0中，△＝b 2﹣4ac +4am ﹣4a ＝b 2﹣4ac +4a （14a +12b +c ）﹣4a ＝（a +b ）2﹣4a ＜0，∴一元二次方程ax 2﹣bx +c ﹣m +1＝0无实数解，故此小题正确；故选：A ．14．（2019•潍坊）抛物线y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +3﹣t ＝0（t为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．2≤t ＜11B ．t ≥2C ．6＜t ＜11D ．2≤t ＜6【解答】解：∵y ＝x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝1，∴b ＝﹣2，∴y ＝x 2﹣2x +3，∴一元二次方程x 2+bx +3﹣t ＝0的实数根可以看做y ＝x 2﹣2x +3与函数y ＝t 的有交点，∵方程在﹣1＜x ＜4的范围内有实数根，当x ＝﹣1时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝11；函数y ＝x 2﹣2x +3在x ＝1时有最小值2；∴2≤t ＜11；故选：A ．二．填空题（共5小题）15．（2019•贵港）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是．【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；故答案是：416．（2019•武汉）抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0）两点，则关于x 的一元二次方程a（x ﹣1）2+c ＝b ﹣bx 的解是 ．【解答】解：关于x 的一元二次方程a （x ﹣1）2+c ＝b ﹣bx 变形为a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ＝0，把抛物线y ＝ax 2+bx +c 沿x 轴向右平移1个单位得到y ＝a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ，因为抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0）、B （4，0），所以抛物线y ＝a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c 与x 轴的两交点坐标为（﹣2，0），（5，0），所以一元二方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c ＝0的解为x 1＝﹣2，x 2＝5．故答案为x 1＝﹣2，x 2＝5．17．（2019•达州）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ；④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长的最小值为√34+√2．其中正确判断的序号是 ．【解答】解：①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，得x 2﹣2x +1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故此小题结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故此小题结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故此小题结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y 轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：√B′M2+C′M2+√BM2+CM2=√32+52+√12+12=√34+√2，故此小题结论正确；故答案为：①③④．18.（2019•泰安）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴−b2=2，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故答案为：x1＝2，x2＝4．19．（2019•济宁）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的下方，∴不等式ax2+mx+c＞n的解集为x＜﹣3或x＞1．故答案为：x＜﹣3或x＞1．20.（2019•广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y=−112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．【解答】解：当y ＝0时，y =−112x 2+23x +53=0， 解得，x ＝﹣2（舍去），x ＝10．故答案为：10．三、解答题21．（2019•达州）如图1，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （1，0），B （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标；（2）设点D 是x 轴上一点，当tan （∠CAO +∠CDO ）＝4时，求点D 的坐标；（3）如图2．抛物线与y 轴交于点E ，点P 是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A 交BE 于点M ，交y 轴于点N ，△BMP 和△EMN 的面积分别为m 、n ，求m ﹣n 的最大值．【解答】解：（1）由题意把点（1，0），（﹣3，0）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得，{−1+b +c =0−9−3b +c =0， 解得b ＝﹣2，c ＝3，∴y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，∴此抛物线解析式为：y ＝﹣x 2﹣2x +3，顶点C 的坐标为（﹣1，4）；（2）∵抛物线顶点C （﹣1，4），∴抛物线对称轴为直线x ＝﹣1，设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，则H （﹣1，0），在Rt △CHO 中，CH ＝4，OH ＝1，∴tan ∠COH =CH OH =4，∵∠COH ＝∠CAO +∠ACO ，∴当∠ACO ＝∠CDO 时，tan （∠CAO +∠CDO ）＝tan ∠COH ＝4，如图1，当点D 在对称轴左侧时，∵∠ACO ＝∠CDO ，∠CAO ＝∠CAO ，∴△AOC ∽△ACD ，∴AC AD =AO AC ，∵AC =√CH 2+AH 2=2√5，AO ＝1，∴2√5AD =2√5， ∴AD ＝20，∴OD ＝19，∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝﹣1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，得，{ak +b =−a 2−2a +3k +b =0， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3，∴y P A ＝（﹣a ﹣3）x +a +3，当x ＝0时，y ＝a +3，∴N （0，a +3），如图2，∵S △BPM ＝S △BP A ﹣S 四边形BMNO ﹣S △AON ，S △EMN ＝S △EBO ﹣S 四边形BMNO ， ∴S △BPM ﹣S △EMN＝S △BP A ﹣S △EBO ﹣S △AON=12×4×（﹣a 2﹣2a +3）−12×3×3−12×1×（a +3） ＝﹣2a 2−92a＝﹣2（a +98）2+8132， 由二次函数的性质知，当a =−98时，S △BPM ﹣S △EMN 有最大值8132， ∵△BMP 和△EMN 的面积分别为m 、n ，∴m ﹣n 的最大值为8132．22．（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+12，y Q）在抛物线上，当√2AM+2QM的最小值为33√24时，求b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1，∵点D （b ，y D ）在抛物线y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1上，∴y D ＝b 2﹣b •b ﹣b ﹣1＝﹣b ﹣1，由b ＞0，得b ＞b 2＞0，﹣b ﹣1＜0，∴点D （b ，﹣b ﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x =b 2的右侧，如图1，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E （b ，0），∴AE ＝b +1，DE ＝b +1，得AE ＝DE ，∴在Rt △ADE 中，∠ADE ＝∠DAE ＝45°，∴AD =√2AE ，由已知AM ＝AD ，m ＝5，∴5﹣（﹣1）=√2（b +1），∴b ＝3√2−1；（Ⅲ）∵点Q （b +12，y Q ）在抛物线y ＝x 2﹣bx ﹣b ﹣1上，∴y Q ＝（b +12）2﹣b （b +12）﹣b ﹣1=−b 2−34，可知点Q （b +12，−b 2−34）在第四象限，且在直线x ＝b 的右侧，∵√2AM +2QM ＝2（√22AM +QM ）， ∴可取点N （0，1），如图2，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，由∠GAM ＝45°，得√22AM ＝GM ， 则此时点M 满足题意，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H （b +12，0），在Rt △MQH 中，可知∠QMH ＝∠MQH ＝45°，∴QH ＝MH ，QM =√2MH ，∵点M （m ，0），∴0﹣（−b 2−34）＝（b +12）﹣m ，解得，m =b 2−14，∵√2AM +2QM =33√24， ∴√2[（b 2−14）﹣（﹣1）]+2√2[（b +12）﹣（b 2−14）]=33√24， ∴b ＝4．23．（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E （2，1），F （2，2），观察图象可知，当点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外），当抛物线经过点E 时，﹣（2﹣m ）2+m +2＝1，解得m =5−√132或5+√132（舍弃）， 当抛物线经过点F 时，﹣（2﹣m ）2+m +2＝2，解得m ＝1或4（舍弃），∴当5−√132≤m ＜1时，顶点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．24．（2019•枣庄）已知抛物线y ＝ax 2+32x +4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A右侧），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝3，∴−322a=3，解得a=−14，∴抛物线的解析式为：y=−14x2+32x+4．当y＝0时，−14x2+32x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝8，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．答：抛物线的解析式为：y=−14x2+32x+4；点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．（2）当x＝0时，y=−14x2+32x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（8，0），C（0，4）代入y＝kx+b得{8k+b=0b=4，解得{k=−12 b=4，∴直线BC的解析式为y=−12x+4．假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，设点P的坐标为（x，−14x2+32x+4），如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，−12x+4），则PD=−14x2+32x+4﹣（−12x+4）=−14x2+2x，∴S四边形PBOC＝S△BOC+S△PBC =12×8×4+12PD•OB＝16+12×8（−14x2+2x）＝﹣x2+8x+16＝﹣（x﹣4）2+32∴当x＝4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32∵0＜x＜8，∴存在点P（4，6），使得四边形PBOC的面积最大．答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大；点P的坐标为（4，6），四边形PBOC面积的最大值为32．（3）设点M的坐标为（m，−14m2+32m+4）则点N的坐标为（m，−12m+4），∴MN＝|−14m2+32m+4﹣（−12m+4）|＝|−14m2+2m|，又∵MN＝3，∴|−14m2+2m|＝3，当0＜m＜8时，−14m2+2m﹣3＝0，解得m1＝2，m2＝6，∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m＜0或m＞8时，−14m2+2m+3＝0，解得m3＝4﹣2√7，m4＝4+2√7，∴点M的坐标为（4﹣2√7，√7−1）或（4+2√7，−√7−1）．答：点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣2√7，√7−1）或（4+2√7，−√7−1）．25．（2019•南充）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，且∠POB＝∠ACB，求点P的坐标；（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．【解答】解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （﹣3，0）∴设交点式y ＝a （x +1）（x +3）∵OC ＝OB ＝3，点C 在y 轴负半轴∴C （0，﹣3）把点C 代入抛物线解析式得：3a ＝﹣3∴a ＝﹣1∴抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）（x +3）＝﹣x 2﹣4x ﹣3（2）如图1，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H∴∠AGB ＝∠AGC ＝∠PHO ＝90°∵∠ACB ＝∠POB∴△ACG ∽△POH∴AG PH=CG OH ∴AG CG =PH OH∵OB ＝OC ＝3，∠BOC ＝90°∴∠ABC ＝45°，BC =√OB 2+OC 2=3√2∴△ABG 是等腰直角三角形∴AG ＝BG =√22AB =√2∴CG ＝BC ﹣BG ＝3√2−√2=2√2∴PH OH =AG CG =12设P （p ，﹣p 2﹣4p ﹣3）①当p ＜﹣3或﹣1＜p ＜0时，点P 在点B 左侧或在AC 之间，横纵坐标均为负数∴OH ＝﹣p ，PH ＝﹣（﹣p 2﹣4p ﹣3）＝p 2+4p +3∴﹣p ＝2（p 2+4p +3）解得：p 1=−9−√334，p 2=−9+√334 ∴P （−9−√334，−9−√338）或（−9+√334，−9+√338） ②当﹣3＜p ＜﹣1或p ＞0时，点P 在AB 之间或在点C 右侧，横纵坐标异号∴p ＝2（p 2+4p +3）解得：p 1＝﹣2，p 2=−32∴P （﹣2，1）或（−32，34） 综上所述，点P 的坐标为（−9−√334，−9−√338）、（−9+√334，−9+√338）、（﹣2，1）或（−32，34）． （3）①如图2，∵x ＝m +4时，y ＝﹣（m +4）2﹣4（m +4）﹣3＝﹣m 2﹣12m ﹣35∴M （m ，﹣m 2﹣4m ﹣3），N （m +4，﹣m 2﹣12m ﹣35）设直线MN 解析式为y ＝kx +n∴{km +n =−m 2−4m −3k(m +4)+n =−m 2−12m −35 解得：{k =−2m −8n =m 2+4m −3∴直线MN ：y ＝（﹣2m ﹣8）x +m 2+4m ﹣3设D （d ，﹣d 2﹣4d ﹣3）（m ＜d ＜m +4）∴x E＝x D＝d，E（d，（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3）∴DE＝﹣d2﹣4d﹣3﹣[（﹣2m﹣8）d+m2+4m﹣3]＝﹣d2+（2m+4）d﹣m2﹣4m＝﹣[d﹣（m+2）]2+4∴当d＝m+2时，DE的最大值为4．②如图3，∵D、F关于点E对称∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE=12MN，E为MN中点∴x D＝x E=m+m+42=m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4−√32，m2＝﹣4+√3 2∴m的值为﹣4−√32或﹣4+√32时，四边形MDNF为矩形．。