2017-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的■1. （5分）已知集合A={x|y=「上三、_汀,B={X |¥ 三°}，则A ° B=（A. b A . [ - 1,1]B. [ - 1, 2）C. [1, 2）D. [ - 2,- 1]2. （5分）复数」『’在复平面上对应的点位于（）（1-i ）2 A •第一象限 B.第二象限C 第三象限D .第四象限3. （5分）已知f （x ）在其定义域[-1, +7 上是减函数，若f （2 -x ）>f （x ）, 则（ ） A . x > 1 B .- 1<x v 1 C . 1v x < 3 D .- 1< x < 34.（5分）双曲线方程为x 2 - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（ ）A. I.「B ・ 1「C.「D .' ■-5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ ）A .6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ）7. （5 分）已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c （s1+sin ）贝U （ ） A . -■ ■ — B. . :•——C. - . - :—D. . :—8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（27）A.丨 | T一］工B. I , :' ：：：；■C.丨 | 了工D. | ■■2 29. （5分）设直线与椭圆’交于A, B两点，若△ OAB是2 a b直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.「B.C.D.2 3 3 210. （5分）已知数列｛a n｝满足：a i=1, a n=2a h -1+1 （n > 2）,为求使不等式a计a2+a3+・・+a n<k的最大正整数n,某人编写了如图所示的程序框图，在框图的判断框中的条件和输出的表达式分别为（）口=叮=1a=2a^lS=S+aA. S v k, iB. S v k, i- 1C. S>k, iD. S>k, i- 111. （5 分）为得到函数f （x）=2sinxcos）+ ___ •一__ 二 .的图象，可以把函数二：「「-门;7—：?.-1的图象（）A.向左平移个单位B.向左平移个单位C•向右平移.个单位D.向右平移个单位4 212. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）"4 2 T正视图侧视图A. 3 匚B.甘*C. cD. 3 匚二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________________________________________ （5分）二m:丿展开式的常数项是_________________________________________ .（用数字作答）x>y14（5分）已知变量x,y满足条件x+2y-3>0,则2x- 3y的最小值等于____________ .2rC 9-y115. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:,16. （5分）已知a, b, c分别为锐角△ ABC的三个内角A, B, C的对边，a=2,且（2+b）（si nA- sinB）= （c- b）si nC,则△ ABC周长的取值范围为___ .三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 . （12分）已知数列｛a n｝满足：a1=1,「一r_l（n>2）.2a rrl + 1(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)设数列｛a n a n+1｝的前n项和为T n,求证：［叮一1n 218. (12分)为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每天完成数学作业的平均时间介于30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分布直方图.(1)数学教研组计划对作业完成较慢的20%的学生进行集中辅导，试求每天完成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？(2)现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不超过50分钟的人数为X,求X的分布列和期望.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D，E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.20. (12分)已知椭圆：的离心率为,F1, F2是椭圆的左、显b2 2右焦点，P是椭圆上一点，计〕的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以F i为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2)，a€ R.(1)令g (x) =f'(x)，求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为：」j L：| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .［选修4-5:不等式选讲］ 23 .设 f (x) =| 2x- 3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.20仃-2018学年贵州省贵阳一中高三（上）适应性月考数学试卷（理科）（一）参考答案与试题解析、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的■1. (5 分)已知集合A={x|y=f , B={x| 二< 0}，则A H B=(A. [ - 1,1]B. [ - 1, 2)C. [1, 2)D. [ - 2,- 1]【解答】解：集合A={x| x2- 2x- 3>0} ={x| x<- 1 或x> 3},B={x| - 2< x v 2},利用集合的运算可得：A H B={x| - 2<x<- 1}.故选D.2. （5分）复数、厂、在复平面上对应的点位于（）（1-i）2A•第一象限 B.第二象限C第三象限D.第四象限【解答】解：复数''''=''”「d-ir i-2i+i2一1-i匚，则复数「「一在复平面上对应的点为（-1, - 1）,（1-D2且为第三象限的点，故选：C.3. （5分）已知f （x）在其定义域［-1, +7 上是减函数，若f （2 -x）＞f （x）,则（）A. x> 1B.- 1<x v 1C. 1 v x< 3D.- 1< x< 3【解答】解：由题意得：X>-1 ，解得：1v x < 3,2-x< x故选：C.4. （5分）双曲线方程为X - 2y 2=1，则它的右焦点坐标为（故选C5. （5分）某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、半程马拉松和迷你马拉松 三个比赛项目，4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛，则这 4人中三个项 目都有人参加的概率为（ A .【解答】解：某市国际马拉松邀请赛设置了全程马拉松、 半程马拉松和迷你马拉 松三个比赛项目,4位长跑爱好者各自任选一个项门参加比赛, 基本事件总数n=34=81,这4人中三个项目都有人参加包含的基本事件个数 m=：〒,；k ：=36,这4人中三个项目都有人参加的概率为p< ■'=■.故选：B.6.（5分）若方程x 2- （k - 1）x+仁0有大于2的根，则实数k 的取值范围是（ ） A .： B:C :-D .【解答】解：双曲线的:-:,2 2D .k-1••方程x2- （k - 1） x+仁0有大于2的根，可得* 2f (2)=4-2(k-l)+l<C或号＞2L A=(k-l)2-4>0解得：*m 或k ＞5.2故k 的取值范围为（'',+x ）,2 故选：C.7. (5分)已知 a, B 都是锐角，且 sin a cos B =c (s1+sin )贝U( )A.一 ： _ :B.「一「_ :C. z • ] - D . :: —【解答】解: v sin a cos B =coS 1+sin ), ••• sin a cos B cos a sin B =cos 即: 又v a, B 都是锐角，可得：0＜舟^-（ a- B ） V n, …*-"®,整理可得：眈卡WT 故选：B.8.（5分）如图所示，曲线y=x - 1, x=2, x=0, y=0围成的阴影部分的面积为（ ）故选A .【解答】解: (x 2-l)dx |x 2-1) dx+ J J (1-x 2) dx【解答】解：由题意 S= |「，土:- . - 工=丨：■■■,sin ( a- (a- B)],AB2 29. （5分）设直线：，「与椭圆： -.：.■■■- :.-u ：交于A , B 两点，若△OAB 是 2 a z b z 直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.丄B.C.D .2332【解答】解：•••椭圆C 的两个焦点与A 、B 两点，△ OAB 是直角三角形，二AB=a,••• ?孑=曲站3，a ?e=「， 故选：C.10. （5分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1，a n =2c h -1+1 （n > 2），为求使不等式 a 什a 2+a 3+・・+a n <k 的最大正整数n ，某人编写了如图所示的程序框图，在框图的 判断框中的条件和输出的表达式分别为（）A . S v k ，iB . S v k , i - 1C . S >k ，iD . S >k ，i - 1【解答】解：由题意，进入循环的条件应为数列的和 S< k ， 故判断框中的条件应为S< k .由程序框图可知i 为数列项数计数，先累加，后判断，故输出的数列的项数应为 第9页（共20页）即 A （：，；），2 4 a 2 2且4b 2i - 1.故选：B.11. （5分）为得到函数f （x）=2sinxcosx_ _ 口丄_ _ _工.的图象，可以把函数二：，：|「-门门—：?.-1的图象（）A.向左平移"个单位B.向左平移厂个单位4 2C•向右平移宀个单位D.向右平移个单位4 2【解答】解：函数f （x）=2si nxcosx■眉（虽nJ© 口S2Z）,=sin 2x—；cos2x,=2sin （2x-——）,3所以：①函数Z yi :x=2cos（ 2x- 一）的图象向左平移三个单位,■J L 1一得到：兀y=2co< 2 (x+ ) ]=2cos （2x+ ）的图象，故A错误.②函数.I .. I =2cos （2x-丁）的图象向左平移=个单位，得到:O 0 也的图象，故B错误.y=2co< 2 (x+ ) -丁］ =2cos (2x£O③函数-■-- 」=2cos（2x-…）的图象向右平移]个单位，得到：3 3 4y=2co< 2 （x-丄）-——]=2cos （2x-丄=2sin（2x-——）的图象，故C正确.4 3 6 3④函数―一“i二：：y.=2cos （2x- 一）的图象向右平移—个单位，得到：V 0 乙y=2co< 2 （X--—）-= ] =2cos （2x- ）的图象，故D 错误.故选：C12. （5分）图是某几何体的三视图，则该几何体的各个棱长中，最长的棱的长度为（）2 T正规图侧视图俯视图A. 3匚B.寸丨丄C. “D. 3匚【解答】解：由几何体的三视图得所求几何体ABCD为圆中粗线所表示的图形, 最长棱是AC,由长方体对角线长公式得：AC y --- 2"=「「.故选：C.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5分）」匚展开式的常数项是20 .（用数字作答）x【解答】解：：「匚展开式的通项为•. /---，令6-2r=0? r=3;令6-2r=- 1, r无整数解，所以，展开式的常数项为-'_.||，故答案为：20.14. （5分）已知变量x，y满足条件r十2y-3>0，则2x- 3y的最小值等于一-3 .2rC 9-y第11页（共20页）.■/ -「，作出可行域如图，【解答】解：由变量x, y满足条件,19-y化目标函数z=2x- 3y为y=：x-',3 3由图可知，当直线y=：x-过B （3, 3）时3 3直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2X3-3X3=- 3.故答案为：-3.15. （5分）如图，在△ ABC中，D是AB上一点，工若CD丄CA 川-:, 则1“ | =.6【解答】解：由已知在厶ABC中，D是AB上一点，「■ ■ ■，可得二■一U- 乙CD丄CA,厂〕・：|,-* —* 3~2 1―•—•CD - CB^-CD pCD ・CA 二6・故答案为：6.16. （5分）已知a , b , c 分别为锐角△ ABC 的三个内角A , B , C 的对边，a=2, 且（2+b ） （ sinA - sinB ） = （ c - b ） sinC ,则厶ABC 周长的取值范围为• '■:.可得三角形的周长为：a+b+c=「 si nB+「 si nC+23 3 4屈.= sin3 二一 -sinB+一 - (—— cosB+〔 sinB ) +2 3 3 2 2 =2 si nB+2cosB^2 =4sin (B+丄)+2,6••• B €( 一，丄)，sin (B+ )€(- , 1],6 2 6 2 4sin (B+—) +2€「■ '■■,6故答案为：.三、解答题（本大题共5小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）（1） 求数列｛a n ｝的通项公式；（2） 设数列｛a n a n +1｝的前n 项和为T n ,求证:..七 【解答】（本小题满分12分）【解答】解：由已知及正弦定理可得:(a+b ) ( a - b ) = ( c - b ) c , 即由正弦定理可得：二，可得: 2b= ： sinB, c= ： g +2 可得周长的取值范围为: (2+2 V3 - 6]17. （12分）已知数列｛a n ｝满足：a i =1,(n 》2).，得 A=60°,2+c 2-asin (120- B ) 2arrl + 1所以；一：是以2为公差的等差数列, 所以—.:-, 所以数列｛a n 的通项公式为-■ n1 ,2n+l 2 ^2n-L 2n+l 'T n = =i :; ! 丨’5 2 U 2n+l 218. （12分）为了解学生完成数学作业所需时间，某学校统计了高三年级学生每 天完成数学作业的平均时间介于 30分钟到90分钟之间，图是统计结果的频率分 布直方图.（1） 数学教研组计划对作业完成较慢的 20%的学生进行集中辅导，试求每天完 成数学作业的平均时间为多少分钟以上的学生需要参加辅导？（2） 现从高三年级学生中任选4人，记4人中每天完成数学作业的平均时间不 超过50分钟的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解答】（本小题满分12分）解：（1）设每天完成作业所需时间为x 分钟以上的同学需要参加辅导, 则由频率分布图得:（70 - x ）x 0.02+ （90 - 70）x 0.005=0.2,解得 x=65 （分钟）, 所以，每天完成数学作业的平均时间为 65分钟以上的同学需要参加辅导.⑴解：一宀'—-an-l a n-l2n-l⑵证明：由（1）得1+*■■+- 1 1(2)把统计的频率作为概率，则选出的每个学生完成作业的时间不超过50分钟的概率为0.2,X〜B(4, 0.2)，P (X=0) =O0?0.20?0.84=0.4096,P (X=1) =C41?0.2?0.83=0.4096,2 2 2P (X=2) =C ?0.2 ?0.8 =0.1536,3 3P (X=3) =03?0.23?0.8=0.0256,P (X=4) =CC4?0.24=0.0016.••• X的分布列为：EX=0X 0.4096+1 0.4096+2 0.1536+3 0.0256+4 0.0016=0.8.19. (12分)如图，在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点, 平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3(1)求证：BF丄平面KAC(2)求二面角F- BD-E的余弦值.【解答】(本小题满分12分)证明：(1)v在三棱锥K- ABC中，D, E, F分别是KA, KB, KC的中点，平面KBCL平面ABC, AC丄BC, △ KBC是边长为2的正三角形，AC=3 •如图，以C为原点，CB为x轴，AC为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则■■- L' , B( 2, 0, 0), C( 0 , 0 , 0) , A( 0 , - 3, 0), F(] , 0,),第15页(共20页)•••"・ 1- ；f ；丄「，••• BF 丄 CK••• BF 丄 CA ,•••CA CK 是平面KAC 内的两条相交直线， ••• BF 丄平面KAC解：（2） D 寺—鲁，省），五=（—魯—器#），丽=（—養,0,爭）,蘇= （-1, 0,）,设平面BDE （即平面ABK ）的一个法向量为z. yBD^a-b^^O ,取 4=3,得 + n*BK=-a+V3c=0 设二面角的平面角为9, 贝U cos 9 二［R .=； =,I m I v | n | V4 T V16 4•••二面角F- BD- E 的余弦值为1420.（ 12分）已知椭圆：的离心率为77, Fi , F2是椭圆的左、z b‘ID =⑴0,:,则丿0,设平面BDF 的一个法向量:,则、2=0，取x=1，得右焦点，P是椭圆上一点，|计「-；叶：的最小值为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点冃且与x轴不重合的直线I交椭圆C于M , N两点，圆E是以Fi为圆心椭圆C的长轴长为半径的圆，过F2且与I垂直的直线与圆E交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【解答】解：(1)已知•，一：「■二；.［的最小值为b2- C2=2，a 2 1匸又a2=b2+c2，2 2解得a2=4，b2=3，所以椭圆方程为■.亠’1(2)当I与x轴不垂直时，设I的方程为y=k (x- 1)(心0)，M (xi，yi)，N (X2, y).y=k(x'l)由* / 2 得(4k2+3 ) x2- 8『x+4k2- 12=0 .则—=1l宀1,Sk 2昶宀121‘ 4k z+3 1£ 4k z+3所以lf r'- . .. < :■1.£4k2+3过点F2 (1，0)且与I垂直的直线.1 : "・■ ：，F1到m的距离为^亠，k Vk2+1可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为；一_ .当I与x轴垂直时，其方程为x=1，|MN|=3，|PQ|=8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为•二’_ .21. (12分)设f (x) =x (Inx—1) +a (2x—x2), a€ R.故四边形MPNQ的面积:1 "二匚j第仃页(共20页)(1)令g (x) =f'(x),求g (x)的单调区间；(2)已知f (x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.【解答】解：(1)由f (x) =lnx - 2ax+2a,可得g (x) =lnx- 2ax+2a, x€( 0, +^),则—J亠亠当a<0时，x€( 0, +x)时，g' (x)> 0，函数g (x)单调递增，当a>0时，一；….•■时，g' (x)> 0,函数g (x)单调递增，2a■, ■', …一时，g' (x)v 0,函数g (x)单调递减.2a所以当a< 0时，函数g (x)的单调递增区间为(0, +x),当a>0时，函数g (x)的单调递增区间为门亠.，单调递减区间为2a(圭，(2)由(1)知,f (1) =0.①当a< 0时，f (x)单调递增，所以当x€( 0, 1)时，f (x)v 0, f (x)单调递减，当x€( 1, +x)时，f (x)>0, f (x)单调递增，所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.②当「I时，1二，由(I)知f (x)在』. 「内单调递增，可得当x€( 0, 1)时，f (x)V 0,「］. ―时，f (x)> 0,2a所以f (乂)在(0, 1)内单调递减，在；〕.. 亍］内单调递增，2a所以f ( X)在x=1处取得极小值，不合题意.③当4一；时，即打-i. , f (乂)在(0 , 1)内单调递增，在(1 , +x)内单调递2 2a减，所以当x€( 0, +x)时，f (x)< 0, f (x)单调递减，不合题意.④当二二丄时，即,当亠1 •:时，f (x)> 0, f ( x)单调递2 2a 2a当x€( 1, +x)时，f (x)V 0, f (x)单调递减，所以f (x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为■■.2第20页(共20页)请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4 :坐标系与参数方程］22. (10分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点0处，极轴与x轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线I的极坐标方程为| :,曲线C的参数方程为：■：，(a为参数)，其中a€ ［0，2n).(y=2+3sinCl(1)写出直线I的直角坐标方程及曲线C的普通方程；(2)若A，B为曲线C与直线I的两交点，求|AB| .【解答】(本小题满分10分)【选修4 - 4:坐标系与参数方程】解：(I) I直线I的极坐标方程为j ■,, I；I ；，•••：；」:,3直线I的直角坐标方程：Lj—= '1曲线C：•—：(a为参数)，ly=2+3sina消去参数可得曲线C的普通方程为: 「迁,;小■ '!.(U)由(I)可知，(讣卫+^乂二g的圆心为D (皿，2)，半径为3. 设AB中点为M，连接DM，DA,圆心到直线I的距离I _二，二DM=2，2又T DA=3,所以，匸，•丨「丨二「J［选修4-5：不等式选讲］23 .设f (x) =| 2x-3|+| x+1| .(1)求不等式f (x)v x+4的解集；(2)若函数g (x) =f (x) +ax有两个不同的零点，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) f (x) =| 2x-3|+| x+1| .不等式f (x)v x+4转化为：| 2x—3|+| x+11 v x+4令：2x- 3=0, x+仁0,解得：x=- 1,2①当X》「时，22x- 3+x+1 v x+4,解得：x v3;则：合以二E②当—1 v x v 时，23 —2x+x+1 v x+4，解得：x> 0,则：-一「「.2③当x< —1时，3 —2x —x- 1 v x+4，无解，则：解集为？综合①②③得：不等式解集为（0, 3）.（2）函数g（x）=f（x）+ax有两个不同的零点，即：g （x）=| 2x—3|+| x+1|+ax=0 有两个实数根，函数 f （x）=|2x-3|+| x+1| =—ax有两个交点.（33z-2 （x>y）-x+4（-l<x<|）-3x+2 -1）L利用函数的图象，利用（芦心，解得A（容冷）y=-x+4 2 2则：当-a「一且-a v3时，函数的图象有两个交点.即：可得-4-。
