高中数学2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义优化训练新人教B版必修90

学 习 资 料 汇编
2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.力使一个物体产生的位移为H ，F 与H 的夹角为α，那么力F 所做的功可表示为( )
A.|F ||H |sin α
B.|F ||H |cos α
C.|F ||H |tan α
D.|F ||H |cot α
解析：由功的物理意义.
答案：B
2.以下命题中，不与“非零向量a 、b 夹角为钝角”等价的是（ ）
A.非零向量a 在非零向量b 上的正射影为负值
B.非零向量a 、b 的内积为负值
C.非零向量a 、b 的长度皆小于a -b 的长度
D.非零向量a 、b 的平方和大于a +b 的平方
解析：由三角形法则知a 、b 、a -b 恰构成一个三角形，
令|a |＜|b |＜|a -b |，且a 与b 夹角为锐角即可否定C 选项的条件.
答案：D
3.已知|p|=2，|q|=3，且p 与q 的夹角为120°，则向量p 在q 方向上的正射影值为_____________；向量q 在p 方向上的正射影值为_____________.
解析：向量p 在q 方向上的正射影值为|p |s θ=2×cos120°=-1.
同理，|q |cos θ=3×cos120°=23-
. 答案：-1 2
3- 4.已知|a |=10，|b |=12，且(3a )·(
51b )=-36，则a 与b 的夹角为____________. 解析：(3a )·(
51b )=3|a |51|b |cos 〈a ，b 〉 =3×10×51×12cos〈a ，b 〉=-36,∴cos〈a ，b 〉=2
1-. ∵cos〈a ，b 〉∈［0°，180°］.
∴cos〈a ，b 〉=120°.
答案：120°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列命题正确的是( )
A.若|a |=|b |，则a =b
B.若a 、b 为非零向量，则|a -b |＜|a +b |
C.若x 、y 满足|x+y|=|x|+|y|，则x·y=|x||y|
D.若x 、y 为非零向量，则x 与y 同向的条件是存在实数k ，使得x=ky
解析：对于A ，显然不成立；对于B ，
|a -b |＜|a +b |⇔|a -b |2＜|a +b |2⇔ (a -b )2＜(a +b )2⇔a 2+b 2-2a ·b ＜a 2+b 2+2a ·b ⇔a ·b ＞0，所以当a 与b 夹角为锐角时命题才能成立；
对于C ，|x +y |=|x |+|y |⇔|x +y |2=(|x |+|y |)2⇔(x +y )2=|x |2+|y |2+2|x ||y |⇔x 2+y 2+2x ·y =
x 2+y 2+2|x ||y |⇔x ·y =|x ||y |，所以该命题正确；对于D ，当且仅当k 为正实数时才能成立. 答案：C
2.已知a 、b 都是单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A.a ·b =1
B.a 2=b 2
C.a ∥b ⇒a =b
D.a ·b =0
解析：单位向量是指模长为1的向量，对方向没有要求，因此夹角也无从得知，故A 、C 、D 不正确，而|a |=2a ，故B 正确.
答案：B
3.在△ABC 中，=a ，=b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为三角形.（ ）
A.锐角
B.直角
C.钝角
D.等腰直角 解析：∵·＞0，∴·＜0，即∠ABC 为钝角.
答案：C
4.若|a |=3，|b |=4，a ，b 的夹角为135°，则a ·b 等于( ) A.23- B.26- C.26 D.12
解析：∵a ·b =|a ||b |cos135°=3×4×(2
2-)=26-. 答案：B
5.若|a |=2，b =-2a ，则a ·b =______________.
解析：|b |=2|a |=4，且b 与a 反向，∴〈a ，b 〉=180°.∴a ·b =|a ||b |cos180°=2×4×(-1)=-8. 答案：-8
6.已知|a |=4，|b |=5，当①a ∥b ；②a ⊥b ；③〈a ，b 〉=120°时，分别求a 与b 的数量积. 解：①a ∥b ，则a 与b 同向时，〈a ，b 〉=0°，此时a ·b =|a ||b |cos0°=4×5=20. a 与b 反向时，〈a ，b 〉=180°，此时a ·b =|a ||b |cos180°=4×5×(-1)=-20.
②a ⊥b 时，a ·b =0.
③〈a ，b 〉=120°，则a ·b =|a ||b |s 〈a ，b 〉=4×5×(2
1-)=-10. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.对任意向量x 和y ，|x ||y |与x ·y 的大小关系是（ ）
A.|x ||y |≤x ·y
B.|x ||y |＞x ·y
C.|x ||y |≥x ·y
D.|x ||y |＜x ·y
解析：设x 与y 夹角为θ，则x ·y =|x ||y |cos θ≤|x ||y |·1=|x ||y |.
特别地，当x 或y 等于0时，x ·y =|x ||y |=0；当θ=0°时，x ·y =|x ||y |.
答案：C
2.在△ABC 中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·BC 等于( )
A.16
B.8
C.-16
D.-8
解析：∵∠C=90°，AC=BC=4，故△ABC 为等腰直角三角形，∴BA=24，∠ABC=45°. ∴·=4×24cos45°=16.
答案：A
3.(2006高考陕西卷，9)向量、满足(+)·=0且
2
1=∙，则△ABC 为( ) A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
解析：=21⇒∠A=60°.又由+BC =0， 知∠A 的平分线与BC 垂直，所以△ABC 为等边三角形.
答案：A
4.已知|a |=4，b 在a 方向上的正射影的数量为-8，则a ·b 等于( )
A.16
B.32
C.-16
D.-32 解析：∵ab =|a ||b |cos 〈a ，b 〉=4×(-8)=-32.
答案：D
5.已知a ·b =2，|a |=|b |=2，则下面正确的是( )
A.〈a ，b 〉=45°
B.a ⊥b
C.a 与b 同向
D.a 与b 反向
解析：a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉，即2=22∙cos 〈a ，b 〉，
∴cos〈a ，b 〉=1.
∴〈a ，b 〉=0°，即a ∥b ，且a 与b 同向.
答案：C
6.已知|a |=8，e 为单位向量，当它们之间夹角为60°时，a 在e 方向上的正射影为( )
A.-4
B.4
C.2
D.-2 解析：∵|a |cos60°=8×2
1=4. 答案：B
7.若非零向量α，β满足|α+β|=|α-β|，则α与β所成角的大小为_____________. 解析：设=α，=β，作平行四边形ABCD ，则α+β=，α-β=， ∴||=||.∴平行四边形ABCD 为矩形.∴α⊥β.
答案：90°
8.已知a ·b =212-，|a |=4，〈a ，b 〉=135°，则|b |=______________.
解析：a ·b =|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴212 =4×|b |cos135°.∴|b |=6.
答案：6
9.若四边形ABCD 满足AB +CD =0，且AB ·BC =0，试判断四边形ABCD 的形状.
解：∵+=0，∴=，即AB∥DC 且AB=DC ，∵四边形ABCD 为平行四边形， 又∵·=0，∴⊥，即AB⊥BC.
∴四边形ABCD 为矩形.
10.已知△ABC 中，=c ，=a ，=b ，
若|c |=m ，|b |=n ，〈b ，c 〉=θ,①试用m 、n 、θ表示S △ABC ；
②若c ·b ＜0，且S △ABC =
4
15，|c |=3，|b |=5，则〈c ，b 〉为多少？ 解：①S △ABC =21AB·AC·sin∠CAB=2
1m·nsin θ. ②∵S △ABC =415=2
1|b ||c |sin θ， ∴415=21×3×5sin θ.∴sin θ=21. ∵c ·b ＜0，∴θ为钝角.
∴θ=150°，即〈c ，b 〉=150°.
敬请批评指正。