用数学建模的思想和方法指导工科数学教学

乏对数据的敏感性，缺乏面对一个事物系统或者变化过程进行数量表示、数量分析的基本
思路 。学生受 到的训练往往是从 数学规定到数学规律 ，侧重 于数学 的形 式化演绎 。长此下 去的话 ，学生 当然会对应用 问题 不感兴趣 ，也 就缺乏分 析 和解决 这类 问题 的思路 、方 法、 技巧 。只有让学 生经常大量接触 实际问题 ，用规范化的数学建模过程 去分析问题 、解决 问
问题 的条件组织不用过于条理化 ，给出一些分散的或者多余的数据、现象等，或者少给出 数据，问题的目标应当通俗化 ，更接近于人们的朴素观念，也就是说往往是有关概念的通
俗化解释或者是 等价说法 ，这个 层次 的问题应 当是人 们初 步建立 了解 决实 际 问题 的方案 ，
有了一定的眉 目，有了大的方向，下一步的工作就是要去精确地构做 目标、计算 目标，形
模型 。
３ 强化求解数学应用问题能力的训练和培养 。
１ 、通过加强训练大学生求解实际问题 ，提高应用数学理论解决实际问题的意识。应 当看到，很多学生一见到数学应用问题，尤其是问题涉及到的对象、条件比较多 ，已知数
据 比较繁杂 的话 ，就往往束手无 策。出现这种现象的根本原系密切的建模求解方法，像层次分析法 （ 放在特征值理论后面讲） 、线性规划建模 （ 放在
线性代数的线性方程组后面讲）等。
（ ４ ）适 当设 定不 同层次 的数 学建模 问题 。
在学生初步 掌握 了数学建模 的基本 步骤以后 ，可以适 当扩充补充 一些实际问题 ，这些 实际问题 的设定表 示应 当有一定 的层次 ，根据 实际问题 与规范化 的纯数 学问题 的接近程度
果与实际事物系统或变化过程结合起来的意识 ，这对于深刻而生动地理解数学概念、数学
理论 、数学 方法 、数学结果 都是非常必要 、非常有效 的。
３ 、数学建模过程能够培养学生综合、深入分析复杂问题的能力。通过数学模型方法
的教学 ， 能够提高学生的想象能力、构造能力、数量感觉能力，能够培养学生分析、 解决
验 ，分析是否 可以改进模 型使结果更好 ，以及是 否符合实际状况 ）（ ６ ）模 型改进 （ 调整 目
标、假设 ，使新模型的结果更精确、更符合实际、更有实用价值）
２ 、数学概念 的建 立过程就是数 学建模 的过程 。 数学概念 是数学理论 的根基和核心 。在工科数学 中 ，我们 所讲 的概念一般都 是从实际
成完整规范 的数学 问题 形式 。
第三层次的问题就是原始问题。 实际上这种问题是在某种实际领域中由某种特定 目的
所引入， 反映了 某种特定的目 标。例如：满意度问题、 最佳决策问题、选择方案问题、调度方
案问题、随机预测问题等。这时，学生面对的是非数学问题 ，首先要选定数学方法，然后逐步 分析形成数学问题。它的解决就是要化成前两个层次的问题，进而建立完整的数学模型求解。
收稿日期 ： ２ ０ ０ ３ — １ １ — １ ５ ． 作者简介 ：胡京爽 （ １ ９ ６ ４年生） ，男，硕士，副教授 ，研究方向：应用数
学．
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题的条件）（ ３ ）模型形成与建立 （ 引入符号、概念，建立数学问题）（ ４ ）模型求解 （ 用已 掌握的方法或者新发现的方法计算、论证） （ ５ ）模型检验 （ 对所求 的结果进行评价和检
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４ 在工科数学教学中要强调和加强数学建模的思想和方法 ，培养
大学生的创新素质和创新能力。
通过在工科数学教学中渗透数学建模的思想和方法，能够培养大学生的创新素质和创
新 能力 １ 、培养学生在一定背景下形成数学问题 的能力 ，即面对实际事物系统和运动变化过
的不同，可以分成三个层次 ： 第一层次的数学建模问题。 非常接近于规范数学问题的形式 ，题 目的条件、数据、 目标、概念都比较容易看出是什么理论下的实际问题 ，用什么样 的概念及问题形式比较容
易看 出来 ，这类题 目往往就是 现在教材 上经常出现的那 种应用问题 ； 第二层次的数 学建 模 问题 。 可 以把 问题 的表 述进行 变化 ：尽 量 少地 出现数 学概 念 ，
４ ）对某种不确定 性 的现象 的结 果进行 结果预测 、结果对 比、总结果 的结构 分析 、建
立某种多样性取值变量的具体变化形式 （ 回归分析） ，这些都往往是随机模型，即概率论
与数理统计模 型等 等。 除此 以外 ，还可 以补充一些 基本 理论 简洁 ，所 涉及到 的概念 、方法 与工科数学理论关
题 ，才能培养他们强烈的应用意识，而这正是对工科大学生非常重要的素质要求。
２ 、用数学建模的思想过程指导学生求解数学应用问题。
（ １ ）能力培养： 从数学建模能力的基本要求来看， 求解数学应用问 题，除了应当具备必要
的数学基本概念、基本问题形式、基本计算方法以及掌握数学建模的基本方法和步骤以外，还
要具备一些相关的自 然科学、 社会科学知识： 物理、力学、经济、生物、生态等方面的基本常
识和知识。因为数学所反映出来的数量规律和空间几何形式特征，除了有些是要根据基本数据
来猜测、构造的以外， 还有许多应当借助于自 然科学、社会科学等领域中已经研究出来的数量
规律和性质 、以及某些状态 的数值表现形式 ，以及在这些领域中的客观现象 的各种概念的定量
Ｉ 、数学模型方法的含义 ： 从广义上讲 ， 数学模型是指针对或者参照某种事物系统或
过程的特征及数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数 学结构。从这个意义上讲 ，数学中的概念、公式、定理、正确的命题 、各个数学分支等都 是数学模型 ，它们都是对客观存在的数量规律、数量关系以及空问形式合理的数学刻划与 模拟反映。从数学模型作为一种方法来看，有这样的特征：数学模型是对于现实的一个特
经有 了的数 学概念 、数学 问题 ，以及 灵 活运 用某些 特别 的数值 组 织 方式 、运算 方式 ，例 如 ：取 最大或最小 ，或者 多层次 的取最大 或最小运 算等 等 ，来形 成表 达 我们求解 、比较 、 确定状态或规 律 的数学计算 表达式 、几何形 式等 。这些 基本 能力必 须 通过作 大量 的问题 ， 培养一种感觉 ，一种对数 值 、数据 的特别敏感性 ，培养一种对事 物系统或运 动变化 过程 的
每年举行的全国大学生数学建模竞赛对这项工作起到了极大的推进作用， 数学建模和数学实验
教学与研究正在全国各高校中蓬勃开展。把数学建模思想方法作为工科数学知识、思想和方法 的重要组成部分，已经得到了广泛的认可和重视。下面从三个方面分析如何做好这方面的工
作。
２ 用数学模型方法的思想过程和方式引人数学概念
程，根据生产实际的需要、经济领域决策与分析、军事战略研究、社会科学研究的定量化
趋 势等等 ，利用数 学概念建立起 明确 的数学 问题 ，这显然是 一种创新能力 的培养。
２ 、培养学生在求解抽象数学问题的同时能把相应 的问题放在某种实际背景之下来分
析和计算 、检验 ，随时 随地地培 养 “ 用”数学 的精神 、思想 和方法 。也就是说把 抽象问题 翻译 成某种有 实际背景 的问题 ，进行分析理解 。就能培养学 生主动把数学 理论和方法 、结
事物系统或运动过程的背景中，根据要认识的目标或要求解的某种数值，通过分析、计算
而形成某种属性 、或者运算 方式 ，然后将其进行一般化 而得 到的。这个过程就是对 客观存 在的数量关系 、数量 规律 的模 拟 、反 映 。因此 ，数 学概 念 的 引入过 程 就是 数学 建模 的过 程 ，在分析 引入 数学概念 时完全可 以按数学建模 的过程进行分析 ，并形成数学模 型即概念
（ ２ ）数 学建模过程 中需要有创新精神 ，必要时要创造性地 引入数 学概念和方 法。数学
用来解决实际问题的目的往往是求出某些具有特定含义的数值、数值的统一表现形式、数
值的关系和大小比较等等。但在许多情况下，可能没有现成的概念来表示，这就需要我们
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文章编号 ：１ ０ ０ ５ — ３ ０ ８ ５（ ２ ０ ０ ３ ）０ ８ — ０ １ ０ ３ — ０ ４
用数学建模的思想和方法指导工科数学教学
胡京爽 ， 王谦源
（ 青岛建筑工程学院数理与信息工程系 ， 青岛 ２ ６ ６ ０ ３ ３ ）
摘 要 ： 本文探讨和分析了在大学数学教学中，应当如何把数学建模的思想和方法渗透到 日常的工科教
复杂问题的能力：因为在数学建模的过程中，需要对事物系统 、运动变化过程有深刻而全 面、细致的了解，需要对实际背景做去伪存真、去粗取精、简化变换等步骤，需要对于对 象及对象体系中的复杂众多的数值进行排列、集中、表示、计算、分组、分层、分类、直
定的对象、对象系统或某种过程 ，为了某种特定的目的，根据其内在的规律、联系， 作出
必要的简化、假设、取舍 、增减，运用适当的数学工具，得到一个明确的数学问题 ，并对
其进行求解、分析、验证。 数学建模的过程一般包含这样几个步骤：
（ １ ）模型分析 （ 明确问题的 目标、背景条件）（ ２ ）模型假设 （ 调整、规范、特殊化问
化规定和表现。因此对于实际问题所涉及到的条件、结果、要求、性态、关系、规律等等，如 何用数学概念和工具来表示、界定，有时就需要用到有关学科中的概念和方法，这都是十分需
要 的。
当然 ，作 为数 学教学 ，并不需 要涉及 大量的实际背 景知识 ，我们 的根 本 目的在于通过
这种训练，培养学生敢于、愿意解决应用问题的意识和能力，培养学生基本 的思考方式 ， 教给学生一些具有普遍性的处理数据、数值 ，利用数据、计算数据的技术手段和方法。我 们只要利用好某些典型的实例 ，教给学生普遍性的思想方法 ，当他们对这类问题感兴趣 了、愿意思考了、敢去作了，就初步达到了我们的教学 目的。