数学中国国赛专题培训（一）
《数学建模思想方法大全及方法适用范围》
主讲人：厚积薄发（冰强，Bruce Jan）
第一篇：方法适用范围
一、统计学方法
1.1多元回归
1、方法概述：
在研究变量之间的相互影响关系模型时候，用到这类方法，具体地说：其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。
2、分类
分为两类：多元线性回归和非线性线性回归；其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如：y=lnx可以转化为y=u u=lnx来解决；所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。
3、注意事项
在做回归的时候，一定要注意两件事：
（1）回归方程的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）
（2）回归系数的显著性检验（可以通过sas和spss来解决）
检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。
4、使用步骤：
（1）根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系；
（2）选取适当的回归方程；
（3）拟合回归参数；
（4）回归方程显著性检验及回归系数显著性检验
（5）进行后继研究（如：预测等）
1.2聚类分析
1、方法概述
该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法（选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述）选取m聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法（一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近）来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas软件或者spss软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。
这种模型的的特点是直观，容易理解。
2、分类
聚类有两种类型：
（1）Q型聚类：即对样本聚类；
（2）R型聚类：即对变量聚类；
通常聚类中衡量标准的选取有两种：
（1）相似系数法
（2）距离法
聚类方法：
（1）最短距离法
（2）最长距离法
（3）中间距离法
（4）重心法
（5）类平均法
（6）可变类平均法
（7）可变法
（8）利差平均和法
在具体做题中，适当选区方法；
3、注意事项
在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易，这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理。
4、方法步骤
（1）首先把每个样本自成一类；
（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵，比如说：距离矩阵或相似性矩阵，找到矩阵中最小的元素，将该元素对应的两个类归为一类，
（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵
（4）重复第2步，直到只剩下一个类；
补充：聚类分析是一种无监督的分类，下面将介绍有监督的分类。
1.3数据分类
1、方法概述
数据分类是一种典型的有监督的机器学习方法，其目的是从一组已知类别的数据中发现分类模型，以预测新数据的未知类别。这里需要说明的是：预测和分类是有区别的，预测是对数据的预测，而分类是类别的预测。
2、分类
方法：
（1）神经网路
（2）决策树（这里不再阐述，有兴趣的同学，可以参考数据挖掘和数据仓库相关书籍）3、注意事项
神经网路适用于下列情况的分类：
（1）数据量比较小，缺少足够的样本建立数学模型；
（2）数据的结构难以用传统的统计方法来描述
（3）分类模型难以表示为传统的统计模型
神经网路的优点：
分类准确度高，并行分布处理能力强，对噪声数据有较强的鲁棒性和容错能力，能够充分逼近复杂的非线性关系，具备联想记忆的功能等。
神经网路缺点：
需要大量的参数，不能观察中间学习过程，输出结果较难解释，会影响到结果的可信度，需要较长的学习时间，当数据量较大的时候，学习速度会制约其应用。
4、步骤
（1）初始化全系数
（2）输入训练样本
（3）计算实际输出值
（4）计算实际输出值和期望输出值之间的误差
（5）用误差去修改权系数
（6）判断是否满足终止条件，如果满足终止，否则进入第二步
1.4判别分析
1、概述
其是基于已知类别的训练样本，对未知类别的样本判别的一种统计方法，也是一种有监督的学习方法，是分类的一个子方法！
具体是：在研究已经过分类的样本基础上，根据某些判别分析方法建立判别式，然后对未知分类的样本进行分类！
2、分类
根据判别分析方法的不同，可分为下面几类：
（1）距离判别法
（2）Fisher判别法
（3）Bayes判别法
（4）逐步判别法
关于这几类的方法的介绍，大家可以参考《多元统计学》，其中比较常用的是bayes判别法和逐步判别法
3、注意事项：
判别分析主要针对的是有监督学习的分类问题。共有四种方法，这里重点注意其优缺点：（1）距离判别方法简单容易理解，但是它将总体等概率看待，没有差异性；
（2）Bayes判别法有效地解决了距离判别法的不足，即：其考虑了先验概率——所以通常这种方法在实际中应用比较多！
（3）在进行判别分析之前，应首先检验各类均值是不是有差异（因为判别分析要求给定的样本数据必须有明显的差异），如果检验后某两个总体的差异不
明显，应将这两个总体合为一个总体，再由剩下的互不相同的总体重现建
立判别分析函数。
（4）这里说明下Fisher判别法和bayes判别法的使用要求：两者对总体的数据的分布要求不同，具体的，Fishe要求对数据分布没有特殊要求，而bayes
则要求数据分布是多元正态分布，但实际中却没有这么严格！
（5）可以利用spss，sas等软件来轻松实现
4、方法步骤
这里以bayes判别法为例讲述
（1）计算各类中变量的均值xj及均值向量xh，各变量的总均值xi及均值向量x
（2）计算类内协方差及其逆矩阵
（3）计算bayes判别函数中，各个变量的系数及常数项并写出判别函数
（4）计算类内协方差矩阵及各总协方差矩阵做多个变量的全体判别效果的检验
（5）做各个变量的判别能力检验
（6）判别样本应属于的类别
1.5主成分分析
1、概述
主成分分析是一种降维数的数学方法，具体就是，通过降维技术奖多个变量化为少数几
个主成分的统计分析方法。在建模中，主要用于降维，系统评估，回归分析，加权分析等等。
2、分类（无）
3、注意事项
在应用主成分分析时候，应该注意：
（1）综合指标彼此独立或者不想关
（2）每个综合指标所反映的各个样本的总信息量等于对应特征向量的特征值。
通常要选取的综合指标的特征值贡献率之和应为80%以上
（3）其在应用上侧重于信息贡献影响力的综合评价
（4）当主成分因子负荷的符号有正也有负的时候，综合评价的函数意义就不明确！
4、方法步骤
大家可以参考《多元统计学》这本书籍，在这里就不做阐述
1.6因子分析
1、概述
其是也是将变量总和为数量较少的几个因子，是降维的一种数学技术！它和主成分分析的最大区别是：其是一种探索性分析方法，即：通过用最少个数的几个不可观察的变量来说明出现在可观察变量中的相关模型（有点类似于前面讲述的分类和聚类的区别）它提供了一种有效的利用数学模型来解释事物之间的关系，体现出数据挖掘的一点精神！他可以用来解决降维，系统评估，加权分析等方法。
2、分类
因子分析是R型，即对变量研究
3、注意事项
（1）其不是对研究总体的变量的降维，而是根据原始变量信息构造新的变量，作为共同因子
（2）它通过旋转可以使得因子变量具有可解释性
（3）因子分析和主成分分析的区别和联系
<1>两者都是降维数学技术，前者是后者的推广和发展
<2>主成分分析只是一般的变量替换，其始终是基于原始变量研究数据的模型
规律；而因子分析则是通过挖掘出新的少数变量，来研究的一种方法，有点像
数据挖掘中的关联关则发现！
4、方法步骤
（略）大家可以去论坛上下载相关电子资源，也可以参考《多元统计学》
1.7残差分析
1、概述
在实际问题中，由于观察人员的粗心或偶然因素的干扰。常会使我们所得到的数据不完全可靠,即出现异常数据。有时即使通过相关系数或F检验证实回归方程可靠，也不能排除数据存在上述问题。残差分析的目的就在于解决这一问题。所谓残差是指实际观察值与回归估计值的差。
2、分类
无
3、应用
（1）通过残差分析来排除异常数据
（2）通过残差分析来检验模型的可靠性
还有很多应用，大家在使用过程中据情况选取，灵活应用！
1．8典型相关分析
1、概述
前面介绍的方法主要是一个变量和多个变量之间的关系，而典型相关分析研究的是多个变量和多个变量之间的关系，或者是一组变量和一组变量之间关系！其可以揭示两组变量之间的关系，从而供大家研究两个现象之间的关系，例如：蔬菜的产出水平和影响产出水平的变量之间的关系！
2、分类
多对多的变量关系研究！
3、注意事项
（1）其可以很好地解决组合相关性的问题
（2）其还局限于两组变量的研究，而且要求这两组变量都是连续变量且需服从多元正态分布
1.9时间序列
1、概述
时间序列预测法是一种定量分析方法，它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。
其基本特点是：假定事物的过去趋势会延伸到未来；预测所依据的数据具有不规则性；撇开市场发展之间的因果关系。
2、分类
时间序列的变动形态一般分为四种：长期趋势变动，季节变动，循环变动，不规则变动。
方法分类：
（1）平均数预测（简单算术平均法，加权算术平均法，几何平均数法）
（2）移动平均数预测（一次移动平均法，二次移动平均法）
（3）指数平滑法预测（一次，二次，三次指数平滑法）
（4）趋势法预测（分割平均法，最小二乘法，三点法）
（5）季节变动法（简单平均法，季节比例法）
3．注意事项
（1）季节变动法预测需要筹集至少三年以上的资料
（2）移动平均法在短期预测中较准确，长期预测中效果较差；
（3）移动平均可以消除或减少时间序列数据受偶然性因素干扰而产生的随机变动影响。
（4）一次移动平均法适用于具有明显线性趋势的时间序列数据的预测；一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测，必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数据的偏差也越大。跨期太小则又不能有效消除偶然因素的影响。跨期取值可在3~20间选取。
（5）二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高；二次移动平均只适用于短期预测。而且只用于的情形。
（6）最小二乘法即适用于直线趋势的预测，也适用于曲线趋势的预测。
还有一些注意事项，这里就不在意义罗列
4．方法步骤
（略）
统计学的分析方法到这先告一段落！
下面进入优化的方法介绍：
二、优化方法
1、概述
在一系列的条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的问题统称为优化问题。解决这类问题的方法，自然就称之为优化方法，又成为数学规划！其是运筹学的一个重要分支！
2、分类
优化问题可以归结为优化模型，按照优化模型求解方法的不同，可以分为以下类别：（1）按照有无约束条件：无约束和约束最优化问题
（2）按照决策变量是否取之连续分为：
a)数学规划或连续规划：LP,NLP,QP
b)离散优化或组合优化：IP
（3）单目标规划和多目标规划
（4）确定性规划和不确定性规划
（5）目标规划，动态规划，非线性规划，多目标规划等
3、注意事项
（1）约束优化问题可以转化为无约束优化问题来解决
（2）多目标规划可以通过适当的方法转化为但目标规划来解决
（3）非线性规划，在一定的条件下，可以近似为线性规划来解决
（4）不确定性规划可以通过适当的技巧转化为确定性方法解决
这些转化，大家可以参阅优秀论文，注意学取人家的经验，从而建立自己的能力提升！也可以参考相关优化书籍和运筹学书籍来学习，书上都有介绍！
4、步骤
简要概括
（1）建立规划模型
（2）选择方法
（3）结果解释
三、排队论
1.概述
在我们的生活中，经常会做和排队想关的事情，比如：银行等待取钱，医院挂号排队，理发排队等等，都会涉及到排队问题，并且2009年国赛B题第五小题就考了和排队论相关的问题。
排队论是一门研究拥挤现象的学科，具体就是研究各种排队系统概率基础上，解决相应的排队系统的最优设计和最优控制问题（注意：其实解决排队最优设计和最优控制的问题）2、分类
（1）泊松输入-指数服务排队模型
（2）M/M/1等待排队模型
（3）M/M/S/inf模型（2009年B题的排队就是一个这种模型）
3、注意事项
（1）排队系统常见的优化问题在于
A）确定最优服务率
b)确定最佳服务台数量
c）选择最为合适的服务规则
d）确定上述几个量的最优组合
（2）在使用时候，应该注意模型的选择，模型选择好后，注意顾客到达和服务时间分布的选择和检验
4、步骤
（略）
四：智能算法的优化应用
遗传算法，蚁群算法，贪婪算法，模拟退火算法，回溯法，分支定界法，禁忌搜索算法，粒子群算法等启发式算法
这类算法在实际中应谨慎使用，固然这类算法有其好处，但是其不确定远远大于其确定性，所以大家在比赛中慎重使用，最好使用成熟的算法！
五、微分建模
1、使用背景介绍
我们通常会在研究一些问题时候，涉及到某些变量的变化率或导数，这样所得到的变量之间的关系就是微分方程模型，其反映的是变量之间的间接关系，通过求解方程，就可以得到直接关系！
2、分类
按照求解方法的不同分为：精确求解，求数值解，定性分析方法
3、注意事项
（1）微分方程的集中建立方法：
A、根据规律建立方程
B、微元法
C、模拟近似
（2）几种常见的微分方程模型：
人口增长模型，传染病模型，捕鱼模型等
4、步骤
（略）
六、差分方程
1、使用背景的介绍
它是研究离散变量的变化规律，具体就是：根据实际的规律性质，平衡关系等，建立离散变量所满足的平很关系式，从而建立差分方程模型。通过求出和分析解，研究方程解的性质，比如，平稳性，渐进性，振动性，周期性等等
2、分类
几个重要的差分方程模型：
商业贷款，离散形式的人口模型，汽车租赁，动物养殖问题等经典模型，大家可以参考，然后对差分方程模型有个全面的认识
七、图论
由于图论设计的内容比较多，系统庞杂，而且模型比较灵活，所以在这里不做介绍，大家可以自行研究。
八、其他方法介绍
灰色系统主要用来解决少数据的预测问题；层次分析法主要用来解决综合分析类的问题；模糊数学可以用来做模糊综合评判，模糊聚类分析和模糊线性规划；蒙特卡洛方法主要是一种计算机仿真方法，通常在排队论问题使用；神经网路可以用来分类，预测，建立模型等等；还有一些其他的方法，这里就不一一介绍了。
这里我再补充一点：
预测方法的比较：
一般小样本内部预测用插值和拟合，大样本内部预测用回归模型。
移动平均法属于时间序列分析的内容，时间序列分析一般用作大样本外部预测，就是对未来的预测，灰色理论用于小样本的外部预测，神经网络用于超大样本的未来预测。
可以把这些预测方法归纳一下，对于建模，主要考虑这些方法的适用性。
上面主要是对《建模方法的使用范围》做了一定的介绍，关于《数学建模中的思想方法大全》，大家可以参考《数学建模中的思想方法大全》
（网址：https://www.doczj.com/doc/093476542.html,/thread-90389-1-1.html）
第二篇《数学建模思想方法大全》
在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。
回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。
逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS 来实现，也可以用matlab软件来实现）。
聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量
它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。
系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。
系统聚类方法步骤：
1.计算n个样本两两之间的距离
2.构成n个类，每类只包含一个样品
3.合并距离最近的两类为一个新类
4.计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类
的距离最小值），若类的个数等于1，转5，否则转3
5.画聚类图
6.决定类的个数和类。
判别分析：在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。
距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离）
Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别
Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体
模糊数学：研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题：模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确；模糊相似选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性；模糊聚类分析—根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系；模糊层次分析法—两两比较指标的确定；模糊综合评判—综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果。
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势变动、季节变动、循环变动、不规则变动）自回归模型：一般自回归模型AR(n)—系统在时刻t的响应X(t)仅与其以前时刻的响应X(t-1),…，X(t-n)有关，而与其以前时刻进入系统的扰动无关；移动平均模型MA(m)—系统在时刻t的响应X(t)，与其以前任何时刻的响应无关，而与其以前时刻进入系统的扰动a(t-1),…,a(t-m)存在着一定的相关关系；自回归移动平均模型ARMA(n,m)—系统在时刻t的响应X(t)，不仅与其前n个时刻的自身值有关，而且还与其前m个时刻进入系统的扰动存在一定的依存关系。
时间序列建模的基本步骤
1.数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项
2.取n=1，拟合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型
3.n=n+1，拟合ARMA(2n,2n-1)模型
4.用F准则检验模型的适用性。若检验显著，则转入第2步。若检验不显著，转入第
5步。
5.检查远端时刻的系数值的值是否很小，其置信区间是否包含零。若不是，则适用的
模型就是ARMA(2n,2n-1)。若很小，且其置信区间包含零，则拟合ARMA(2n-1,2n-2)。
6.利用F准则检验模型ARMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2)，若F值不显著，转入第
7步；若F值显著，转入第8步。
7.舍弃小的MA参数，拟合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m)，并用F准则进行检验。
重复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止
8.舍弃小的MA参数，拟合m<2n-1的模型ARMA(2n,m)，并用F准则进行检验。重
复这一过程，直到得出具有最小参数的适用模型为止。
图论方法：
最短路问题：两个指定顶点之间的最短路径—给出了一个连接若干个城镇的铁路网络，在这个网络的两个指定城镇间，找一条最短铁路线（Dijkstra算法）每对顶点之间的最短路径（Dijkstra算法、Floyd算法）。
最小生成树问题：连线问题—欲修筑连接多个城市的铁路设计一个线路图，使总造价最低（prim算法、Kruskal算法）。
图的匹配问题：人员分派问题：n个工作人员去做件n份工作，每人适合做其中一件或几件，问能否每人都有一份适合的工作？如果不能，最多几人可以有适合的工作？(匈牙利算法)。
遍历性问题：中国邮递员问题—邮递员发送邮件时，要从邮局出发，经过他投递范围内的每条街道至少一次，然后返回邮局，但邮递员希望选择一条行程最短的路线
最大流问题。
运输问题：
最小费用最大流问题：在运输问题中，人们总是希望在完成运输任务的同时，寻求一个使总的运输费用最小的运输方案
在数学建模中常用的算法：
1：蒙特卡罗算法；
2：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（常用matlab实现）；
3：线性规划、整数规划、多元规划、二次规划(用lingo、lingdo、matlab即可实现)；
4：图论算法（包括最短路、网络流、二分图）；
5：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支界定；
6：最优化理论的三大经典算法（模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法）；
7：网格算法和穷举法；
8：连续数据离散化；
9：数值分析算法；
10：图象处理算法（常用matlab来实现）。
建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．
第二讲 数学建模的基本方法与步骤 数学建模面临的实际问题就是多种多样的,建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同,所得模型的类型也不同,我们不能指望归纳出若干条准则,适用于一切实际问题的数学建模方法。下面所谓基本方法不就是针对具体问题而就是从方法论的意义上讲的。(注:用最初等的方法解决,越受人尊重) 一 数学建模的基本方法 一般说来数学建模的方法大体上可分为机理分析与测试分析两种。 ????????????? 机理分析： 是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律，建立的数学模型常有明确的物理或现实意义。 建模方法测试分析： 将研究对象看作一个“黑箱”（意思是内部机理看不清 楚），通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最 好的模型。 面对于一个实际问题用哪一种方法建模,主要取决于人们对研究对象的了解程度与建模目的。如果掌握了一些内部机理的知识,模型也要求具有反映内部特征的物理意义,建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部机理规律基本上不清楚,模型也不需要反映内部特征,那么可以用测试分析。对于许多实际问题也常常将两种方法结合起来,用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型的参数。 二 数学建模的一般步骤 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与问题性质与建模的目的等有关。下面给出建模的一般步骤,如图1、2所示。 ⑴ 模型准备:了解实际背景,明确建模目的,搜索必要信息,弄清对象的主要特征,形成一个比较清晰的“问题”(即问题的提出)。情况明才能方法对,在这个阶段要深入调查研究,虚心向实际工作者请教,尽量掌握第一手资料。
⑵模型假设:根据对象的特征与建模目的,抓住问题的本质,忽略次要因素,作出必要的、合理的简化假设。对于建模的成败这就是非常重要与困难的一步。假设不合理或太简单,会导致错误的或无用的模型;假设作得过分详细,试图把复杂对象的众多因素都考虑进去,会使您很难或无法继续下一步的工作。常常需要在合理与简化之间作出恰当的折衷,要不段积累经验,并注意培养与充分发挥对事物的洞察力与判断力。 ⑶模型的建立:根据假设,用数学的语言、符号描述对象的内在规律,得到一个数学结构。这里除了需要一些相关的专门知识外,还常常需要较为广阔的应用数学方面的知识,要善于发挥想象力,注意使用类比法,分析对象与熟悉的其她对象的共性,借用已有的数学模型。建模时还应遵循的一个原则就是尽量采用简单数学工具,因为您的模型总希望更多的人了解与使用,而不就是只供少数专家欣赏。 ⑷模型求解:使用各种数学方法、数学软件与计算机技术对模型求解。 ⑸模型分析:对求解结果进行数学上的分析,如对结果进行误差分析,分析模型对数据的稳定性或灵敏性等。 ⑹模型检验:把求解与分析结果翻译回到实际问题,与实际现象、数据进行比较,检验模型的合理性与适用性。如果结果与实际不符,问题常常出现在模型假设上,应该修改或补充假设,重新建模。这一步对于模型就是否真的有用就是非常关键的,要以严肃认真的态度对待。 ⑺模型应用:这与问题的性质、建模的目的以及最终结果有关,一般不属于本书讨论的范围。 应该指出,并不就是所有问题的建模都要经过这些步骤,有时各步骤之间的界限也不那么分明,建模时不要拘泥于形式上的按部就班。 三数学建模的全过程 数学建模的全过程可分为表述、求解、解释、验证几个阶段,并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型,再从数学模型回到现实对象的循环,如图1、3所示。 表述就是根据建模目的与信息将实际问题“翻译”成数学问题,即将现实问题“翻译”成抽象的数学问题,属于归纳法。数学模型的求解选择适当的数学方
数学建模知识——之新手上路 一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有 8 个头和 22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解 x=5,y=3，即该笼子中有鸡 5 只，有兔 3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。根据例题可以得出如下的数学建模步骤： 1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外） 2）用字母表示要求的未知量 3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚） 4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性这就是数学建模的一般步骤三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成。对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成。其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一篇论文。由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛。四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等。一般都有一个
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
数学建模方法模型 一、统计学方法 1 多元回归 1、方法概述: 在研究变量之间的相互影响关系模型时候用到。具体地说:其可以定量地描述某一现象和某些因素之间的函数关系，将各变量的已知值带入回归方程可以求出因变量的估计值，从而可以进行预测等相关研究。 2、分类 分为两类:多元线性回归和非线性线性回归;其中非线性回归可以通过一定的变化转化为线性回归，比如:y=lnx 可以转化为 y=u u=lnx 来解决;所以这里主要说明多元线性回归应该注意的问题。 3、注意事项 在做回归的时候，一定要注意两件事: (1) 回归方程的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) (2) 回归系数的显著性检验(可以通过 sas 和 spss 来解决) 检验是很多学生在建模中不注意的地方，好的检验结果可以体现出你模型的优劣，是完整论文的体现，所以这点大家一定要注意。 4、使用步骤: (1)根据已知条件的数据，通过预处理得出图像的大致趋势或者数据之间的大致关系; (2)选取适当的回归方程; (3)拟合回归参数; (4)回归方程显著性检验及回归系数显著性检验 (5)进行后继研究(如:预测等)
2 聚类分析 1、方法概述 该方法说的通俗一点就是，将 n个样本，通过适当的方法(选取方法很多，大家可以自行查找，可以在数据挖掘类的书籍中查找到，这里不再阐述)选取 m 聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离 Xij，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法(一个样本归于一个类也就意味着，该样本距离该类对应的中心距离最近)来聚类，从而可以得到聚类结果，如果利用sas 软件或者 spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图。这种模型的的特点是直观，容易理解。 2、分类 聚类有两种类型: (1) Q型聚类:即对样本聚类; (2) R型聚类:即对变量聚类; 通常聚类中衡量标准的选取有两种: (1) 相似系数法 (2) 距离法 聚类方法: (1) 最短距离法 (2) 最长距离法 (3) 中间距离法 (4) 重心法 (5) 类平均法 (6) 可变类平均法 (7) 可变法
2007-2008学年第一学期《数值分析与数学建模》课程考核题目 说明： 本次考核题目共有五个部分，请从每一部分中任选一题作答。选择时请注意：每题难度不同分值也有所不同。 完成时间：2007－2008学年第二学期开学第一周前三个工作日，过期无效。 答卷提交方式：手写稿或打印稿请直接交到5号楼202室；电子稿可以发送Email 至 tzl99@https://www.doczj.com/doc/093476542.html, 。 要求： （1）标清题号； （2）列出关键的数学模型及模型中各参数的含义； （3）可利用Matalb 软件中相关库函数直接求解，请注明你所用到的关键函数及其作用； （4）也可以在建立模型之后，自行选择数值分析课程中介绍的合适算法并利用Matlab 软件编程实现；如此，你将获得额外加分； （5）对得到的结果加以适当评价，以及对问题本身提出相应的思考与改进，也将获得额外加分； （6）鼓励相互讨论，不允许相互抄袭；雷同（绝大部分相同）答卷按无效答卷处理，不予记录成绩；若某些题目解答完全相同，则该题不得分。 第一部分 说明： Ex1、Ex2每题10分；Ex3~Ex6每题15分 Ex1：以定期存储为基础的储蓄账户的累积值可由“定期年金方程”确定， ]1)1[(-+= n i i P A ； 在这个方程中，A 是账户中的数额，P 是定期存储的数额，i 是n 个存储期间的每期利率。一个工程师想在20年内退休时储蓄账户上的数额达到750000美元，而为了达到这个目标他每个月能存1500美元。为实现他的储蓄值目标，最小利率应是多少？假定利息是月复利的。 Ex2：在固定的时期内需付抵押贷款的数额问题和下面的称为“普通年金方程”的公式有关， ]) 1(1[n i i P A -+-= 在这个方程中，A 是抵押贷款的数额，P 是每期付款的数额，i 是n 个付款期的每期利率。假设需要30年房屋按揭贷款135000美元，又假设借款人每月至多能付1000美元房款。借款人能付得起的最大利率是多少？ Ex3：病人用的药在血流中产生的浓度由ml mg e t A t c t 3 ) (-=给出（注射了A 单位药物后的t 小时以后血液中药物的浓度）。病人能够承受的药物最大安全浓度是1 ml mg 。 （1）分别利用微积分知识以及Matlab 软件描绘出浓度随时间变化的图形； （2）应该注射多大的量来达到最大的安全浓度？什么时候达到这个最大的安全浓度？ （3）在浓度下降到0.25ml mg 后，要给病人注射这种药的附加的药量。确定何时应进行第二次注射，精确到分钟； （4）假设连续注射的浓度是可加的，又假设开始注射的75％的药量仍在第二次注射中起作用。什么时候可以进行第三次注射？
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
数学建模的主要步骤: 第一、模型准备 首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征. 第二、模型假设 根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用精确的语言作出假设,是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑,无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为,所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别主次,而且为了使处理方法简单,应尽量使问题线性化、均匀化. 第三、模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时,我们便会进入一个广阔的应用数学天地,这里在高数、概率老人的膝下,有许多可爱的孩子们,他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多,真是泱泱大国,别有洞天.不过我们应当牢记,建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用,因此工具愈简单愈有价值. 第四、模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重. 第五、模型分析 对模型解答进行数学上的分析."横看成岭侧成峰,远近高低各不?quot;,能否对模型结果作出细致精当的分析,决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住,不论那种情况都需进行误差分析,数据稳定性分析. 数学建模采用的主要方法有： （一）、机理分析法：根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模 型. 1、比例分析法：建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法. 2、代数方法：求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法. 3、逻辑方法：是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题,在决策,对策等学科中得到广泛应用. 4、常微分方程：解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式. 5、偏微分方程：解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律. （二）、数据分析法：通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型 1、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法. 2、时序分析法：处理的是动态的相关数据,又称为过程统计方法. 3、回归分析法：用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n,确定函数的表达式,由于处理的是静态的独立数据,故称为数理统计方法.
数学建模方法详解--三十四种常用算法 目录 一、主成分分析法 (2) 二、因子分析法 (5) 三、聚类分析 (9) 四、最小二乘法与多项式拟合 (16) 五、回归分析（略） (22) 六、概率分布方法（略） (22) 七、插值与拟合（略） (22) 八、方差分析法 (23) 九、逼近理想点排序法 (28) 十、动态加权法 (29) 十一、灰色关联分析法 (31) 十二、灰色预测法 (33) 十三、模糊综合评价 (35) 十四、隶属函数的刻画（略） (37) 十五、时间序列分析法 (38) 十六、蒙特卡罗(MC)仿真模型 (42) 十七、BP神经网络方法 (44) 十八、数据包络分析法（DEA） (51) 十九、多因素方差分析法（）基于SPSS） (54) 二十、拉格朗日插值 (70) 二十一、回归分析（略） (75) 二十二、概率分布方法（略） (75) 二十三、插值与拟合（略） (75) 二十四、隶属函数的刻画（参考《数学建模及其方法应用》） (75) 二十五、0-1整数规划模型（参看书籍） (75) 二十六、Board评价法（略） (75) 二十七、纳什均衡（参看书籍） (75) 二十八、微分方程方法与差分方程方法（参看书籍） (75) 二十九、莱斯利离散人口模型（参看数据） (75) 三十、一次指数平滑预测法（主要是软件的使用） (75) 三十一、二次曲线回归方程（主要是软件的使用） (75) 三十二、成本-效用分析（略） (75) 三十三、逐步回归法（主要是软件的使用） (75) 三十四、双因子方差分析（略） (75)
一、主成分分析法 一）、主成分分析法介绍： 主成分分析（principal components analysis，PCA）又称：主分量分析，主成分回归分析法。旨在利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标。它是一个线性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中，使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上，依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的，要视具体应用而定。 二）、主成分分析法的基本思想： 在实证问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。 同样，在科普效果评估的过程中也存在着这样的问题。科普效果是很难具体量化的。在实际评估工作中，我们常常会选用几个有代表性的综合指标，采用打分的方法来进行评估，故综合指标的选取是个重点和难点。如上所述，主成分分析法正是解决这一问题的理想工具。因为评估所涉及的众多变量之间既然有一定的相关性，就必然存在着起支配作用的因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构的关系研究，找出影响科普效果某一要素的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性拟合。这样，综合指标不仅保留了原始变量的主要信息，且彼此间不相关，又比原始变量具有某些更优越的性质，就使我们在研究复杂的科普效果评估问题时，容易抓住主要矛盾。上述想法可进一步概述为：设某科普效果评估要素涉及个指标，这指标构成的维随机向量为。对作正交变换，令，其中为正交阵，的各分量是不相关的，使得的各分量在某个评估要素中的作用容易解释，这就使得我们有可能从主分量中选择主要成分，削除对这一要素影响微弱的部分，通过对主分量的重点分析，达到对原始变量进行分析的目的。的各分量是原始变量线性组合，不同的分量表示原始变量之间不同的影响关系。由于这些基本关系很可能与特定的作用过程相联系，主成分分析使我们能从错综复杂的科普评估要素的众多指标中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量统计数据，进行科普效果评估分析，使我们在研究科普效果评估问题中，可能得到深层次的一些启发，把科普效果评估研究引向深入。 例如，在对科普产品开发和利用这一要素的评估中，涉及科普创作人数百万人、科普作品发行量百万人、科普产业化（科普示范基地数百万人）等多项指标。经过主成分分析计算，最后确定个或个主成分作为综合评价科普产品利用和开发的综合指标，变量数减少，并达到一定的可信度，就容易进行科普效果的评估。 三）、主成分分析法的数学模型： 其中：
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,
结果分析 综上所述，由模型求解可知，在满足模型条件的假设（4）的条件下，当所给阳性的先验概率0.3066p ≥时，在不分组的条件下每个人一次一次的检验可以使总次数最少；当所给0.29290.3066p ≤<时，进行一次检验比分两次组和不分组均可使总次数最少；当00.2929p <<时，分两次组总次数比分一次组总次数要少。 当p 固定时，为了是人群中总的检验次数最小，就需要确定每组中的人数k 。根据固定值p 的大小分类讨论： 当0.3066p ≥时，此时不需要分组，即1k =时可使检验次数最小； 当0.3066p <时，此时需要分组，要使人群总的检验次数最小，只需要使每个人的检验次数的期望值E ξ最小，通过引入与11k E q k ξ=-+ 变化趋势相同的连续性函数 )2(,11)(≥+-=x x q x f x ，对于一个给定的p ，可以求出函数(x)f 的极值，又由分析知'(x)f 是增函数，所以求出(x)f 的极值就是(x)f 的最小值的取值m x ，故取与m x 最相近的两个值(上取整和下取整)，代入ξE ，然后比较两个函数值，找出较小的一个，以此类推，可以确定，每一个给定的p 要使人群中总的检验次数最小所对应的人数k 。 在0.3066p <中，当0.29290.3066p ≤<时，进行一次分组检验比进行两次分组检验和不分组检验可使检验次数最少；当00.2929p <<时，分两组比分一组总的检验次数少。 模型检验
当然这都是在假设（4）的前提下做出的，现举一例具体说明上述假设的合理性：设0.002p =时，经过上述计算可得，当23k =时可使在一次分组的情况下平均每人检验次数最小，为满足假设（4），可以取24k =（此时平均每人检验次数仅比23k =时多510-次，故在检验100000人时总次数才多一次，故可忽略），然后取112k =或更小（如16k =），此时一定可以做到分两次组比分一次组平均每人检验次数小。当然此时还可以继续求满足条件的第二次分组平均每人检验次数的最小值。 由于题给条件是人群数量很大，基本是健康人，先验概率p 很小，所以4
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