截长补短法

八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。

1. 定义。

- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。

“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。

- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。

2. 适用情况。

- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。

- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。

如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。

二、截长补短法的解题步骤。

1. 截长法解题步骤。

- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。

一般选择较长的那条线段进行截取。

- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。

例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。

- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。

- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。

- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。

- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。

- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。

- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。

- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。

- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。

解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀灵活运用 截长补短 法求证线段的和差关系一道中考题的多种解法及策略分析◉黑龙江省集贤县第七中学㊀周㊀影㊀㊀截长补短 法是求证线段的和差数量关系常用的一种方法．其中,辅助线的添加是关键． 截长 是指把一条长线段按照所需截成两条较短线段, 补短 是把两条不在同一直线上的线段通过延长一条较短线段的方式把两条线段转化到一条直线上,同时又在图中构造了全等三角形㊁等腰三角形等．一般通过 截长或 补短 得到的辅助线都会有一箭双雕的效果． 截长补短 的方法渗透了转化思想,有助于学生推理能力和几何直观等核心素养的培养．笔者以一道中考题为例详细解析运用 截长补短 法解决问题的策略,不当之处,还请批评指正．１试题呈现(２０２２年黑龙江省龙东地区中考第２６题)әA B C和әA D E 都是等边三角形．(１)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ１的位置时,连接B D ,C E 并延长相交于点P (点P 与点A 重合),有P A ＋P B ＝P C (或P A ＋P C ＝P B )成立(不需证明);图１Ｇ１㊀㊀图１Ｇ２图１Ｇ３(２)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ２的位置时,连接B D ,C E 相交于点P ,连接P A ,猜想线段P A ,P B ,P C 之间有怎样的数量关系并加以证明．(３)将әA D E 绕点A 旋转到图１Ｇ３的位置时,连接B D ,C E 相交于点P ,连接P A ,猜想线段P A ,P B ,P C 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不需要证明．２第(２)问的解题策略这里只对第(２)问进行求解,具体策略如下: 截长补短 法在证明线段的数量关系时,体现的是两种思路．如欲证a ＝b ＋c ,截长法是在较长的线段a 上取点M ,把线段a 分成线段d 与线段e ,取点M 时,使d ＝b ,再证e ＝c 即可,如图２所示．补短法,则是通过把其中一条较短线段延长,使延长部分等于另外一条较短线段或者使线段延长后,等于较长的线段．如欲证a ＝b ＋c ,可以把线段b 延长,使延长的线段d ＝c ,这样就把线段b 和c 转化到同一条线段上,证明线段b ＋d ＝a 即可．或者延长线段b ,使延长后的线段b ＋d ＝a ,证明延长的线段d ＝c 即可,如图３所示．图２㊀图３３试题解析第(２)问的结论为P A ＋P C ＝P B ;给出７种证法．３．１截长法以图１Ｇ２的证明为例,截长法的证明过程如下．图４证法１:如图４,在P B 上截取B M ＝P C ,连接AM ．在等边三角形A B C 和等边三角形A D E 中,有A B ＝A C ,A D ＝A E ,øB AC ＝øD AE ＝６０ʎ．易证øB A D ＝øC A E ,所以әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又B M ＝C P ,则әB AM ɸәC A P ,得AM ＝A P ,øB AM ＝øC A P ．于是øB AM ＋øM A C ＝øC A P ＋øM A C ,即øB A C ＝øM A P ＝６０ʎ,则әM A P 是等边三角形．所以P A ＝M P ．故P B ＝P M ＋B M ＝P A ＋P C ．此种方法根据题中的已知条件和要证的结论,通过截取相等的线段构造全等三角形．如果在截取时使P M ＝P A ,先证明әAM P 是等边三角形,再证明全等三角形也可以．详细证法如下:证法２:如图５,在P B 上截取P M ＝P A ,连接AM ．作A I ʅB D ,AH ʅC E ,I 与H 分别为垂足．易证әB A D ɸәC A E ．８７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀图５所以ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,于是øB P E ＝１２０ʎ．又A I ʅB D ,AH ʅC E ,则A I ＝AH (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øB P A ＝６０ʎ．又P M ＝P A ,则әP M A 是等边三角形,所以AM ＝A P ．所以øB A C ＝øM A P ＝６０ʎ．易得øB AM ＝øC A P ,所以әB AM ɸәC A P ．所以B M ＝P C ,故P B ＝P M ＋B M ＝P A ＋P C ．在截长时,只要截取方式正确,辅助线可以通过多种方式构造,一般都可以得证,比如AM 也可以通过作øP AM ＝６０ʎ的方式出现,先证明әAM P 是等边三角形,和证法２相似．另外,根据题中的条件,易证øC P B ＝６０ʎ,线段P B 也可以按下面的方式截取．图６证法３:如图６,在B P 上截取P M ＝P C ,连接C M ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,于是әC M P 是等边三角形．所以C P ＝C M ,øM C P ＝øB C A ＝６０ʎ,则øM C B ＝øP C A ．又C B ＝C A ,则әB C M ɸәA C P ,所以B M ＝P A ．故P B ＝B M ＋M P ＝P A ＋P C ．３．２补短法笔者以延长线段P C 的方法作辅助线,证法如下．图７证法４:如图７,截取C M ＝P B ,连接AM ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又B A ＝C A ,P B ＝C M ,所以әB A P ɸәC AM ．所以A P ＝AM ,øB A P ＝øC AM ．易证øP AM ＝øB A C ＝６０ʎ,则әAM P 是等边三角形,可知P A ＝P M ．故P B ＝C M ＝P C ＋P M ＝P C ＋P A ．也可通过作角的方式作出这条辅助线,如下．图８证法５:如图８,作øP A M ＝６０ʎ,交C E 于点M ．作A I ʅB D 于点I ,AH ʅC E 于点H ．易证әB A D ɸәC A E ,则ø１＝ø２．又ø３＝ø４,所以øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,则øB P E ＝１２０ʎ．又A I ʅB D ,A H ʅC E ,A I ＝A H (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øM P A ＝６０ʎ．所以әP M A 是等边三角形,于是有P M ＝M A ,øP AM ＝øC A B ＝６０ʎ．所以øC AM ＝øB A P ,易证әB A P ɸәC AM ．故B P ＝C M ＝P C ＋P M ＝P C ＋P A ．点M 也可以通过截取P M ＝P A 得到,同证法５一样,先证øM P A ＝６０ʎ,得证әP M A 是等边三角形,接着证明әB A P ɸәC AM ,从而证出结论,证法略．在延长线段C P 时,也可以反向延长,如证法６．图９证法６:如图９,延长P C 至点M ,使P M ＝P B ,连接B M ．易证øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ．所以әP M B 是等边三角形,则B M ＝B P ．所以øM B P ＝øC B A ＝６０ʎ．易证øM B C ＝øP B A ．又根据C B ＝A B ,易证әC M B ɸәA P B ,所以C M ＝P A ．故P B ＝P M ＝P C ＋C M ＝P C ＋P A ．图１０证法７:如图１０,延长P C至点M ,使C M ＝P A ,连接B M ．易证øC P B ＝øC A B ＝６０ʎ,所以øB P E ＝１２０ʎ．又因为A I ʅB D 于点I ,AH ʅC E 于点E ,则A I ＝AH (全等三角形对应边上的高相等),所以A P 平分øB P E ,则øB P A ＝６０ʎ．所以øC B A ＋øC P A ＝１８０ʎ．所以øB C P ＋øB A P ＝１８０ʎ．又øB C P ＋øM C B ＝１８０ʎ,则øM C B ＝øB A P ．又C M ＝P A ,C B ＝A B ,所以әC M B ɸәA P B ,则B M ＝P B ．又øC P B ＝６０ʎ,所以әP M B 是等边三角形,则P B ＝P M ．故P B ＝P M ＝P C ＋C M ＝P C ＋P A ．对于此题,也可以通过延长P A 的方式作辅助线,其他的证明方法这里就不再赘述．就这道题来说,无论是哪个方法,其证明思路都是通过 截长 或 补短 的方式将问题进行转化,进而得以解决．可见,大多数学生对 截长补短 的证明思路不是很清晰,关键是综合运用几何知识进行推理的能力有所欠缺．这就要求教师应在教学中适当的节点精选教学内容进行专题训练,帮助学生明晰 截长补短 法的思路,引导学生对一题展开多种解法的训练,让学生真正领会 截长补短 法的本质,深刻体会转化的数学思想,发展推理能力和几何直观素养,促进数学学科核心素养的发展．Z９７。

1
例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围
2
提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边
例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE
方法1：过D作DG∥AE交BC于G，
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，
A
B
C
D
M
N
思考题
在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°, ∠BDC=120°, BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系.
如图2，点M、N边AB、AC上，且 当DM≠DN时，猜想（I）的结论还成立吗 ?
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H
例3：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 提示：倍长AD至G，连接BG， 证明ΔBDG≌ΔCDA 三角形BEG是等腰三角形
例4：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分∠BAC 提示： 方法1：倍长AE至G，连结DG 方法2：倍长FE至H，连结CH
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC>2AD 分析：要证AB+AC>2AD， 由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD， 所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去

在本节课的教学过程中，我注重引导学生主动参与，激发他们的学习兴趣。通过截长补短法这一专题的教学，学生不仅掌握了全等三角形的性质和判定方法，还培养了他们的数学思维能力和解决问题的能力。同时，我在教学中注重培养学生的团队协作能力和交流能力，使他们能够在合作中共同成长。总之，本节课的教学案例旨在为学生提供一个实践性强、富有挑战性的学习平台，使他们能够更好地理解和应用全等三角形的知识。
3.引导学生运用数学符号和语言，表达和阐述解题过程和思路。例如，要求学生用数学语言描述全等三角形的判定方法，并解释其原理。
4.鼓励学生积极思考和解决问题，培养他们的自主学习能力和问题解决能力。例如，在解决问题的过程中，引导学生独立思考，寻找解决方案，并进行验证。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。例如，将学生分成小组，让他们共同解决一个实际问题，要求学生在讨论中交流思路、分享解题方法。
在全等三角形专题课中，学生已经学习了全等三角形的定义、性质和判定方法。通过对全等三角形的性质和判定方法的学习，学生已经能够熟练地运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法判断两个三角形是否全等。然而，在解决实际问题时，学生往往需要灵活运用多种方法，而截长补短法作为一种特殊的方法，可以帮助学生更加简洁地解决问题。
3.小组合作培养团队协作能力：组织学生进行小组讨论和实践活动，培养他们的团队协作能力和交流能力。通过小组合作，学生能够在合作中发现问题、解决问题，并培养批判性思维和自我反思能力。
4.反思与评价提高自我认知：教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验和教训。通过互评和自我评价，学生能够培养批判性思维和自我反思能力，提高自我认知。
2.引导学生通过观察、分析和归纳，发现全等三角形的性质和判定方法。例如，通过展示两个全等三角形的图形，让学生观察并分析它们的性质，引导学生归纳出全等三角形的判定方法。