江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学 试题卷（二年级）
注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授
1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚．
2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效．
3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、 选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、极限=+∞→)3sin 1sin
2(lim x
x
x x x ( )
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
2、设)
4(sin )2()(2--=
x x x
x x f ,则函数)(x f 的第一类间断点的个数为( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 3、设2
32
152)(x x x f -=，则函数)(x f ( )
A.只有一个最大值
B. 只有一个极小值
C.既有极大值又有极小值
D. 没有极值 4、设y
x z 3
)2ln(+
=在点)1,1(处的全微分为 ( ) A. dy dx 3- B. dy dx 3+ C. dy dx 321+ D. dy dx 32
1
- 5、二次积分dx y x f dy y
),(1
1
⎰
⎰ 在极坐标系下可化为( )
A. ρθρθρθπ
θ
d f d )sin ,cos (40
sec 0
⎰
⎰
B.
ρρθρθρθπ
θ
d f d )sin ,cos (40
sec 0
⎰
⎰
C.
ρθρθρθπ
πθ
d f d )sin ,cos (2
4sec 0
⎰⎰
D.
ρρθρθρθπ
πθ
d f d )sin ,cos (2
4
sec 0
⎰⎰
6、下列级数中条件收敛的是( )
A. 12)1(1
+-∑∞
=n n
n n
B.
∑∞
=-1
)23()1(n n
n
C. ∑∞
=-12
)1(n n
n D. ∑∞
=-1
)1(n n
n 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7要使函数x
x x f 1
)21()(-=在点0=x 处连续，则需补充定义=)0(f _________．
8、设函数x
e x x x y 2221
2(+++=），则=)0()
7(y
____________．
9、设)0(>=x x y x
，则函数y 的微分=dy ___________．
10、设向量→→b a ,互相垂直，且，，23==→→b a ，则=+→
→b a 2___________．
11、设反常积分
2
1
=
⎰
+∞
-dx e a
x ，则常数=a __________． 12、幂级数n
n n
n x n )3(3)1(1
--∑∞
=的收敛域为____________． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
13、求极限)
1ln(2
cos 2lim 320x x x x x +-+→．
14、设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=t
t y t
t x ln 212所确定，求22,dx y d dx dy ．
15、求不定积分⎰+dx x x 2cos 1
2．
16、计算定积分dx x x ⎰-2
1
1
21
．
17、已知平面∏通过)3,2,1(M 与x 轴，求通过)1,1,1(N 且与平面∏平行，又与x 轴垂直的直线方程．
18、设函数)(),(2
2
y x xy x f z ++=ϕ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有二阶
连续导数，求y
x z
∂∂∂2．
19、已知函数)(x f 的一个原函数为x
xe ，求微分方程)(44x f y y y =+'+''的通解．
20、计算二重积分⎰⎰D
ydxdy ，其中D 是由曲线1-x y =，直线x y 2
1
=
及x 轴所围成的平面闭区域．
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
21、在抛物线)0(2
>=x x y 上求一点P ，使该抛物线与其在点P 处的切线及x 轴所围成的平面图形的面积为3
2
，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
22、已知定义在),(+∞-∞上的可导函数)(x f 满足方程3)(4)(31
-=-⎰
x dt t f x xf x
，试求：
（1）函数)(x f 的表达式； （2）函数)(x f 的单调区间与极值； （3）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23、证明：当10<6
1arcsin x x x +>．
24、设⎪⎩
⎪⎨⎧≠=⎰0)0(0)()(2
＝ x g x x dt
t g x f x ，其中函数)(x g 在),(+∞-∞上连续，且
3cos 1)(lim 0=-→x x g x 证明：函数)(x f 在0=x 处可导，且2
1)0(='f ．
