第五章 一阶电路和二阶电路

第五章 一阶电路和二阶电路

§5-1 动态电路的方程及其初始条件

一阶电路：用一阶微分方程描述的电路。

一．换路：

指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。

换路时刻0t（通常取0t＝0），换路前一瞬间：0_t，换路后一瞬间：0t。

二．换路定则 c0c0()()utut

L0L0()()itit

C0C0()()itit， L0L0()()utut， R0R0()()itit， R0R0()()utut

三．初始值的计算：

1. 求C0L0(),()utit：

①给定C0L0(),()utit；

②0tt时，原电路为直流稳态 ： C—断路 L—短路

③0tt时，电路未进入稳态 ： 0C0C()()|ttutut， 0L0L()()|ttitit

2. 画0t时的等效电路：

C00()()utut，L0L0()()itit 换路前后电压（流）不变的为电压（流）源

C—电压源 L—电流源

C0()0ut， L0()0it

C—短路 L—断路

3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。

例1：

已知：0t时，原电路已稳定,

0t时，打开开关S。

求：0t时，各物理量的初始值。

• •

• R 10Ω S (t=0)

C uC +

_ ic iR2

15Ω R2 R1 10Ω

_ uR1 + iL L

_ uL +

10V 解： 1. 求CL(0),(0)ui：

0t时，

CL(0)7.5V,(0)0.25Aui

2. 画0t时的等效电路：

3. 0t时：R1(0)0.25102.5Vu

R27.5(0)0.5A15i

LR1C(0)(0)10(0)0uuu

2CLR(0)(0)(0)0.25iiiA

例2：已知：0t时，原电路已稳定，

0t时，打开开关S。

求：0t时，1(0),(0)ii。

解：1. 求C(0)u：

0t时：

C1111C(0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A(0)28Vuiiiiiiiu

2. 作0t时的等效电路：

0t时：

11(0)(0)414(0)7(0)28iiii

184(0)A,(0)A33ii4Ω 14Ω 7Ω

4A

C S (t=0) uC(t) +

_ 10i1 + _

i(t)

i1

4A 4Ω i1(0+) 10i1(0+) + _ i(0+)

7Ω

28V +

_ 15Ω 10Ω 10Ω iL(0_)

10V uC(0_) +

_

iR2(0+) uL(0+) _ + 10Ω

10Ω

15Ω 0.25A

7.5V +

_ iC(0+)

10V uR1(0+) _ +

14Ω 4A

10i1+ _ i(0_)

4Ω i1(0-) 7Ω •

+

－ uC(0-) - 10i1(0-) +

§5-2 一阶电路的零输入响应

RCSKVL:()()(0)ututut

CCCRCVAR:,duduiCuRiRCdtdt

CCSC(0)(0)?duRCuutdtu

零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。

零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。

完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。

一．RC放电过程

已知：0t时，电容已充电至0U，0t时，S由a合向b。

求0t后的CRC(),(),()ututit。

1. 定性分析：

0t时，C0(0)uU，RS0(0)uUU，S0C(0)UUiR

0t时，CC0(0)(0)uuU

R0(0)uU

0(0)CUiR US R

C _ uR(t) +

uC +

_ iC(t) S (t=0)

S (t=0)

b a

C _ uR(t) +

uC +

_ iC(t)

• US C,tu，RC,ui； CRC,0,0,0tuui

2. 定量分析：

0t时，CCC00(0)(0)duRCutdtuU

C()etRCutK

令0t，C0(0)1uKU

C0()e(0)tRCutUt

RC0()()e(0)tRCututUt

0RC()()e(0)tRCUutittRR

()(0)e(0)tRCftft

3. 时间常数： RC

R：由动态元件看进去的戴维南等效电阻

伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培

C0:()ut的物理意义衰减到36.8％C0()ut所需时间

C0()e(0)tRCutUt C _ uR(t) +

uC +

_ iC(t)

uC(t) uC

U0

-U0 -U0/R •

•

• uR

iC(t) •

• Us-U0

(Us-U0)/R

t

0

•

t0 t0+τ t uC(t)

U0

uC(t0)

uC(t0+τ)=36.8% uc(t0)

0 0C00()etRCutu

00C000C0()eee()0.368ttRCRCRCutuUut

τ的几何意义：由0C0[,()]tut 点作C()ut的切线所得的次切距。

4t时，电路进入新的稳态,

4C0C0C0(4)()e1.82%()0ututut

211422()4eV(0)2s()4eV(0)4sttuttutt

可见，时间常数反映了物理量的变化快慢，越小，物理量变化越快。

二．RL放磁过程

已知0t时，L0(0)iI，

求0t时的LL(),()itut.

利用对偶关系：

LC

LCiu

LCui

GR

RC串联：CCC00(0)(0)duRCutdtuU RL并联：LLL00(0)(0)diGLitdtiI

L0()e(0)tGLitIt LGLR L R uR(t) _ +

uL(t) +

_ iL(t) •

t u1 u2

0 u1,u2 4V 0L()e(0)tGLIuttG

()(0)e(0)tftft

综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e(0)tftft故求一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。 §5-3 一阶电路的零状态响应

一． RC充电过程

已知C(0)0u，求0t时的CRC,,uui。

1. 定性分析：

0t时，(0)0Cu

RS(0)uU

SC(0)UiR

C,tu，RC,ui； CSRC,,0,0tuUui

2. 定量分析： CCSC(0)(0)0duRCuUtdtu

CCpCh()()()ututut

Cp()ut为非齐次微分方程任一特解，

Ch()ut为对应齐次微分方程的通解，

cpu—强制响应，与输入具有相同形式，

cpS()utAAU，cpS()utU

/ch()etRCutK—固有响应，与电路结构有关。

 CS()etRCutUK

0t令＝ iC uR

0 t uC, uR, iC

US

US/R uC US +

_ uR(t) _ +

uC(t) +

_ iC(t) C C US +

_ uR(0+) _ +

iC(0+)