高中数学 第3章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案 苏教版必修5

1 第2课时 一元二次不等式的应用

1．掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点)

2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)

3．会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点)

[小组合作型]

含参数的一元二次不等式的解法

(1)解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.

(2)解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)．

【精彩点拨】 (1)解相应方程的根―→比较讨论两根大小―→得解集

【自主解答】 (1)方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a－1时，原不等式解集为{x|－1

(2)原不等式可化为：

(ax＋1)(x－1)<0，

当a＝0时，x<1；

当a>0时，x＋1a(x－1)<0，

∴－1a

当a＝－1时，x≠1；

当－11，x＋1a(x－1)>0， 2 ∴x>－1a或x<1；

当a<－1时，－1a<1，

∴x>1或x<－1a.

综上，原不等式的解集是：

当a＝0时，{x|x<1}；

当a>0时，x|－1a

当a＝－1时，{x|x≠1}；

当－1

x|x<1或x>－1a；

当a<－1时，x|x<－1a或x>1.

含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序：

(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；

(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

[再练一题]

1．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0(a∈R)．

【解】 Δ＝a2－16，下面分情况讨论：

(1)当Δ<0，即－4

(2)当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为

x1＝14(－a－a2－16)，

x2＝14(－a＋a2－16)．

当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；

当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 x x<14－a－a2－16， 3 或x>14－a＋a2－16；

当a＝4时 ，原不等式的解集为

{x|x∈R，且x≠－1}.

一元二次不等式的实际应用

某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；

(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？

【精彩点拨】 (1)利用“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”．

(2)解“y>(12－10)×10 000”即可．

【自主解答】 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0

整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0

(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有

 y－－，0

即 －6 000x2＋2 000x>0，0

解得0

所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．

解不等式应用题的一般步骤：

(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；

(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；

(3)求解不等式；

(4)还原实际问题．

[再练一题] 4 2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

【解】 设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0

故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.

[探究共研型]

不等式的恒成立问题

探究1 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是什么？

【提示】

 a>0，Δ＝b2－4ac<0.

探究2 不等式f(x)≤a恒成立，x∈[m，n]的等价条件是什么？

【提示】 f(x)≤a，x∈[m，n]恒成立⇔f(x)的最大值≤a，x∈[m，n]．

设函数f(x)＝mx2－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；

(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【精彩点拨】 (1)分m＝0和m≠0两类，结合函数图象求解．

(2)利用函数最值或分离变量m，求范围．

【自主解答】 (1)要使mx2－mx－1<0恒成立，

若m＝0，显然－1<0.

若m≠0， m<0，Δ＝m2＋4m<0⇒－4

∴－4

(2)法一 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．

就要使mx－122＋34m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)是增函数，

∴g(x)的最大值为g(3)＝7m－6<0，

∴0

当m＝0时，－6<0恒成立； 5 当m<0时，g(x)是减函数，

∴g(x)的最大值为g(1)＝m－6<0，得m<6，

∴m<0.

综上所述，m<67.

法二 当x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5恒成立，

即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6<0恒成立．

∵x2－x＋1＝x－122＋34>0，

又m(x2－x＋1)－6<0，

∴m<6x2－x＋1

＝6x－122＋34.

又x∈[1,3]，

∴x－122＋34≥3－122＋34＝7，

∴m<67.

有关不等式恒成立求参数的取值范围问题，通常处理方法有两种：

(1)考虑能否分离参数，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；

(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解．

[再练一题]

3．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．

【解】 由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，原不等式可化为2x－6<0，不符合题意，应舍去；

当m＋1≠0时，由(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任何实数x恒成立，

则有 m＋1<0，Δ＝m－2－m＋m－， 6 解得m<－1311.

综上所述，实数m的取值范围是－∞，－1311.

[构建·体系]

1．若a<0，则关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集为________.

【导学号：91730057】

【解析】 ∵a<0，∴－a>5a，

∴(x－5a)(x＋a)>0的解集为

{x|x>－a或x<5a}．

【答案】 {x|x>－a或x<5a}

2．关于x的不等式x(x＋m)－2<0的解集为(－1，n)，则实数m，n的值分别为__________．

【解析】 不等式x(x＋m)－2<0，即x2＋mx－2<0，

由题意得 －1＋n＝－m，－1×n＝－2，解得m＝－1，n＝2.

【答案】 －1,2

3．如果关于x的不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围是________．

【解析】 当k＝0时，－38<0显然成立．

当k≠0时，由题意得 k<0，Δ＝k2－4×2k－38<0， 7 ∴ k<0，k2＋3k<0，即－3

综上可知－3

【答案】 (－3,0]

4．已知不等式ax2＋2x－4>0的解集为空集，则a的取值范围是__________．

【解析】 由题意知， a<0，Δ＝4＋16a≤0对x∈R恒成立，解得a≤－14.

【答案】 －∞，－14

5．已知a>0，解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.

【解】 当a>0时，原不等式化为(x－2)·x－2a>0.

(1)当02a或x<2；

(2)当a＝1时 ,2＝2a，原不等式的解集为{x|x≠2}；

(3)当a>1时，两根的大小顺序为2>2a，原不等式的解集为x x<2a或x>2.

综上所述，

当0

x x>2a或x<2；

当a＝1时，原不等式的解集为{}x|x≠2；

当a>1时，原不等式的解集为x x<2a或x>2.

我还有这些不足：

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我的课下提升方案：

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学业分层测评(十六)

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