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对数函数及其性质

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第1页 共10页 2.2.2 对数函数及其性质

1．对数函数的概念

1定义：一般地;我们把函数y＝logaxa＞0;且a≠1叫做对数函数;其中x是自变量;函数的定义域是0;＋∞．

2对数函数的特征：

特征错误!

判断一个函数是否为对数函数;只需看此函数是否具备了对数函数的特征．

比如函数y＝log7x是对数函数;而函数y＝－3log4x和y＝logx2均不是对数函数;其原因是不符合对数函数解析式的特点．

例1－1函数fx＝a2－a＋1loga＋1x是对数函数;则实数a＝__________．

解析：由a2－a＋1＝1;解得a＝0;1．

又a＋1＞0;且a＋1≠1;∴a＝1．

答案：1

例1－2下列函数中是对数函数的为__________．

1y＝logaxa＞0;且a≠1；2y＝log2x＋2；

3y＝8log2x＋1；4y＝logx6x＞0;且x≠1；

5y＝log6x．

解析：

序号 是否 理由

1 × 真数是x;不是自变量x

2 ×

对数式后加2

3 × 真数为x＋1;不是x;且系数为8;不是1

4 × 底数是自变量x;不是常数

5 √ 底数是6;真数是x

答案：5

2．对数函数y＝logaxa＞0;且a≠1的图象与性质

1图象与性质

a＞1 0＜a＜1

图

象

性

质 1定义域{x|x＞0}

2值域{y|yR}

3当x＝1时;y＝0;即过定点1;0

4当x＞1时;y＞0；当0＜x＜1时;y＜0 4当x＞1时;y＜0；当0＜x＜1时;y＞0

5在0;＋∞上是增函数 5在0;＋∞上是减函数

谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧;其单调性取决于底数．a＞1时;函数单调递增；0＜a＜1时;函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象;在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．

2指数函数与对数函数的性质比较

解析式 y＝axa＞0;且a≠1 y＝logax a＞0;且a≠1

性

质 定义域 R 0;＋∞

值域 0;＋∞ R 第2页 共10页 过定点 0;1 1;0

单调性 单调性一致;同为增函数或减函数

奇偶性 奇偶性一致;都既不是奇函数也不是偶函数

3底数a对对数函数的图象的影响

①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时;对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时;对数函数的图象“下降”．

②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1;在第一象限内;自左向右;图象对应的对数函数的底数逐渐变大．

点技巧 对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿;1;0点处把花扎;

若是底数小于1;左上穿点渐右下;

若是底数大于1;左下穿点渐右上;

绕点旋转底变化;顺时方向底变大;

可用直线y＝1来切;自左到右a变大．

例2如图所示的曲线是对数函数y＝logax的图象．已知a从3;43;35;110中取值;则相应曲线C1;C2;C3;C4的a值依次为

A．3;43;35;110

B．3;43;110;35

C．43;3;35;110

D．43;3;110;35

解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知;C4的底数＜C3的底数＜C2的底数＜C1的底数．故相应于曲线C1;C2;C3;C4的底数依次是3;43;35;110．

答案：A

点技巧

根据图象判断对数函数的底数大小的方法 1方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x轴上方“底大图右”;在x轴下方“底大图左”；2方法二：作直线y＝1;它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数;由此判断各底数的大小．

3．反函数

1对数函数的反函数

指数函数y＝axa＞0;且a≠1与对数函数y＝logaxa＞0;且a≠1互为反函数．

2互为反函数的两个函数之间的关系

①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；

②互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

3求已知函数的反函数;一般步骤如下：

①由y＝fx解出x;即用y表示出x；

②把x替换为y;y替换为x；

③根据y＝fx的值域;写出其反函数的定义域． 第3页 共10页 例3－1若函数y＝fx是函数y＝axa＞0;且a≠1的反函数;且f2＝1;则fx＝

A．log2x B．12x

C．12logx D．2x－2

解析：因为函数y＝axa＞0;且a≠1的反函数是fx＝logax;

又f2＝1;即loga2＝1;所以a＝2．故fx＝log2x．

答案：A

例3－2函数fx＝3x0＜x≤2的反函数的定义域为

A．0;＋∞ B．1;9

C．0;1 D．9;＋∞

解析：∵ 0＜x≤2;∴1＜3x≤9;

即函数fx的值域为1;9．

故函数fx的反函数的定义域为1;9．

答案：B

例3－3若函数y＝fx的反函数图象过点1;5;则函数y＝fx的图象必过点

A．5;1 B．1;5 C．1;1 D．5;5

解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y＝x对称;而点1;5关于直线y＝x的对称点为5;1;所以函数y＝fx的图象必经过点5;1．

答案：A

4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值

对数函数的解析式y＝logaxa＞0;且a≠1中仅含有一个常数a;则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式;这样的条件往往是已知fm＝n或图象过点m;n等等．通常利用待定系数法求解;设出对数函数的解析式fx＝logaxa＞0;且a≠1;利用已知条件列方程求出常数a的值．

利用待定系数法求对数函数的解析式时;常常遇到解方程;比如logam＝n;这时先把对数式logam＝n化为指数式的形式an＝m;把m化为以n为指数的指数幂形式m＝knk＞0;且k≠1;则解得a＝k＞0．还可以直接写出1nam;再利用指数幂的运算性质化简1nm．

例如：解方程loga4＝－2;则a－2＝4;由于2142;所以12a．又a＞0;所以12a．当然;也可以直接写出124a;再利用指数幂的运算性质;得11212214(2)22a．

例4－1已知fex＝x;则f5＝

A．e5 B．5e C．ln 5 D．log5e

解析：方法一令t＝ex;则x＝ln t;所以ft＝ln t;即fx＝ln x．

所以f5＝ln 5．

方法二令ex＝5;则x＝ln 5;所以f5＝ln 5．

答案：C

例4－2已知对数函数fx的图象经过点1,29;试求f3的值．

分析：设出函数fx的解析式;利用待定系数法即可求出．

解：设fx＝logaxa＞0;且a≠1;

∵对数函数fx的图象经过点1,29;∴11log299af．∴a2＝19．

∴a＝11222111933．∴fx＝13logx． 第4页 共10页 ∴f3＝111331log 3log3＝－1．

例4－3已知对数函数fx的反函数的图象过点2;9;且fb＝12;试求b的值．

解：设fx＝logaxa＞0;且a≠1;则它的反函数为y＝axa＞0;且a≠1;由条件知a2＝9＝32;从而a＝3．于是fx＝log3x;则fb＝log3b＝12;解得b＝1233．

5．对数型函数的定义域的求解

1对数函数的定义域为0;＋∞．

2在求对数型函数的定义域时;要考虑到真数大于0;底数大于0;且不等于1．若底数和真数中都含有变量;或式子中含有分式、根式等;在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地;判断类似于y＝logafx的定义域时;应首先保证fx＞0．

3求函数的定义域应满足以下原则：

①分式中分母不等于零；

②偶次根式中被开方数大于或等于零；

③指数为零的幂的底数不等于零；

④对数的底数大于零且不等于1；

⑤对数的真数大于零;如果在一个函数中数条并存;求交集．

例5求下列函数的定义域．

1y＝log51－x；2y＝log2x－15x－4；

30.5log(43)yx．

分析：利用对数函数y＝logaxa＞0;且a≠1的定义求解．

解：1要使函数有意义;则1－x＞0;解得x＜1;

所以函数y＝log51－x的定义域是{x|x＜1}．

2要使函数有意义;则54>0,21>0,211,xxx解得x＞45且x≠1;

所以函数y＝log2x－15x－4的定义域是4,151;＋∞．

3要使函数有意义;则0.5430,log(43)0,xx解得34＜x≤1;

所以函数0.5log(43)yx的定义域是3<14xx．

6．对数型函数的值域的求解

1充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．

2对于形如y＝logafxa＞0;且a≠1的复合函数;其值域的求解步骤如下：

①分解成y＝logau;u＝fx这两个函数；

②求fx的定义域；

③求u的取值范围；

④利用y＝logau的单调性求解．

3对于函数y＝flogaxa＞0;且a≠1;可利用换元法;设logax＝t;则函数fttR的值域就是函数flogaxa＞0;且a≠1的值域．

注意：1若对数函数的底数是含字母的代数式或单独一个字母;要考查其单调性;就必须对底数进行分类讨论．

2求对数函数的值域时;一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时;有时需讨论参数的取值范围．

例6－1求下列函数的值域：

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对数函数的性质

对数函数的性质

对数函数的性质

对数函数是幂函数的反函数，具有以下性质：

1. 一次函数性：对数函数是一次函数，包括可以用它的切线求倾斜度和利用它的单调性来求函数的最大值或最小值。

2. 增函数性：对数函数x＞0时在实数轴上单调递增，但任意的实数n值的对数函数在实数轴上都是凸函数。

3. 平移和缩放性：对数函数的图形不受平移影响，向左平移a，其图像也向左平移a个单位；如果沿x轴缩放k倍，其图像也同时沿x轴缩放k倍。

4. 放缩性：对数函数可以沿y轴放缩，当改变函数中的常数参数时，其函数图形直接受到放缩的影响，如果把常数参数a改变为ka，那么其函数图形会沿y轴放大k倍。

5. 对称性：对数函数具有狭义的对称性，即射线y＝x与y轴上的点(0,a)是函数表达式x＝loga(y)的镜像。

6. 连续性：对数函数是连续函数，即其在域上是连续的，可以在实数轴上画出来。

7. 相似性：对数函数图形存在相似性，当变量a不变时，不论变量b取何值，该函数的形状都不变，只有比例变化而已。

对数函数知识点(一)

对数函数知识点(一)

对数函数知识点(一)

对数函数

定义

对数函数是指满足以下条件的函数： - 底数为正实数且不等于1；

- 函数定义域为实数集合中大于0的数； - 函数值域为实数集合。

常见的对数函数

1. 自然对数函数

– 底数为常数e（自然对数的底数），记作ln(x)或logₑ(x)。

– 特点：以常数e为底的对数函数，在微积分中有广泛的应用。

2. 以10为底的常用对数函数

– 底数为常数10，记作log₁₀(x)或log(x)。

– 特点：以10为底的对数函数，在计算中常常用到。

对数函数的性质

1. 定义域和值域

– 自然对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。 – 以10为底的常用对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。

2. 基本性质

– 对数函数的图像总是位于一、二象限。

– 对数函数的图像与直线y=x关于y=x对称。

3. 特殊值

– 自然对数函数ln(x)当x=1时，ln(1)=0。

– 以10为底的常用对数函数log(x)当x=1时，log(1)=0。

4. 对数函数的性质

– 对数函数有唯一的反函数即指数函数。

– 对数函数满足对数运算法则，如log(xy)=log(x)+log(y)。

5. 对数函数的性质与图像

– 对数函数的图像有一个特点，就是随着自变量x的增大，函数值增长缓慢，近似于直线y=0。

– 对数函数在x>1时，图像急剧上升；在0

• 对数函数在科学计算、金融领域、生物学及工程学中有广泛的应用。

• 对数函数常常用于解决指数增长与衰减问题、复杂的计算问题、百分比增长问题等。

以上为对数函数的相关知识点和详解。对数函数作为数学中重要的函数之一，在各个领域中都有广泛的应用。希望通过本文的介绍，能够对对数函数有更深入的了解。

对数函数的性质和图像

对数函数的性质

1. 指数和对数的关系

– 对数函数是指数函数的反函数。对于正实数a和b，有以下关系：logₐ(b) = x if and only if aˣ = b。

专题37 高中数学对数函数的性质及其应用(解析版)

专题37 高中数学对数函数的性质及其应用(解析版)

专题37 对数函数的性质及其应用

知识点一 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的性质

(1)定义域： (0，＋∞)．

(2)值域： (－∞，＋∞)．

(3)定点： (1,0)．

(4)单调性：a>1时，在(0，＋∞)上是增函数；0

(5)函数值变化

当a>1，x>1时，y∈ (0，＋∞)；0

当01时，y∈ (－∞，0)；0

可简记为“底真同，对数正；底真异，对数负”，“同”指同大于1或同小于1，“异”指一个大于1一个小于1.

(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解．

知识点二 反函数的概念

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定义域．

(1)并非任意一个函数y＝f(x)都有反函数，只有定义域和值域满足“一一对应”的函数才有反函数．

(2)一般来说，单调函数都有反函数，且单调函数的反函数与原函数有相同的单调性．

(3)若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．

(4)求反函数的步骤：

①求出函数y＝f(x)的值域；

②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；

③把x＝f－1(y)改写成y＝f－1(x)，并写出函数的定义域(即原函数的值域)．

题型一 比较对数值的大小

1．比较下列各组值的大小：

(1)log534与log543；(2)log132与log152；(3)log23与log54.

[解析](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log534

法二(中间值法)：因为log534<0，log543>0，所以log534

(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215， 所以1log213<1log215，所以log132

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数及其性质知识点总结经典讲义

对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。

对数函数的一些重要性质如下：

1.对数函数的定义域是正实数集R+。

2.对数函数的值域是实数集R。

3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。

4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠1

5.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。

6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。

7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 1

8. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y为正实数，n为任意实数。

9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =

(1/2)·logb(x)。

10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n)

= n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。 11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 1

12. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。

13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。

对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。在科学和工程中，对数函数可以表示其中一种关系的强度和程度，可以用于衡量数据的增长率和变化趋势。它在使用计算机进行数据分析和模型建立时，起着重要的作用。