七级数学上册 1.2 数轴 学习数轴值得注意的几个问题素材 (新版)冀教版

冀教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！冀教版初中数学和你一起共同进步学业有成！1.2《数轴》教学设计步古沟满族中学陈国利一、教材分析教学内容：本节课的教学内容是河北省教育出版社七年级上册第一章第二节《数轴》。

教材的地位和作用本节是学习完正数与负数之后的内容，数轴不仅是学习相反数、绝对值等知识的重要工具，而且还是学好不等式的解集、平面直角坐标、函数及其图像等内容的必要基础。

教学重点：1、数轴的概念理解与画法2、有理数与数轴上点的对应关系教学难点：借助数轴解决动点问题教学设计思想：针对部分学生对导学案的完成情况中出现的易错易混，不容易理解的知识制定本节课的教学重点和难点。

这一课时学习的数轴概念是中学数学中数形结合的起点，数形结合是帮助学生理解数学、学好数学的重要思想方法.从现在开始，在教学与学习中注重数形结合是数学教学与学习的重要指导思想，本章后面的有理数的有关性质和运算都是结合数轴进行的，由此可见这一课时学生学好数轴概念的重要性.正确理解有理数与数轴上点的对应关系.另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示.通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．在问题的探索上，利用多媒体的直观性、采用小组探究老师提供的情景下，在具有较多的时间和空间条件下，亲身参加探索发现，主动的获取知识和技能.整个习题的配备大致是按从易到难的顺序排列的，面向全体学生，采用多种形式，使不同层次的学生都有所得，并且采用循序渐进的方法，以促使学生积极踊跃的参与到教学活动中来，创造一种轻松的学习氛围.二、教学目标1、知识与技能: ①使学生知道数轴是规定了原点、正方向、和单位长度的直线，并能正确地画出数轴。

②借助数轴能知道有理数都能用数轴上的点表示。

并能解决与数轴有关的动点问题2、过程与方法：培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，渗透数形结合的数学思想和方法.3、情感与态度：通过数轴与温度变化这种自然现象的和谐结合，激发学生探索的好奇心，提高学生的学习兴趣，以培养学生勇于创新的精神和良好的学习习惯.三教学过程设计：本节课设计了六个教学环节：第一环节，创设情境，设疑引入-----感知数轴的概念；第二环节，得出定义，揭示内涵-----数轴的概念理解和画法；第三环节，探究归纳，总结延伸--有理数与数轴上点的对应关系，第四环节运用提高，形成技能--借助数轴解决动点问题，第五环节归纳小结，强化思想，第六环节，当堂检测。

知识点解读：数轴知识点一：数轴（基础） 知识详析： 1。

数轴的定义：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的特殊的直线。

理解数轴应把握以下三点:(1）数轴是一条特殊的直线,但直线不是数轴；（2）数轴有三个要素:①有原点(表示数0的点）；②正方向（向右的方向）；③单位长度，缺少三个要素中的任何一个都不是数轴；（3）数轴上的原点的位置、单位长度都是根据实际问题需要规定的，在同一条数轴上的单位长度必须一致.2。

数轴的画法：第一步:画直线、定原点:通常原点选在直线中间，若问题中负数的个数较多时,原点选的靠右些；正数的个数较多时，原点选的靠左些.第二步：定方向：通常取原点向右的方向为正方向，用箭头表示出来.第三步：定单位长度:数轴上单位长度的选取要根据实际情况,灵活处理，如要在数轴上表示—0。

1，-0。

2等小数,则单位长度可选长一些，可用1cm 代表一个单位长度;要在数轴上表示-100，—300等数时，则单位长度可取短一些,如用1cm 长度表示100。

第四步：标数：在数轴上从原点向右依次标出1,2，3，…等各点；从原点向左依次标出—1,—2，-3，…等各点。

例1 判断下列图形是不是数轴，并指出你判断的理由。

解析：图①没有方向;图②没有原点；图③单位长度不统一；图④标数不按顺序，所以以上图形都不是数轴。

3.数轴与有理数间的关系：(1)会准确地由数轴上的有理数点把所表示的有理数写出来。

（2）会准确地把所有的有理数在数轴上表示出来,表示时要用① ② ③ ④实心圆点。

要特别注意的是，所有的有理数都可以用数轴上点来表示;反过来，却不成立，这一点在学习了实数后就会明白。

4。

利用数轴解决问题:例1 写出数轴上符合下列条件的点所表示的数.（1） 与原点的距离为3个单位长度的点所表示的数，(2 ）若点A 所表示的数是1，与点A 的距离是是3个单位长度的点所表示的数。

解析：根据题意建立如图1的数轴. （1)从数轴上很容易观察到与原点3个单位长度的点所表示的数有两个，分别为3；-3.(2)与点A 距离为3个单位的点有两个，这两个点所表示的数分别是-2和4。

课时目标1.经历从现实生活中抽象出数轴的过程,体会数学与现实世界的联系,培养学生的建模能力与抽象意识.2.知道数轴的三要素,会画数轴,培养学生的动手能力.3.能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的数学思想方法.学习重点理解数轴的概念和能用数轴上的点表示有理数.学习难点有理数与数轴上的点的对应关系.课时活动设计情境引入某市公交公司在一条东西方向的马路旁设置的部分站点如图所示,相邻两站点之间的距离均为2 km.思考:(1)如果你在实验学校站点处,怎样说明其他站点的位置?(2)以实验学校站为参照点,并用0表示该点,你能用有理数表示其他站点的位置吗?说一说你的想法.(引导学生用不同的方法表示)(3)要用有理数表示直线上点的位置,需要确定哪些条件呢?设计意图:从现实生活中的实例出发,引导学生体会要确定一条马路上站点的位置,需要知道参照点、距离和方向,为数轴三要素的学习作铺垫.通过现实实例建立数学模型(直线及直线上的点)培养学生的建模能力.探究新知探究1数轴的概念及画法思考:上面实例中的图形,你能抽象成简洁的数学图形吗?请动手画图试一试.学生画图,教师巡视指导.展评学生作品,并作出评价.归纳:为了使表达更清楚,我们规定向东为正用箭头表示,相反的方向为负方向,把实验学校站,即数字为0左右两边的数分别用负数和正数表示,如图.定义:像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴,如图所示.思考:在画数轴的过程中需要注意什么呢?学生先独立思考,然后小组讨论总结归纳,教师引导并纠正.画数轴的注意事项:(1)原点、正方向和单位长度三要素缺一不可;(2)直线一般画水平的;(3)正方向用箭头表示,一般取从左到右;(4)取单位长度应结合实际需要,但要做到刻度均匀.探究2数轴上的点与有理数的对应关系如图,观察数轴上表示有理数的点A,B,C,D,思考问题:问题1:(1)每个点分别在原点的哪一侧?(2)每个点到原点的距离分别是多少?(3)每个点分别表示什么数?学生独立思考后回答问题.解:(1)点A和点B在原点左侧,点C在原点上,点D在原点右侧.(2)点A到原点的距离是4,点B到原点的距离是1,点C到原点的距离是0,点D到原点的距离是3.(3)点A表示-4,点B表示-1,点C表示0,点D表示3.画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:1,-2,-3.5,2.5,0.问题2:(1)正数表示在原点的哪边?负数呢?(2)2.5表示在2的左边还是右边?为什么?-3.5表示在-3的左边还是右边?为什么?学生先独立思考,然后小组讨论,最后由小组发表见解.解:如图所示.(1)正数在原点右边,负数在左边.(2)2.5表示在2的右边,因为2.5距离原点2.5个单位长度,2距离原点2个单位长度,所以2.5距离原点更远;-3.5在-3的左边,同理,-3.5距离原点更远.探究3数轴上的特殊点思考:数学中的一些特例是很有研究价值的,认真观察数轴,你能发现一些特殊的点吗?师生活动:学生先独立思考,然后小组讨论,最后展评,教师给予指导.问题3:如图在数轴上分别标出了表示4和-4,2.5和-2.5的两对点.观察并回答:(1)每对点在原点的同侧还是异侧?(2)每对点与原点的距离具有什么关系?(3)这样的点你还能找到吗?试一试,说一说这两个数有什么特征.总结:每个有理数都对应数轴上的一个点.表示正有理数的点在原点右侧,表示负有理数的点都在原点左侧,表示0的点就是原点.设计意图:通过探究数轴的三要素和数轴的画法,能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的数学思想方法.典例精讲例请画一条数轴,并在数轴上标出表示下列各数的点:1,-1,2.5,-3,0.解:如图所示.设计意图:通过例题的思考与解答,培养学生的抽象能力与动手操作能力,在画图的过程中引导学生归纳总结数轴的概念,再思考画数轴的注意事项,培养学生的抽象概括能力.巩固训练1.下列数轴画得正确的是(C)A. B.C. D.2.如图,数轴的长度单位为1,如果点A表示的数是-2,那么点B表示的数是(C)A.0B.1C.2D.33.数轴上,在原点左侧且到原点距离为3个单位长度的点表示的数是-3.4.在数轴上表示-3的点与表示2的点之间的距离是5.5.如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示什么数?解:观察数轴,可得点A表示的数是-2,点B表示的数是2,点C表示的数是0,点D表示的数是-1.设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.课堂小结本节课我们研究了数轴的概念及画法,请同学们带着以下问题进行总结:(1)数轴三要素是什么?画数轴时需要注意什么?(2)在学习数轴的过程中,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对数轴的理解,通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考,使学生真正深入数学学习过程中,抓住数学思维的内在实质.课堂8分钟.1.教材第11页习题A组第1,2,3题,B组第4,5,6题.2.作业.教学反思。

数轴——数形结合的起点数与形有着密切的联系，我们常常用数的方法去处理图形问题，也经常借助于图形解决数的问题。

这种数与形之间的相互作用，是一种重要的数学思想方法——数形结合。

数轴是中学数学中数与形结合的起点，是数与形的统一体，利用它的直观、形象性，可以把抽象问题具体化，从而有利于问题的解决，体现了数形结合的数学思想。

借助数轴学习有理数可以达到事半功倍的效果。

一、借助数轴理解有理数在数轴上，所以的有理数都自觉地、整齐地排列起来。

正数家族和负数家族被原点0隔开，从不相互侵犯。

如下图，在水平放置的数轴上，从原点起向右为正，向左为负，原点把数轴分成正半轴和负半轴两部分。

表示原点的0是“中性”数，它既不是正数，也不是负数，它与正数结合就是非负数，与负数结合就是非正数。

二、借助数轴理解相反数符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

如果利用数轴认识相反数，则更加形象直观。

在数轴上，表示一对相反数的两个点同时具备两个条件：（1）到原点的距离相等；（2）分别位于原点的左右两侧。

就像坐跷跷板一样，原点就是支点，如果一个数在原点的右侧（正数），那么它的相反数必定在原点的左恻（负数），而且和原点的距离相等，这样跷跷板才会平衡；反之也一样。

特殊的，如果一个数在原点，那么它的相反数也只能在原点，否则跷跷板就会倾斜，即0的相反数还是0本身。

因为a的相反数是－a，所以一个数加了负号之后，就表示这个数在数轴上的位置越过原点“叛变”到与原来相对的位置上了；如果再加一个负号，那么它又“叛变”回来，到了原来的位置上，即－(－a)=a，这个说明一个数的相反数的相反数就是它本身。

三、借助数轴理解绝对值数轴上表示数a的点与原点的距离记作|a|，读作数a的绝对值。

由于表示距离的数是非负数，所以绝对值是一个非负数。

请大家注意：|a|是我们遇到的第一个非负数。

正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值还是0。

四、借助数轴比较数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

巧用数轴解题数轴是交流数与形，研究数学识题的一个重要工具．巧用数轴解题，直观、简洁，常能化繁为简，化难为易．下边举例说明．一、求值或化简例 1 已知 a＜ 0， b＞ 0，且｜ a｜＜｜ b｜，求｜ a＋ b｜＋｜ a－ b｜的值．解依据已知条件作出数轴，如图 1．∴｜ a＋ b｜＋｜ a－ b｜ =a＋ b－ (a － b)=2b ．例 2 已知 b＜ a＜ 0， c＞ 0，｜ a｜＜｜ c｜＜｜ b｜．解依据已知条件作出数轴，如图 2 可知 a＋b＜ 0， c－ a＞ 0，b＋ c＜ 0．∴原式 =｜ a｜－｜ a＋ b｜＋｜ c－ a｜＋｜ b＋ c｜=－ a＋(a ＋ b) ＋(c － a) －(b ＋ c)=－ a．二、比较大小例 3 比较实数x2与 x 的大小．剖析当 x=0 或 1 时，有 x2=x，于是作数轴，借数轴分区间议论．解作数轴，如图3．当 x＜0 时， x2＞ 0，故 x2＞ x．当 x=0 时， x2=0，故 x2=x．当 0＜x＜ 1 时， x·x＜x·1，故 x2＜x．当 x=1 时， x2=1，故 x2=x．当 x＞1 时， x·x＞x·1，故 x2＞ x．三、求未知数的取值范围例 4 已知｜ x－1｜＋｜ x－ 5｜ =4，则 x 的取值范围是 [ ] ．A．1≤x≤5 B．x≤1C． 1＜x＜ 5 D ．x≥5解作数轴，如图4．由图可知1≤x≤5，应选 (A) ．四、解方程例 5 解方程｜ x－ 1｜＋｜ x－ 3｜ =4．解作数轴，如图5，方程表示动点 x 到两定点 A(1)， B(3) 的距离之和等于4，由图 5可知，只有点 x1(0) ， x2(4) 才知足方程，因此方程的解为x1=0，x2=4．例 6 解方程｜ x＋ 2｜－｜ x－ 4｜ =4．解作数轴，如图6．方程表示动点x 到定点 A(－ 2) 的距离与到定点B(4) 的距离之差为4，由图 6 可知，只有 x(3) 才知足方程，因此方程的解为x=3．五、解不等式例 7 解不等式｜ y－ 7｜－｜ y＋ 3｜＞ 8．解作数轴，如图7．不等式可视为数轴上的点y 到 7 与到－ 3 的距离之差要大于8．由图 7 可知 y＜－ 2．例 8 解不等式｜ x＋ 3｜＋｜ x－ 4｜＞ 8．解作数轴，如图8．不等式可视为数轴上的点x 到－ 3 与到 4 的距离之和要大于8，由图 8 可知 x＞ 4.5 或 x＜－ 3.5 ．六、求参数的取值范围A． m＜2 B ． m＞2C． m＜1 D ．1≤m＜ 2解作数轴，如图9 可知 m＜ 2，应选 (A) ．七、求最值例 10｜ x－ 1｜＋｜ x－ 2｜＋｜ x－3｜的最小值是[ ]．A．1 B．2 C．3 D．4解作数轴，如图 10．依据绝对值的几何意义，此题就是在数轴上求一点 x，使它到B、 C 三个点的距离之和最小，从数轴上易见，这个点 x 应取在 B 的地点，此时最小值为应选 B．A、2，八、解数字整除问题例 11 从 1 到 1000 这 1000 个自然数中，有 ______个数既不可以被 4 也不可以被 6 整除． []A．416 B ．584 C．625 D．667解作数轴，如图11．从数轴上可看出，能被 4 或 6 整除的数可分红四个一组，每一组的最后一个数正好是12 的倍数，每相邻两组之间的间隔为 4，而 1000=83×12＋ 4，故从 1 到 1000 这 1000 个自然数中能被 4 或 6 整除的数共有 83×4＋ 1=333 个．进而既不可以被 4 也不可以被 6 整除的数共有(1000 － 333=)667 个，选 D ．九、解几何问题例 12 如图 12，M 是 AB 中点， N 是 BC 中点， O 是 AC 中点，则 [ ]．A ． CN ＜ OMB ． CN=OMC ． CN ＞ OMD ． CN 与 OM 的大小关系不可以确立解 以 O 为原点， OC(或 OA)长为一个单位， 作数轴， 如图 13．设 B 点坐标为a （ 0<a<1），则 M 点坐标为a1， N点坐标为a+1 ，进而有22得 CN=OM ，应选 (B) ．十、解应用问题例 13 父亲是儿子此刻年纪时，儿子已10 岁，而当儿子是父亲此刻年纪时，父亲将82岁，问父子两人相差几岁？解：作数轴，如图14．设 A、B 两点分别表示儿子和父亲此刻的年纪，并设两人的年纪差为人相差的年纪不变，可将题目的条件在数轴上表示出来，从数轴上可直观地看出10=72，因此 x=24．x，注意到父子两3x=82 －。

1.2数轴重难点分析：本节的重点是初步理解数形结合的思想方法，正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数，并会比较有理数的大小．难点是正确理解有理数与数轴上点的对应关系。

数轴的概念包含两个内容，一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可，二是这三个要素都是规定的。

另外应该明确的是，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。

通过学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分利用“数轴”这个工具打下基础．知识结构：有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于对数学问题的研究，数形结合是理解数学、学好数学的重要思想方法，本课知识要点如下表：在理解并掌握数轴概念的基础之上，要会画出数轴，能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数，要知道所有的有理数都可以用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小。

教法建议：小学里曾学过利用射线上的点来表示数，为此我们可引导学生思考：把射线怎样做些改进就可以用来表示有理数？伴以温度计为模型，引出数轴的概念。

数轴是一条具有三个要素（原点、正方向、单位长度）的直线，这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。

数轴与它所在的位置无关，但为了教学上需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向。

要注意原点位置选择的任意性。

关于有理数与数轴上的点的对应关系，应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点与有理数并不存在一一对应的关系。

根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系，应该能够判断它们之间的大小关系。

通过点与有理数的对应关系及其应用，逐步渗透数形结合的思想。

1．在“一起探究”中，让学生体会到（1）要确定一条马路上站点的位置，需要知道参照点（如实验学校），距离和方向（2）在规定来参照点和方向之后，马路上站点的位置可以用有理数表示；（3）用有理数表示的站点可以在马路上找到它的位置，教学中可引导学生在图上操作，得出结果，再与同学进行交流。

数轴是研究代数的有效工具之一，它虽小，但作用很大，用途很广，借用数轴可轻松解决多方面的数学习题，下面介绍几例：。

一、借助数轴比较实数大小在数轴上，右边的数总比左边的数大，所以借助数轴观察点的位置可以轻松比较实数的大小。

例1：已知实数a、b，如图1所示。

试比较实数a、b、-a、-b的大小。

分析：根据绝对值的意义和性质，在数轴上找出a、b的相反数-a、-b 如图2观察图2，易得四个数的大小为–b＜a＜-a＜b二、借助数轴化简例2、已知有理数a、b在数轴表示的位置如图3所示，试化简：观察数轴上字母的位置不难发现，a+b＞ 0 ， a-b＞0 根据绝对值的意义，很容易去掉绝对值符号，问题迎刃而解，所以：三、借助数轴求字母的取值范围若x1、 x2 是数轴上两个点的坐标，那么 | x1 — x2 | 表示这两个点之间的距离，根据绝对值在数轴上所表示的几何意义，可以求一些字母的取值范围。

例2：已知，| x + 5 | + | x – 4 | = 9 求x的取值范围。

分析：将等式变形为 | x – ( –5 ) | + | x – 4 | = 9，由绝对值的几何意义，可构造下列图4图4中A、B、P分别表示-5、4、x，可看出PA+PB = 9. 当P在A点左侧或B点右侧时、都有PA+PB ＞AB = 9所以，只有当点P在线段AB上移动时，一定满足PA+PB=9，也就是说x在–5到4之间，即x的取值范围为：–5 ≤ x ≤ 4三、借助数轴巧妙解题例4，如图5：数轴上A、B、C、D四点对应实数都是整数，若A对应实数a，B对应实数b，且b - 2a = 7，那么数轴上表示原点的是（）分析：若A为原点，即a = 0、则b = 7，这与A、B间只相距三个单位长度，与已知条件相矛盾；若B为原点，即b = 0，由已知条件b - 2a = 7得：a = – 3.5,则a不是整数,与已知条件相矛盾；若D 为原点，那么a = – 6 , b = – 3 ，这样b - 2a = – 12与已知条件b - 2a = 7相矛盾；故选C，（若C为原点，即c = 0，则由图可知a = – 4、b = –1，能使等式b-2a=7成立，所以C为原点）五、借助数轴求最值（图6中A、B、C、D、E、P分别表示–5、–4、–3、–2、–1、x）问题可转化为求PA + PB + PC + PD + PE 的最小值。

七年级数学上册《数轴》知识点整理冀教版1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

2、画数轴的步骤：⑴画一条直线。

⑵选取原点、正方向。

⑶规定单位长度。

⑷数轴上用短竖标出刻度。

⑸数轴下用标出数值。

3、数轴三要素：原点、正方向和单位长度4、数轴特点：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

、数轴上点与有理数关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示;但数轴上的点不都表示有理数。

注意：不能出现相同长度表示的不等的量。

数轴两端不能画点。

后练习1画一条水平直线，在直线上取一点表示0，叫做_________;•选取某一长度作为________;规定直线上向右的方向为_________，这样就得到了数轴•我们把上述三方向称为数轴的三要素所有的有理数都可以用数轴上的______来表示2数轴上表示负数的点在原点的__________，表示正数的点在原点的_______，原点表示的数是________ 3数轴上表示-2的点离原点的距离是______个单位长度;表示+2•的点离原点的距离是_____个单位长度;数轴上与原点的距离是2个单位长度的点有_______个，它们表示的数分别是________4在数轴上画出表示下列各数的点：2，-3，，0，，，。

在数轴上画出表示下列各数的点，并回答下列问题-3，2，-1，-2，0，1，3哪两个数的点与原点的距离相等?表示-2的点与表示3的点相差几个单位长度?6将-1所对应的点在数轴上先向右移动4个单位长度，再向左移动•个单位长度后，得到的点对应的数是什么?。