初中数学竞赛辅导 含答案 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

初中数学竞赛：一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即当△=0时，方程有两个相等的实数根，即当△＜0时，方程无实数根．分析可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．因为所以例2 解关于x的方程：x2-(p2+q2)x+pq(p+q)(p-q)=0．解用十字相乘法分解因式得[x-p(p-q)][x-q(p+q)]=0，所以x1=p(p-q)，x2=q(p+q)．例3 已知方程(2000x)2-2001×1999x-1=0的较大根为a，方程x2+1998x-1999=0的较小根为β，求α-β的值．解由方程(2000x)2-2001×1999x-1=0得(20002x+1)(x-1)=0，(x+1999)(x-1)=0，故x1=-1999，x2=1，所以β=-1999．所以α-β=1-(-1999)=2000．例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．分析本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为3x-1=4x+1，所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，(x-1)(x+2)=0，所以 x1=1，x2=-2．例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．分析本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义．解法1 显然x≠0．当x＞0时，x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)．所以原方程的根为x1=4，x2=-4．解法2 由于x2=｜x｜2，所以｜x｜2-3｜x｜-4=0，所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，所以｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．所以 x1=4，x2=-4．例6 已知二次方程3x2-(2a-5)x-3a-1=0有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．解由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，故a=3．原方程为3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．分析含有字母系数的方程，一般需要对字母的取值范围进行讨论．当c=0时，x1=x2=0；当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．例8 解关于x的方程：(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．分析讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论．解分类讨论．(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程x-2=0，所以x=2．(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．例9 解关于x的方程：a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．解整理方程得(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，(2)当a2-a=0时，原方程为一元一次方程，当a=0时，x=0；当a=1时，x=2．例10 求k的值，使得两个一元二次方程x2+kx-1=0，x2+x+(k-2)=0有相同的根，并求两个方程的根．解不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a2+ka-1=0，①a2+a+(k-2)=0．②①-②有ka-1-a-(k-2)=0，即 (k-1)(a-1)=0，所以k=1，或a=1．(1)当k=1时，两个方程都变为x2+x-1=0，所以两个方程有两个相同的根没有相异的根；(2)当a=1时，代入①或②都有k=0，此时两个方程变为x2-1=0，x2+x-2=0．解这两个方程，x2-1=0的根为x1=1，x2=-1；x2+x-2=0的根为x1=1，x2=-2．x=1为两个方程的相同的根．例11 若k为正整数，且关于x的方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根，求k的值．解原方程变形、因式分解为(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0，[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0，即4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．例12 关于x的一元二次方程x2-5x=m2-1有实根a和β，且｜α｜+｜β｜≤6，确定m的取值范围．解不妨设方程的根α≥β，由求根公式得｜α｜+｜β｜=α+β=5＜6，符合要求，所以m2≤1．例13 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，证明：△ABC一定是直角三角形．证因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，所以二次方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0必有公共根，设公共根为x0，则两式相加得若x0=0，代入①式得b=0，这与b为△ABC的边不符，所以公共根x0=-(a＋c)．把x0=-(a＋c)代入①式得(a+c)2-2a(a+c)+bg2=0，整理得a2=b2+c2所以△ABC为直角三角形．例14 有若干个大小相同的球，可将它们摆成正方形或正三角形，摆成正三角形时比摆成正方形时每边多两个球，求球的个数．解设小球摆成正三角形时，每边有x个球，则摆成正方形时每边有(x-2)个球．此时正三角形共有球此时正方形共有(x-2)2个球，所以即 x2-9x+8=0，x1=1，x2=8．因为x-2≥1，所以x1=1不符合题意，舍去．所以x=8，此时共有球(x-2)2=36个．练习九1．解方程：(2)20x2+253x+800=0；(3)x2+｜2x-1｜-4=0．2．解下列关于x的方程：(1)abx2-(a4+b4)x+a3b3=0；(2)(2x2-3x-2)a2+(1-x2)b2=ab(1+x2)．3．若对任何实数a，关于x的方程x2-2ax-a+2b=0都有实数根，求实数b的取值范围．4．若方程x2+ax+b=0和x2+bx+a=0有一个公共根，求(a+b)2000的值．5．若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形．。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程一元二次方程是初中数学中常见的一种形式，解决一些实际问题时常常会遇到需要将问题转化为一元二次方程的情况。

本讲将介绍如何将一些方程转化为一元二次方程进行求解。

一、将线性方程转化为一元二次方程1.将方程2x+5=0转化为一元二次方程。

解答：通过观察发现方程左边的2x恰好是x的一次方，所以可以将整个方程看作是一元二次方程的标准形式。

设转化后的方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么将 2x + 5 = 0 转化为一元二次方程的形式就是将方程两边同时乘以一个合适的倍数得到的。

我们可以将方程两边同时乘以2，得到4x+10=0，这就是将方程2x+5=0转化为一元二次方程的结果。

2.将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程。

解答：首先将方程进行化简，得到3x-3-2x-4=0。

接下来，我们将该方程转化为一元二次方程。

将方程两边同时合并同类项，得到x-7=0。

再将方程两边同时乘以一个合适的倍数，得到2(x-7)=0。

这就是将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程的结果。

二、将含有多个未知量的方程转化为一元二次方程1.将x+y=6转化为一元二次方程。

解答：在这个例子中，我们需要将两个未知量x和y合并成一个只含有一个未知量的方程。

我们可以通过将x+y的形式进行平方处理来得到一个一元二次方程。

先将原方程两边同时平方，得到 (x + y)^2 = 6^2、这里需要使用平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将 (x + y)^2 展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = 36、这就是将方程 x + y = 6 转化为一元二次方程的结果。

2. 将 x^2 + xy + y^2 = 4 转化为一元二次方程。

解答：在这个例子中，我们需要将含有多个未知量的方程转化为只含有一个未知量的方程。

事实上，该方程就是一个一元二次方程了，但我们可以通过配方的方式将其转化为另一种形式。

一元二次方程（一）：基本概念与解法A 卷1．若关于x 的方程0)2()4(22=+-+-m x m x m 是一元一次方程，则m=___________；若此方程是关于x 的一元二次方程，则m 为何实数__________。

2．一元二次方程x (x +1) = x + 1的根为___________。

3．若32=x ，则x = __________，若5)1(2=-x ，则x = ____________。

4．把下列方程：（1）;2532+=x x （2）;4)2(2)1(3-+=-x x x （3）;6)4)(3(-=-+x x （4）2)23)(12(2+=+-x x x ，化为一元二次方程的标准形式后，二次项系数与一次项的 系数数是互为相反数的是___________。

5．方程131242=-x x 的解是____________。

6．若21,x x 是二次三项式c bx ax ++2的两个根，则把c bx ax ++2分解因式后等于____________。

7．若015)3(12=----x x a b 是关于x 的一元二次方程，则a __________，b _________。

8．方程x x =211的解是_____________。

9．若，1，21是一元二次方程022=++bx ax 的两个根，则 a = _________, b = __________。

10．若 – 1 是方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，则a – b + c = _______________。

B 卷1．方程x 2+ |x| + 1 = 0有___________个实根。

2．若31028-是方程x 2+ax+b=0的一个根（其中a,b 是有理数），则ab=__________。

3．方程019911989199022=⨯++x x 的两个根中较大的根是____________。

4．把关于x 的方程0222=+-x x 配方成为0)2()2(2=+-+-c x b x a 的形式，得___________。

可化为一元二次方程的方程（组）A 卷1．下列方程的解分别是：（1）_____________02323=+-x x x ;（2）____________________04524=+-x x ; （3）_____________8)3(2)3(222=----x x x x ;（4）____________18)115)(65(22=+---x x x x .（5）___________36)4)(3)(2)(1(=--++x x x x . （6）_______________1)1)(1(=-+x x ; （7）________________1)1)(1(+=-+x x x ; （8）_________________084223=+--x x x ;（9）____________02||32=+-x x ;（10）________________012452234=-+++x x x x ;2．下列方程的解分别是：（1）___________012112=-++-x x x x ; （2）________________651342233222+-+=+-+++-+x x x x x x x x x ; （3）_____________05)1(3)1(22=-+-+xx x x ; （4）______________3123222=++-+x x x x ; （5）_______________323222121222--=--+--x x x x x x ; （6）_________71612111---=---x x x x ; （7）______________977564108--+--=--+--x x x x x x x x ; 3．下列方程的解分别是：（1）方程xx x x -=-2522的解是_____________; （2）方程0132=+--x x 的解是_____________;（3）方程0949=+++x x x x 的解是_____________; 4．下列方程的解分别是：（1）方程514=++-x x 的解是_____________; （2）方程01323=---++x x x 的解是_____________;5．下列方程的解分别是：（1）方程51522=+-+-x x x x 的解是_____________;（2）方程21329322=+-+-x x x x 的解是_____________;6．解方程组:（1）⎩⎨⎧=++--=--____________0173201222y x y x y x ;（2）⎩⎨⎧=-++-=--____________022********y x y x y x ; 7．解下列各方程组:（1）⎩⎨⎧=-+=-+01131201342y xy y x （2）⎩⎨⎧==+23xy y x（3）⎩⎨⎧==-65xy y x （4）⎩⎨⎧==+2732xy y x （5）⎩⎨⎧=+=+40422y x y x8．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=-+-+03)(2)(045)(4)(22y x y x y x y x 的解是_______________; 9．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++841422xy y x xy y x 的解是_______________; 10.(1)方程组⎩⎨⎧=-=---x k y y x x 401422当k=________时，有两个实数解。

2023年初中数学竞赛讲义：一元二次方程一、引言一元二次方程是初中数学中重要的内容之一，在数学竞赛中也经常出现。

掌握一元二次方程的解法对于提高数学竞赛的成绩具有重要意义。

本讲义将系统地介绍一元二次方程的概念、性质以及解法，帮助大家在2023年初中数学竞赛中更好地应对与处理一元二次方程相关的题目。

二、一元二次方程的定义和性质2.1 定义一元二次方程是形如aa2+aa+a=0的方程，其中a aa0且a是未知数。

其中，a、a、a是已知数，分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

2.2 一元二次方程的图像特点一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.3 一元二次方程的解的性质一元二次方程的解有以下性质：•如果一元二次方程有解，则有两个解，可能相等也可能不相等。

•如果一元二次方程有两个不相等的实数解，则它们关于a轴对称。

•如果一元二次方程有两个相等的实数解，则它们落在同一条垂直于a轴的直线上。

三、一元二次方程的解法3.1 一元二次方程的解法分类一元二次方程的解法可以分为以下几种情况：1.直接套用求根公式法。

2.配方法解一元二次方程。

3.完全平方解一元二次方程。

4.图像法解一元二次方程。

3.2 直接套用求根公式法直接套用求根公式法是最基本的解一元二次方程的方法。

根据求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，我们可以直接将方程的系数带入公式求解。

3.3 配方法解一元二次方程配方法是解一元二次方程的常用方法。

其基本思想是通过合理的配方，将方程转化成完全平方形式，从而求得方程的解。

3.4 完全平方解一元二次方程完全平方解一元二次方程是一种简洁、直接的解法。

通过对方程进行平方操作，使其变形为完全平方形式，然后求解。

3.5 图像法解一元二次方程图像法是一种直观的解一元二次方程的方法。

初二下部分参考答案(1)练习29（返回目录）4.③三边相等和两边相等的三角形统称等腰三角形6. ①a ≤0.5 ②3 ③4，1④1，7⑤6 ⑥±1⑦－7，－53 ⑨－1，2177+ ⑩ ⎩⎨⎧<-≥-312012x x 或⎩⎨⎧<--<-3)12(012x x ∴21＜x<2；x ≥211或x ≤－29 7. （C ）∵当x<0, －x ＝ax+1, x=11+-a <0, a>-1 当x>0时，x=ax+1, x=a -11>0, a<1 ∵方程有负根，∴a>-1条件成立，而方程没有正根，a<1，不能成立 即a>-1且a ≮1，它们的交集是a ≥1练习30（返回目录）2. ax=b 解的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧=≠==≠有无数多个解无解且,0,00,0b b a a b x a 3. ②方程⎩⎨⎧非整式方程整式方程 ⑤四边形⎩⎨⎧非平行四边形平行四边形 4.①有理数⎪⎩⎪⎨⎧负有理数零正有理数 ②垂直是相交的一种5. ①－1，3 ②当x ≥2时，x-2>1-2x ……当x<2时－（x-2）>1-2x …6. ①⎩⎨⎧<≤-+-=-<-=)01(2)1(3x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=)1(11)1(21a a a a 7. 30，30，120；75，75，30。

8. －1，09.当m=1时，调3人；m=2, 调2人；m=3,调1人10. x<0或x>3,11. 把n 按奇数、偶数分类讨论，证明a 1a 2a 3… a n 中至少有2个偶数12. a,b 中若有一个是3的倍数，则ab 能被3整除；若除3有同余数则a-b 能被3整除；若除3余数分别为1和2，则a+b 能被3整除.13. a ≥1 （见练习29第7题）14. 按奇数、偶数分类讨论① 当n 为奇数时，设n=2k+1,k>2的整数，n=k+(k+1), k 和k+1互质； ② 当n 为偶数时，设n=4k 或4k+2, k>1的整数若n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而2k+1和2k-1是互质的若n=4k+2=(2k-1)+(2k+3), 易知2k-1和2k+3也是互质的，如果它们有公因子d(d ≥2 )， 可设2k-1＝md 2k+3=pd, (m,p 是正整数)， 则（m-p ）d=4，则4d ,这是不可能的。

第七讲 转化与化归可化为一元二次方程的方程及方程组数学(家)特有的思维方式是什么若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答匈牙利女数学家路莎•彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 已知关于x 的方程4322(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实数根，若所有的实数根的积为－2，则所有实数根的平方和为 。

思路点拨：将方程左边因式分解，化高次方程为低次方程。

@【例2】1=的解的情形是（ ）A 、无解B 、恰有一个解C 、恰有两个解D 、有无穷多个解，思路点拨1=，即231=，通过讨论去掉绝对值符号。

【例3】解下列方程：（1）222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+ （河南省竞赛题） :（2）33(1999)(1998)1x x -+-=； （山东省竞赛题）（3）21313()4211x x x x x x --+=++； （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）2(1)(35)1444524x x x y x x y ++=⎧⎨++=⎩ （西安市竞赛题）思路点拨：按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于（1），利用倒数关系换元；对于（2），从(1999)(1998)1x x -+-=受到启示；对于（3），设131x y x -=+，则可导出x y +、xy 的结果；对于（4），视2x x +，35x y +为整体，可得到2()(35)x x x y +++、2()(35)x x x y ++的值。

讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。

下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。

题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。

答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。

因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。

考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。

对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。

因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。

对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。

对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。

但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。

讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。

初中数学竞赛辅导资料-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab ； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立）3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解；当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解②无解③有无数多解④是正数解例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。

问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分 典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9， ④|x |=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =ab； 当a =0且b ≠0时，无解；当a =0且b ＝0时，有无数多解。

（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解；当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。

问a和b应满足什么关系？例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？第三部分典题精练1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：①(x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________3. 在方程a (a －3)x =a 中，当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解；当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。

4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？8. m 取什么整数值时，方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解，求a 、b 的值。

初三培优竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的描述，正确的是（）。

A. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根B. 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根C. 当Δ<0时，方程没有实数根D. 以上说法均正确答案：D2. 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：A3. 已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），则k和b的值分别是（）。

A. k=1，b=1B. k=-1，b=1C. k=1，b=-1D. k=-1，b=-1答案：B4. 一个等腰三角形的两边长分别为4和6，那么这个三角形的周长是（）。

A. 14B. 16C. 18D. 205. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，那么△ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B6. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是（）。

A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个数的立方根等于它本身，那么这个数是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 0或1或-1答案：D8. 已知一个等差数列的首项为a₁，公差为d，那么这个数列的第n项可以表示为（）。

A. a₁+(n-1)dB. a₁-(n-1)dC. a₁+ndD. a₁-nd答案：A9. 已知一个二次函数的顶点坐标为（2，3），且经过点（1，1），那么这个二次函数的解析式是（）。

A. y=(x-2)²+3B. y=(x-2)²-3C. y=(x-1)²+3D. y=(x-1)²-3答案：A10. 一个圆的半径为5，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知一个二次函数的图象开口向上，且经过点（0，1）和（2，-3），那么这个二次函数的解析式为：________。

第6课时 一元二次方程知能优化训练一、中考回顾1.(2020湖南邵阳中考)设方程x 2-3x+2=0的两根分别是x 1,x 2,则x 1+x 2的值为( )A.3B.-32C.32D.-22.(2021云南中考)若一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.a<1B.a ≤1C.a ≤1,且a ≠0D.a<1,且a ≠03.(2021江苏连云港中考)若关于x 的方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根,则k= .4.(2021四川成都中考)若m ,n 是一元二次方程x 2+2x-1=0的两个实数根,则m 2+4m+2n 的值是 .35.(2020青海中考改编)在解一元二次方程x 2+bx+c=0时,小明看错了一次项系数b ,得到的解为x 1=-2,x 2=-3;小刚看错了常数项c ,得到的解为x 1=1,x 2=4.请你写出正确的一元二次方程 .2-5x+6=0 二、模拟预测 1.对形如(x+m )2=n 的方程,下列说法正确的是( )A.都可以用直接开平方得x=-m ±√nB.都可以用直接开平方得x=-n ±√mC.当n ≥0时,直接开平方得x=-m ±√nD.当n ≥0时,直接开平方得x=-n ±√m2.如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根分别为x 1=1,x 2=-1,那么下列结论一定成立的是( )A.b 2-4ac>0B.b 2-4ac=0C.b 2-4ac<0D.b 2-4ac ≤03.已知三角形的两边长分别为2和6,第三边长是方程x 2-10x+21=0的解,则第三边的长为( )A.7B.3C.7或3D.无法确定4.若关于x 的方程(m-2)x 2-√3-m x+14=0有两个实数根,则m 的取值范围为( )A.m>52B.m ≤52,且m ≠2C.m ≥3D.m ≤3,且m ≠25.已知关于x 的方程ax 2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x 1,x 2,且有x 1-x 1x 2+x 2=1-a ,则a 的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.26.若关于x 的一元二次方程x 2-3x-2a=0有两个实数根,则a 可取的最小整数为 .17.已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程x 2-(2m+3)x+m 2=0的两个不相等的实数根,且满足x 1+x 2=m 2,则m 的值是 .8.某地特产专卖店销售核桃,其进价为40元/千克,如果按60元/千克出售,那么平均每天可售出100千克.后来经过市场调查发现,单价每降低2元,平均每天的销售量可增加20千克.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2 240元,请回答:(1)每千克核桃应降价多少元?(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售?设每千克核桃应降价x 元,根据题意,得(60-x-40)(100+x 2×20)=2240.化简,得x 2-10x+24=0.解得x 1=4,x 2=6.答:每千克核桃应降价4元或6元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),所以5460×100%=90%.答:该店应按原售价的九折出售.。

初中数学竞赛之一元二次方程培优讲义形如0=a 的方程叫做一元二次方程。

当240b ac -≥时，一元二次方程的两根为1242b x a-±=、一、专题知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解发是一元二次方程的四种基本解法。

2.公式法是解一元二次方程最一般地方法：（1）240b ac ->时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根122b x a-±=、（2）240b ac -=时，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-（3）240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根二、经典例题例题1已知m n 、是有理数，方程20x mx n ++=2-，求m n +的值。

解：由题意得22)2)0m n ++=即(92)(0m n m -++-而m n 、是有理数，必有92040m n m -+=⎧⎨-=⎩，解得41m n =⎧⎨=-⎩，所以m n +的值为3.例题2求证：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

证明：用反证发假设方程20(0)ax bx c a ++=≠有三个不同的实数根1x 、2x 和3x ，则有2110(0)ax bx c a ++=≠①2220(0)ax bx c a ++=≠②2330(0)ax bx c a ++=≠③①—②得22121212()()0,a x x b x x x x -+-=≠有12()0a x xb ++=④同理②—③有23()0a x xb ++=⑤④—⑤得1313()0()a x x x x -=≠必有0a =，与已知条件矛盾，所以一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠至多有两个不相等的实数根。

例题3已知首项系数不相等的两个一元二次方程222(1)(2)(2)0a x a a a --+++=及222(1)(+2)(+2)0(,)b x b x b b a b Z -++=∈有一个公共根，求a bb aa b a b --++的值。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。

第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．【例题求解】【例1】 若，则的值为 ．思路点拨 视为整体，令，用换元法求出即可．【例2】 若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注的隐含制约．注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．解下列方程：（1）； 0515285222=-+-+-x x x x 1522--x x x x 522-y x x =-522y x x p -=-2p 1->p 0≤p 01≤<-p 01<≤-p 02≥-=-x x p 121193482232222=+-++-++x x x x x x xx(2)；（3）．按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、的结果．注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．【例4】 若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解． 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．1)1998()1999(33=-+-x x 42)113(1132=+-++-x x x x x x 1)1998()1999(=-+-x x 113+-=x x y y x +xy x xkx x x x x k 1122+=---k k注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．【例5】 已知关于的方程有两个根相等，求的值． 思路点拨 通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，利用判别式求出的值．注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．学历训练1．若关于的方程有增根，则的值为 ；若关于的方程 曾＝一1的解为正数，则的取值范围是 ．2．解方程得 ．3．已知方程有一个根是2，则= ． 4．方程的全体实数根的积为( )x 655)(2-=--+xa x x a x a x a a x 0111=--+x ax a x 122-=-+x a x a 121)10)(9(1)2)(1(1)1(1)1(1=+++++++++-x x x x x x x x m x m x -=+2123m 9733322=-+-+x x x x。

初中数学竞赛试题答案首先，感谢您参加初中数学竞赛，并且阅读本篇文章以获取试题的详细答案。

本次数学竞赛试题的难度较高，需要参赛者具备扎实的数学知识和优秀的思考能力。

下面将逐一解答所有试题。

第一题：求解方程“x² - 5x + 6 = 0”。

解答：根据二次方程的求解公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a，在将方程化为标准形式后，其中a = 1，b = -5，c = 6。

将数据代入公式中可得：x₁ = 2，x₂ = 3。

因此，方程“x² - 5x + 6 = 0”的解为x₁ = 2，x₂ = 3。

第二题：某商店进行促销活动，原价为x元的商品现在以8折出售，购买3件或以上再打7折，若小明购买了5件商品，他需要支付多少钱？解答：小明购买了5件商品且每件商品原价为x元，因此小明需要支付的金额为5x * 0.8 * 0.7。

将数值代入公式计算可得：3.5x 元。

因此，小明需要支付的金额为3.5x元。

第三题：已知①sinx = a / b，②cosx = √(b² - a²) / b，求tanx的值。

解答：根据三角函数定义可知，tanx = sinx / cosx。

将已知条件代入公式可得：tanx = a / √(b² - a²)。

因此，tanx的值为a / √(b² - a²)。

第四题：已知平面直角坐标系中线段AB的中点为O（-1,1），点A的坐标为（3，2），若线段AB的长度为2，求点B的坐标。

解答：首先根据中点的公式可得，线段AB的中点O的坐标为[ (x₁ + x₂) / 2 , (y₁ + y₂) / 2 ]，代入数据可得：-1 = (3 + x₂) / 2，1 = (2 + y₂) / 2。

解得，x₂ = -5，y₂ = -1。

因此，点B的坐标为（-5，-1）。

第五题：在一次函数y = kx + b的图象上，已知点A（-2，3）和点B（1，7），求该函数的解析式。