单位球上加权Bloch空间上的复合算子

BMOA到Bloch型空间的加权复合算子吴燕; 熊东红; 张学军【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2011(026)003【总页数】9页(P303-311)【关键词】有界性; 紧性; 加权复合算子; 超球; BMOA空间; Bloch型空间【作者】吴燕; 熊东红; 张学军【作者单位】湖南师范大学数学与计算机科学学院湖南长沙410081【正文语种】中文【中图分类】O174.56设X、Y是B上两个由全纯函数构成的空间,φ:B→B全纯,ψ∈H(B),从空间X到Y 的加权复合算子Tψ,φ定义为:Tψ,φ(f)=ψ.f◦φ(f∈X).容易看到这样定义的Tψ,φ是一个线性算子,大量的数学工作者在不同函数空间上对Tψ,φ进行了研究,在单复变情形,和本文直接相关的参考文献就有很多,如文献[1-6]等,至于多变量情形则更是举不胜举,如文献[7-21]等.涉及到多变量Bloch型空间复合型算子的有界性和紧性问题,其有界性和紧性充要条件的给出是一个比较棘手的问题,很多数学工作者做了大量的工作,多圆柱情形代表性的工作如[7-9]等;至于单位球情形,利用传统的Bloch型空间的范数很难给出有界性和紧性的充要条件,要借助于Bergman度量和Finsler度量以及原有的范数相结合才能有效的解决这个问题,这方面的工作如文献[10-12]等;至于其他区域,一些数学工作者也做过一些工作,如文献[13]等.本文主要探讨单位球上BMOA空间到Bloch型空间上加权复合算子的有界性和紧性条件,就在最近文献[3]在单位圆上给出了Hardy空间到Bloch型空间上加权复合算子的有界性和紧性条件,早些时候文献[5-6]在单位圆上探讨了类似问题.但是,单位圆中这些处理办法很难移植到多复变的单位球上,本文欲借用Finsler度量(可参见文献[10-11]等)来弥补这方面的缺陷,给出相应的充要条件.【相关文献】[1]Ohno S,Zhao Ruhan.Weighted composition operators on the Bloch space[J].Bull Austral Math Soc,2001,63:177-185.[2]Zhang Xuejun,Xiao Jianbin.Weighted composition operator between two analytic function spaces[J].Adv in Math(China),2006,35(4):453-462.[3]陈晓捷,叶善力.从Hardy空间到加权Bloch型空间的加权复合算子[J].数学研究,2010,43(3): 211-222.[4]张学军.p-Bloch空间上的复合算子和加权复合算子[J].数学年刊,2003,24(6):711-720.[5]Zhao position operators from Bloch type spaces to Hardy and Besov spaces[J]. J Math Anal Appl,1999,233:749-766.[6]Bourdon P,Cima J,Matheson pact composition operators on BMOA[J].Trans Amer Math Soc,1999,351:2183-2196.[7]Zhou Zehua,Shi pact composition operators on the Bloch space in polydiscs[J]. Science in China(Ser A),2001,44(3):286-291.[8]Hu position operators between Bloch-type spaces in thepolydisc[J].Science in China(Ser A),2005,48(supp.):268-282.[9]徐辉明,刘太顺.多圆柱上不同Bloch型空间之间的加权复合算子[J].数学年刊,2005,26A(1): 61-72.[10]Chen Huaihui,Gauthier position operators onµ-Bloch spaces[J].Canad J Math, 2009,61(1):50-75.[11]刘竟成,李菊香,张学军.超球上Bloch型空间之间复合算子再刻划[J].数学学报,2007,50(3): 711-720.[12]张学军,李菊香.Cn中单位球上μ-Bloch空间之间的复合算子[J].数学物理学报,2009,29A(3): 573-583.[13]Zhou Zehua,Shi pactness of composition operators on the Bloch space inclassical bounded symmetric domains[J].Michigan Math J,2002,50:381-405.[14]Zhang Xuejun,Xiao Jianbin.Weighted composition operators between μ-Bloch spaces on the unit ball[J].Science in China,2005,48A(10):1349-1368.[15]张学军,李菊香.Cn中单位球上μ-Bloch空间之间的复合算子[J].数学物理学报,2009,29A(3): 573-583.[16]王雄亮.多圆柱上Bergman空间到Bloch空间的复合算子[J].数学研究,2010,43(2):141-150.[17]刘竟成,张学军.单位球上小Bloch型空间之间的加权复合算子[J].数学物理学报,2010,30A(4): 804-907.[18]张学军,刘竟成.加权Bergman空间到μ-Bloch空间的复合算子[J].数学年刊,2007,28A(2):255-266.[19]Zhang Minzhu,Xu position operators on α-Bloch spaces of the unitball[J].Acta Math Sinica(Einglish Series),2007,23(11):1991-2002.[20]Zhou Zehua,Chen Renyu.Weighted composition operator from F(p,q,s)to Bloch type spaces on the unit ball[J].Int J Math,2008,19(8):899-926.[21]张学军,李菊香,肖建斌.Cn中空间F(p,q,s)到的复合算子[J].数学年刊A辑,2008, 29(6):789-800.[22]张学军.Cn中Dirichlet型空间和Bloch型空间上的加权Ces aro算子[J].数学年刊A辑,2005, 26(1):139-150.[23]Zhu Kehe.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball[M].New York:Springer-Verlag, 2005.[24]Ortega J,Fabrega J.Pointwise multipliers and Corona type decomposition in BMOA[J]. Ann Inst Fourier(Grenoble),1996,46:111-137.[25]Rudin W.Function Theory in the Unit Ball of Cn[M].New York:Springer-Verlag,1980.。

单位Cn球上Bloch空间上复合算子的下有界性
吴树宏
【期刊名称】《应用泛函分析学报》
【年(卷),期】2006(8)3
【摘要】给出了Cn单位球上的Bloch空间上的复合算子的下有界的一个充分条件和一个必要条件,对必要条件得出了较优的结论.
【总页数】7页(P233-239)
【作者】吴树宏
【作者单位】武汉理工大学理学院数学系,武汉,430070
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.单位球上H∞log空间到 Bloch 型空间上的积分复合算子 [J], 屈会迎
中单位球上μ-Bloch空间之间的加权复合算子 [J], 张学军;李菊香
中单位球上几个全纯函数空间上加权复合算子的有界性 [J], 张学军
4.单位球上H∞_log空间到 Bloch 型空间上的积分复合算子 [J], 屈会迎;
5.单位球上Bloch-Orlicz空间上的复合算子 [J], 何忠华;邓懿
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单位球上F(p,q,s)到μ-Bloch空间的点乘子
胡朝辉; 刘亚玲; 张学军
【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》
【年(卷),期】2010(025)003
【摘要】设μ是正规函数,文中探讨了多复变中单位球上一般函数空间F(p,q,s)到广义Bloch型空间β_μ的点乘子,并给出了几个推论.
【总页数】7页(P326-332)
【作者】胡朝辉; 刘亚玲; 张学军
【作者单位】湖南师范大学数学与计算机科学学院湖南长沙 410081
【正文语种】中文
【中图分类】O174.56
【相关文献】
1.单位球上H∞log空间到 Bloch 型空间上的积分复合算子 [J], 屈会迎
2.单位球上Zygmund型空间和F(p,q,s)空间上的点乘子 [J], 张金芳;徐辉明
中超球上p-Bloch空间的点乘子 [J], 张学军;王敏
4.单位球上H∞_log空间到 Bloch 型空间上的积分复合算子 [J], 屈会迎;
5.C^n单位球上Q_p空间的点态乘子 [J], 彭茹;欧阳才衡
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复超球Bergman空间和Bloch空间上的Carleson不等式乌兰哈斯
【期刊名称】《数学年刊：A辑》
【年(卷),期】1994(001)003
【摘要】本文研究了复超球上Ｃａｒｌｅｓｏｎ测度的特征．特别是用Ｂｅｒｇｍａｎ函数和Ｂｌｏｃｈ函数的导数的积分性质刻画了Ｃａｒｌｅｓｏｎ测度，并建立了复超球上的Ｂｅｒｇｍａｎ空间和Ｂｌｏｃｈ空间的Ｃａｒｌｅｓｏｎ不等式．
【总页数】7页(P352-358)
【作者】乌兰哈斯
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】O177
【相关文献】
1.单位球上的加权Bergman空间到加权Bloch空间的积分型算子 [J], 李海英;田长安;张相波
2.Carleson测度与加权Bergman空间上的Carleson测度 [J], 张斌武;李朝晖;余维虹
3.球上从μ-Bloch空间到加权Bergman空间上的复合算子 [J], 杜磊;
4.球上从μ-Bloch空间到加权Bergman空间上的复合算子 [J], 杜磊
5.单位复超球上的Bergman空间与Carleson测度 [J], 谭海鸥
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球上加权Bergman空间上的Schatten类Hankel算子吕师进;徐宪民
【期刊名称】《数学研究与评论》
【年(卷),期】1995(015)003
【摘要】本文给出了超球上加权Ｂｅｒｇｍａｎ空间上Ｈａｎｋｃｌ算子属于Ｓｃｈａｔｔｅｎｐ－类（２≤ｐ＜＋∞）的一个充要条件，推广了文［１０］中的主要结果。

【总页数】6页(P375-380)
【作者】吕师进;徐宪民
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O177.3
【相关文献】
1.加权Bergman空间上小Hankel算子的Schatten类 [J], 刘永民
2.单位球的Bergman空间上Schatten类加权复合算子 [J], 刘永民;于燕燕
3.球上加权Bergman空间上的紧Hankel算子 [J], 刘永民
4.超球上加权Bergman空间上的Hankel算子 [J], 徐辉明
5.球上加权Bergman空间上的紧Hankel算子 [J], 刘永民
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单位球上小Bloch-Orlicz空间上复合算子的性质陈志;江治杰【摘要】利用Youngs函数定义了单位球上的小Bloch-Orlicz空间,通过在小Bloch-Orlicz空间中构造函数和函数列,利用符号函数在单位球上的边界性质刻画小Bloch-Orlicz空间上复合算子的有界性,紧致性以及下有界性.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2018(033)012【总页数】4页(P60-63)【关键词】小Bloch-Orlicz空间;复合算子;单位球【作者】陈志;江治杰【作者单位】四川理工学院管理学院, 四川自贡 643000;四川理工学院数学与统计学院, 四川自贡 643000【正文语种】中文【中图分类】O177.20 引言设Cn=C×…×C为n维复Euclidean空间.对z=(z1,z2,…，zn)，w=(w1,w2,…，wn)∈Cn，z与w的内积表示为其中，是wk的复共轭.记设Bn={z∈Cn:|z|<1}为Cn上的开单位球，H(Bn)为开单位球Bn上全纯函数构成的函数空间，称f属于Bloch空间Β，若f∈H(Bn)，且满足∞，其中，Rf为f的径向导数，即在范数‖f‖=|f(0)|+‖f‖Β下，Bloch空间Β是Banach空间[1].设α>0，称f属于α-Bloch空间Βα，若f∈H(Bn)，且满足∞.关于α-Bloch空间的一般理论可见文献[1].实际上，除了α-Bloch空间外，何忠华等[2]利用单位球Bn上的有界连续正函数μ定义了更为一般的Bloch空间μ-Bloch空间Βμ，即若f∈H(Bn)，且满足∞.除了α-Bloch空间和μ-Bloch空间，Ramos Fernández[3]利用Youngs函数定义了单位圆盘上的Bloch-Orlicz型空间, 利用Youngs函数定义单位球上的Bloch-Orlicz空间.具体地说，设ψ:[0,+∞)→[0,+∞)是一个严格递增的凸函数，满足ψ(0)=0和∞.称f属于Bloch-Orlicz型空间Βψ，若f∈H(Βn)，且满足∞，其中，λ>0且依赖于f.显然，当ψ(t)=t且t>0时，则Βψ就是Bloch空间Β.由于ψ是凸的，很容易看到Minkowoski泛函是Βψ上的半范数，也就是Luxemburg半范数，其中，在范数‖f‖Βψ=|f(0)|+‖f‖ψ，下，Βψ是Banach空间.称f属于小Bloch-Orlicz空间Βψ,0，是指f∈H(Βn)且满足Ramos Fernndez[3]刻画了Bloch-Orlicz空间上复合算子的有界性与紧致性.何忠华等[2]刻画了Bloch-Orlicz空间上复合算子的有界性与紧致性.吴树宏[4]研究了Bloch空间上复合算子的下有界性.何忠华等[5]刻画了积分型算子与复合算子的乘积在Bloch-Orlicz型空间上连续性、下有界性和紧致性.杨欢等[6]刻画了单位球上加权Bloch空间上的复合算子的有界性与紧致性.人们除了研究复合算子外，也在研究函数空间上复合算子的推广，如李海英等[7]研究了从α-Zygmund 空间到Bloch-Orlicz 空间上的广义复合算子，陆恒等[8]研究了单位圆盘上α-Zygmund 空间到β-Bloch空间上的加权复合算子.然而目前尚未见到小Bloch-Orlicz空间上复合算子相关性质的研究.另外，小Bloch-Orlicz空间与Bloch-Orlicz空间在空间结构、函数性质等方面存在很大差异,因此，可以断定：刻画小Bloch-Orlicz空间上复合算子的性质所采用的方法和技巧与刻画Bloch-Orlicz空间上复合算子的性质采用的方法和技巧将有很大不同.所以，刻画小Bloch-Orlicz空间Βψ,0上复合算子性质将是一件自然而有意义的事情.本文通过在小Bloch-Orlicz空间中构造函数和函数列,利用符号函数φ在单位球Βn上的边界性质刻画小Bloch-Orlicz空间上复合算子Cφ的有界性，紧致性以及下有界性.1 预备知识引理1[9] Βψ,0中闭集K是紧致的当且仅当K是有界的并且满足引理2[2] 对任意f∈Βψ,0\{0}，有进而，对任意f∈Βψ,0和z∈Βn，有引理3[2] 令则小Bloch-Orlicz空间Βψ,0等距同构于小μ-Bloch空间Βμ，0.引理4[2] 设a∈Βn，则存在全纯函数fa∈H(Βn)，使得引理5[3] 复合算子Cφ在Βψ上有界当且仅当∞.引理6 复合算子Cφ在Βψ，0上是紧致的当且仅当对任意有界且在Βn的任意紧致子集上一致地收敛于0的序列{fj}⊂Βψ,0，有引理6是从函数列的角度刻画复合算子的紧致性,其证明类似文献[10]中命题3.11的证明，故此处从略.定义1 设G是单位球Βn的子集，对任意的f∈Βψ,0，存在正常数L>0，使得则称G为Βn的一个样本集.2 小Bloch-Orlicz空间上的复合算子首先研究小Bloch-Orlicz空间上复合算子的有界性.定理1 设φ∈Βψ,0，则复合算子Cφ在Βψ,0上有界当且仅当证明设复合算子Cφ在Βψ,0上有界，下证令这里fa(tz)是引理4中的函数,则g(z)属于Βψ,0.又由于则存在常数L>0,有L‖g‖μ≥‖Cφ(g)(z)‖μ≥μψ(z)|R(g∘φ)(z)|=μψ(z)|Rg(φ(z))||Rφ(z)|=由小Bloch-Orlicz空间的定义知，从而设成立.由引理5知，复合算子Cφ在Βψ上是有界的.为了证明Cφ在Βψ,0上有界，仅需要证明：若f∈Βψ，0，则Cφf∈Βψ,0.对于任意的f∈Βψ,0，有μψ(z)|R(Cφf)(z)|=μψ(z)|R(f∘φ)(z)|=μψ(z)|Rf(φ(z))||Rφ(z)|≤由于因此，Cφf∈Βψ,0.证毕.定理2 设φ∈Βψ,0，则复合算子Cφ在Βψ,0上是紧致的当且仅当证明假设Cφ是Βψ,0上的紧致算子，但则存在ε0>0，使得对任意的r∈(0,1)，有于是对任给实数序列{rk}⊂(0,1)满足当k→∞时，rk→1，可以找到序列{zk}⊂Βψ,0,使得|φ(zk)|>rk和其中，wk=φ(zk).令其中，fwk是引理4中的函数,令a=wk,可以看到gk是Βψ上的有界序列，且gk在Βn的紧致子集上一致收敛于0.由于则有‖Cφ(gk)‖μ≥μψ(zk)|Rgk(wk)||Rφ(wk)|>0,因此，Cφ在Βψ,0上不是紧致算子，这与题设矛盾.反过来，由于则有==0，通过引理1，复合算子Cφ在Βψ,0上是紧致的.证毕.定理3 设Cφ是Βψ,0上的有界复合算子，则Cφ在Βψ,0上下有界当且仅当存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε)是Bn上的一个样本集，其中证明假设存在ε>0，使得Gε=φ(Ωε)是Bn上的一个样本集.则由定义1知，对于任意的f∈Βψ,0，存在常数L>0，使得因此有=≤即故Cφ在Βψ,0上有下界.假设Cφ在Βψ,0上下有界.则存在常数K>0，使得对任意的f∈Βψ,0，有‖f‖μ=1，且因此，存在zt∈Βn，使得从而(1)由于|Rf(φ(zt))|μψ(φ(zt))≤1，则因此，令得到zt∈Ωε.因为Cφ是有界的，由引理5，存在常数Tμ>0(仅仅依赖于μ和φ)，使得由(1)有最后，由φ(zt)∈Gε，则有因此，Gε是Bn的一个样本集.证毕.参考文献：【相关文献】[1]ZHU K.Spaces of holomorphic functions in the unit ball [M].New York：Springer,2005.[2]何忠华,邓懿.单位球上Bloch-Orlicz空间上的复合算子(英文) [J].四川大学学报(自然科学版),2018,55(2):237-242.[3]RAMOS J position operators on Bloch-Orlicz type spaces [J].Applied Mathematics and Computation, 2010, 217(7):3392-3402.[4]WU S H.Bounded below property of composition operator on the Bloch space in unit ball [J].Acta Analysis Functionalis Applicata,2006,8(3):233-239.[5]何忠华，曹广福，何莉.Bloch-Orlicz型空间上积分型算子与复合算子的乘积 [J].中山大学学报(自然科学版)，2016，55(1):44-47.[6]杨欢，肖建斌.单位球上加权Bloch空间上的复合算子 [J].杭州电子科技大学学报(自然科学版)，2014,34(4)：46-48.[7]李海英，郭志涛.从α-Zygmund空间到Bloch-Orlicz空间和Zygmund-Orlicz空间的广义复合算子 [J].数学杂志，2015,35(6):1400-1410.[8]陆恒，张太忠.从α-Zygmund空间β-Bloch空间的加权复合算子 [J].数学物理学报:A辑,2015,35(4)：748-755.[9] S.Weighted differentiation composition operators from Η and Bloch spaces to n th weighted-type spaces on the unit disk [J].Applied Mathematics and Computation,2010, 216(12):3634-3641.[10]COWEN C C, MACCLUER B position operators on spaces of analytic functions [M].London：CRC Press，1995.。

单位球上小bloch型空间之间的加权复合算子（原创版）目录1.引言2.小 Bloch 型空间的定义和性质3.加权复合算子的定义和性质4.单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子5.结论正文一、引言本文旨在探讨单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子。

在数学领域，小 Bloch 型空间是一种特殊的函数空间，具有很多重要的性质。

加权复合算子是一种在函数空间中广泛应用的算子，研究单位球上小Bloch 型空间之间的加权复合算子有助于更深入地理解小 Bloch 型空间的性质以及加权复合算子的应用。

二、小 Bloch 型空间的定义和性质小 Bloch 型空间是一种特殊的 Banach 空间，其定义如下：设 X 为单位球上的全纯函数，那么小 Bloch 型空间 B(X) 由所有满足以下条件的函数 f 组成：f 在单位球上全纯，且对任意的 x 和 y，有|f(x)-f(y)|<=|x-y|。

小 Bloch 型空间具有很多重要的性质，例如：完备性、范数连续性、有限维子空间等。

三、加权复合算子的定义和性质加权复合算子是一种在函数空间中广泛应用的算子，定义如下：设 f 和 g 分别为两个函数，其定义域分别为 X 和 Y，那么加权复合算子T(f)(x) = ∫(g(y)f(x-y)dy)，其中积分范围为 Y。

加权复合算子具有很多重要的性质，例如：连续性、线性性、有界性等。

四、单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子本文主要研究单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子。

根据加权复合算子的定义，我们可以得到单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子为 T(f)(x) = ∫(u(y)f(x-y)dy)，其中积分范围为单位球，u(y) 为单位球上的全纯函数。

通过研究加权复合算子的有界性和紧性条件，我们可以得到单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子的有界性和紧性条件。

五、结论本文通过对单位球上小 Bloch 型空间之间的加权复合算子的研究，得到了加权复合算子的有界性和紧性条件。

单位圆盘上混合模空间到Bloch型空间的广义复合算子梁玉霞【摘要】复合算子的有界性和紧性有着很广泛的讨论.本文通过限制函数φ及选取不同的检验函数的方法,得到单位圆盘上混合模空间到Bloch型空间(包括Bμ和Bμ，0)的广义复合算子的有界性和紧性的充分必要条件.【期刊名称】《天津农学院学报》【年(卷),期】2010(017)004【总页数】5页(P25-29)【关键词】广义复合算子;Bloch型空间;混合模空间;有界性;紧性【作者】梁玉霞【作者单位】天津大学,理学院,天津,300072【正文语种】中文【中图分类】O174.5近年来，经典的 Hardy 空间、Bergman和Bloch等空间上复合算子的有界性及紧性的充要条件研究成果非常丰富[1]70，[2]。

广义复合算子作为复合算子的推广，第一次是在“Zygmund 空间和Bloch型空间的广义复合算子[3]1 285”中被提出来。

本文给出了单位圆盘上的混合模空间到 Bloch型空间的广义复合算子有界性和紧性的充要条件。

在本文中，若一个线性算子将有界集映为有界集，则称该算子为有界算子[4]。

设X,Y为两个Banach空间及线性算子L:X→Y，如果对X中的任意有界序列有收敛的子列，那么称算子L是紧的[3]1 290。

记为复平面上的单位圆盘；H(D)为D上解析函数全体。

对0＜α＜∞，D上α-Bloch空间Bα是H (D) 中满足的函数全体。

而作为Bα 的子空间，是Bα 中满足的函数全体。

众所周知，的闭子空间。

如果对于一个正的连续函数μ存在 3个常数0≤δ＜∞和0＜a＜b＜∞使得和成立，则称μ为定义在[0，1）的正规函数[5]。

f∈ H(D)且满足则称f属于Bloch型空间Bμ。

记Bμ= Bμ(D)，那么Bμ 在（1）式的范数下是一个Banach 空间[6]。

记Bμ,0为Bμ的子空间，是Bμ中满足的函数全体。

特别的，当就是αB 。

混合模空间是由)(DH中满足下面条件的f组成的，其中且γ,,qpH 在上面定义的范数下是一个Banach 空间。

从 Zygmund 型空间到- Blochα空间的加权复合算子郭洁婷;谭海鸥【摘要】令ϕ， u 分别是复平面 C 上的单位开圆盘 D 中的解析自映射和解析函数。

加权复合算子定义为()()()()( ())uC f z u z f zϕϕ=，( z D f H D∈∈，讨论了该加权复合算子从 Zygmund 型空间，())到α-Bloch 空间的有界性。

%Let ϕ be an analytic self-map and u be a fixed analytic function in the open unit disk D on the complex plane C . The weighted composition operator is defined by ( )( )( )uC f zϕ =( ) ( ( )) u z f zϕ, ( z D f H D∈ ∈ . This paper studies the boundedness of the weighted composition , ( )) operators from Zygmund type spaces to α -Bloch spaces.【期刊名称】《五邑大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】6页(P6-11)【关键词】加权复合算子;α -Bloch 空间;Zygmund 型空间;有界性【作者】郭洁婷;谭海鸥【作者单位】五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020;五邑大学数学与计算科学学院，广东江门 529020【正文语种】中文【中图分类】O174.51 预备知识设为复平面中的开单位圆盘，表示上解析函数全体组成的函数空间. 定义为上解析自映射所诱导的复合算子：,,. 我们知道：若一个线性算子把有界集映为有界集，则称它为有界的. 在解析函数空间中，我们感兴趣的是找出所诱导的有界算子或紧算子的函数理论特征. 对于这方面的研究，相应的结果见文献[1-2].设是上的解析函数，定义上的加权复合算子，，它是乘积算子和复合算子的推广. 记是满足的函数的集合，且由文献[3]的定理5.3和闭图像定理有当且仅当，且则称为Zygmund 类. 容易说明，在下是半范数空间，但在下，我们得到Zygmund类的两个等价的范数. 这个范数将会再一次用来表示，伴随这个范数的Zygmund类称为Zygmund空间.若函数满足：，则称属于小Zygmund 空间，记为. 显然，是的一个闭子空间. 根据式（2）容易得到：其中，是与无关的正常数[4].上的Zygmund型空间是指上满足的函数全体，记为. 在范数下，Zygmund型空间是一个Banach空间. 小Zygmund型空间是满足且的函数全体，记为，显然，是的闭子空间.设，记，称为空间. 记，称为小空间. 当时，空间即为经典的Bloch空间和小Bloch空间.Bloch型空间到其他全纯函数空间的复合算子与加权复合算子的研究成果详见文献[5-12]，关于Zygmund空间上的复合算子的有界性的一些特征见文献[13-15]. 本文主要研究从Zygmund型空间到空间的加权复合算子的有界性，可看作是对文献[16-17]中结果的推广.2 主要结果首先给出有用的引理.引理1[18] 若，则1）； 2）.定理1 设，是单位圆盘上的解析自映射，，则下列表述是等价的：1）是有界的； 2）是有界的;3），且. （4）证明 3）1）. 只证明当时的情况，,时的证明类似.因为和成立，对于任意的. 由引理1可以得到：当且式（4）成立，同时,时，我们得到算子是有界的.1）2）. 结论显然成立.2）3）. 根据引理1，分5种情况讨论.情形1 当时，假设是有界的. 取，则有：另一方面，取，则有，因此，由式（6）、式（7）和函数的有界性，有：情形2 当时，假设是有界的. 令，，则.当时，有：当时，有且，所以. 由式（9）易知，所以对，当时，有：. （10）由式（6）和式（10），有：对于，当时，由式（7），有：由式（8）、式（11）和式（12），得证.情形3 当时，假设是有界的. 令，，，，则有：. （13）由于，所以. 由式（9）易知. 所以对，当时，由式（8），有：. （14）对，当时，由式（8），有：由式（8）、式（14）和式（15），得证.情形4 当时，假设是有界的. 的证明与情形3类似. 现在我们证明. 令，. 则，，易知，则有：. （16）对，当时，由式（8）和式（16），有：对，当时，由式（6），有：由式（6）、式（8）、式（17）和式（18），得证.情形5 当时，假设是有界的. 的证明与情形3类似. 现在我们证明.对，当时，有：对，当时，由式（6），有：由式（19）和式（20），得.推论1 设,，是单位圆盘上的解析自映射，，则下列表述是等价的：1）； 2）；3），且.[1] ZHU Kehe. Operator Theory in Functions Spaces [M]. New York: Springer, 1990.[2] COWEN C C, MACCLUER B D. Composition Operator on Spaces of Analytic Functions [M]. Boca Rat on: CRC Press, 1995.[3] DUREN P L. Theory of Spaces [M]. New York: Academic Press, 1970.[4] LI Songxiao, STEVIC S. Volterra type operators on Zygmund space [J]. J Inequal Appl, 2007(1): 1-10.[5] OHNO S, STROETHOFF K, ZHAO Ruhan. Weighted composition operators between Bloch-type spaces [J]. Rocky Mountain J Math, 2003,33(1): 191-215.[6] OHNO S. Weighted composition operators between and the Bloch space [J]. Taiwanese J Math, 2001, 5(3): 555-563.[7] ZHU Xiangling. Generalized weighted composition operators from Bloch-type spaces to weighted Bergman spaces [J]. Indian J Math, 2007, 49(2): 139-149.[8] FU Xiaohong, ZHU Xiangling. Weighted composition operators on some weighted spaces in the unit ball [J]. Abstr Appl Anal, 2008(2): 1-8. [9] LI Songxiao, STEVIC S. Weighted composition operators from Bergman-type spaces into Bloch spaces [J]. Proc Indian Acad Sci Math Sci, 2007, 117(3): 371-385.[10] LI Songxiao, STEVIC S. Weighted composition operators from to the Bloch space on the polydisk [J]. Abstr Appl Anal, 2007, 2007: 1-13. [11] STEVIC S. Norm of weighted composition operators from Bloch space to on the unit ball [J]. Ars Combin, 2008, 88: 125-127.[12] ZHU Xiangling. Weighted composition operators between and Bergman type spaces [J]. Commun Korean Math Soc, 2006, 21(4): 719-727.[13] CHOE B, KOO H, SMITH W. Composition operators on small spaces [J]. Integr Equat Oper Th, 2006, 56(3): 357-380.[14] MADIGAN K, MATHESON A. Compact composition operators on the Bloch spaces [J]. TransAmer Math Soc, 1995, 347(7): 2679-2687.[15] LI Songxiao, STEVIC S. Weighted composition operators from Zygmund spaces into Bloch spaces [J]. Applied Mathematics and Computation, 2008, 36(2): 825-831.[16] 邹堃，谭海鸥. 从Zygmund空间到Bloch-type空间的加权复合算子[J]. 青岛理工大学学报，2010, 31(5): 105-108.[17] SANATPOUR A H, HASSANLOU M. Essential norms of weighted composition operators between Zygmund-type spaces and Bloch-type spaces [J]. Turkish Journal of Mathematics, 2014, 38: 872-882.[18] ESMARILI K, LINDSTORM M. Weighted composition operators between Zygmund type spaces and their essential norms [J]. Integr Equ Oper Teory, 2013, 75(4): 473-490.[责任编辑：熊玉涛]。