2014全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷及答案

全国初中数学竞赛初赛试题（一）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm , 里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm ,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm(C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。

如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。

依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C ,E ,F (B)C ,E ,G (C)C ,E (D)E ,F .7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A )有整数根 (B )没有整数根 (C )没有有理数根 (D )没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm ,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm .10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11．ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。

2014 年全国初中数学联赛（初三年级组）试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）1．已知x, y为整数，且满足2 2 4 4(1 1 )( 1 1 ) 2 ( 1 1 )x y x y 3 x y. . . . . ，则x . y 的可能的值有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4个【答】C. 由已知等式得2 2 4 42 2 4 42 3x y x y x yxy x y x y. . .. . . ，显然x, y均不为0，所以x . y ＝0或3xy . 2(x . y) .若3xy . 2(x . y) ，则(3x . 2)(3y . 2) . .4 .又x, y 为整数，可求得12,xy. . ... .，或21.xy. . ... .，所以x . y .1或x . y . .1.因此，x . y 的可能的值有3 个.2．已知非负实数x, y, z满足x . y . z . 1，则t . 2xy . yz . 2zx的最大值为（）A．4 7B．5 9C．9 16D． 1225【答】A.2 2 2 ( ) 2 ( ) 1 ( )24t . xy . yz . zx . x y . z . yz . x y . z . y . z2 (1 ) 1 (1 )24. x . x . . x 7 2 3 14 2 4. . x . x . 7 ( 3)2 44 7 7. . x . . ，易知：当3 7x . ，2 7y . z . 时，t . 2xy . yz . 2zx取得最大值4 7.3．在△ ABC中，AB . AC ，D为BC的中点，BE . AC于E ，交AD于P ，已知BP . 3，PE . 1，则AE ＝（）A．6 2B． 2 C． 3 D． 6【答】B.因为AD . BC ， BE . AC ，所以P,D,C, E 四点共圆，所以BD.BC . BP.BE .12 ，又BC . 2BD，所以BD . 6，所以DP . 3 .又易知△ AEP ∽△ BDP ，所以AEPE BD DP. ，从而可得1 62 3AE PE BDDP. . . . . .2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第1 页（共5 页）4．6 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3 张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（）A．1 2B．2 5C．2 3D． 34【答】B.若取出的3 张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8 种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12 种取法.所以，从6 张不同的卡片中取出3 张，共有8＋12＝20 种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8 种.因此，所求概率为82 20 5. .5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t} . t .[t] .已知实数x满足3 3x 1 18x. . ，则{x} {1}x. .（）A．12B．3. 5 C． 1 (35) 2. D．1【答】D.设x 1 ax. . ，则3 2 2 2 3 2x 1 (x 1 )(x 1 1) (x 1)[(x 1) 3] a(a 3)x x x x x. . . . . . . . . . . ，所以a(a2 .3) .18，因式分解得(a . 3)(a2 . 3a . 6) . 0，所以a .3. 由x 1 3x. . 解得1 (3 5)2x . . ，显然0 {x} 1,0 {1}1 x. . . . ，所以{x} {1}x. . 1.6．在△ ABC中，.C . 90.，.A . 60.，AC .1，D在BC上，E 在AB 上，使得△ ADE 为等腰直角三角形, .ADE . 90. ,则BE的长为（）A．4 . 2 3 B．2 . 3 C． 1 ( 31) 2.D． 3 .1【答】A.过E作EF . BC于F ，易知△ ACD≌△DFE ，△EFB∽△ACB . 设EF . x，则BE . 2x，AE . 2 . 2x，DE . 2(1. x)，DF . AC .1，故12 . x2 . [ 2(1. x)]2，即x2 . 4x .1 . 0 .又0 . x .1，故可得x . 2 . 3 .故BE . 2x . 4 . 2 3 .二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）1．已知实数a,b, c满足a . b . c .1， 1 1 1 1a b c b c a c a b. . .. . . . . .，则abc . ____．【答】0.由题意知1 1 11 1 2c 1 2a 1 2b. . . . . .，所以(1. 2a)(1. 2b) . (1. 2b)(1. 2c) . (1. 2a)(1. 2c) . (1. 2a)(1. 2b)(1. 2c)整理得2 . 2(a . b . c) . 8abc，所以abc . 0.2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第2 页（共5页）FB C A2．使得不等式98 17 15nnk . ..对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144.由条件得788 9k n. . ，由k 的唯一性，得1 7 8 k n.. 且18 9 k n.. ，所以2 1 1 8 71 9 8 72k kn nn . .. . . . . ，所以n .144. 当n .144时，由7 88 9k n. . 可得126 . k .128，k可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P为等腰△ ABC内一点， AB . BC，.BPC .108.，D为AC 的中点， BD与PC交于点E，如果点P为△ ABE的内心，则.PAC . ．【答】48. .由题意可得.PEA ..PEB ..CED ..AED，而.PEA..PEB ..AED .180.，所以.PEA ..PEB ..CED ..AED . 60.，从而可得.PCA . 30. .又.BPC .108.，所以.PBE . 12.，从而.ABD . 24. .所以.BAD . 90.. 24. . 66.，1 ( ) 1 (66 30 ) 182 2.PAE . .BAD ..CAE . . . . . .，所以.PAC ..PAE ..CAE .18. .30. . 48. .4．已知正整数a,b, c满足:1. a . b . c，a . b . c .111，b2 . ac，则b . ．【答】36.设a, c的最大公约数为(a, c) . d ， 1 a . a d ， 1 c . c d ， 1 1 a ,c 均为正整数且1 1 (a ,c ) .1， 1 1 a . c ，则2 21 1 b . ac . d a c ，所以d2 | b2，从而d | b，设1 b . b d （ 1 b 为正整数），则有21 1 1 b . a c ，而1 1 (a ,c ) .1，所以1 1 a ,c 均为完全平方数，设2 21 1 a . m , c . n ，则1 b . mn，m, n均为正整数，且(m, n) .1，m. n .又a .b . c .111，故1 1 1 d(a . b . c ) .111，即d(m2 . n2 . mn) .111.注意到m2 . n2 . mn . 12 . 22 .1. 2 . 7，所以d .1或d . 3.若d .1，则m2 . n2 . mn .111，验算可知只有m .1,n .10满足等式，此时a.1，不符合题意，故舍去.若d . 3，则m2 . n2 . mn . 37，验算可知只有m . 3, n . 4满足等式，此时a . 27,b . 36, c . 48，符合题意.因此，所求的b . 36.2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第3 页（共5页）ED AB PC第二试一、（本题满分20 分）设实数a,b满足a2 (b2 .1) . b(b . 2a) . 40，a(b .1) . b . 8，求2 21 1a b. 的值．解由已知条件可得a2b2 . (a . b)2 . 40，ab . (a . b) . 8 .设a . b . x，ab . y ，则有x2 . y2 . 40，x . y . 8，联立解得(x, y) . (2,6)或(x, y) . (6, 2) .若(x, y) . (2,6)，即a . b . 2，ab . 6，则a,b是一元二次方程t2 . 2t . 6 .0的两根，但这个方程的判别式. . (.2)2 . 24 . .20 . 0，没有实数根；若(x, y) . (6, 2)，即a . b . 6，ab . 2，则a,b是一元二次方程t2 . 6t . 2 .0的两根，这个方程的判别式. . (.6)2 .8 . 28 . 0，它有实数根.所以2 2 2 22 2 2 2 2 2 21 1 ( )2 6 2 2 82a b a b aba b a b a b. . . . .. . . . . . 二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足.ECD ..ACB, AC 的延长线与△ ABD的外接圆交于点F . 证明：.DFE . .AFB．证明由ABCD是平行四边形及已知条件知.ECD ..ACB . .DAF .又A、B、F、D 四点共圆，所以.BDC ..ABD . .AFD，所以△ECD∽△ DAF ，所以ED CD ABDF AFAF . . .又.EDF . .BDF . .BAF ，所以△EDF ∽△BAF ，故.DFE . .AFB .三．（本题满分25 分）设n是整数，如果存在整数x, y, z满足n . x3 . y3 . z3 .3xyz，则称n具有性质P .在1，5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解取x .1， y . z . 0，可得1 . 13 . 03 . 03 . 3.1. 0. 0，所以1具有性质P .取x . y . 2， z .1，可得5 . 23 . 23 .13 . 3. 2. 2.1，所以5具有性质P .为了一般地判断哪些数具有性质P，记f (x, y, z) . x3 . y3 . z3 . 3xyz，则f (x, y, z) . (x . y)3 . z3 .3xy(x . y) .3xyz. (x . y . z)3 .3(x . y)z(x . y . z) . 3xy(x . y . z)2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第4 页（共5 页）C FA BD E＝(x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx)1 ( )(2 2 2 )2. x . y . z x . y . z . xy . yz . zx1 ( )[( )2 ( )2 ( )2 ]2. x . y . z x . y . y . z . z . x . 即f (x, y, z) 1 ( )[( )2 ( )2 ( )2 ]2. x . y . z x . y . y . z . z . x ①不妨设x . y . z，如果x . y . 1, y . z . 0, x . z . 1，即x . z .1, y . z，则有f (x, y, z) . 3z .1；如果x . y . 0, y . z .1, x . z . 1，即x . y . z .1，则有f (x, y, z) . 3z . 2；如果x . y . 1, y . z . 1, x . z . 2，即x . z . 2, y . z .1，则有f (x, y, z) . 9(z .1)；由此可知，形如3k .1或3k . 2或9k （k为整数）的数都具有性质P .因此，1，5 和2014 都具有性质P .若2013 具有性质P ，则存在整数x, y, z使得2013 . (x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx) .注意到3 | 2013，从而可得3| (x . y . z)3，故3 | (x . y . z)，于是有9 | (x . y . z)3 .3(x . y . z)(xy . yz . zx)，即9 | 2013 ，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013 不具有性质P .2014 年全国初中数学联合竞赛初三年级试题参考答案第5 页（共5 页）``。

2014年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分.） 1.已知x 、y 、z 满足2x =3y-x =5z+x ，则5x-yy+2z的值为（ ）（A ）1 （B ）13 （C ）-13 （D ）12【答】B ．解：设 2x =3y-x =5z+x =1k 则x=2k ，y-z=3k ，z+x=5k ，即x=2k ，y=6k ，z=3k 。

所以5x-y y+2z =5·2k-6k 6k+6k =13，故选B.2.已知等腰三角形的周长为12，则腰长a 的取值范围是（ ）（A ）a ＞3 （B ）a ＜6 （C ）3＜a ＜6 （D ）4＜a ＜7 【答】C.解：腰长为a ，则底长为12-2a ，由2a ＞12-2a 及12-2a ＞0可得3＜a ＜6 故选C. 3.设 21x x 、 是一元二次方程032=-+x x的两根，则 1942231+-x x 等于（ ）（A ）-4 （B ）8 （C ）6 （D ）0 【答】D.解：将21x x 、代入方程，将目标整式降次，利用两根之和求解.4．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A ）1 （B ）214a - （C ）12 （D ）14【答】D.解：由题设知，1112a a b a b <+<++<+，所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=， 中位数为 (1)(1)44224a ab a b++++++=， 于是 4423421444a b a b ++++-=. 故选D.5. 如图，正方形A BCD 和EFGC 中，正方形EFGC 的边长为a ，用a 的代数式表示阴影部分△AEG 的面积为（ ）（A ）232a （B ）223a （C ）212a （D ）2a【答】C ．6.若△ABC 的三条边a,b,c 满足关系式a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是（ ） （A ）等腰三角形 （B ）等边三角形（C ）直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形 【答】D.解法一：原方程左边变形为 （a 4-b 4）+（b 2c 2-a 2c 2）=0， （a 2+b 2）（a 2-b 2）+（b 2-a 2+）c 2=0，∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a=b 或c 2=a 2+b 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解法二：应用配方法a 4+b 2c 2- a 2c 2-b 4=0， （a 4-a 2c 2）-（-b 2c 2+b 4）=0 （a 2-22c ）2 -（22c -b 2）2=0 ∴（a 2-b 2）（a 2+b 2-c 2）=0， ∴a 2-b 2=0,或a 2+b 2-c 2=0. ∴a=b 或c 2=a 2+b 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选D.7．一批志愿者组成了一个“爱心团队”，以募集爱心基金.第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第n (n ≥2)个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时(参考数据: 51.22.5≈，61.2 3.0≈，71.2 3.6≈)，相应的n 的值为（ ）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 【答】D.8．如图：点D 是△ABC 的边BC 上一点，若∠CAD = ∠DAB = 60°，AC = 3 ，AB = 6，则AD 的长度是（ ）（A ）2 （B ）2.5 （C ）3 （D ）3.5 【答】A.解：如图，作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ，在Rt △ABE 中， ∠BAE= 60° ∴∠ABE= 30° ∴AE=21AB = 3 由勾股定理得BE =33∴21BCA s △AC ·BE =329 ∵∠CAD = ∠DAB = 60°同理得△ADC 和△ABD 中AD 边上的高分别是323和33 ∴=CD A s △343AD ,=B DA s △323AD 又CD A s △+B DA s △=BC A s △ ∴343AD + 323AD =329 ∴AD = 2 故选A9.若m=20132+20132×20142+20142，则m ( )（A ）是完全平方数，还是奇数 （B ）是完全平方数，还是偶数 （C ）不是完全平方数，但是奇数 （D ）不是完全平方数，但是偶数 【答】A.解 ：原式=20132-2×2013×2014+20142+2×2013×2014+20132×20142=(2013-2014)2+2×2013×2014+(2013×2014)2=1+2×2013×2014+(2013×2014)2=(2013×2014+1)2所以(2013×2014+1)2是一个完全平方数，末尾数字是9，所以也是奇数. 故选A. 10、设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ） （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1 【答】A.解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故 2()0a b c ++=．于是 2221()2ab bc ca a b c ++=-++， 所以22212ab bc ca a b c ++=-++．故选A.二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）11.已知整数1234a a a a ⋅⋅⋅，，，，满足下列条件：10a =，21|1|a a =-+，32|2|a a =-+，43|3|a a =-+，…，依次类推，则2012a 的值为 ．【答】1006-12.如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°， BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝ ．【答】解：.如图，可以通过旋转变换将△ABE 绕点B 逆时针旋转90°，得到△CBF.证明出四边形BFDE 是正方形,且它的面积是8，则边长是或者过点B 作BF ⊥BE ，交DC 延长线于F. 证明△ABE ≌△CBF ，其余思路同上。

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+=（ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1 【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =.A故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ．【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒，11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.D又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； 若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠, AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ，所以ED CD ABDF AF AF==. 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P . 取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+；如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P . 因此，1，5和2014都具有性质P .若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P .。

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ）A．2BCD【答】 B .因为A D B C ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ⋅=⋅=，又2B C B D =，所以BD =DP =.又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅==.4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =. 由13x x +=解得1(32x =，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2 C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB .设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0.A2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠，而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=.注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试D一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b +的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分 若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠. ……………………5分又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ， ……………………15分 所以ED CD ABDF AF AF==. ……………………20分 又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故DFE AFB ∠=∠. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性FBD质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P .…………………5分 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………10分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .因此，1，5和2014都具有性质P . ……………………20分 若2013具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得32013()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++.注意到3|2013，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|2013，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质P . ……………………25分。

全国初中数学竞赛试卷答案一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式22()a a b c a b c -++-++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >， 所以22()()()()a a b c a b c a a b c a b c a -++-++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10B ．9C ．7D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩,以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD= 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE =224AE AD -=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数．由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--． 因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11． 从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100，　，　，，　共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ）A ．2012B ．101C ．100D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)...(1)23100x +=+++⋅⋅+， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤． 容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤．7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为22201216OB =-=，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===， 22366455CM OC OM BM =-==，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为 32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =． 此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==- 9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤． 又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++． 于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤．由此得8m =或9m =．当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒．依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此BC BA CF AD =． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OE DC OB==． 因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，22BA AD =． 故32222AD BC CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10． 由勾股定理，得262BO AB AO =-=．易知ABO ACO △≌△，因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，． 设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，．设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =，知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=．13．已知整数a ， b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．解：设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=．因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)，所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =．因此，a 的最小值为2025．【解答】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是非负整数）。

初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。

2014年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ）A ．47B ．59C ．916D ．1225 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）A ．2B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．345．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x+=，则1{}{}x x +=（ ）A ．12B ．3-C ．1(32- D ．16．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为（ ）A ．4-B ．2C ．11)2D 1二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =__ __． 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，且满足ECD ACB ∠=∠,AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F . 证明：DFE AFB ∠=∠．三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.FB一．（本题满分20分）同（A ）卷第一题.二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P . （1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？2013年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算=（ ）（A 1- （B ）1 （C （D ）22.满足等式()2221m m m ---=的所有实数m 的和为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=o，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，若CD =AB=（ ）（A ）2 （B（C ）（D ）34.不定方程23725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（ ）（A ）7 （B ）14 （C ）28 （D ）286.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，所有“好数”之和为（ ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++=2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 3.在ABC V 中，60,75,10A C AB ∠=∠==oo，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF V 的周长最小值为4.如果实数,,x y z 满足()2228x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的最大值，则A 的最大值为第二试（A ）一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2222223236,a c b d ad bc +=+=-=求()()2222ab c d ++的值。

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y，则x y 的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C.由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y ，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y ，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ．47 B ．59 C ．916 D ．1225【答】 A.21222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝（ ）ABCD 【答】 B .因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BCBP BE ⋅=⋅=，又2BC BD =，所以BD =DP=又易知△AEP ∽△BDP ，所以AE PEBD DP =，从而可得PE AE BD DP =⋅== 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ ）A ．12 B ．25 C ．23 D ．34【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 5．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x +=，则1{}{}x x+= （ ）A ．12 B．3 C．1(32D ．1 【答】 D . 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 6．在△ABC 中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, 90ADE ∠=︒ ,则BE 的长为 （ ）A．4- B．2- C．11)2D1【答】 A.过E 作EF BC ⊥于F ，易知△ACD ≌△DFE ，△EFB ∽△ACB . 设EF x =，则2BE x =，22AE x =-，)DE x =-，1DF AC ==，故2221)]x x +=-，即2410x x -+=.又01x <<，故可得2x =故24BE x ==-二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.A当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则PAC ∠= ．【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知正整数,,a b c 满足:1a b c <<<，111a b c ++=，2b ac =，则b = ．【答】36.设,a c 的最大公约数为(,)a c d =，1a a d =，1c c d =，11,a c 均为正整数且11(,)1a c =，11a c <，则2211b ac d a c ==，所以22|d b ，从而|d b ，设1b b d =（1b 为正整数），则有2111b a c =，而11(,)1a c =，所以11,a c 均为完全平方数，设2211,a m c n ==，则1b mn =，,m n 均为正整数，且(,)1m n =，m n <.又111a b c ++=，故111()111d a b c ++=，即22()111d m n mn ++=. 注意到222212127m n mn ++≥++⨯=，所以1d =或3d =.若1d =，则22111m n mn ++=，验算可知只有1,10m n ==满足等式，此时1a =，不符合题意，故舍去.若3d =，则2237m n mn ++=，验算可知只有3,4m n ==满足等式，此时27,36,48a b c ===，符合题意.因此，所求的36b =.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解 由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， ……………………5分 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ……………………10分D若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ……………………15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ……………………20分 二．（本题满分25分）如图，已知O 为△ABC 的外心，AB AC =，D 为△OBC 的外接圆上一点，过点A 作直线OD 的垂线，垂足为H .若7BD =，3DC =，求AH .解 延长BD 交⊙O 于点N ，延长OD 交⊙O 于点E ，由题意得NDE ODB OCB OBC CDE ∠=∠=∠=∠=∠，所以DE 为BDC ∠的平分线. ……………………5分又点D 在⊙O 的半径OE 上，点C 、N 在⊙O 上，所以点C 、N 关于直线OE 对称，DN DC =. ……………………10分延长AH 交⊙O 于点M ，因为O 为圆心，AM OD ⊥，所以点A 、M 关于直线OD 对称，AH MH =.因此MN AC AB ==.……………………15分 又FNM FAB ∠=∠，FBA FMN ∠=∠，所以△ABF ≌△NMF ，所以MF BF =，FN AF =. ……………………20分因此，AM AF FM FN BF BN BD DN BD DC =+=+==+=+ 7310=+=，即210AH =，所以5AH =. ……………………25分三．（本题满分25分）设n 是整数，如果存在整数,,x y z 满足3333n x y z xyz =++-，则称n 具有性质P .（1）试判断1，2，3是否具有性质P ；（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质P 的数有多少个？ 解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P ；取1x y ==，0z =，可得33321103110=++-⨯⨯⨯，所以2具有性质P ；…………………5分 若3具有性质P ，则存在整数,,x y z 使得33()3()()x y z x y z xy yz zx =++-++++，从而可得33|()x y z ++，故3|()x y z ++，于是有39|()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++，即9|3，这是不可能的，所以3不具有性质P . ……………………10分（2）记333(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++N＝3()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++2221()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+-. 即(,,)f x y z 2221()[()()()]2x y z x y y z z x =++-+-+- ①……………………15分不妨设x y z ≥≥，如果1,0,1x y y z x z -=-=-=，即1,x z y z =+=，则有(,,)31f x y z z =+； 如果0,1,1x y y z x z -=-=-=，即1x y z ==+，则有(,,)32f x y z z =+； 如果1,1,2x y y z x z -=-=-=，即2,1x z y z =+=+，则有(,,)9(1)f x y z z =+； 由此可知，形如31k +或32k +或9k （k 为整数）的数都具有性质P .……………………20分 又若33|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++，则33|()x y z ++，从而3|()x y z ++，进而可知39|(,,)()3()()f x y z x y z x y z xy yz zx =++-++++.综合可知：当且仅当93n k =+或96n k =+（k 为整数）时，整数n 不具有性质P .。

中国教育学会中学数学教学专业委员会2014年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）12．已知关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）．（A ）6-＜t ＜112-（B ）6-≤t ＜112-（C ）6-＜t ≤112-（D ）6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6（D ）85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）． （A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．设a =b 是a 的小数部分，c 是2a 的小数部分，则(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．22121+++-…的值为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，若B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC＝不一定是有理数．4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．则使x ＋y ＋z 为3的倍数的（x ，y ，z ）中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数） 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．200解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎤⎫=+=+-⎪⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE，BE＝因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，则∠DBO ＝CBE ∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802B HC A B OC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分（iii ）若△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ①即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，则有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：若n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．则有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数（k 为正整数）．则10k i m +（12i =，，…，7）被7除的余数两两不同．若不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()kj i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。