高中数学第三章导数及其应用3_3_2第1课时利用导数研究函数的极值教学案新人教B版选修1_1

利用导数研究函数的极值（教学设计）教材版本：新课标人教B版选修1-1 章节：第三章 3.3.2授课年级：高二年级授课人：沈阳市第四十中学刘旭生课3.3.2利用导数研究函数极值题教学过程教学内容师生互动设计思路创设情境引入课题“桂林山水甲天下，阳朔山水甲桂林”欣赏图片。

提出问题：从数学的角度去欣赏连绵不绝的山峰，我们能够联想到什么？学生观察图片发表想法。

让学生发现高低起伏的过程会出现最高点和最低点，从自然景观引入，可以激发学生的学习兴趣，拉近数学与现实的距离，从而引出本节课的内容。

析更加抽象。

因此，在本节课的学习中容易出现对概念的理解不深刻，运用概念解决问题相对薄弱等情况。

本节课将进一步提高学生利用导数研究函数的能力，让学生体会导数的作用。

学法教法分析采用多媒体辅助教学，更加直观形象，便于学生观察，充分展开学生的思维。

用幻灯片打出重要结论，清晰明了，优化教学过程，提高课堂效率。

在教学中，我采用“问题------探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索问题、总结规律、应用规律四个阶段。

我设计了①创设情境，引入课题；②抽象概括，形成概念；③讨论研究，深化主题；④强化重点，巩固提高；⑤归纳总结，内化知识；⑥作业布置，知识升华六个环节，环环相扣，层层深入。

抓住学生已有的认知水平和所学知识的特点入手，给予适当指导，从而突重点、破难点，顺利完成教学目标。

抽象概括形成概念由连绵不绝的群山抽象出一个函数图像。

提问：函数y=f（x）在4321,,,xxxx处的函数值与这些点附近的函数值有什么大小关系？函数极值的定义：已知函数()y f x=及其定义域内一点x，对于存在一个x的开区间内的所有点x,如果都有()()f x f x<，则x是函数()y f x=的一个极大值,x称为极大值点；如果对x附近的所有的点,都有()()f x f x>，则x是函数()y f x=的一个极小值,x称为极小值点。

极大值点与极小值点统称为极值点。

3.3 利用导数研究函数的极值 - 人教B版选修1-1教案
1.教学目标
1.了解导数的概念，可以应用导数研究函数的特定点性质，如极值、单调区间、凸凹性及特殊点等。

2.通过小组讨论和思维拓展，培养学生自主探究的能力。

3.通过实例的讲解和计算练习的跟踪，巩固学生在极值问题上的解题能力。

2.教学重点难点
本课的教学重点是：
1.导数的计算和它的物理意义。

2.函数的极值。

本课的教学难点是：
函数的极大值和极小值的求解方法，包括二阶导数测试法和边界测试法。

3.课前准备
准备合理的教学设计，制定出细致完整的教案，为学生提供清晰明了的学习目标和学习路线。

4.教学过程
4.1 导入
老师利用引言或精心制作的演示文稿，直观展示导数和函数的关系。

4.2 讲解
4.2.1 导数的定义 - 导数的物理意义
4.2.2 导数的计算 - 导数的计算规则和方法
4.2.3 极值的定义和类型 - 极大值和极小值的定义 - 极大值和极小值的解法 - 极
值问题中的特殊点
4.3 练习
4.3.1 个别计算 4.3.2 小组讨论
5.活动设计
5.1 PPT演示 - 基本概念 - 计算方法 - 示例演示
5.2 小组讨论 - 案例分析 - 自主思考和解题
5.3 课堂辅导 - 一对一边教边学 - 作业讲解
6.反思总结
学生在掌握了导数和函数的极值后，可以熟练地应用到不同的实际问题中。

值得提醒的是，教师在讲解过程中要注意到思维拓展和思维引导，为学生提供多方面的思考和解决问题的视角和方法。

3.3.2 利用导数研究函数的极值●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．知识：极值点与极值问题导思函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 答：f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0. 3．函数在x ＝b 点处的情况呢？答：函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题导思函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 类型一：求函数的极值例1：求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【解析】 原函数――→求导导函数―→f ′(x )＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值 解：(1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1规律方法：1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练：求函数y ＝2x ＋8x的极值．解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2：由函数的极值求参数例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【解析】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.规律方法：已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．变式训练：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 解：由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意. 类型3：函数极值的综合应用例3：已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【解析】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？解：∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 又f (－3)＝－19＜－3，f (3)＝17＞1，结合f (x )的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．规律方法：1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练：已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．课堂小结：1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.。

效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。

事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。

2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。

本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。

课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。

教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。

学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。

在教学中要特别重视学法的指导。

随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。

倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

§3.3.2函数的极值与导数(教案)
山东省临沭县第一中学付广军
教学内容：人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1 P
教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的极值与导数的关系求函数极值，能由导数
信息判断函数极值的情况。

(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。

(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，
引导学生养成自主学习的良好习惯。

教学重点：探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值。

教学难点：利用导数信息判断函数极值的情况。

教学方法：发现式、启发式
教学策略：临沂市“三－五－四”中学数学课堂教学新策略
教具学具：PPT课件一套、学生每人一份学案及自备一支圆珠笔芯
教学过程:。

高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的定义及其几何意义；2. 学会利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 掌握导数在研究函数图像中的应用；4. 能够运用导数解决实际问题。

教学重点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 导数在研究函数图像中的应用。

教学难点：1. 导数的定义及其几何意义；2. 利用导数求函数的单调区间、极值和最大值；3. 导数在研究函数图像中的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、教案、例题及习题；2. 学生准备笔记本、文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习导数的定义及其几何意义；2. 引出导数在研究函数中的应用。

二、利用导数求函数的单调区间（10分钟）1. 讲解导数正负与函数单调性的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的单调区间；3. 学生练习求函数的单调区间。

三、利用导数求函数的极值（10分钟）1. 讲解导数等于0与函数极值的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的极值；3. 学生练习求函数的极值。

四、利用导数求函数的最大值（10分钟）1. 讲解导数正负与函数最大值的关系；2. 示例讲解如何利用导数求函数的最大值；3. 学生练习求函数的最大值。

五、导数在研究函数图像中的应用（10分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系；2. 示例讲解如何利用导数研究函数图像的凹凸性和拐点；3. 学生练习利用导数研究函数图像。

教学总结：1. 总结本节课所学内容，强调导数在研究函数中的应用；2. 鼓励学生课后复习和练习，巩固所学知识。

课后作业：1. 完成PPT上的练习题；2. 选取两个函数，利用导数研究其单调区间、极值和最大值；3. 选取一个函数，利用导数研究其图像的凹凸性和拐点。

六、利用导数研究函数的单调性（10分钟）1. 讲解导数与函数单调性的关系；2. 示例讲解如何利用导数研究函数的单调性；3. 学生练习利用导数研究函数的单调性。

高中数学第三章导数及其应用3-3-2利用导数研究函数的极值同步导学案新人教B 版选修1学习目标：1理解函数极值与极值点的概念2 掌握求极值与最值得方法与步骤3 能利用极值与最值求解参数德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：1. 理解函数极值与极值点的概念2. 掌握求极值与最值得方法与步骤难点：能利用极值与最值求解参数活动一：自主预习，知识梳理一、极值的概念已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有()x f y =0x 0x x，则称函数在处取极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有，则称函数在处取极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点。

()x f )(0x f y =极大值()x f ()x f )(0x f y =极小值()x f与统称为极值。

与统称为极值点二、求可导函数极值的步骤()x f y =1.求 ；2.求方程的所有实数根；3.对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，的符号如何变化。

如果的符号 ，则是极大值；如果的符号 ，则是极小值；如果在()x f/()0x f ()x f /()0x f ()0/=x f 的根的左右侧符号不变，则不是极值0x x =()0x f三、求可导函数在的最大（小）值的步骤()x f y =[]b a ,1.求在开区间内的()x f ),(b a2.计算函数在和的函数值，其中最大一个为最大值，最小的一个为最小值()x f活动二：问题探究1.同一函数的极大值一定大于它的极小值吗？ 2.导数为零的点一定是极值点吗？ 3. 在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，在上一定存在最值和极值吗？[]b a ,()x f y =[]b a ,活动三：要点导学，合作探究要点一：求函数的极值，最值例1：已知函数()44313+-=x x x f（1）求函数的极值 （2） 求函数在区间上的最大值和最小值[]4,3-练习：P99练习B-1要点二：极值的综合应用例2：已知为实数，函数a ()a x x x f ++-=33。

高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教学目标：1. 理解导数的基本概念及其几何意义；2. 学会利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 掌握导数在实际问题中的应用。

教学重点：1. 导数的基本概念及其几何意义；2. 利用导数研究函数的单调性、极值和最值；3. 导数在实际问题中的应用。

教学难点：1. 导数的计算；2. 利用导数解决实际问题。

第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1. 引入导数的定义；2. 讲解导数的几何意义；3. 举例说明导数的计算方法。

1.2 导数的计算1. 讲解导数的计算规则；2. 举例练习导数的计算；3. 引导学生发现导数的计算规律。

第二章：利用导数研究函数的单调性2.1 单调性的定义1. 引入单调性的概念；2. 讲解单调性的判断方法；3. 举例说明单调性的应用。

2.2 利用导数判断函数的单调性1. 引入导数与单调性的关系；2. 讲解利用导数判断函数单调性的方法；3. 举例练习利用导数判断函数单调性。

第三章：利用导数研究函数的极值3.1 极值的概念1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例说明极值的求解方法。

3.2 利用导数求函数的极值1. 引入导数与极值的关系；2. 讲解利用导数求函数极值的方法；3. 举例练习利用导数求函数极值。

第四章：利用导数研究函数的最值4.1 最值的概念1. 引入最值的概念；2. 讲解最值的求解方法；3. 举例说明最值的应用。

4.2 利用导数求函数的最值1. 引入导数与最值的关系；2. 讲解利用导数求函数最值的方法；3. 举例练习利用导数求函数最值。

第五章：导数在实际问题中的应用5.1 应用导数解决实际问题1. 引入导数在实际问题中的应用；2. 讲解导数在实际问题中的解题思路；3. 举例说明导数在实际问题中的应用。

5.2 利用导数解决优化问题1. 引入优化问题的概念；2. 讲解利用导数解决优化问题的方法；3. 举例练习利用导数解决优化问题。

利用导数研究函数极值课堂探究探究一 求函数极值解决求函数极值问题，按照求函数极值一般步骤求解即可，解答此类问题要注意，f ′(x )＝0只是函数在x 0处有极值必要条件，只有再加上x 0左右两侧导数值异号，才能判断函数在x 0处取得极值．函数f (x )在某个区间上连续时，它极值点分布是有规律，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，即极大值点与极小值点是交替出现．【典型例题1】 求以下函数极值： (1)y ＝f (x )＝3x 3－x ＋1； (2)f (x )＝x 2e x.思路分析：首先对函数求导，求得f ′(x )，然后求方程f ′(x )＝0根，再检验方程根左右两侧导数f ′(x )符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．解：(1)y ′＝9x 2－1，令y ′＝0，解得x 1＝13，x 2＝－13.当x 变化时，y ′和y 变化情况如下表：因此，当x ＝－3时，y 有极大值，并且y 极大值＝9.而当x ＝13时，y 有极小值，并且y 极小值＝79.(2)函数定义域为R .f ′(x )＝2x e x ＋x 2·e x ＝e x ·x (2＋x )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：当x ＝－2时，函数有极大值，且f (－2)＝4e 2.探究二 求函数最值利用导数求函数最值，实质是通过比拟某些特殊函数值来得到最值，因此我们在用导数求极值根底上进展变通．令f ′(x )＝0得到方程根x 1，x 2，…，直接求得函数值f (x 1)，f (x 2)，…，然后与端点函数值比拟就可以了，也可以用导数法与函数单调性相结合求最值．【典型例题2】 求以下函数最值： (1)f (x )＝－x 3＋3x ，x ∈[－ 3， 3]； (2)f (x )＝－x 3＋2x 2＋3，x ∈[－3,2]．思路分析：使导数为0点函数值与端点处函数值比拟． 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋3.令f ′(x )＝－3(x 2－1)＝0, 得x ＝±1，f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (－ 3)＝0，f ( 3)＝0.故f (x )最大值为2，最小值为－2. (2)f ′(x )＝－3x 2＋4x ，由f ′(x )＝x (4－3x )＝0，得x ＝0，或x ＝43.当x 变化时，f ′(x )及f (x )变化情况如下表：当x ＝0或x ＝2时，f (x )取最小值3. 探究三 求参数取值函数极值确定函数系数问题为逆向思维问题．解决这类问题方法是根据求函数极值步骤，利用极值点与导数关系，建立字母系数方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题．【典型例题3】 设函数f (x )＝2ax －b x ＋ln x ，假设f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，(1)求a ，b 值；(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，求c 最小值．思路分析：(1)可以由条件列出关于a ，b 方程组求解；(2)存在x 0使不等式c ≥f (x 0)成立，含义是函数f (x )图象上至少有一点在直线y ＝c 下方，也就是说只需c ≥f (x )min .解：(1)因为f (x )＝2ax －b x＋ln x ，所以f ′(x )＝2a ＋b x2＋1x.因为f (x )在x ＝1，x ＝12处取得极值，所以f ′(1)＝0，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 即解得所以a ，b 值分别为－13，－13.(2)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上存在x 0，使得不等式f (x 0)－c ≤0成立，只需c ≥f (x )min ，由(1)知f (x )＝－23x ＋13x＋ln x .由f ′(x )＝－23－13x 2＋1x＝－2x 2－3x ＋13x 2＝－(2x －1)(x －1)3x2， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＞0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(1,2)上单调递减．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上极小值， 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13＋ln 12＝13－ln 2，f (2)＝－76＋ln 2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (2)＝32－ln 4＝ln 32e －ln 4， 又e 3－16＞0， 所以ln 32e －ln 4＞0，所以在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上f (x )min ＝f (2)，所以c ≥f (x )min ＝－76＋ln 2.所以c 取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－76＋ln 2，＋∞， 所以c 最小值为－76＋ln 2.探究四 易错辨析 易错点 无视对极值点验证【典型例题4】 函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求a ，b 值． 错解：f ′(x )＝3x 2－2ax －b . 由题意得3－2a －b ＝0， 1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.错因分析：在x ＝1处有极值10，那么x ＝1是f ′(x )＝0根．但f ′(x )＝0根并不一定是极值点，故对求得参数值要进展验证是否满足在x ＝1处有极值．正解：f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意得3－2a －b ＝0,1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0， 所以f (x )单调递增，不存在极值，故应舍去． 当a ＝－4，b ＝11时，满足题意． 所以a ＝－4，b ＝11.。

3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值 【例1】 确定函数f (x )=12+x x在区间［-2,2］上的单调性并求f (x )在区间［-2,2］上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得f ′(x )=2222222)1(1)1()1()1(+-=+'+-+'x x x x x x x ,令f ′(x )=0,解得x =-1或x =1.列出下表：x-2 (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 f ′(x ) - 0 + 0 - f (x )极小值极大值由表可知：f (x )的极小值是f (-1)=211)1(12-=+--;极大值是f (1)=21. 又f (-2)=-52,f (2)=52, ∴f (x )在区间［-2,2］上的最大值是21，最小值是-21. 温馨提示即函数f (x )=12+x x 的定义域为R.又∵1lim 2+∞→x xx =0, ∴f (x )在R 上的最大值与最小值还分别为21和-21.又f (0)=0, ∴函数f (x )=12+x x 在R 上的值域为［-21,21］. 二、极值的应用【例2】 已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在点x =1处有极小值-1,试确定a 、b 的值，并求出f (x )的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a 、b 的值，再求函数f (x )的单调区间. 解：由已知，得f (1)=1-3a +2b =-1,又f ′(x )=3x 2-6ax +2b ① ∴f ′(1)=3-6a +2b =0② 由①②得a =31,b =-21. 故函数的解析式为f (x )=x 3-x 2-x .由此得f ′(x )=3x 2-2x -1,由二次函数的性质，当x <-31或x >1时，f ′(x )>0；当-31<x <1时，f ′(x )<0.因此，在区间(-∞,- 31)和(1,+∞)上，函数f (x )为增函数；在区间(-31，1)内，函数f (x )为减函数.因此,f (x )max =f (-31)=275,f (x )min =f (1)=-1. 温馨提示此类问题根据极值点为导函数的根构造方程组.利用待定系数法求解. 三、利用导数极值求函数的解析式【例3】 已知函数f (x )=x 3-3ax 2+2bx 在x =-1处有极小值1，试确定a 、b 的值，并求f (x )的单调区间.解：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=++='=--=.21,31.0263)1(,1231)1(b a b a f b a f 解得∴f (x )=x 3+x 2-x ,∴f ′(x )=3x 2+2x -1.由f ′(x )>0,得x <-1或x >31;由f ′(x )<0,得-1<x <31.∴函数f (x )的单调递增区间是(-∞,-1)和(31,+∞),单调递减区间是(-1,31).各个击破 类题演练1求函数y =x 4-2x 2-1的极值.解：y ′=4x 3-4x ,令y ′=0,得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.将x 、y 及在相应区间上y ′的符号关系列表如下：x (-∞,-1)-1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) y ′ -+-+y极小值-2 极大值-1极小值-2 所以当x =-1时，函数有极小值-2；当x =0时，函数有极大值-1；当x =1时函数有极小值-2.变式提升1求函数y =322)2(x x -的极值.解：y ′=33222)(3)1(4)2(])2[(·32x x x x x x x x --=--由y ′=0得x =1,由3)2( 3x x -得x =0或x =2 当x 变化时,y ′、y 的变化情况如下表：x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞) y ′ - 不存在 + 0 - 不存在 + y极小值极大值极小值∴当x =0时，y 极小值=0. 当x =1时，y 极大值=1. x =2时,y 极小值=0.类题演练2若f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1有极大值和极小值，求a 的取值范围.解：f (x )为三次函数.f ′(x )为二次函数.要使f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )=0有两个不相等的实数根，从而有Δ=(2a )2-4(a +2)>0，解得a <-1或a >2.变式提升2如果函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足b 2-3ac <0,a ≠0, 求证：函数f (x )无极值.证明：f ′(x )=3ax 2+2bx +c 当a >0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )>0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递增. f (x )无极值.当a <0时，∵Δ=4b 2-12ac <0∴f ′(x )<0恒成立，f (x )在(-∞,+∞)内单调递减，f (x )无极值.类题演练3设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. 试确定常数a 和b 的值. 解：f ′(x )=xa+2b +1 ∵f ′(1)=f ′(2)=0∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0142012b a b a解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=6132b a∴f (x )=-32ln x -61x 2+x变式提升3 设a <0 证明：f (x )=12++x bax 取得极大值和极小值的点各1个. 证明：f ′(x )=222)1()(2)1(++-+x b ax x x a =222)1(2++--x a bx ax ,令f ′(x )=0,即ax 2+2bx -a =0,①.∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程①式有两个不相等的实根，记为x 1、x 2，不妨设x 1<x 2,则有f ′(x )=a (x -x 1)(x -x 2),f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (-∞,x 1) x 1 (x 1,x 2) x 2 (x 2,+∞)。

《3.3.2利用导数研究函数的极值》教学案教学目标：1、能够区分极值与最值两个不同的概念；2、掌握求可导函数的极值与最值的步骤.教学重、难点：利用导数研究函数的极值与最值教学过程：【知识要点梳理】 一.函数的极值 1.函数极值定义一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点.如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y极小值=f (x 0)，x 0是极小值点.极大值与极小值统称为极值 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.3. 求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值二. 函数的最大值与最小值 1. 函数的最大值与最小值：在闭区间[]b a ,上图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 2.利用导数求函数的最值步骤: 设函数)(x f 在在(a ，b )内可导，在闭区间[]b a ,上图像连续不断，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【疑难点、易错点剖析】1由极值的定义可知，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.此外请注意以下几点：(ⅰ)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(ⅱ)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.(V )可导函数的极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点，如函数y =x 3在x =0处导数为0，但x =0不是极值点.(Vi )函数在一点x 0处有极值，不一定在该点可导.如函数y =|x | 在x =0有极小值，但在x =0处不可导即导数不存在.2.对于函数的最值问题，应注意以下几点：(1)在闭区间[]b a ,上图像连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． (2)在开区间(,)a b 内图像连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； (3)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．(4)函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的图像连续不断，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0x x x f x x ⎧--≤≠⎪=⎨=⎪⎩但在[]1,1-上有最大值，最小值，(最大值是0，最小值是-2)，但其图像却不是连续不断的(如右图).(5)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.(6)若函数f (x )只有一个极值，则必为最值.若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上递增，则min ()()f x f a =，max ()()f x f b =；若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上递减，则min ()()f x f b =，max ()()f x f a =.三.例题解析 例 已知函数31()4 4.3f x x x =-+ (1)求函数的极值；(2)求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值. 解：2212(1)'()4,40,2, 2.f x x x x x =--==-=解方程得当x 变化时，f ’(x )，f (x )变化状态如下表：从上表看出，当x =-2时，函数有极大值，且311(-2)2424933f =⨯-⨯+（）（）--=.而当x =2时，函数有极小值，且311(2)2424133f =⨯-⨯+=-.函数31()443f x x x =-+的图象如图所示.3312(-3)-34-347311(4)44449.33f f =⨯-⨯+==⨯-⨯+=（）（）（），与极值点的函数值比较，得已知函数在区间[-3，4]上的最大值是193，最小值是11.3-【直击考点】考点一 求含字母参数的函数的极值1.(06安徽卷)设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数.(Ⅰ)求b 、c 的值.(Ⅱ)求()g x 的单调区间与极值.思路分析：先求出'()f x ，再利用奇函数定义即可求出b ，c 的值，再利用导数这一工具，可求出函数的单调区间及极值解析：(Ⅰ)∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++.从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c +-+--是一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =；(Ⅱ)由(Ⅰ)知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，令2()36g x x '=-=0，解得x =2()360,g x x x x '=->><解得2()360,g x x x '=-<<<解得由此可知，函数()g x的单调递增区间是(,-∞和)+∞；单调递减区间是(； 进而得()g x在x =()g x在x =极小值，极小值为-.锦囊妙计：熟练掌握利用导数这一有效工具求函数的单调区间、极值、最值，力求解答思路顺畅，思维严谨，书写规范.考点二 求函数的最值2.已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=(1)若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； (2)若)(x f 在(—∞，—2]和[2，+∞)上都是递增的，求a 的取值范围.思路分析：(1)按照利用导数求函数的最值的步骤去求解.(2)当函数f (x )在给定的区间上递增时，则在该区间上恒有'()0f x ≥，从而得到关于a 的不等式.解: (Ⅰ)由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f由0)1(=-'f 得21=a ，此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x =－1 ， 当[2,2]x -在变化时，'(),()f x f x 的变化如下表4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大又所以f (x )在[－2，2]上的最大值为,29最小值为.2750- (2)解法一: 423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0，－4)的抛物线，由条件得,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{084.048≥+≥-a a ∴－2≤a ≤2.所以a 的取值范围为[－2，2]. 解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得:1,212)3a x x x =<所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知，当x ≤－2或x ≥2时， )(x f '≥0， 从而x 1≥－2， x 2≤2，即⎪⎩⎪⎨⎧+≤+-≤+6122.6122a a a a 解不等式组得: －2≤a ≤2.∴a 的取值范围是[－2，2].锦囊妙计：(1)极大值，极小值是否就是最大值，最小值，要与区间两端点的函数值进行比较，才能下结论.(2)在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令'()0('()0)f x f x ≥≤或恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ’(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ’(x )不恒为0，则由'()0('()0f x f x ≥≤或，x (,)a b ∈恒成立解出的参数的取值范围确定.考点三 利用导数解决函数的综合问题3.(06年深圳市模拟)已知函数()f x x b =+的图象与函数23)(2++=x x x g 的图象相切，记()()()F x f x g x =.(Ⅰ)求实数b 的值及函数()F x 的极值；(Ⅱ)若关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.思路分析:首先由()f x x b =+是23)(2++=x x x g 的切线，利用导数的几何意义求出b ，再由导数与单调性，极值的关系作出函数()y F x y k ==　与　的图像，利用数形结合的思想求解.解：(1)依题意，令.1,321),()(-=+='='x x x g x f 故得∴函数()f x 的图象与函数()g x 的图象的切点为).0,1(-，将切点坐标代入函数()f x x b =+可得 1=b .或:依题意得方程)()(x g x f =，即0222=-++b x x 有唯一实数解， 故0)2(422=--=∆b ，即1=b∴254)23)(1()(232+++=+++=x x x x x x x F ，故)35)(1(3583)(22++=++='x x x x x F ，令0)(='x F ，解得1-=x ，或35-=x .列表如下 :从上表可知)(x F 在35-=x 处取得极大值274，在1-=x 处取得极小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知函数)(x F y =大致图象如下图所示.作函数k y =的 图象，当)(x F y =的图象与函数k y =的图象有三个交点时， 关于x 的方程k x F =)(恰有三个不等的实数根.结合图形可知：)274,0(∈k .。