江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练6理

6.数 列1.已知从数列{a n }中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列1n a ，2n a ，3n a …，称为数列{a n }的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列{a n }的等比子数列.(1)设数列{a n }是一个公差不为0的等差数列，若a 1＝1，a 3＝6，且a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，求数列{n k }的通项公式；(2)是否存在一个等差数列{a n }，使得{b n }是数列{a n }的一个等比子数列？其中数列{b n }的公比为q ，同时满足b 1＝a 21，b 2＝a 22，b 3＝a 23(a 1<a 2)，b 1＝(1＋2)(1－q ).若存在，求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. 解 (1)因为数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，a 3＝6，则等差数列{a n }的公差d ＝52，所以a n ＝52n －32(n ∈N *)，k n a ＝52n k －32.又a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，且a 3a 1＝6， 所以k n a ＝6k ＋1，即6k ＋1＝52n k －32， 故n k ＝2×6k ＋1＋35(k ∈N *).(2)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1<a 2，所以d >0. 由题意得a 21(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )4， 化简得2a 21＋4a 1d ＋d 2＝0，所以d ＝(－2±2)a 1，而－2±2<0，故a 1<0.若d ＝(－2－2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2＋1)2，故b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(1＋2)(－2－22)<0，故舍去.若d ＝(－2＋2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2－1)2，从而b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(22－2)(1＋2)＝2， 所以a 1＝－2，d ＝(－2＋2)a 1＝22－2， 所以a n ＝(22－2)n －32＋2. 又b 1＝2，令(22－2)n －32＋2＝2，故n ＝32＋62不是整数，即b 1不是数列{a n }中的项.故不存在满足条件的等差数列{a n }.2.设等比数列{a n }的首项为a 1＝2，公比为q (q 为正整数)，且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；数列{b n }满足2n 2－(t ＋b n )n ＋32b n ＝0(t ∈R ，n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试确定t 的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)当{b n }为等差数列时，对每个正整数k ，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }.设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m ＝2c m ＋1的所有正整数m .解 (1)由题意6a 3＝8a 1＋a 5，则6q 2＝8＋q 4，解得q 2＝4或q 2＝2(舍)，则q ＝2，又a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)当n ＝1时，2－(t ＋b 1)＋32b 1＝0，得b 1＝2t －4，当n ＝2时，2×22－(t ＋b 2)×2＋32b 2＝0，得b 2＝16－4t ，当n ＝3时，2×32－(t ＋b 3)×3＋32b 3＝0，得b 3＝12－2t ，则由b 1＋b 3＝2b 2，得t ＝3，而当t ＝3时，2n 2－(3＋b n )n ＋32b n ＝0，得b n ＝2n ，由b n ＋1－b n ＝2(常数)知，此时数列{b n }为等差数列，故t ＝3. (3)由(1)(2)知，a n ＝2n，b k ＝2k .由题意知，c 1＝a 1＝2，c 2＝c 3＝2，c 4＝a 2＝4，c 5＝c 6＝c 7＝c 8＝2，c 9＝a 3＝8，…， 则当m ＝1时，T 1≠2c 2，不合题意， 当m ＝2时，T 2＝2c 3，适合题意.当m ≥3时，若c m ＋1＝2，则T m ≠2c m ＋1，一定不适合题意， 从而c m ＋1必是数列{a n }中的某一项a k ＋1，则T m ＝a 1＋122b +⋅⋅⋅+个＋a 2＋222b +⋅⋅⋅+个＋a 3＋322b +⋅⋅⋅+个＋a 4＋…＋a k ＋22k b +⋅⋅⋅+个，＝(2＋22＋23＋ (2))＋2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ) ＝2×(2k －1)＋2×(2＋2k )k 2＝2k ＋1＋2k 2＋2k －2，2c m ＋1＝2a k ＋1＝2×2k ＋1，所以2k ＋1＋2k 2＋2k －2＝2×2k ＋1，即2k －k 2－k ＋1＝0，所以2k ＋1＝k 2＋k .2k＋1(k ∈N *)为奇数，而k 2＋k ＝k (k ＋1)为偶数， 所以上式无解.即当m ≥3时，T m ≠2c m ＋1.综上知，满足题意的正整数仅有m ＝2.3.(2018·江苏省邗江中学期中)已知各项均为正数的数列{}a n 满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝na n(2n ＋1)·2n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.(3)令c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)a n ＋2，记数列{c n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，证明：516≤S n <12.(1)解 ∵a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， ∴(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，∴2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列.由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *.(2)解 b n ＝na n (2n ＋1)·2n ＝n 2n ＋1，若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3.由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2， ∴－2m 2＋4m ＋1＞0，解得1－62＜m ＜1＋62. 又m ∈N *，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.故存在正整数m ＝2，n ＝12，使得b 1，b m ，b n 成等比数列. (3)证明 c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)·2n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋n n (n ＋1)·2n ＋1＋n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋1＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋12n ＋1＋12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11·2－12·22＋⎝⎛⎭⎪⎫12·22－13·23＋⎦⎥⎤…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1＝12·122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－1(n ＋1)·2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1，n ∈N *. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1递减， ∴0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1·1＋21＋1＝38，∴516≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1＜12，∴516≤S n ＜12. 4.(2018·江苏省扬州树人学校模拟)已知无穷数列{}a n 的各项都不为零，其前n 项和为S n ，且满足a n ·a n ＋1＝S n (n ∈N *)，数列{}b n 满足b n ＝a na n ＋t，其中t 为正整数.(1)求a 2 018；(2)若不等式a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1对任意的n ∈N *都成立，求首项a 1的取值范围；(3)若首项a 1是正整数，则数列{}b n 中的任意一项是否总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由. 解 (1)令n ＝1，则a 1a 2＝S 1，即a 1a 2＝a 1， 又a 1≠0， 所以a 2＝1.由a n ·a n ＋1＝S n ，得a n ＋1·a n ＋2＝S n ＋1， 两式相减得(a n ＋2－a n )a n ＋1＝a n ＋1， 又a n ＋1≠0， 故a n ＋2－a n ＝1， 所以a 2 018＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2 0182－1×1＝1 009.(2)由(1)知数列{}a 2n 是首项为a 2＝1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为a 1，公差为1的等差数列.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －12，n 是奇数，n2，n 是偶数.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a 1＋n 2－14，n 是奇数，n 2a 1＋n24，n 是偶数.①当n 是奇数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122<⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12a 1＋n 2－14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋12a 1＋(n ＋1)24，即a 21－2a 1<n －12对任意正奇数n 恒成立，所以a 21－2a 1<0， 解得0<a 1<2.②当n 是偶数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋n 22<⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2a 1＋n 24 ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋22a 1＋(n ＋1)2－14，即a 21－a 1<n2对任意正偶数n 恒成立，所以a 21－a 1<1， 解得1－52<a 1<1＋52.综合①②得0<a 1<1＋52.(3)由数列{}a 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为正整数a 1，公差为1的等差数列知，数列{}a n 的各项都是正整数. 设b n ＝b m b k ，即a na n ＋t ＝a ma m ＋t ·a ka k ＋t，所以a m ＝a n (a k ＋t )a k －a n，取k ＝n ＋2，则a k －a n ＝1，故a m ＝a n (a n ＋2＋t )，不妨设m 是偶数，则m2＝a n (a n ＋2＋t )一定是整数，故当n 是偶数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋t ＋1，当n 是奇数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n ＋12＋t ，所以数列{}b n 中的任意一项总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由.解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设b k ＝4k2k ，k ∈N *，则b k ＋1－b k ＝4k ＋12(k ＋1)－4k2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以b k ＋1－b k ＞0，所以数列{b k }是递增的，所以(b k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2ka 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2).(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列， 则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.6.(2018·南京模拟)若数列{}a n 满足：对于任意n ∈N *，a n ＋||a n ＋1－a n ＋2均为数列{}a n 中的项，则称数列{}a n 为“T 数列”.(1)若数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{}a n 为“T 数列”；(2)若公差为d 的等差数列{}a n 为“T 数列”，求d 的取值范围；(3)若数列{}a n 为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n <a 2n ＋1－a 2n <a n ＋1，求数列{}a n 的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2， 又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2.所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”. (2)解 因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d |. 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |. ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1.此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意. 综上，d ≥0. (3)解 因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1，又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列. 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)， 则有a n ＝1＋(n －1)t ， 由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ， 整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1，① n (t －2t 2)＞2t －t 2－1.②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t －t， 则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1， 与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0. 同样根据②式可得t －2t 2≥0， 所以2t 2－t ＝0.又t ＞0，所以t ＝12.经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.。

14个填空题综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z ＝2＋i 2－i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：法一：z ＝2＋i 2－i ＝＋25＝35＋45i ， 则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1. 法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2－i ＝|2＋i||2－i|＝55＝1. 答案：13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋I I ←I ＋2End WhilePrint S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8；S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8；S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8；S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8；S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17.答案：175．设双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233. 答案：2336．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425. 答案：4257．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：3π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，所以q ＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－27a 18＋3a 12＝－158，所以a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6S 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 1q 3＋a 2q 3＋a 3q 3a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝－198， 所以q ＝－32， 则a 4－a 2＝a 3q －a 3q ＝－3a 32＋2a 33＝－158， 所以a 3＝94答案：949．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．解析：作出曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包括边界)如图：设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A 时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，y ＝－2x ＋1，解得A (－1,3)，此时z ＝2×(－1)－3＝－5.答案：－511．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，若f (x －φ)的图象关于y 轴对称⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，则φ＝________.解析：因为f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6.由f (x －φ)的图象关于y 轴对称得，－2φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以－2φ＝π3＋k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案：π312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为___________________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b 2，所以62≤21＋b 2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，153. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎥⎤1，153 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当1≤m ≤2时，不等式x |x －m |≥m －2显然成立；当2<m <3时，令f (x )＝x |x －m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x m －x ，1≤x <m ，x x －m ，m ≤x ≤3，f (x )min ＝f (m )＝0，故不等式x |x －m |≥m －2不恒成立；当m ≥3时，令f (x )＝x (m －x )，则f (1)＝m －1，f (3)＝3(m －3)，显然m －1>m －2恒成立，令3(m －3)≥m －2，解得m ≥72， 故m 的取值范围为[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 答案：[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C， 得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C ， 即A ＋B sin A sin B ＝4cos C sin C， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋b 2－c 2)， 即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立． 所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223. 答案：223。

填空题满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则|z |＝________. 答案2解析 由题意知z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q ＝________. 答案 (0,2) 解析 P ∩Q ＝(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2,b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 45°解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22 ＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22 ＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2 ＝6||e 12－||e 22＝5， 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22， ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是________.答案 16解析 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点A (3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案 3解析 样本x ,1，y ,5的平均数为2，故x ＋y ＝2，故s 2＝14[(x －2)2＋(y －2)2＋10]＝52＋14(x 2＋y 2)≥52＋14×(x ＋y )22＝52＋14×2＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故方差的最小值是3. 6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为________. I ←2 S ←0 While I <m S ←S ＋I I ←I ＋3 EndWhile Print S答案 2021解析 由伪代码知，这是当型循环结构的算法， 由于累加项的步长为3， 循环变量I 的终值为2018， 故2018<m <2022，由于m 是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m ，则实数m 的取值范围是________. 答案 [20，＋∞)解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x ＋2y －19＝0的距离为25， 故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min ＝20， 故实数m 的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )＝________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析 ∵由图象知，14T ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π12＝π4， ∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝2， ∴2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . ∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 9.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A, B 两点，与双曲线交于C, D 两点，当AB ＝2CD 时，双曲线的离心率为________. 答案5＋12解析 由题意知F (2,0), c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C, D 两点， 在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴AB ＝8，∴CD ＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1， 则2b4a 2－1＝4. ∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝25－1＝5＋12.10.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α的同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为________.答案 [1，7]解析 如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ， 则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝2cos π3＝1，CN ＝3sin ∠CAN ＝3sin π6＝32，AN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m ，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解析 ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i ·3j (i ，j ＝0,1,2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1). 12.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.13.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1＋a 2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫2，2＋2e 解析 当x ＜0时，f (x )为增函数，当x ≥0时，f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1, f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎨⎧f ()t ＝e －a＋a 2，f ()t ＝et －1＋a 2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e＋2.。

填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________.答案 43解析 ∵复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ， ∴z 1z 2＝a ＋i 3－4i ＝(a ＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a －4＋(4a ＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数，∴3a －4＝0且4a ＋3≠0，即a ＝43. 2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 {x |1≤x <2}解析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}，∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和为________.答案 15解析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根，∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15. 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长度的取值范围为________.答案 [6－2，6＋2]解析 设BC 的中点为M (x ，y ).因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2，所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32， 所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22， 所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2].5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题：①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β.其中正确的命题是________.(填序号)答案 ①解析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β.②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确.两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种.答案 24解析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x ＋2)≤1的x 的取值范围是________.答案 [－3，－1]解析 函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，由f (1)＝1，可知f (－1)＝－1.当x ≥0时，函数单调递增，由y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，得y ＝f (x )在R 上单调递增. 则由－1≤f (x ＋2)≤1，可得－1≤x ＋2≤1，解得－3≤x ≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案 n ≤8(或n <9)解析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n .∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2， ∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意； 当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8或n <9.9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8 解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2,2)，又OA ＝OB ＝22，∴(x 2＋y 2)max ＝8.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________.答案 2 2解析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ，∵球的表面积是40π，∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt△OBO ′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP 为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为________.答案 153解析 由题意知在等腰△ABP 中，AB ＝AP ＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角.∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2a sin θ， ∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2552－1＝35. 设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝－a －AP cos 2θ＝－11a 5， y ＝AP sin 2θ＝8a 5， 故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P 在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23， ∴e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案 316解析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ， ∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316. 13.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________.答案 S n ＝3n －2n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列， ∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是________.答案 3解析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确.。

填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案 1解析 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案 2解析 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝________. 答案1314解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314. 4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案 43解析 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________.答案 －1解析 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2；②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案 ④解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确. 7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案 30解析 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n＝4.故这列数的第三项为30. 8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案 x 216＋y 24＝1解析 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是________. 答案 4解析 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案 4 2解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0， x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为 x 1＋x 22＋2＝4 2. 12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案 16解析 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案102解析 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝⎛⎭⎫12×1×2×sin A 2＋⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝⎛⎭⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝⎛⎭⎫b 2－522＋1216，所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值. 14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________. 答案 [4＋22，＋∞)解析 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ， 而2 018t >0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立. 令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增， 所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2.。

【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分目录附加题满分练 (2)附加题满分练1 (2)附加题满分练2 (5)附加题满分练3 (8)解答题满分练 (13)解答题满分练1 (13)解答题满分练2 (20)解答题满分练3 (26)解答题专项练 (33)1.立体几何 (33)2.三角函数与解三角形 (40)3.应用题 (45)4.解+析几何 (53)5.函数与导数 (60)6.数列 (67)填空题满分练 (76)填空题满分练(1) (76)填空题满分练(2) (81)填空题满分练(3) (86)填空题满分练(4) (92)填空题满分练(5) (98)填空题满分练(6) (105)填空题满分练(7) (111)填空题满分练(8) (118)压轴小题组合练 (124)压轴小题组合练(A) (124)压轴小题组合练(B) (130)压轴小题组合练(C) (138)附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (P A <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段P A 的长.解 连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ， 由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22，由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ， 即16＝P A ·(P A ＋22)， 解得P A ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M . 解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2， 所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎫2，π3为圆心且与直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz48， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(2)另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1 ＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)kC k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1 (－1)k k C k m ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)kC k m (x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1 (－1)k C k －1m (x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .证明 连结AE ，EB ，OE ，则∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠APE 是圆周角，∠AOE 同弧上的圆心角， 所以∠APE ＝12∠AOE ＝45°.同理可得∠BPE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线.又PC 也是∠APB 的平分线，∠APB 的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E .2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解 依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4.∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4， θ∈[0，π]， 所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明 因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0， 所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×25＝2125.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立.(2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立； 假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0.则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1， 因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.附加题满分练31.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，连结CF 交⊙O 于D ，交AB 于E .若BC ＝BF ＝4，CE ∶ED ＝6∶5，求⊙O 的半径.解 如图，连结BD ，因为BF 是⊙O 的切线，所以∠DBF ＝∠BCF ，因为BC ＝BF ，所以∠BCF ＝∠BFC ， 所以∠DBF ＝∠BFC ，所以BD ＝DF ，又∠BEF ＋∠BFC ＝90°，∠EBD ＋∠DBF ＝90°， 所以∠BEF ＝∠EBD ，所以BD ＝ED ，所以ED ＝DF . 设CE ＝6x ，ED ＝5x (x >0)，则DF ＝5x ， 因为BF ＝4，根据切割线定理知BF 2＝DF ·CF ， 所以16＝5x ×16x ，解得x ＝55， 所以EF ＝ED ＋DF ＝25，因为BF 为⊙O 的切线，所以AB ⊥BF ， 所以BE 2＋BF 2＝EF 2，所以BE ＝2，根据相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·ED ，得AE ＝3， 所以AB ＝5，因为AB 为⊙O 的直径，所以⊙O 的半径为52.2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－212 2－1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0 4 －1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解 记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 12 2 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0， 故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12－2 2. 设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎤ 1 12－2 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0， 由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明 易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|， 故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2.又⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立， 故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小； (2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0). (1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ).设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12λ，12λ，1. 因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×⎝⎛⎭⎫1＋12λ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12λ2＋⎝⎛⎭⎫12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知⎝⎛⎭⎫1＋12x n 展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n (x )，a n ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1.(1)解 依题意a k (x )＝C k －1n⎝⎛⎭⎫12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1， a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·⎝⎛⎭⎫120＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122＝n (n －1)8， 所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ⎝⎛⎭⎫12x ＋3C 2n ⎝⎛⎭⎫12x 2＋…＋n C n －1n ⎝⎛⎭⎫12x n －1＋(n ＋1)C n n ⎝⎛⎭⎫12x n ， F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ， 考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得 2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1.解答题满分练解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)在线段EA 上是否存在点F ，使得EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取AB 的中点O ，连结OE ，OD .因为EB ＝EA ，所以OE ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD .又OD ∩OE ＝O ，OE ，OD ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥平面EOD ， 又DE ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥DE .(2)解 连结CA 交BD 于点M ，由AB ∥CD 可得CM AM ＝CD AB ＝12.假设线段EA 上存在点F ，使得EC ∥平面FBD ，又平面ACE ∩平面FBD ＝FM ， 故EC ∥FM ，从而EF F A ＝CM AM ＝12，故EF EA ＝13，所以当EF EA ＝13时，EC ∥平面FBD .2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a ＝()1＋cos ωx ，－1， b ＝()3，sin ωx ( ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，函数f (x )的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的表达式；(2)设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ()θ＝3＋65，求cos θ的值. 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3()1＋cos ωx －sin ωx ＝ 3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵为函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2πω＝2π， 解得ω＝1. ∴f (x )＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 . (2) 由f (θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45， ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3 ＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， ∴θ＝10＋2x 10＋x(0<x <10).(2)由(1)可得花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3910－110·2·t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ， 即t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答 当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.4.(2018·江苏六市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点.当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足： QB 1⊥PB 1, QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(1)解 设P ()x 0，y 0.在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋()x ＋329＝1.∴x 0＝－6a 29＋a 2.∵PB 1＝x 20＋()y 0－32＝2||x 0，∴42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18. ∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1). 方法一 直线PB 1的斜率为1PB k ＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，则直线QB 1的斜率为1QB k ＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理， QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴x 1＝－x 02.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.方法二 设直线PB 1, PB 2的斜率为k, k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得()2k 2＋1x 2＋12kx ＝0，∵P 是椭圆上异于点B 1, B 2的点， ∴x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .由QB 2⊥PB 2，得直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，得x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2. 5.设函数f (x )＝x －a sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； (2)设a ＝12，g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1()b ∈R ，b ≠0， g ′(x )是g (x )的导函数.①若对任意的x >0，g ′(x )>0，求证：存在x 0，使g (x 0)<0； ②若g (x 1)＝g (x 2) (x 1≠x 2)，求证： x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，得 f ′()x ＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立. ∵a >0，∴1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立， ∵(cos x )max ＝1， ∴1a≥1，从而0<a ≤1. (2)证明 ①g ()x ＝x －12sin x ＋b ln x ＋1，则g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0，则存在－b2>0，使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0，不合题意. ∴b >0. 取x 0＝3eb-，则0<x 0<1.此时g ()x 0＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b ln 3e b -＋1＝－12<0.∴存在x 0>0，使g ()x 0<0.②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增， 则x 2－sin x 2>x 1－sin x 1， 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. ∵g (x 1)＝g (x 2)，∴x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1，∴－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12()x 2－x 1.∴－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0. (*)设h ()t ＝ln t －t －1t ()t >1， 则h ′()t ＝－()t －122t t<0在()1，＋∞上恒成立.∴h (t )在()1，＋∞上单调递减，故h (t )<h (1)＝0， 从而(*)式得证.∴－2b >x 1x 2，即x 1x 2<4b 2.6.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，① 当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝(2)1n b -，②由①②知a n ＝(2)1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝(2)32b b -.∵b 3＝6＋b 2，∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n } 的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，得 21×22×23…×2n ＝(2)n b， 即(1)22n n +＝(2)n b，∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).(2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝⎛⎭⎫11－12＋122－⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.解答题满分练21.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD ⊥底面ABCD, P A ⊥PC ； (1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (2)若过点B 的直线l 垂直于平面PCD ， 求证： l ∥平面P AD .证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AP ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，又P A ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ， 所以AP ⊥平面PCD ，又AP ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ， 所以l ∥P A ，又l ⊄平面P AD, AP ⊂平面P AD ，所以l ∥平面P AD .2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b2a ＋c ＝0 .(1)求角B 的值；(2)若c ＝2，AC 边上的中线BD ＝32，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B2sin A ＋sin C ＝0,所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 所以sin A (2cos B ＋1)＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝ 3 ，因为∠ABC ＝2π3，所以∠BCE ＝π3 ，由余弦定理得，BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos ∠BCE ， 即3＝22＋a 2－2·2a ·cos π3，即a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×32＝32.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy .(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S ＝23lh )解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－32， 代入抛物线方程得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40米.(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－⎝⎛⎭⎫h －92， 代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝⎛⎭⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400，∵h ≥6，∴92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l 3l 2－400，20<l ≤40，∴S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1 200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0， 即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2. (1)求圆C 的标准方程；(2)已知两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求P A 2＋PB 2的取值范围. 解 (1)由已知可设圆心C (a,2a )，则r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |2，则⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝|a |2，解得a ＝±2，从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4. (2)设P (x ，y )，则P A 2＋PB 2＝x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2(x 2＋y 2)＋2， 要求P A 2＋PB 2的取值范围，只需求x 2＋y 2的取值范围，而x 2＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x 2＋y 2的取值范围为[24－85，24＋85]，故P A 2＋PB 2的取值范围为[50－165，50＋165].5.已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax＋b ，由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.代回检验可得，满足题意.所以实数a ，b 的值分别为1和－2.(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 即x 2－x －ln x ＋k ≤0.令g (x )＝x 2－x －ln x ＋k (x >0)，则g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，则k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，等价于ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ≤0在x ∈[1，＋∞)上恒成立.设h (x )＝ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)， 则h ′(x )＝1x －m ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＝－mx 2＋x －m x 2. 若m ≤0，则h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数， h (x )≥h (1)＝0， 这与题设h (x )≤0矛盾.若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2.(i)当Δ≤0，即m ≥12时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即不等式成立；(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，与题设矛盾. 综上所述，m ≥12.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .(1)若b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n2，a 2＝0.①证明：数列{}a n 为等差数列；②设数列{}c n 满足c n ＝a n ＋3a n ＋2，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m成等比数列？若存在，求出l ，m 的值；若不存在，请说明理由. (1)解 由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ， 得：S n ＝(a n －1)b n ，若b n ＝2，则S n ＝2a n －2.①当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2， 又S n ＋1＝2a n ＋1－2，②②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，又a 1＝2，所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n .(2)①证明 因为b n ＝n2，则2S n ＝na n －n ，③当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1， 又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，④④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1， 即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，⑥⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解 因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列， 所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列. a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1n，假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列， 即c 22＝c l c m ， 可得94＝l ＋1l ·m ＋1m，整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，由4m ＋45m －4≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，l ＝1611或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，l ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，l ＝87或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，l ＝1413或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，l ＝3231或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，l ＝1.又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2， 所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.解答题满分练31.已知函数f ()x ＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f ()A ＝－1，a ＝7且向量m ＝(3，sin B )与向量n ＝(2，sin C )共线，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝－1，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋1＝－1，即cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴2A ＋π3＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴A ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<A <π， ∴A ＝π3，∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×3×32＝332.2.(2018·常州市武进区期中)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，AD ＝4，AP ＝4，F 是线段BC 的中点. (1)求证：平面P AF ⊥平面PDF ；(2)若E 是线段AB 的中点，在线段AP 上是否存在一点G ，使得EG ∥平面PDF ？若存在，求出线段AG 的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD, DF ⊂平面ABCD, ∴P A ⊥DF ，又∵在底面ABCD 中， AF ＝DF ＝22，AD ＝4， ∴AF 2＋DF 2＝AD 2, ∴AF ⊥DF ，∵AP ∩AF ＝A ，AF ⊂平面P AF ，AP ⊂平面P AF ， ∴DF ⊥平面P AF ，∵DF ⊂平面PDF ， ∴平面P AF ⊥平面PDF .(2)解 方法一 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .延长AB 交DF 的延长线于点M ，连结PM .∵F 是线段BC 的中点，底面ABCD 是矩形， ∴MB ＝AB,∵EG ∥平面PDM, EG ⊂平面P AM ，平面P AM ∩平面PDM ＝PM ， ∴EG ∥PM ，∵AE ＝14AM, ∴AG ＝14AP ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.方法二 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .取DF 的中点I ，连结EI ，过点G 作AD 的平行线交PD 于点H ，连结GH ，HI . ∵E 是线段AB 的中点，∴EI 是梯形ABFD 的中位线， ∴EI ＝3，EI ∥GH ，∵EG ∥平面PDF , EG ⊂平面GEIH ， 平面GEIH ∩平面PDF ＝IH ， ∴EG ∥IH ，∴四边形GEIH 是平行四边形， ∴EI ＝GH ＝3，∴PG ＝34AP ＝3, ∴AG ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为2π3，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围. 解 (1)设AP ＝x 米，则AQ ＝(200－x )米， 所以S △APQ ＝12x ()200－x sin 2π3＝34x ()200－x ≤34⎝⎛⎭⎫20022＝2 500 3 (平方米)， 当且仅当x ＝200－x 时，取等号.即AP ＝AQ ＝100 米， S max ＝2 500 3 平方米. (2)由正弦定理AP sin ∠AQP ＝AQ sin ∠APQ ＝PQ sin A ，得AP ＝100sin ∠AQP ，AQ ＝100sin ∠APQ ，故围墙总造价y ＝100()AP ＋2AQ ＝10 000(sin ∠AQP ＋2sin ∠APQ )＝10 0003cos ∠AQP ， 因为0<∠AQP <π3， ∴12<cos ∠AQP <1，所以y ∈ ()5 0003，10 0003.答 围墙总造价的取值范围为()5 0003，10 0003(元).4.(2018·盐城模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，并且椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E (1,0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆的离心率为32， 所以b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫322＝14，又椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，令x ＝4，则y ＝3k ，所以点M (4,3k )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，可得()1＋4k 2x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1,2＝4k 2±23k 2＋11＋4k2， 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，所以k 1＋k 2＝2k －32·8k 21＋4k 2－24k 2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝2k －33. 又因为k 3＝3k －323＝k －36，所以k 1＋k 2＝2k 3，所以存在λ＝2，使得k 1＋k 2＝2k 3. 5.已知函数f (x )＝ x －bx，g (x )＝ 2a ln x .(1)若b ＝0，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求a 的值；(2)若a >0, b ＝－1，函数F (x )＝xf (x )＋g (x )满足对任意x 1，x 2∈(]0，1(x 1≠x 2)，都有||F ()x 1－F ()x 2<3⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求a 的取值范围； (3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋ g (x )，且G (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈⎝⎛⎦⎤0，13，求G ()x 1－G ()x 2的最小值.解 (1)若b ＝0，函数f (x )＝x 的图象与g (x )＝2a ln x 的图象相切，设切点为(x 0,2a ln x 0)， 则切线方程为y ＝2ax 0x －2a ＋2a ln x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a x 0＝1，－2a ＋2a ln x 0＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝e 2.所以a ＝e 2. (2)当a >0，b ＝－1时，F (x )＝x 2＋1＋2a ln x ，F ′(x )＝2x ＋2ax >0，所以F (x )在(0,1]上单调递增.不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F (x 2)－F (x 1)<3⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2，即F (x 2)＋ 3x 2< F (x 1)＋3x 1. 设h (x )＝F (x )＋3x ＝ x 2＋1＋2a ln x ＋3x ，x ∈(0,1]，则原不等式⇔h (x )在(0,1]上单调递减，即h ′(x )＝2x ＋2a x －3x 2≤0在(0,1]上恒成立，所以2a ≤3x－2x 2在(0,1]上恒成立.设y ＝3x －2x 2，它在(0,1]上单调递减，所以y min ＝3－2＝1，所以2a ≤1，又a >0，所以0<a ≤12.(3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x＋2a ln x ，G ′(x )＝ x 2＋2ax ＋1x 2(x >0)，由题意知x 1，x 2是x 2＋2ax ＋1＝0的两根， 所以x 1,2＝－2a ±4a 2－42，x 2＝1x 1，2a ＝－x 1－1x 1，G (x 1)－G (x 2)＝G (x 1)－G ⎝⎛⎭⎫1x 1＝2⎣⎡⎦⎤x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 令H (x )＝2⎣⎡⎦⎤x －1x －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2()1＋x()1－x ln x x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，H ′(x )<0, H (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减，H (x )的最小值为H ⎝⎛⎭⎫13＝20ln 3－163. 即G (x 1)－G (x 2) 的最小值为20ln 3－163. 6.(2018·常州市武进区期中)已知数列{}a n 中， a 1＝3，前n 项和S n 满足a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *). (1) 求数列{}a n 的通项公式； (2)记b n ＝a n()a n －1()a n ＋1－1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)是否存在整数对()m ，n (其中m ∈Z ,n ∈N *)满足a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对()m ，n ，若不存在，请说明理由. 解 (1)当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋3与a n ＝2S n －1＋3相减， 得a n ＋1－a n ＝2()S n －S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 在a n ＋1＝2S n ＋3中，令n ＝1可得，a 2＝9，即a 2＝3a 1. 故a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，故数列{}a n 是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝3n (n ∈N *). (2)由(1) 知，b n ＝a n()a n－1()a n ＋1－1＝3n()3n－1()3n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， 则T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12－18＋⎝⎛⎭⎫18－126＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1(n ∈N *). (3)a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0，即32n －()m ＋23n ＋7m ＋5＝0，则m ＝32n －2×3n ＋53n －7＝()3n －7()3n ＋5＋403n －7＝()3n＋5＋403n －7，若存在整数对()m ，n ，则403n －7必须是整数，其中3n －7只能是40的因数，可得n ＝1时， m ＝－2; n ＝2时， m ＝34; n ＝3时， m ＝34. 综上所有的满足题意的整数对为()－2，1， ()34，2， ()34，3.解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，点M 在棱PD 上， AM ⊥PD ，点N 是棱PC 的中点，求证：(1) MN ∥平面P AB ； (2) AM ⊥平面PCD .证明 (1)因为在△P AD 中， AP ＝AD ，AM ⊥PD ， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点， 所以MN 是△PDC 的中位线， 所以MN ∥DC .因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ∥DC ，。

填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩ (∁R B )＝________. 答案 [2,3)解析 A ＝{x |2x≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁R B )＝[2,3). 2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i (a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________.答案 2解析 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案 9解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案 150°解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案 [－3，＋∞)解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案 4解析 设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b 24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG 的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案 17解析 开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案 35解析 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20， 成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ，从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件，所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案π6解析 f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解析 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2， 所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________. 答案833解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x－1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案 3 3解析 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案2＋1解析 由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1， 即OQ b 2a＝a a ＋c ，解得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1， 即OP b 2a＝a c －a ，解得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________. 答案(]－∞，e ＋2解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.。

【12份】2019年江苏省高考数学二轮复习自主加餐的3大题型：14个填空题专项强化练目录2019年5月14个填空题专项强化练(一)集合、常用逻辑用语、统计、概率、算法与复数A组——题型分类练题型一集合的基本关系1．已知集合A＝{－1,3，m2}，集合B＝{3，－2m－1}，若B?A，则实数m＝________.详细分析：∵B?A，∴m2＝－2m－1或－1＝－2m－1，解得m＝－1或m＝0，经检验均满足题意，故m＝－1或0.答案：－1或02．已知集合A＝{0,1,2}，则A的子集的个数为________．详细分析：集合A中有3个元素，故A的子集个数为23＝8.答案：83．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．详细分析：由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}，得x>y，当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；当y＝3时，x可取4,5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．答案：10[临门一脚]1．要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．2．根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．3．集合中如果含有字母，根据条件求解后，一定要用互异性检验．4．子集问题中要注意空集优先的原则，其中集合中的方程或不等式中含有参数需要分类讨论．题型二集合的运算1．已知集合U＝{x|x>0}，A＝{x|x≥2}，则?U A＝________.详细分析：因为集合U＝{x|x>0}，A＝{x|x≥2}，所以?U A＝{x|0<x<2}．答案：{x|0<x<2}2．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.详细分析：A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．答案：{1,8}3．(2018·苏北四市质检)已知集合A＝{x|x2－x＝0}，B＝{－1,0}，则A∪B＝________.详细分析：由题意知集合A＝{0,1}，则A∪B＝{－1,0,1}．答案：{－1,0,1}4．已知集合A＝{1,2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．详细分析：因为a2＋3≥3，所以由A∩B＝{1}，得a＝1，即实数a的值为 1.答案：15.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为________．详细分析：因为B＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，所以阴影部分表示的集合为?R(A∩B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪(2，＋∞)6．已知集合M＝xxx－1≥0，x∈R，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝________.详细分析：由xx－1≥0，得x≠1，x x－1≥0，所以x>1或x≤0，所以M＝{x|x>1或x≤0}．又N＝{y|y≥1}，则M∩N＝{x|x>1}＝(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)[临门一脚]1．解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图．2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．题型三常用逻辑用语1．命题：“若x∈R，则x2≥0”的逆否命题为：“____________________”．详细分析：x∈R的否定为x?R；x2≥0的否定为：x2＜0，故原命题的逆否命题为：“若x2＜0，则x?R”．答案：若x2＜0，则x?R2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)详细分析：当a＝3时，A＝{1,3}，显然A?B.但A?B时，a＝2或3.故“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若命题p：4是偶数，命题q：5是8的约数．则下列命题中为真的序号是________．①p且q；②p或q；③非p；④非q.详细分析：命题p为真，命题q为假，故②④为真．答案：②④4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 详细分析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分5．若命题“?x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．详细分析：由命题“?x∈R，ax2＋4x＋a≤0”为假命题，得“?x∈R，ax2＋4x＋a>0”为真命题．当a≤0时，不成立；当a>0时，由Δ＝16－4a2<0，得a>2.故实数a的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)[临门一脚]1．要注意命题的否定和否命题的区别，“若p则q”的命题需要掌握其否命题，含量词的命题需要掌握其命题的否定．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假．题型四统计1．为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生3 000人，则该校学生总人数是________．详细分析：设该校学生总人数为n，则1－200＋100500＝3 000n，解得n＝7 500.答案：7 5002．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如下图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为________．详细分析：由图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.答案：9003．(2018·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．详细分析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.答案：904．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布表．若利用每组中点值近似计算本组数据的平均数x，则x的值为________.数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5) 频数213 4详细分析：x＝110(14×2＋17×1＋20×3＋23×4)＝19.7.答案：19.75.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为________．详细分析：由茎叶图知，得分较为稳定的那名运动员应该是乙，他在五场比赛中得分分。

填空题满分练(7)1.已知a 是实数，a ＋i 1－i是纯虚数，则a ＝________. 答案 1解析 a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －1)＋(a ＋1)i 2， 故⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1. 2.若集合A ＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－2x <0}, 则A ∪B ＝________.答案 {x |0<x <2}解析 ∵B ＝{x |0<x <2}，∴A ∪B ＝{x |0<x <2}.3.已知平面向量a ，b 满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －2b ) ，则|a －b |＝________. 答案 3解析 由题意可得|a |＝1＋3＝2，a ·(a －2b )＝0，即a 2－2a ·b ＝0，所以4－2a ·b ＝0，解得a ·b ＝2，由平面向量模的计算公式，可得|a －b |＝(a －b )2＝4＋9－4＝3.4.若双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1与C 2：y 2a 2－x 2b 2＝1(b >a >0)的离心率分别为e 1和e 2，则下列说法正确的是________.(填序号)①e 21＝e 22；②1e 21＋1e 22＝1； ③C 1与C 2的渐近线相同；④C 1与C 2有8个公共点.答案 ①解析 C 1的离心率为e 1＝c 1a ＝a 2＋b 2a ；C 2的离心率为e 2＝c 2a ＝a 2＋b 2a， ∴e 1＝e 2，e 21＝e 22，∴①对，②错；∵C 1的渐近线方程为y ＝±b a x ，C 2的渐近线方程为y ＝±a bx ，∴③错； C 1与C 2有4个公共点，④错，∴说法①正确.5.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3，则点P 到原点O 的最大距离为________.答案 34 解析 画出⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1≤0，x ＋2y －1≥0，y ≤3表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝3， 由图得，当点P 的坐标为(－5,3)时，点P 到原点的距离最大，且最大值为25＋9＝34.6.函数f (x )＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin x 的最小正周期为____________，最大值为____________.答案 π 12解析 f (x )＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin x ＝12⎣⎡⎦⎤12cos 2x ＋32sin 2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为12.7.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为________.答案 125解析 执行模拟程序可得S ＝1，i ＝1，满足条件i <4，执行循环体，S ＝1×5＝5，i ＝1＋1＝2，满足条件i <4，执行循环体，S ＝5×5＝25，i ＝2＋1＝3，满足条件i <4，执行循环体，S ＝25×5＝125，i ＝3＋1＝4，不满足条件i <4，退出循环，输出S 的值为125.8.将f (x )＝2sin2x －2cos2x ＋1的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法正确的是________.(填序号) ①函数y ＝g (x )的最小正周期是π；②函数y ＝g (x )的一条对称轴是x ＝π8； ③函数y ＝g (x )的一个零点是3π8； ④函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π8上单调递减.答案 ①②③解析 由题意可知f (x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，则平移后， 得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＋1－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.易知①②③正确，④错误. 9.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要______秒.答案 8解析 根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列，设需要n 秒细菌将病毒全部杀死，则1＋2＋22＋23＋…＋2n －1≥200，∴1－2n1－2≥200， ∴2n ≥201，又n ∈N ，∴n ≥8，即至少需8秒钟细菌将病毒全部杀死.10.已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1) ，且f (x )是偶函数，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[]－1，3内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 [5，＋∞)解析 由题意可知函数f (x )是周期T ＝2的偶函数，结合当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，绘制函数图象如图所示，函数g (x )有4个零点，则函数y ＝f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有4个交点，结合函数图象可得，当x ＝3时，log a (3＋2)≤1，求解对数不等式可得a ≥5.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P 是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则OB ＝________.答案 a解析 延长F 2B 交PF 1于点C ，由PF 1－PF 2＝2a 及圆的切线长定理知，AF 1－AF 2＝2a ，设内切圆的圆心I 的横坐标为x ，则(x ＋c )－(c －x )＝2a ，∴x ＝a ，在△PCF 2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC ＝PF 2，B 为CF 2的中点，∴在△F 1CF 2中，有OB ＝12CF 1＝12(PF 1－PC )＝12(PF 1－PF 2)＝12×2a ＝a . 12.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野五项运动.规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c (a >b >c ，且a ，b ，c ∈N *)，每位选手各项得分之和为最终得分.在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加“现代五项”，甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则a ＝________，游泳比赛的第三名是________.答案 5 乙解析 ∵5(a ＋b ＋c )＝22＋9＋9，故a ＋b ＋c ＝8，每个项目三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分， 对于情况②4分、3分、1分，五场比赛甲不可能得22分，不合题意；只能是情况①5分、2分、1分符合题意，所以a ＝5.因为乙的马术比赛获得第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名； 余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分，不可能，故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个马术第三名，四个第二名，刚好符合丙得分，由此可得游泳比赛的第三名是乙.13.设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12x －2，log 24x (x >0).若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则a 的最大值为________.答案 －2解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24x ，0<x <1，⎝⎛⎭⎫12x －2，x ≥1，则 g (x )max ＝g (1)＝2.在同一坐标系内作出函数f (x )(－5≤x ≤a )和g (x )(x >0)的图象，如图所示.由f (x )＝2，得x ＝－6或－2，∵∀x 1∈[－5，a ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，∴－4≤a ≤－2，∴a 的最大值为－2.14.如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则△ABC 的面积的最大值为________.答案 3 2解析 由sin ∠ABC 2＝33，可得cos ∠ABC 2＝63，则sin ∠ABC ＝2sin ∠ABC 2cos ∠ABC 2＝223.由sin ∠ABC 2＝33<22可知，0°<∠ABC2<45°，则0°<∠ABC <90°，由同角三角函数基本关系可知，cos ∠ABC ＝13.设AB ＝x ，BC ＝y ，AC ＝3z (x >0，y >0，z >0)，在△ABD 中，由余弦定理可得， cos ∠BDA ＝163＋()2z 2－x 22×433×2z，在△CBD 中，由余弦定理可得，cos ∠BDC ＝163＋z 2－y 22×433×z ，由∠BDA ＋∠BDC ＝180°，故cos ∠BDA ＝－cos ∠BDC ， 即163＋()2z 2－x 22×433×2z ＝－163＋z 2－y 22×433×z，整理可得16＋6z 2－x 2－2y 2＝0. ① 在△ABC 中，由余弦定理可知，。