九年级数学下册 3_4 圆周角和圆心角的关系导学案2(无答案)(新版)北师大版

3.4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角和圆心角的关系目标导航1、理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用．2、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．3、渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法． 基础过关1．如图，等边三角形ABC 的三个顶点都在⊙O 上，D 是AC 上任一点（不与A 、C 重合），则∠ADC 的度数是________．DDCBAO1题图 2题图 3题图 2．如图，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，且AD ∥BC ，对角线AC 与BC 相交于点E ，那么图中有_________对全等三角形；________对相似比不等于1的相似三角形． 3．已知，如图，∠BAC 的对角∠BAD =100°，则∠BOC =_______度． 4．如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB =46°，则∠ACB =_______度．BAA4题图 5题图 6题图 7题图 5．如图，AB 是⊙O 的直径，BC BD ，∠A =25°，则∠BOD 的度数为________． 6．如图，AB 是半圆O 的直径，AC =AD ，OC =2，∠CAB = 30 °， 则点O 到CD 的距离OE =______． 7．如图，已知圆心角∠BOC =100°，则圆周角∠BAC 的度数是（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．200°DDCBA8题图 9题图 10题图 12题图8．如图，A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上，四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中，相等的角有（）A．2对B．3对C．4对D．5对9．如图，D是AC的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，∠AOB=100°，则∠A＋∠B等于（）A．100°B．80°C．50°D．40°11．在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°12．如图，A、B、C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，∠AOC=140°，∠CBD的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．110°13．如图，⊙O的直径AB=8cm，∠CBD=30°，求弦DC的长．BA14．如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC= ∠CAD，求弦AC的长．能力提升15．如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，求tan∠BPD 的值．16．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD上一点（不与C、D重合），试判断∠CPD与∠COB的大小关系，并说明理由．（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合时），∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论．17．钳工车间用圆钢做方形螺母，现要做边长为a的方形螺母，问下料时至少要用直径多大的圆钢?聚沙成塔在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻．当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点，如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?为什么?（不考虑其他因素）（赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

北师大版九年级数学下册：3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版九年级数学下册第3章“圆”的一部分。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，从而加深对圆的理解。

教材通过生活中的实例引入，激发学生的兴趣，接着引导学生进行观察、思考、探究，最后得出结论。

本节课的内容与实际生活联系紧密，有助于提高学生的学习兴趣和积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的性质、圆的性质等基本知识，具备一定的观察、思考、探究能力。

但部分学生对圆的概念理解不深，对圆周角和圆心角的关系认识不足。

因此，在教学过程中，要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、操作、思考、交流、归纳等活动，发现圆周角定理，提高他们的数学素养。

三. 教学目标1.理解圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。

3.激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

四. 教学重难点1.圆周角定理的发现和证明。

2.圆周角定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、思考、交流，发现圆周角定理。

2.实例分析法：教师通过生活中的实例，引导学生理解圆周角定理。

3.问题驱动法：教师提出问题，引导学生进行探究和思考。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于导入和讲解。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生进行操作。

3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示生活中的实例，如自行车轮、手表等，引导学生观察圆周角和圆心角的关系，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）教师引导学生观察圆周角和圆心角的关系，让学生自己发现圆周角定理。

教师在旁边辅导，帮助学生理解定理。

3.操练（10分钟）教师让学生利用圆规、直尺等学具，自己画出符合条件的圆周角和圆心角，加深对圆周角定理的理解。

4.巩固（10分钟）教师出示练习题，让学生运用圆周角定理解决问题。

北师大版数学九年级下册3.4《圆周角和圆心角的关系》教学设计2一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章第4节的内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，让学生理解和掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题。

教材通过引入圆周角定理，引导学生发现圆周角和圆心角之间的数量关系，进而推导出定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质以及垂径定理。

但圆周角和圆心角的关系较为抽象，需要学生具有较强的空间想象能力和逻辑思维能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，引导学生在探究过程中发现问题、解决问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握圆周角定理，能运用圆周角定理解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实验、猜想、证明等方法，培养学生的探究能力和合作精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：圆周角定理的推导和运用。

2.教学难点：圆周角定理的证明和理解。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、实验、猜想，发现圆周角和圆心角的关系。

2.小组合作法：学生分组讨论，共同解决问题，培养合作精神。

3.归纳总结法：教师引导学生总结圆周角定理，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.教具准备：圆规、直尺、多媒体课件。

2.学具准备：每人一份圆周角和圆心角的实验材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾上一节课所学内容，如圆的性质、垂径定理等。

然后提问：“你们认为圆周角和圆心角之间有什么关系？”引发学生的思考。

2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件展示圆周角和圆心角的图形，让学生观察并思考它们之间的关系。

同时，教师引导学生进行实验，用量角器测量圆周角和圆心角的度数，观察它们之间的数量关系。

3.操练（10分钟）教师布置练习题，让学生运用圆周角定理解决问题。

九年级数学下册第3章圆3.4 圆周角和圆心角的关系教案（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册第3章圆3.4 圆周角和圆心角的关系教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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《圆周角和圆心角的关系》◆模式介绍“探究式教学"是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去主动探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种教学方法．它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系,从中找出规律，形成概念，建立自己的认知模型和学习方法架构．探究式教学法能充分发挥了学生的主体作用．探究式教学通常包括以下五个教学环节：创设情境——启发思考——探究问题——形成结论-—巩固提高◆设计说明首先通过问题1和问题2帮助学生回顾圆心角概念和圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，为本节内容的学习做好知识储备；问题3通过射门游戏引出本节课所学内容,既能来激发学生的学习兴趣，又可以引发学生进一步探究的欲望．问题4让学生比较圆心角的定义得出圆周角的概念，并通过追问来辨析深化圆周角概念．引导学生从特殊情况入手证明圆周角定理，有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．问题6是研究圆周角定理的推论，问题7是利用圆周角定理研究圆内接四边形的内角和外角的性质，问题（1)讨论一种特殊情况，问题（2)把问题从特殊推广到一般．最后通过例、习题的巩固，突出圆周角定理及其推论的运用．◆教材分析本节是北师大版义务教育教科书《数学》九年级下册第三章《圆》的第4节《圆周角和圆心角的关系》的教学内容，本节课是在学生学习了圆的相关概念、圆的对称性和垂径定理及其推论的基础上进行的，本节内容用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系．这个定理在与圆有关的推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一．本节内容分两部分进行教学，第一部分主要研究圆周角和圆心角的关系定理，并得出定理的第一个推论，在第二部分主要研究圆周角定理的另外三个推论．在探究圆周角和圆心角关系的过程中，让学生经历分类讨论的过程，明确分类的依据，进一步体会分类的思想．教学时应让学生先独立思考，然后再进行交流，要鼓励学生说理方式的多样性．◆教学目标【知识与能力目标】1、理角圆周角的概念．2、了解并证明圆周角定理及其推论．3、熟练运用圆周角定理及其推论解决有关问题．【过程与方法】在探究圆周角和圆心角关系的过程中，让学生进一步体会分类讨论的数学思想．【情感态度与价值观】在探索圆周角定理过程中，帮助学生树立运动变化和对立统一的辩证唯物主义观点，增强学好数学的信心．◆教学重难点【教学重点】圆周角定理及其推论．【教学难点】圆周角定理证明方法的探讨．◆课前准备多媒体课件、教具等．◆教学过程【创设情境】问题1 在圆中，满足什么条件的角是圆心角?顶点在圆心的角叫做圆心角．问题2 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间有什么关系?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．问题3 如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC）有关．当球员站在B，D，E的位置射球时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个张角的大小有什么关系?设计意图:问题1和问题2帮助学生回顾圆心角概念和圆心角、弧、弦之间相等关系的定理，为本节内容的学习做好知识储备；问题3通过射门游戏引出本节课所学内容，既能来激发学生的学习兴趣，又可以引发学生进一步探究的欲望．【启发思考】问题4 观察上图中的∠ABC，∠ADC，∠AEC．它们与圆心角有什么区别?这样的角称之为什么角?顶点不同，圆心角的顶点在圆心,∠ABC,∠ADC，∠AEC的顶点在圆上．圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角，叫做圆周角．特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．追问：下列哪个图形中的角是圆周角？答案：第三个图形中的角是圆周角．设计意图：问题4让学生比较圆心角的定义得出圆周角的概念，并通过追问来辨析深化圆周角概念．【探究问题】问题5 如图，∠AOB=80°．（1）请你画出几个弧AB所对的圆周角．这几个圆周角有什么关系?与同伴交流．（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴交流．追问：改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗?如何证明你得到的结论？结论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．已知:如图，∠C是弧AB所对的的圆周角,∠AOB是弧AB所对的的圆心角．求证：12C AOB ∠=∠．分析：根据圆周角与圆心的位置，分成三种情况讨论：（1)圆心O在∠C的一边上，如图（1)所示;（2）圆心O在∠C的内部，如图（2)所示；（3）圆心O在∠C的外部，如图（3）所示．在三种位置关系中，下面选择（1）进行证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1)圆心O在∠C的一边上，如图(1）所示．∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA =OB ，∴∠AOB =2∠C ，即12C AOB ∠=∠．想一想：在问题3的射门游戏中，当球员在B 、D 、E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小有什么关系?你能用圆周角定理证明你的结论吗？结论：它们都等于弧AC 所对的圆心角度数的一半，所以这几个角相等． 设计意图：引导学生从特殊情况入手证明圆周角定理，有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．问题6 (1）如图，BC 是⊙O 的的直径，它所对的圆周角有什么特点?你能证明你的结论吗？（2)如图,圆周角∠A =90°，弦BC 是直径吗？为什么?问题7 (1）如图,A 、B 、C 、D 是⊙O 圆上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系?为什么？（2）如图，点C 是的位置发生了变化，∠BAD 与∠BCD 之间的关系还成立吗？为什么？（3）如图，四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，∠DCE是它的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？设计意图：问题6是研究圆周角定理的推论,问题7是利用圆周角定理研究圆内接四边形的内角和外角的性质，问题（1）讨论一种特殊情况，问题（2)把问题从特殊推广到一般．【形成结论】总结归纳出圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．圆内接四边形：四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．推论3:圆内接四边形的对角互补；四内接四边形的一个外角等于它的内对角．【巩固提高】例题如图，AB是☉O的直径,BD是☉O的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD 与CD的大小有什么关系？为什么？分析:BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点,只要连接AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．解：BD=CD．理由如下：连接AD．∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．又∵AC=AB，∴BD=CD．学生练习1 课本80页随堂练习第1题、第2题．学生练习2课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．课堂小结：本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？1、概念：圆周角,圆内接四边形,四边形的外接圆．2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：圆内接四边形的对角互补；四内接四边形的一个外角等于它的内对角．布置作业：1、教科书习题3。

2024北师大版数学九年级下册3.4.1《圆周角和圆心角的关系》教案一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3.4.1节的内容。

本节课主要让学生了解圆周角和圆心角的关系，掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。

教材通过引入圆周角和圆心角的概念，引导学生探究它们之间的关系，从而得出圆周角定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积的计算方法。

他们具备一定的观察、分析和推理能力。

但是，对于圆周角和圆心角的关系，他们可能还没有直观的认识，需要通过实例和推理来理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生了解圆周角和圆心角的概念，理解它们之间的关系。

2.让学生掌握圆周角定理，并能够运用该定理解决一些实际问题。

3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆周角和圆心角的关系。

2.圆周角定理的证明和运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生发现问题、分析问题和解决问题。

2.利用几何画板和实物模型，直观地展示圆周角和圆心角的关系。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论中共同探究和解决问题。

4.通过练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.准备几何画板和实物模型，用于展示圆周角和圆心角的关系。

2.准备相关的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板或实物模型，展示一个圆和一些圆周角、圆心角，让学生观察它们之间的关系。

提问：你们觉得圆周角和圆心角有什么关系呢？2.呈现（10分钟）引导学生通过观察和推理，发现圆周角和圆心角的关系。

呈现圆周角定理：圆周角等于它所对圆心角的一半。

让学生理解并记住这个定理。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组设计一个实例，验证圆周角定理。

每组选取一个代表进行汇报，其他组进行评价。

通过这个过程，让学生加深对圆周角定理的理解。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些相关的练习题，巩固所学知识。

课题：3.4.2 圆周角和圆心角的关系教学目标：1. 掌握圆周角定理的两个推论,会熟练运用这两个推论解决相关问题。

2．掌握圆的内接四边形的概念及性质，并能加以熟练运用。

3．通过实际问题的解决，体会建立数学模型解决实际问题的过程，养成用数学的思维方式思考问题的习惯.教学重点与难点：重点：圆周角定理的两个推论及圆的内接四边形性质的应用.难点：理解推论的“题设”和“结论”，灵活运用推论进行问题的“转化”.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、创设情境，导入新课活动内容：（课件出示）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图1所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和A，B两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图2所示的一个圆环．想一想：你能说明其中的原因吗？线段AB表示的是什么？它所对的角度是多少度？这是一个怎样特殊的角？学生猜测：线段AB可能是直径，它所对的角度应该是90°.上节课我们了解了圆周角定理，这节课我们探究一下特殊的弦—直径所对的圆周角的特征.学完这节课你就能说明其中的原因了.板书课题：3.4 圆周角和圆心角的关系（2）处理方式：联系生活,思考实际问题,引入新课.设计意图：利用情景引入，吸引了学习时的注意力，激发了他们的求知欲望,使他们急于想知道答案，同时也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容，一举两得.二、探究学习，感悟新知活动内容1：自主探究圆周角定理推论如教材图3-17，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？处理方式：学生动手操作，作出直径BC不同方向的圆周角，完成后运用自己的方法进行判断. 运用量角器,直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC=180°，所以∠BAC=∠90°.得出圆周角定理推论二：直径所对的圆周角是直角.想一想:反过来，如教材图3-18，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？处理方式：学生分组讨论，统一意见，师参与其中，及时给与指点。

九年级数学下册第三章圆周角和圆心角的关系导学案班级：_____________姓名：_____________家长签字：_____________一、 学习目标1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2、理解圆周角定理的证明中由“特殊到一般”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．二、温故知新顶点在圆心的角叫________,圆心角的度数_______它所对弧的度数 三、自主探究：阅读课本p78— 80 探究（一）圆周角的定义1. 观察下列各角, 并说明这些角的共同特征.如果角的顶点在____________，角的两边____________________________， 像这样的角，叫做圆周角.2.下列各图中，∠ABC 是圆周角吗？(3)(2)(1)OOOBCABCABC AAA C(5)(4)(1)(2)(3)OBO OBOOAC C BBACBC A探究（二）圆周角与圆心角的关系我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系.1.请在下图中，找出圆周角所对的弧，然后找出这条弧所对的圆心角.思考：观察上图，圆心O与圆周角的位置关系有哪几种？2．在上面各图中，观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同学交流.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________.探究（三）圆周角定理的推论如图：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角∠ABC 有关. 当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门所形成的张角∠ABC、∠ADC、∠AEC，这三个角的大小有什么关系？归纳：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角____________． 四、随堂练习 1、看图填空图（1）中∠ABC=; 图（2）中，∠BOC=.（1） （2） （3）2．如图（3）在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C 、D 为半圆上的两点，∠COD =50°，则∠CAD=_______°.3. 如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°,则∠BOD （BOD ̂所对的圆心角）的度数为__ __°，∠BAD 的度数为_ _°.4．如图，哪个角与∠BAC 相等？你能找到几组相等的角？（3） （4） （5） 5. 如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.80°BAO C30°BAOC BAD OC DOBCA OABC五．本课总结：1.______在圆上，并且角的两边都_________的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同一圆中，一条弧所对的圆周角等于_______圆心角的_________．3.圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，____________所对的圆周角____________．你还有什么收获或困惑？六．当堂检测：1.如图1，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD=（）A.∠ACDB. ∠ADBC. ∠AEDD. ∠ACB2.如图2，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于（）．A．64°B．48°C．32°D．76°3．如图3，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于（）．A．37 B．74° C．54° D．64°（1） (2) (3) (4)4．如图4，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=25°，求∠BOC 的度数.答案：四．随堂练习1、40°;60°2． 25°3. 160_°， _80_4．∠BDC; ∠ADB=∠ACB, ∠ABD=∠ACD, ∠DAC=∠DBC 5.证明：∵∠AOB=2∠BOC，∠AOB=2∠ACB∴∠BOC=∠ACB ∵∠BOC=2∠BAC, ∴∠ACB=2∠BAC六．当堂检测：1.A2．A3．B．4．解：∵AB=AD, ∴∠D=∠ABD=25°∴∠BAC=50°∴∠BOC=100°。

3.4.2圆周角和圆心角的关系一、教学目标1.掌握圆周角定理几个推论的内容，会熟练运用推论解决问题. 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力.3．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式. 二、课时安排 1课时 三、教学重点圆周角定理的几个推论的应用. 四、教学难点理解几个推论的“题设”和“结论” 五、教学过程 （一）导入新课1.圆周角:顶点在圆上,它的两边分别与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.（二）讲授新课 活动内容1：探究1; 当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?●OABCA BC ●O ●OA B C●OA BC如图1,圆中一段AC对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么? 如图2,圆中AB EF,那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?由此你能得出什么结论?和的大小有什么关系?为什么?如图,圆中∠C=∠G, 那么AB EF由此你又能得出什么结论?圆周角定理的推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等.探究2：议一议1.如图(1)，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?2.如图(2)，圆周角∠BAC =90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？由此你能得出什么结论?圆周角定理的推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 活动2：探究归纳推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.【规律】圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化.但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁.如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等.（三）重难点精讲例1.如图,AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦,延长BD 到C,使AC=AB,BD 与CD 的大小有什么关系?为什么?解析：BD=CD ； 理由：如图，连接AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， 即AD ⊥BC.又∵AC=AB ，∴BD=CD.例2.如图，⊙O 中,D ，E 分别是AB AC 和 的中点, DE 分别交AB 和AC 于点M ，N ；求证:△AMN 是等腰三角形.证明：如图，连接AD ，AE. ∠DAB=∠AED ， ∠EAC= ∠ADE ， ∵ D,E 分别是AB AC 和 的中点,AD=DB ,AE=EC.∴∠DAB=∠AED ， ∠EAC= ∠ADE ， ∴ ∠AMN=∠ANM ，∴AM=AN.●O D A BC∴△AMN 为等腰三角形.定理：圆的内接四边形的对角互补定理拓展：任何一个外角都等于它的内对角。

2024北师大版数学九年级下册3.4.2《圆周角和圆心角的关系》教学设计一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章《圆》的第4节内容。

本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，从而加深学生对圆的性质的理解。

教材通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本性质和垂径定理，对几何图形的观察和分析能力有一定的基础。

但是，对于圆周角和圆心角的关系，学生可能初次接触，需要通过实例和动手操作来理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，以引导为主，让学生在探究中掌握知识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：圆周角定理的理解和运用。

2.难点：圆周角定理的证明和圆心角、圆周角、弦的关系的理解。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的思维。

2.小组合作法：学生分组讨论，培养团队协作能力。

3.实例分析法：通过生活中的实例，让学生理解圆周角定理的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片和动画。

2.学具：为学生准备圆规、直尺、剪刀等学具，方便学生动手操作。

3.实例：收集生活中的圆周角和圆心角的实例，用于课堂讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示圆周角和圆心角的图片，引导学生关注圆周角和圆心角的关系。

提问：你们观察过这些图片，发现有什么特点吗？2.呈现（10分钟）教师简要介绍圆周角定理，让学生尝试理解圆周角定理的含义。

提问：你们能用自己的语言解释一下圆周角定理吗？3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用学具进行动手操作，验证圆周角定理。

3.4.1圆周角和圆心角的关系一、教学目标1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角定理的证明.3.经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想.二、课时安排1课时三、教学重点理解圆周角定理的证明.四、教学难点探索圆周角和圆心角的关系的过程五、教学过程（一）导入新课——检查反馈知识入手引入课题1.圆心角的定义?2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?3.下列命题是真命题的是( )①垂直弦的直径平分这条弦②相等的圆心角所对的弧相等③圆既是轴对称图形,又是中心对称图形A.①②B.①③C.②③D.①②③（二）讲授新课活动内容1：探究1：圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？你能仿照圆心角的定义给圆周角下定义吗?圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.特征：①角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交.探究2: 圆周角和圆心角的关系如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC 的大小关系.解:∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC = 12∠AOC.明确：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.探究3：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?解: 过点B作直径BD.由1可得:∠ABD = 12∠AOD,∠CBD = 12∠COD,∴∠ABC =12∠AOC.明确:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.探究4：问题3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得:∠ABD = 12∠AOD,∠CBD =12∠COD,∴∠ABC =12∠AOC.明确：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 活动2：探究归纳圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 即∠ABC=12∠AOC.（三）重难点精讲例.如图：OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB=2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=12∠AOB，∠BAC=12∠BOC，∠AOB=2∠BOC ∴∠ACB=2∠BAC【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.（四）归纳小结1、这节课主要学习了两个知识点： （1）圆周角定义.（2）圆周角定理及其定理应用.2、方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.3、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用. （五）随堂检测1．（重庆·中考）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC =70°则∠AOC 的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110°2.（潼南·中考）如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠C=15°,则∠BOC 的度数为（ ） A ．15° B. 30° C. 45° D ．60°A OCB3.（德化·中考）如图，点B，C在⊙O上，且BO=BC，则圆周角∠BAC等于（）A.60°B.60°C.60°D.60°AOBC4.（红河·中考）如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】随堂检测1. 答案:A2. 答案:B3. 答案:D4. 答案:A六．板书设计3.4.1圆周角和圆心角的关系（1）圆周角定义.（2）圆周角定理及其定理应用.例题：学生展示过程：七、作业布置课本P80练习1、2练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点B与点D D．点B与点C 【答案】A【解析】试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数定义可知，-2的倒数是-12，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-12，所以A与B是互为倒数．故选A．考点：1．倒数的定义；2．数轴．2．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是()A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B．考点：简单组合体的三视图．3．某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是（）A．2003503x x=-B．2003503x x=+C．2003503x x=+D．2003503x x=-【答案】B【解析】试题分析：设每个笔记本的价格为x元，根据“用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同”这一等量关系列出方程即可．考点：由实际问题抽象出分式方程4．已知关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣2，当a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a 的值为（ ） A ．﹣1或1 B ．1或﹣3C ．﹣1或3D ．3或﹣3【答案】A 【解析】分析：详解：∵当a≤x≤a ＋2时，函数有最大值1，∴1＝x 2－2x －2,解得：123,1x x ==- ， 即-1≤x≤3, ∴a=-1或a+2=-1, ∴a=-1或1，故选A.点睛：本题考查了求二次函数的最大(小)值的方法，注意：只有当自变量x 在整个取值范围内，函数值y 才在顶点处取最值，而当自变量取值范围只有一部分时，必须结合二次函数的增减性及对称轴判断何处取最大值，何处取最小值.5．某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%，则这种商品每件的进价为（ ） A ．180元 B ．200元C ．225元D ．259.2元【答案】A【解析】设这种商品每件进价为x 元，根据题中的等量关系列方程求解.【详解】设这种商品每件进价为x 元，则根据题意可列方程270×0.8－x ＝0.2x ，解得x ＝180.故选A. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程. 6．若ab ＜0，则正比例函数y=ax 与反比例函数y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：∵ab ＜0， ∴分两种情况：（1）当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y=ax 数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a ＜0，b ＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D 符合． 故选D【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 7．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与111A B C ∆相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为111A B C ∆中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B ，且满足两边成比例夹角相等， 故选：B ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 8．已知关于x 的一元二次方程mx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）. A ．m ＞－1且m≠0 B ．m ＜1且m≠0 C ．m ＜－1 D ．m ＞1【答案】A【解析】∵一元二次方程mx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且22－4×m×(﹣1)＞0， 解得：m ＞﹣1且m≠0. 故选A. 【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式： （1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=b 2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根； （3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.9．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（） A ．3y x = B ．3y x=C ．1y x=-D ．2yx【答案】B【解析】y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随x 的增大而增大，故选项A 错误；y=3x 的图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确； y=−1x的图象在二、四象限，故选项C 错误；y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D 错误； 故选B.10．如图，小颖为测量学校旗杆AB 的高度，她在E 处放置一块镜子，然后退到C 处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B ．已知小颖的眼睛D 离地面的高度CD ＝1.5m ，她离镜子的水平距离CE ＝0.5m ，镜子E 离旗杆的底部A 处的距离AE ＝2m ，且A 、C 、E 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为（ ）A ．4.5mB ．4.8mC ．5.5mD ．6 m【答案】D【解析】根据题意得出△ABE ∽△CDE ，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：由题意可得：AE ＝2m ，CE ＝0.5m ，DC ＝1.5m ， ∵△ABC ∽△EDC ， ∴，即，解得：AB ＝6， 故选：D ． 【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE ∽△CDE 是解答此题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G都是格点，从C，D，E，F，G五个点中任意取一点，以所取点及AB为顶点画三角形，所画三角形时等腰三角形的概率是_____.【答案】2 5 .【解析】找出从C，D，E，F，G五个点中任意取一点组成等腰三角形的个数，再根据概率公式即可得出结论．【详解】∵从C，D，E，F，G五个点中任意取一点共有5种情况，其中A、B、C；A、B、F两种取法，可使这三定组成等腰三角形，∴所画三角形时等腰三角形的概率是25，故答案是：25．【点睛】考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．12．如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m．【答案】1【解析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD EC CD=，即BD EC ABCD⨯=，解得：AB=1205060⨯ =1（米）． 故答案为1． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．13．某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n （n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S ，请观察图中的规律:按上规律推断，S 与n 的关系是________________________________． 【答案】S=1n-1【解析】观察可得，n=2时，S=1； n=3时，S=1+（3-2）×1=12； n=4时，S=1+（4-2）×1=18； …；所以，S 与n 的关系是：S=1+（n-2）×1=1n-1． 故答案为S=1n-1．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．14．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+6x+k 2-k=0的一个根是0，则k 的值是______． 【答案】2．【解析】试题解析：由于关于x 的一元二次方程()22160k x x k k -++-=的一个根是2，把x=2代入方程，得20k k -= ，解得，k 2=2，k 2=2当k=2时，由于二次项系数k ﹣2=2，方程()22160k x x k k -++-=不是关于x 的二次方程，故k≠2．所以k 的值是2．故答案为2．15．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ．若∠A=32°，则∠D=_____度．【答案】1【解析】分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．详解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°-∠COD=1°，故答案为：1．点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【解析】根据外角的概念求出∠ADC的度数，再根据垂直的定义、四边形的内角和等于360°进行求解即可得.【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．17．某中学数学教研组有25名教师，将他们分成三组，在38~45（岁）组内有8名教师，那么这个小组的频率是_______。