2018年中考数学复习课时18二次函数及其图像导学案无答案

中考数学总复习《二次函数图像与系数的关系》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a-b+c＞1；③abc＞0；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（）A．ac＞0B．b＞0C．a+c＜0D．a+b+c＝03．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c=0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个不相等的实数根；⑤点(﹣2，y1)，(2，y2)都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，则a的取值范围是（）A．a＜0B．－3＜a＜0C．a<−32D．−92<a<−325．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是A．B．C．D．6．已知b＜0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于()A．－2B．－1C．1D．27．对于二次函数y=﹣（x+1）2﹣3，下列结论正确的是（）A．函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣3）B．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大C．当x=﹣1时，y有最小值为﹣3D．图象的对称轴是直线x=18．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…A．抛物线的开口向下B．当时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是D．抛物线的对称轴是直线9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．当x≥1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．当﹣1＜x＜3时，y＞010．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2(a≠0)与y=−ax2−2x(a≠0)的图象可能是（）．A．B．C．D．11．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（）A．k≥﹣2B．k≤﹣2C．k≥2D．k≤212．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列答案正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，△＜0B．a＜0，b＞0，c＜0，△＞0C．a＞0，b＜0，c＜0，△＞0D．a＜0，b＜0，c＞0，△＜0二、填空题13．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图（虚线部分为对称轴），给出以下6个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a＜3b；⑤x＜1时，y随x的增大而增大；⑥a+b＜m（am+b）（m为实数且m≠1）其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）14．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则由此可得a0，b0，c 0.（填“<”或“>”）15．老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限；乙：当x＜2时，y随x的增大而减小．丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点．已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数．16．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为．17．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

y xO y xO 课时18．二次函数及其图像【课前热身】1．将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2.如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A.－2B.2C.－1D.1 4.二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3）B.（－1,3）C.（1,－3）D.（－1,－3）5. 二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. a b c ><>000，，B. a b c <<>000，，C. a b c <><000，，D. a b c <>>000，，【考点链接】 1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0 a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最值增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中 h ＝ ， k ＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.O yx BA D CB Ao y x o y x oy x o y x4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定.【典例精析】例1 已知二次函数24y x x =+，(1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++ (其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标.例2 如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A(1，0)，B(3，2)．⑴ 求m 的值和抛物线的解析式； ⑵ 求不等式m x c bx x +>++2的解集．(直接写出答案)【中考演练】1. 抛物线()22-=x y 的顶点坐标是 .2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .3.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如右图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．4. 函数2y ax =与(0,0)y ax b a b =+>>在同一坐标系中的大致图象是（ ）5. 已知函数y=x 2-2x-2的图象如图1所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3 B．-3≤x≤1 C．x≥-3 D．x≤-1或x≥3 6. 二次函数c+=2（0axy+bxa）的图象如图所示，则下列结论：≠①a＞0；②c＞0；③b2-4a c＞0，其中正确的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个（第5题）（第6题）7. 已知二次函数243=-+的图象经过点（－1，8）.y ax x（1）求此二次函数的解析式；（2）根据（1x 0 1 2 3 4y（3。

中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

中考数学复习二次函数综合应用一、选择题1．(2012·济宁)一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为(A) A．5元B．10元C．0元D．3600元2．(2012·北海)为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是(B) A．600m2B．625m2C．650m2D．675m23．(2012·河北)竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是(C) A．第3秒B．第3.5秒C．第4.2秒D．第6.5秒4．如图18－1所示，抛物线y ＝12(x－2)2－8与x轴交于A、B两点，顶点为C，为使△ABC成为直角三角形，必须将抛物线向上平移几个单位(D)A．7B．6C．5D．4二、填空题5．已知抛物线y＝x2＋x＋b2经过点a，－14和(－a，y1)，则y1的值是__34__．6．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)与滑行时间t(s)的函数关系式是s＝60t－1.5t2，飞机着陆后滑行的最长时间是__20__s.7．如图18－2所示，已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P图18－1图18－2从A 点出发，沿A →B →C →E 运动，到达点E .若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y＝13时，x 的值等于__23或53__．8．甲乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s (m)与其距地面高度h (m)之间的关系式为h ＝－112s 2＋23s ＋32.如图18－3所示，已知球网AB 距原点5m ，乙(用线段CD 表示)扣球的最大高度为94m ，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__5＜m ＜4＋7__．三、解答题9．用长为12m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃如图18－4所示，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C ＝∠D ＝∠E .设CD ＝DE ＝x m ，五边形ABCDE 的面积为S m 2.问当x 取什么值时，S 最大？并求出S 的最大值．解：连接EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ，∵∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ，∠EAB ＝∠CBA ＝90°，∴∠DCB ＝∠CDE ＝∠DEA ＝120°，∵DE ＝CD ∴∠DEC ＝∠DCE ＝30°，∴∠CEA ＝∠ECB ＝90°，∴四边形EABC 为矩形，∵DE ＝x m ，∴AE ＝6－x ，DF ＝12x ，EC ＝3x ，S ＝－334x 2＋63x (0<x <6)．当x ＝4m 时，S 最大＝123m 2.10．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图18－5所示的长方形ABCD .已知木栏总长为120米，设AB 边的长为x 米，长方形ABCD的面积为S 平方米．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值图18－3图18－4图18－5时，S取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值．解：∵AB＝x，∴BC＝120－2x，∴S＝x(120－2x)＝－2x2＋120x；当x＝120 2×2＝30时，S有最大值为0－12024×（－2）＝1800.(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图18－5所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解：设圆的半径为r，路面宽为a，根据题意得4r＋2a＝60，2r＋2a＝30，解得r＝15，a＝0.∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行．B组能力提升11．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(B) A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒12．(2013·兰州)如图18－6所示，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为(B) 13．(2011·泸州)如图18－7所示，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，图18－6图18－7它的下底AB 是圆的直径，上底CD 的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是__10__．14．如图18－8所示，P 是边长为1的正三角形ABC 的BC 边上一点，从P 向AB 作垂线PQ ，Q 为垂足．图18－8延长QP 与AC 的延长线交于R ，设BP ＝x (0≤x ≤1)，△BPQ 与△CPR 的面积之和为y ，把y 表示为x 的函数是__y ＝338x 2－32x ＋34__．15．(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm ，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)．解：已知抽屉底面宽为x cm ，则底面长为180÷2－x ＝(90－x )cm.由题意得y ＝x (90－x )×20＝－20(x 2－90x )＝－20(x －45)2＋40500当x ＝45时，y 有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm 时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm 3.16．(2013·潍坊)为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图18－9所示的休闲文化广场．在Rt △ABC 内修建矩形水池DEFG ，使顶点D 、E 在斜边AB 上，F 、G 分别在直角边BC 、AC 上；又分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，设计了两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB ＝243米，∠BAC ＝60°.设EF ＝x 米，DE ＝y 米．图18－9(1)求y 与x 之间的函数解析式；解：在Rt △ABC 中，由题意得AC ＝123米，BC ＝36米，∠ABC ＝30°，∴AD ＝DG tan60°＝x 3＝33x ，BE ＝EF tan30°＝3x ，又AD ＋DE ＋BE ＝AB ，∴y ＝243－33x －3x ＝243－433x (0＜x ＜8)．(2)当x 为何值时，矩形DEFG 的面积最大？最大面积是多少？解：矩形DEFG 的面积S ＝xy ＝243－433x ＝－433x 2＋243x ＝－433(x －9)2＋108 3.所以当x ＝9时，矩形DEFG 的面积最大，最大面积为1083平方米．(3)求两弯新月(阴影部分)的面积，并求当x 为何值时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13？解：记AC 为直径的半圆、BC 为直径的半圆、AB 为直径的半圆面积分别为S 1、S 2、S 3，两弯新月面积为S ，则S 1＝18πAC 2，S 2＝18πBC 2，S 3＝18πAB 2，由AC 2＋BC 2＝AB 2可知S 1＋S 2＝S 3，∴S 1＋S 2－S ＝S 3－S △ABC ，故S ＝S △ABC ，所以两弯新月的面积S ＝12×123×36＝2163(平方米)由－433(x －9)＋1083＝13×2163，即(x －9)2＝27，解得x ＝9±33，符合题意，所以当x ＝9±33米时，矩形DEFG 的面积等于两弯新月面积的13.。

课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。

第四节二次函数1．(2016·上海)如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋32．(2016·永州)抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－23．(2017·玉林)对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( ) A．开口向下B．对称轴是x＝mC．最大值为0 D．与y轴不相交4．(2017·六盘水)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞05．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．(2017·扬州)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是( )A．b≤－2 B．b＜－2C．b≥－2 D．b＞－27．(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x ＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y38．(2017·百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的表达式是__________．9．(2017·广州)当x＝______时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值______．10．(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是________．11．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线BC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1＜x 2＜x 3，结合函数的图象，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．12．(2017·乐山)已知二次函数y ＝x 2－2mx (m 为常数)，当－1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为－2，则m 的值是( ) A .32B . 2C .32或 2D ．－32或 213．(2017·安顺)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac －b 2＜0；②3b ＋2c ＜0；③4a ＋c ＜2b ；④m (am ＋b )＋b ＜a (m ≠－1)． 其中结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．414．(2016·大连)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________________．15．(2016·日照)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m 时，水面宽度为4 m ，那么当水位下降1 m ，水面的宽度为______m .16．(2017·武汉)已知关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m ，0)．若2<m <3，则a 的取值范围是____________． 17．(2017·成都)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x (单位：千米)，乘坐地铁的时间y 1(单位：分钟)是关于x 的一次函数，其关系如下表：地铁站 A B C D E x (千米) 8 9 10 11.5 13 y 1(分钟)1820222528(1)求y 1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2－11x ＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．18．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y轴的直线．(1)求m，n的值；(2)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB＝1∶5, 求一次函数的表达式．参考答案【夯基过关】1．C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D8．y ＝－38x 2＋34x ＋3 9.1 5 10.x ＜－1或x ＞411．解：(1)由y ＝x 2－4x ＋3得y ＝(x －3)(x －1)，C (0，3)， ∴A (1，0)，B (3，0)．设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. (2)由y ＝x 2－4x ＋3得到y ＝(x －2)2－1，∴抛物线y ＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，顶点坐标是(2，－1)． ∵y 1＝y 2，∴x 1＋x 2＝4.令y ＝－1，代入y ＝－x ＋3，解得x ＝4. ∵x 1＜x 2＜x 3，∴3＜x 3＜4，即7＜x 1＋x 2＋x 3＜8. 【高分夺冠】 12．D 13.C14．(－2，0) 15.26 16.13＜a ＜12或－3<a <－2 17．解：(1)设y 1＝kx ＋b ，将(8，18)，(9，20)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧8k ＋b ＝18，9k ＋b ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2，故y 1关于x 的函数表达式为y 1＝2x ＋2. (2)设李华从文化宫回到家所需时间为y ，则 y ＝y 1＋y 2＝2x ＋2＋12x 2－11x ＋78＝12x 2－9x ＋80，∴当x ＝9时，y 有最小值， y min ＝4×12×80－924×12＝39.5. 答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．18．解：(1)∵对称轴是经过(－1，0)且平行与y 轴的直线， ∴－m2×1＝－1，∴m ＝2.∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P (－3，1)， ∴9－3m ＋n ＝1，解得n ＝3m －8.∴n ＝－2. (2)∵m ＝2，n ＝－2，∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －2.如图，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，则PC ∥BD .∴PC BD ＝PA AB .∵P (－3，1)，∴PC ＝1. ∵PA ∶PB ＝1∶5， ∴1BD ＝16，∴BD ＝6， 即点B 的纵坐标为6. 令y ＝x 2＋2x －2＝6，解得x ＝2或x ＝－4(舍去)．即B (2，6)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝1，2k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4， ∴一次函数的表达式为y ＝x ＋4.。

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yxO课时18．二次函数及其图像【课前热身】1． 将抛物线23y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 2. 如图1所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.(贵阳)二次函数2(1)2y x =-+的最小值是（ ）A 。

－2 B.2 C.－1 D 。

1 4。

二次函数22(1)3y x =-+的图象的顶点坐标是（ ）A 。

（1，3） B.（－1，3） C.（1,－3） D.（－1,－3) 【考点链接】1。

二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值当x ＝ 时,y 有最 值当x ＝ 时,y有最 值增减在对称轴左侧y 随x 的增大而 y 随x 的增大而yB性 在对称轴右侧y 随x 的增大而 y 随x 的增大而2。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ , k ＝ 。

3。

二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系.4. 二次函数c bx ax y ++=2中c b a ,,的符号的确定。

【典例精析】例1 遂宁）已知二次函数24y x x =+，（1) 用配方法把该函数化为2()y a x h k =++ （其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0）形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标。

课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二)(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2018·毕节]将抛物线y=x2向左平移2个单位,再向下平移5个单位,平移后所得新抛物线的表达式为()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2018的值为()A.2015B.2016C.2017D.20193.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大4.若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有交点,则m的取值范围是()A.m≤2B.m<-2C.m>2D.0<m≤25.若二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的解为()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=56.二次函数y=ax2+bx的图象如图K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为()图K15-1A.-3B.3C.-6D.97.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K15-2所示,则|a-b+c|+|2a+b|=()图K15-2A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a8.若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是.9.[2018·淮安]将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.10.[2017·株洲]如图K15-3,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴在y轴的右侧,其图象与x轴交于点A(-1,0),点C(x2,0),且与y轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:①0<a<2;②-1<b<0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>√5-1.以上结论中,正确的结论序号是.图K15-311.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:不论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点..(2)若该抛物线的对称轴为直线x=52①求该抛物线所对应的函数表达式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?|拓展提升|12.[2018·永州]如图K15-4①,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B,C两点,与y轴交于点E(0,3).(1)求抛物线的表达式.(2)已知点F(0,-3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小?如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.(3)如图K15-4②,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M,N(点M,N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积.图K15-413.[2018·怀化]如图K15-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式和直线AC的表达式.(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.(3)试探究:在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-5参考答案1.A2.D[解析] ∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),∴m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴m2-m+2018=1+2018=2019.3.D[解析] 将a=1代入原函数表达式,令x=-1,求出y=2,由此得出A选项不符合题意;将a=-2代入原函数表达式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根据根的判别式Δ=8>0,可得出当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,即B选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的顶点坐标,令其纵坐标小于零,可得出a的取值范围,由此可得出C选项不符合题意;利用公式法找出二次函数图象的对称轴,结合二次函数的性质,即可得出D选项符合题意.4.A[解析] 由题意可知Δ=4-4(m-1)≥0,∴m≤2,故选A.=2,解得m=-4,∴关于x的方程x2+mx=5可化为5.D[解析] ∵二次函数y=x2+mx图象的对称轴是直线x=2,∴-m2x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.6.B[解析] ∵抛物线的开口向上,顶点的纵坐标为-3,=-3,即b2=12a.∴a>0,-m24m∵关于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,∴Δ=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,∴m的最大值为3., 7.D[解析] 根据二次函数y=ax2+bx+c的图象可知,a>0,又抛物线过坐标原点,∴c=0.∵抛物线的对称轴为直线x=-m2m <1,解得-2a<b<0,∴|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,∴|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.∴0<-m2m8.m>1[解析] 根据抛物线y=x2+2x+m与x轴没有公共点可知,方程x2+2x+m=0没有实数根,∴判别式Δ=22-4×1×m<0,∴m>1. 9.y=x 2+210.①④ [解析] 由图象可知抛物线开口向上,∴a>0,由抛物线经过A (-1,0),B (0,-2),对称轴在y 轴的右侧可得{m -m +m =0,m =−2,-m 2m >0,由此可得a-b=2,b<0,故a=2+b<2,综合可知0<a<2.将a=b+2代入0<a<2中,得0<b+2<2,可得-2<b<0. 当|a|=|b|时,因为a>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1,故原函数为y=x 2-x-2,当y=0时,即有x 2-x-2=0,解得x 1=-1,x 2=2,x 2=2>√5-1. 故答案为①④.11.解:(1)证明:y=(x-m )2-(x-m )=x 2-(2m+1)x+m 2+m , ∵Δ=(2m+1)2-4(m 2+m )=1>0,∴不论m 为何值,该抛物线与x 轴一定有两个公共点.(2)①∵x=--(2m +1)2=52,∴m=2,∴抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线所对应的函数表达式为y=x 2-5x+6+k.∵抛物线y=x 2-5x+6+k 与x 轴只有一个公共点, ∴Δ=25-4(6+k )=0,∴k=14,即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后,得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.12.解:(1)设所求二次函数的表达式为y=a (x-1)2+4,∵抛物线与y 轴交于点E (0,3),∴a (0-1)2+4=3,解得a=-1,∴所求二次函数的表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x 2+2x+3.(2)存在一点G ,使得EG+FG 最小. ∵抛物线的顶点A 的坐标为(1,4),∴与点E (0,3)关于抛物线对称轴x=1成轴对称的点为E'(2,3).如图①,连接E'F ,设直线E'F 的函数表达式为y=kx+b , ∴{2m +m =3,m =−3,解得{m =3,m =−3,即y=3x-3, 当x=1时,y=0,即点G (1,0),使得EG+FG 最小.(3)如图②,连接AN ,BN ,过点N 作NT ∥y 轴交AB ,x 轴分别于点S ,T. 在y=-x 2+2x+3中,当y=0时,x 1=-1,x 2=3, 则B (3,0).∵A (1,4),B (3,0),∴AB=2√5. 设直线AB 的函数表达式为y=mx+t ,∴{m +m =4,3m +m =0,解得{m =−2,m =6,即y=-2x+6. 设N (n ,-n 2+2n+3),则S (n ,-2n+6),∴NS=-n 2+4n-3. ∵S △ABN =S △ANS +S △BNS ,∴12AB ·MN=12NS ·(3-1),∴MN=√55(-n 2+4n-3)=-√55(n 2-4n+3)=-√55(n-2)2+√55,∴当n=2,即N (2,3)时,MN 最大,为√55.∵PN ⊥AB ,∴设直线PN 的函数表达式为y=12x+c ,且N (2,3),∴c=2,则y=12x+2, ∴点P (0,2),∴S △OPN =12OP ·x N =12×2×2=2.13.[解析] (1)利用待定系数法求抛物线和直线的表达式.(2)根据轴对称确定最短路线问题,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1,BD 1与y 轴的交点即为所求的点M ,然后求出直线BD 1的表达式,再求解即可.(3)可分两种情况(①以C 为直角顶点,②以A 为直角顶点)讨论,然后根据两直线垂直的关系求出P 点所在直线的表达式,将直线和抛物线的表达式联立求出点P 的坐标.解:(1)将点A (-1,0)和B (3,0)的坐标代入抛物线y=ax 2+2x+c 中,可得{m -2+m =0,9m +6+m =0,解得{m =−1,m =3,∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3. 令x=0,则y=3,∴点C 的坐标为(0,3). 设直线AC 的表达式为y=kx+b , 则{-m +m =0,m =3,解得{m =3,m =3.∴直线AC 的表达式为y=3x+3.(2)如图,作点D 关于y 轴的对称点D 1,连接BD 1交y 轴于点M ,则点M 即为所求.由抛物线表达式可得D 点的坐标为(1,4),则D 1的坐标为(-1,4). 设直线BD 1的表达式为y=k 1x+b 1,则{3m 1+m 1=0,-m 1+m 1=4,解得{m 1=−1,m 1=3,则直线BD 1的表达式为y=-x+3,令x=0可得y=3,则点M 的坐标为(0,3). (3)存在.如图①,当△ACP 以点C 为直角顶点时,易得直线CP 的表达式为y=-13x+3. 由{m =−13m +3,m =−m 2+2m +3,得{m 1=0,m 1=3(舍去){m 2=73,m 2=209, ∴P 点坐标为73,209.如图②,当△ACP 是以点A 为直角顶点时,易得直线AP 的表达式为y=-13x-13.由{m =−13m -13,m =−m 2+2m +3,得{m 1=−1,m 1=0(舍去){m 2=103,m 2=−139, ∴P 点坐标为103,-139. 综上,符合条件的点P 的坐标为73,209或103,-139.。