2013年普通高等学校招生全国统一考试 山东理科数学试题

2013年山东高考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 C（7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的B（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D（A ） （B ）(C) (D)（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 A（A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B （A）243 （B）252 （C）261 （D）279于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输入的n 的值为 3（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC == 若 ,AP AB AC λ=+ 且AP BC ⊥ ,则实数λ的值为 712（16）定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++= ②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为(A) (B) (C)(D)2．已知集合={0,1,2}，则集合中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)93．已知函数为奇函数，且当时，，则(A) (B) 0 (C) 1 (D) 24．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(A) (B) (C)(D)5．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(A) (B) (C)0 (D)6．在平面直角坐标系xoy中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线斜率的最小值为（A）2 （B）1 （C）（D）7．给定两个命题，.若是的必要而不充分条件，则是的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．函数的图象大致为9．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（A）（B）（C）（D）10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A）243 （B）252 （C）261 （D）27911．已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点。

若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（A）（B）（C）（D）12．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（A）0 （B）1 （C）（D）3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．执行右图的程序框图，若输入的的值为0.25，则输出的n的值为_____.，使得成立的概率为______. 15．已知向量与的夹角为°，且，，若，且，则实数的值为__________.否是开输入输出结16．定义“正对数”：现有四个命题：①若，则；②若，则③若，则④若，则其中的真命题有__________________.(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分。

普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（山东卷）1．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i. 2．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.4．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VADC -A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为：－13.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈p .8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.9．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为：y－1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.10．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279答案 B解析 不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．11．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 第Ⅱ卷二、填空题13．执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________． 答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3. 14．在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.15．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 16．定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①③④解析 ①0<a b <1时(0<a <1)，ln ＋(a b )＝0＝b ln ＋a ； ab >1时(a >1)，ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；正确． ②设a ＝15，b ＝3，则0＝0＋ln 3不成立，不正确；③(a >b )ln ab ⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥ln a (0<b <1≤a )，≥0(0<a ，b <1).(a <b )0⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥－ln b (0<a <1≤b )，≥0(0<a ，b <1).④(1)a ＋b >1，a ，b >1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln b ＋ln 2＝ln 2ab 成立； (2)a ＋b >1，a >1,0<b <1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln 2＝ln 2a 成立； (3)a ＋b >1,0<a ，b <1：ln(a ＋b )≤ln 2成立； (4)0<a ＋b <1,0<a ，b <1：0≤ln 2成立．三、解答题17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.18．如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D -GH -E 的余弦值．(1)证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解 方法一 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ . 因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB .又BP ∩BQ ＝B ，所以AB ⊥平面PBQ . 由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ .又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D -GH -E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理PC ＝ 5.又H 为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D -GH -E 的余弦值为－45.方法二 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90° 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)， C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 1＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝45.因为二面角D -GH -E 为钝角，所以二面角D -GH -E 的余弦值为－45.19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C 则P (A )＝23×23×23＝827P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827 P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427(2)X 的可能的取值为0,1,2,3 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627P (X ＝1)＝P (C )＝427P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫132＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19 ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令C n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由题意知，T n ＝λ－n 2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n 2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴C n＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝C 1＋C 2＋…＋C n －1＋C n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ② ①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎫1－14n －1－n －14n ＝13⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ∴R n ＝49⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.21．设函数f (x )＝xe 2x ＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R .(1)求f (x )的单调区间、最大值．(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数． 解 (1)f ′(x )＝e 2x －2x e 2x (e 2x )2＝1－2xe 2x ，由f ′(x )>0得x <12，由f ′(x )<0得x >12.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12，递减区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12e＋c .(2)由已知|ln x |＝f (x )得|ln x |－xe 2x＝c ，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝|ln x |－xe 2x，y ＝c . ①当x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，则g (x )＝ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝1x ＋2x －1e 2x >0.所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x <0，则g (x )＝－ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝－1x －1－2x e 2x ＝1e 2x ⎣⎡⎦⎤－e 2xx ＋(2x －1). 因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x >0，所以－e 2xx<－1，而2x －1<1.所以g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减．由①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－1e 2.由数形结合知，当c <－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c >－1e2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为2.22．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由已知e ＝c a ＝32，b 2a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)方法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m，整理得：m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3.∴－32<m <32.故m 的取值范围为m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. 方法二 由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|. 设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0. 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8. 所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。

2013普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试题参考答案一、选择题1-5 DCABBC 6-10 CADAB 11-12 DB 二、填空题（13） 3 （14）13 （15）712（16）①③④ 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得 22()2(1cos )b a c ac B =+-+ 又 72,6,cos 9b ac B =+== 所以 9ac =解得 3,3a c ==（Ⅱ）在ABC ∆中，242sin 1cos 9B B =-=由正弦定理得 sin 22sin 3a B Ab == 因为 a c =，所以A 为锐角。

所以 21cos 1sin 3A A =-=因此 102sin()sin cos cos sin 27A B A B A B -=-= （18）（Ⅰ）证明：因为 ,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点 所以 //,//EF AB DC AB 所以 //EF DC又 ,EF PCD DC PCD ⊄⊂平面平面 所以 //EF PCD 平面又 EF EFQ ⊂平面,EFQ PCD GH = 平面平面 所以 //EF GH 又 //EF AB 所以//AB GH（Ⅱ）解法一：在ABQ ∆中，2,AQ BD AD DQ ==所以 90O ABQ ∠=即AB BQ ⊥ 因为 PB ABQ ⊥平面 所以 AB BP ⊥ 又 BP BQ B = 所以 AB PBQ ⊥平面 由（Ⅰ）知//AB GH 所以 GH PBQ ⊥平面 又 FH PBQ ⊂平面 所以 GH HC ⊥ 同理可得 GH HC ⊥所以 FHC ∠为二面角D GH E --的平面角 设2BA BQ BP ===,连接FC 在Rt FBC ∆中，由勾股定理得 2FC =在Rt PBC ∆中，由勾股定理得 5PC =又 1533HC PC == 同理 53FH =在FHC ∆中，由余弦定理得 552499cos 5529FHC +-∠==-⨯即 二面角D GH E --的余弦值为45-解法二：在ABQ ∆中，2,AQ BD AD DQ ==所以 90OABQ ∠= 又 PB ABQ ⊥平面 所以 ,,BA BQ BP 两两垂直 以B 为坐标原点，分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立 如图所示的空间直角坐标系。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 若复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （A ） 2+i （B ） 2-i （C ） 5+i （D ） 5-i(2) 已知集合A ={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是 (A ） 1 (B ） 3 (C ） 5 (D ） 9(3）已知函数f(x) 为函数设且x ＞0时，21()f x x x=+，则f(-1)=(A ） -2 (B ） 0 (C ） 1 (D ） 2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π（5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为 （A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）-4π（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A ）2（B ）1（C ）31-（D ）21-(7)给定两个命题p,q. 若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为(9过点（3,1）作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．032=-+y xB ． 032=--y xC ． 034=--y xD ．034=-+y x（10）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ）243 (B)252 (C)261 (D)279 （11）抛物线C 1：212y xp=(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213xy -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平等于C 2的一条渐近线，则p=（A ）163 （B ）83 （C ）3（D ）334(12)设正实数x ，y ，z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当zxy 取得最大值时，zyx212-+的最大值为（A ）0 （B ）1 （C ）49 （D ）3第Ⅱ卷（共90分）(D)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,理1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为().A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案:D=2+i,所以z=5+i.故z=5-i,应选D.解析:由题意得z-3=52-i2.(2013山东,理2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9答案:C解析:当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.,则f(-1)=().3.(2013山东,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1xA.-2B.0C.1D.2答案:A)=-2,应选A.解析:因为f(x)是奇函数,故f(-1)=-f(1)=-(12+114.(2013山东,理4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ). A.5π12 B.π3C.π4D.π6答案:B解析:如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O ,则可求得AO 长为1,故AP 长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π,即PA 与平面ABC 所成的角为π.5.(2013山东,理5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ). A.3π4B.π4C.0D.-π4答案:B解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数y=sin [2(x +π8)+φ]=sin (2x +π4+φ)的图象,又y=sin (2x +π4+φ)为偶函数,故π4+φ=π2+k π,k ∈Z ,∴φ=π4+k π,k ∈Z .若k=0,则φ=π4.故选B .6.(2013山东,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x -y -2≥0,x +2y -1≥0,3x +y -8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( ). A.2 B.1 C.-13D.-12答案:C解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M 位于C 点时OM 斜率最小,且为-13,故选C .7.(2013山东,理7)给定两个命题p,q,若 p 是q 的必要而不充分条件,则p 是 q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:由题意:q ⇒ p, p q,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以{q⇒ p ,pq 等价于{p⇒ q ,qp ,所以p 是 q 的充分而不必要条件.故选A . 8.(2013山东,理8)函数y=x cos x+sin x 的图象大致为( ).答案:D解析:因f(-x)=-x ·cos (-x)+sin (-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈(0,π2),y>0,排除C ,而x=π时,y=-π,排除A ,故选D .9.(2013山东,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ). A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案:A解析:该切线方程为y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为√k +(-1)=1,得k=0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),(95,-35),故所求直线的方程为2x+y-3=0.故选A .10.(2013山东,理10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ). A.243 B.252 C.261 D.279答案:B解析:构成所有的三位数的个数为C 91C 101C 101=900,而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81=648,故所求个数为900-648=252,应选B .11.(2013山东,理11)抛物线C 1:y=12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2:x 23-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p=( ).A.√316 B.√38C.2√33D.4√33答案:D解析:设M (x 0,12p x 02),y'=(12p x 2)'=x p ,故在M 点处的切线的斜率为x 0p=√33,故M (√33p ,16p).由题意又可知抛物线的焦点为(0,p 2),双曲线右焦点为(2,0),且(√33p ,16p),(0,p2),(2,0)三点共线,可求得p=43√3,故选D .12.(2013山东,理12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y−2z的最大值为( ). A.0 B.1C.94D.3答案:B 解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0得x 2-3xy+4y 2z =1≥2√x 2·4y 2-3xy z, 即xyz≤1,当且仅当x 2=4y 2时成立,又x,y 为正实数,故x=2y.此时将x=2y 代入x 2-3xy+4y 2-z=0得z=2y 2,所以2+1−2=-12+2=-(1-1)2+1, 当1y =1,即y=1时,2x +1y −2z 取得最大值为1,故选B .第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,理13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n 的值为 . 答案:3解析:第1次运行将F 0+F 1赋值给F 1,即将3赋值给F 1,然后将F 1-F 0赋值给F 0,即将3-1=2赋值给F 0,n 增加1变成2,此时1F 1=13比ε大,故循环,新F 1为2+3=5,新F 0为5-2=3,n 增加1变成3,此时1F 1=15≤ε,故退出循环,输出n=3.14.(2013山东,理14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为 .答案:13解析:设y=|x+1|-|x-2|={3,2x -1,-3,x ≥2,-1<x <2,x ≤-1,利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|≥1的解集为[1,+∞).而在[-3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3],故所求概率为3-13-(-3)=13.15.(2013山东,理15)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 . 答案:712解析:∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,即4+(λ-1)×3×2×(-12)-9λ=0,即7-12λ=0,∴λ=712.16.(2013山东,理16)定义“正对数”:ln +x ={0,0<x <1,lnx ,x ≥1,现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln +(a b )=b ln +a; ②若a>0,b>0,则ln +(ab)=ln +a+ln +b; ③若a>0,b>0,则ln +(ab )≥ln +a-ln +b;④若a>0,b>0,则ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79. (1)求a,c 的值; (2)求sin (A-B)的值.解:(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B,得b 2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos B=79, 所以ac=9,解得a=3,c=3. (2)在△ABC 中,sin B=√1-cos 2B =4√29. 由正弦定理得sin A=asinB b=2√23. 因为a=c,所以A 为锐角. 所以cos A=√1-sin 2A =13.因此sin (A-B)=sin A cos B-cos A sin B=10√227. 18.(2013山东,理18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ 中,PB ⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与EQ 交于点G,PC 与FQ 交于点H,连接GH.(1)求证:AB ∥GH;(2)求二面角D-GH-E 的余弦值.(1)证明:因为D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以EF ∥AB,DC ∥AB.所以EF ∥DC. 又EF ⊄平面PCD,DC ⊂平面PCD, 所以EF ∥平面PCD.又EF ⊂平面EFQ,平面EFQ ∩平面PCD=GH, 所以EF ∥GH.又EF ∥AB,所以AB ∥GH.(2)解法一:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB ⊥BQ. 因为PB ⊥平面ABQ, 所以AB ⊥PB. 又BP ∩BQ=B, 所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH,所以GH ⊥平面PBQ. 又FH ⊂平面PBQ,所以GH ⊥FH. 同理可得GH ⊥HC,所以∠FHC 为二面角D-GH-E 的平面角. 设BA=BQ=BP=2,连接FC,在Rt △FBC 中,由勾股定理得FC=√2, 在Rt △PBC 中,由勾股定理得PC=√5. 又H 为△PBQ 的重心, 所以HC=13PC=√53.同理FH=√53.在△FHC 中,由余弦定理得cos ∠FHC=59+59-22×59=-45.故二面角D-GH-E 的余弦值为-45.解法二:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°. 又PB ⊥平面ABQ, 所以BA,BQ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA,BQ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1), DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2). 设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由m ·EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 1+2y 1-z 1=0,2y 1-z 1=0,取y 1=1,得m =(0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由n ·DP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CP ⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 2-y 2+2z 2=0,-y 2+2z 2=0,取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=45. 因为二面角D-GH-E 为钝角, 所以二面角D-GH-E 的余弦值为-45.19.(2013山东,理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X 的分布列及数学期望.解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1,“甲队以3∶1胜利”为事件A 2,“甲队以3∶2胜利”为事件A 3,由题意,各局比赛结果相互独立, 故P(A 1)=(23)3=827,P(A 2)=C 32(23)2(1-23)×23=827, P(A 3)=C 42(23)2(1-23)2×12=427.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 所以P(A 4)=C 42(1-23)2(23)2×(1-12)=427.由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2)=1627, 又P(X=1)=P(A 3)=427, P(X=2)=P(A 4)=427,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=327. 故X 的分布列为所以EX=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.20.(2013山东,理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n +a n +12n =λ(λ为常数).令c n =b 2n (n ∈N *).求数列{c n }的前n 项和R n .解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得{4a 1+6d =8a 1+4d ,a 1+(2n -1)d =2a 1+2(n -1)d +1.解得a 1=1,d=2.因此a n =2n-1,n ∈N *. (2)由题意知,T n =λ-n2n -1,所以n ≥2时,b n =T n -T n-1=-n2n -1+n -12n -2=n -22n -1.故c n =b 2n =2n -222n -1=(n-1)(14)n -1,n ∈N *.所以R n =0×(14)0+1×(14)1+2×(14)2+3×(14)3+…+(n-1)×(14)n -1,则14R n =0×(14)1+1×(14)2+2×(14)3+…+(n-2)×(14)n -1+(n-1)×(14)n,两式相减得34R n =(14)1+(14)2+(14)3+…+(14)n -1-(n-1)×(14)n=14-(14)n1-14-(n-1)×(14)n =13−1+3n 3(14)n, 整理得R n =19(4-3n+14n -1),所以数列{c n }的前n 项和R n =19(4-3n+14n -1).21.(2013山东,理21)(本小题满分13分)设函数f(x)=xe 2x +c (e =2.718 28…是自然对数的底数,c ∈R ). (1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数. 解:(1)f'(x)=(1-2x)e -2x ,由f'(x)=0,解得x=12.当x<12时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>12时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,12),单调递减区间是(12,+∞), 最大值为f (12)=12e -1+c.(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-x e -2x -c,x ∈(0,+∞). ①当x ∈(1,+∞)时,ln x>0,则g(x)=ln x-x e -2x -c, 所以g'(x)=e -2x (e 2xx +2x -1).因为2x-1>0,e 2xx>0, 所以g'(x)>0.因此g(x)在(1,+∞)上单调递增.②当x ∈(0,1)时,ln x<0,则g(x)=-ln x-x e -2x -c. 所以g'(x)=e -2x (-e 2x x+2x -1).因为e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x>0, 所以-e 2xx<-1.又2x-1<1,所以-e 2xx +2x-1<0,即g'(x )<0.因此g(x)在(0,1)上单调递减.综合①②可知,当x ∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e -2-c. 当g(1)=-e -2-c>0,即c<-e -2时,g(x)没有零点, 故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0; 当g(1)=-e -2-c=0,即c=-e -2时,g(x)只有一个零点, 故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1; 当g(1)=-e -2-c<0,即c>-e -2时, 当x ∈(1,+∞)时,由(1)知g(x)=ln x-x e -2x -c ≥ln x-(12e -1+c)>ln x-1-c, 要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x ∈(e 1+c ,+∞); 当x ∈(0,1)时,由(1)知g(x)=-ln x-x e -2x -c ≥-ln x-(12e -1+c)>-ln x-1-c, 要使g(x)>0,只需-ln x-1-c>0, 即x ∈(0,e -1-c );所以c>-e -2时,g(x)有两个零点,故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2. 综上所述,当c<-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0; 当c=-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1; 当c>-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2. 22.(2013山东,理22)(本小题满分13分)椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为√32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. (1)解:由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程x 22+y 2b 2=1, 得y=±b 2a ,由题意知2b 2a =1,即a=2b 2.又e=c a =√32,所以a=2,b=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0).又F 1(-√3,0),F 2(√3,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0=0,l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0=0. 由题意知0√3y 0√y 0+(x 0+√3)=0√3y 0√y 0+(x 0-√3).由于点P 在椭圆上,所以x 024+y 02=1, 所以√3|√(√32x 0+2)=√3|√(√32x 0-2). 因为-√3<m<√3,-2<x 0<2,可得√3√32x 0+2=√3-2-√32x 0. 所以m=34x 0.因此-32<m<32.解法二:设P(x 0,y 0).当0≤x 0<2时,①当x 0=√3时,直线PF 2的斜率不存在,易知P (√3,12)或P (√3,-12).若P (√3,12),则直线PF 1的方程为x-4√3y+√3=0.由题意得|m+√3|7=√3-m,因为-√3<m<√3,所以m=3√34. 若P (√3,-12),同理可得m=3√34. ②当x 0≠√3时,设直线PF 1,PF 2的方程分别为y=k 1(x+√3),y=k 2(x-√3). 由题意知1√3k 1√1+k 1=2√3k 2√1+k 2, 所以√3)2(m -3)2=1+1k 121+1k 22. 因为x 024+y 02=1,并且k 1=0x+√3,k 2=0x -3, 所以√3)2(m -3)2=0√3)2024(x -3)2+4-x 2 =3x 02+8√3x 0+163x 02-83x +16=√3x 0+4)2(3x -4)2,即|m+√3m -√3|=|√3x 0+4√3x -4|.因为-√3<m<√3,0≤x 0<2且x 0≠√3, 所以√3+m√3-m =4+√3x 04-√3x . 整理得m=3x 04, 故0≤m<32且m ≠3√34. 综合①②可得0≤m<32.当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32).(3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立{x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(y 02-2kx 0y 0+k 2x 02-1)=0.由题意Δ=0,即(4-x 02)k 2+2x 0y 0k+1-y 02=0. 又x 024+y 02=1,所以16y 02k 2+8x 0y 0k+x 02=0,故k=-x 00. 由(2)知1k 1+1k 2=x 0+√3y 0+x 0-√3y 0=2x 0y 0, 所以1kk 1+1kk 2=1k (1k 1+1k 2) =(-4y 0x 0)·2x0y 0=-8, 因此1kk 1+1kk 2为定值,这个定值为-8.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理 科 数 学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题: 本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足5)2)(3(=--i z （i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 .A i +2 .B i -2 .C i +5 .D i -52. 已知集合}2,1,0{=A ，则集合},{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是 .A 1 .B 3 .C 5 .D 93. 已知函数)(x f 为奇函数，当0>x 时，xx x f 1)(2+=，在=-)1(f .A 2- .B 0 .C 1 .D 24. 已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111C B A 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 .A π125 .B 3π .C 4π .D 6π 5. 将函数)2sin(ϕ+=x y 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值是 .A π43 .B 4π .C 0 .D 4π-6. 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x 所表示的平面区域上一动点，则OM 斜率的最小值为.A 2 .B 1 .C 31- .D 21- 7. 给定两个命题q p ,，若p ⌝是q 的必要而不充分条件，在p 是p ⌝的 .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件8. 函数x x x y sin cos +=的图像大致为.A .B .C .D9. 过点)1,3(作圆1)1(22=+-y x 的两条切线，切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为 .A 032=+-y x .B 032=--y x .C 034=--y x .D 034=-+y x10. 用0，1，2，……，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 .A 243 .B 252 .C 261 .D 27911. 抛物线:1C )0(212>=p x py 的焦点与双曲线:2C 1322=-y x 的右焦点的连线交2C 于第一象限的点M 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 若复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （A ） 2+i （B ） 2-i （C ） 5+i （D ） 5-i(2) 已知集合A ={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是 (A ） 1 (B ） 3 (C ） 5 (D ） 9(3）已知函数f(x) 为奇函数设且x ＞0时， f(x)= x 2+x1，则f(-1)= (A ） -2 (B ） 0 (C ） 1 (D ） 2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π （5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为 （A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）-4π（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A ）2（B ）1（C ）31-（D ）21- (7)给定两个命题p,q.若﹃p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹃q 的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为(9过点（3,1）作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．032=-+y xB ． 032=--y xC ． 034=--y xD ．034=-+y x（10）用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（A ）243 (B)252 (C)261 (D)279（11）抛物线C1：221x py =(p ＞0)的焦点与双曲线C2：1322=-y x 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。