北京理工大学819物理光学考研课件12

解的形式
E(x, y, z,t) E(kx x ky y kz z k t)
其中 kx , ky , kz 是常矢量 k kx i ky j kz k 的三个坐标轴分量，若k矢量 的方向余弦为(cosα,cosβ,cosγ)，则有：
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知识回顾
掌握以下关系
1. 电磁波的特性参数：
V 1 ， c 1 3108 m / s ， n c

0 0
V
2. 真空中空间周期 0 ，时间频率 ，传播速度 c 的关系： c 0 。
介质中空间周期 ，时间频率 ，传播速度 v 的关系： V
对可见光： 0.4 0.7m, 7.51014 4.31014 Hz
相幅矢量
某点求波的叠加
第一章 光波的基本性质
§1.1 光的电磁理论基础 光为什么是电磁波？
§1.2 光波的波函数
如何用函数来表达光波？
§1.3 平面电磁波的性质。
§1.4 电磁波在两种均匀各向同
性透明媒质界面上的反射和折射
1.2 光波的波函数 --三维简谐平面波
三维波动微分方程及解的形式
三维波动微分方程 解的形式 波矢（传播矢） 三维波相位/初相位
用 r 代替z, 则波函数可写成E( r ,t )或E( x ,y, z ;t ), 按照一维标量波动微分方程
的推导方式，可从麦克斯韦方程组推导出三维矢量波动微分方程为：
2E x2

2E y 2

2E z 2


2E t 2

1
2
2E t 2
利用Laplace算符, 简写为:
② 时间和空间参量
时间参量 T ,, 的定义和性质与
一维简谐平面波的完全相同；
三维简谐平面波的空间参量
空间参量：有特殊性
3. 三维简谐平面波
空间周期
三维简谐平面波的空间参量
λ：表示位相差为 2 的两个等相面之
间在k方向上的距离。
λ是沿k方向的空间周期，或称为三维简谐波 的固有空间周期；考察方向不同，空间周期 也不同。
考察方向为沿θ角方向（ob方向）：
空间周期:Ts
(
)

cos
考察沿坐标轴方向的空间周期：



Ts (x) cos ;Ts ( y) cos ;Ts (z) cos
空间频率
三维简谐平面波的空间参量
仍定义为空间周期的倒数。与空间 周期一样也是考察方向的函数。
固有频率：
f 1
2 fx y 2
2 fx z 2
,
2 fy x2

2 fy y 2

2 fy z 2
,
2 fz x2

2 fz y 2

2 fz z 2

函数的曲率
三维标量波的波动微分方程：
2E(x, y, z,t)

1
2
2E t 2
波动方程的解为：
E（r,t)=E k (r vt)
初相位： 0
总结
掌握2、等相面/波面、三维平面波
等相面方程 k r kvt 常数
总结 掌握3、三维简谐平面波
E r,t E0 exp j k r t 0
或 E r,t E0 exp j k r kvt 0
某一 t0 时刻具有相同位相值φ的点的位置轨迹（或集合）称为光波的波 面或等相面。
按以上的定义，光波波面形状的方程应为：
(r,t) C(常数)
确定面形
通过以上的波的位相函数可知，波面的形状可以为：平面（波）、球面 （波）、锥面（波），复杂（波）等。
② 平面波：等相面为平面、且等相面上各点的扰动大小时刻相等的光波
• 光波的分类
–标量波和矢量波 –纵波和横波 –一维波和三维波
• 一维简谐波
–一维简谐波波函数及有关参量
• 空间参量、时间参量、空间参量和时间参量的关系、 简谐波的位相和相速度
–简谐波的复指数表示和矢量表示
• 简谐波的复指数表示、复振幅、矢量表示、相辐矢量
知识回顾
， 1.掌握基本概念
振动，波动，标量波与矢量波，纵 波与横波，简谐波，波矢，波函数， 复振幅，光波的位相及初位相，波面 （等相面），平面波
3. 从真空进入介质: 0 c V n 从 n1 介质进入 n2 介质： 1n 1 n2 2
知识回顾 矢量表示和相幅矢量
可用于同频率标量波的叠加
简谐波的波函数完全由振幅和相位两个因素确定。而复平 面上起源于原点的矢量恰好也有两个自由度：即矢量的长 度和与某一轴的夹角（幅角），恰好可以编码波的振幅和 相位。
复振幅：
E(r) E0 exp[ j(k r 0 )]
光波的强度I
在光学问题中，一般测量的是时间平均的能量或光强度 I，只需将复数E乘上其共轭复数E*：
I E E* Aeikr t0 Aeikr t0
三维简谐平面波在2D平面上的复指数波函数和复振幅
波矢 k：
与一维波的波数k即有区别又有联系。 都代表波的传播方向； 三维：k是矢量，用方向余弦表示波的传播方向； 一维：标量，用正负号表示波的传播方向。
k的大小：可利用三维简谐平面波具有 2 空间周期性求出。
由 (r, t0 )=k r k t0 0
在t = t0时刻，沿k方向考察空间周期性
2.掌握一维简谐波的波函数，空间参 量和时间参量,两者之间的关系。
E z, t E0 exp j kz t 0
, f 1 , k 2
T , 1 , 2 2
T
T
V V
T , V , kV V
E(x, y,t) E0 exp[2 j( fx x f y y k t 0 )](z 0) E(x, y) E0 exp[2 j( fx x f y y 0 )](z 0)
1.2 光波的波函数 --三维简谐平面波
三维波动微分方程及解的形式
三维波动微分方程 解的形式 波矢（传播矢） 三维波相位/初相位
2E
1
2
2E t 2

0
Laplace微分算符的作用
laplace算符对标量的作用
2 f
f




f x
,
f y
,
f
z

2 f 2 f 2 f x2 y2 z2
laplace算符对矢量的作用
2 f


2 fx x2
kx k cos , ky k cos , kz k cos
矢量k的意义：
决定了三维波的转播方向，称为三维波的波矢或传播矢。
三维波的波函数 E(r,t) E(k r k t 0 )
或 E(r,t) E(k r t 0 )
三维波的相位
=k r kt 0 代表三维波的位相 0为三维波在坐标原点处的初位相
1.2 光波的波函数 --三维简谐平面波
三维波动微分方程及解的形式
三维波动微分方程 解的形式 波矢（传播矢） 三维波相位/初相位
三维平面波
波面(等相面) 平面波
三维简谐波
时间参量、空间参量、波矢 三维简谐平面波的复指数表示
波函数、复振幅
总结
2. 三维平面波
① 波面的概念
已知 λ和空间频率的坐标分量，三维简谐波的频率表达式为：
E(r,t) E0 cos[2 ( fx x f y y fz z k t 0 )]
三维简谐波在2D平面上（Oxy)的表达式：
E(x, y,t) E0 cos[2 ( fx x f y y k t 0 )](z 0)
r
o



z
y
s=r k
E＝Acos k x cos y cos z cos t 0
4. 三维简谐平面波的复指数表示方法
E(r,t) E0 exp[ j(k r k t 0 )] E0 exp[ j2 (kx x ky y kz z k t 0 )]
三维平面波
波面(等相面) 平面波
三维简谐波
时间参量、空间参量、波矢 三维简谐平面波的复指数表示
波函数、复振幅
总结
1.2.3 三维简谐平面波
1. 三维波动微分方程
三维波的概念:
电磁波在三维空间中传播,对于三维波,确定空间考察点的位置需要用三维空间位
置矢量 r
r xi y j zk
总结 掌握4、三维简谐平面波 y
E(r,t) E0 cos(k r k t 0 ) E0 cos(kx x ky y kz z k t 0 )

沿θ角方向（ob方向）：
fs
(
)

1
Ts (
)

cos
沿坐标轴方向：
fs
(x)

cos
;
fs
(
y)

cos


;
fs
(z)

cos
fx , f y , fz 又称为三维简谐波固有空间频率f的坐标分量，且有：