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第十一章几何证明初步知识点整理定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.3.一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:4.(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。
5.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.6.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。
这种例子称为反例。
5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。
这些公认为正确的命题叫做公理。
证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理：1.两点确定一条直线。
2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。
3.两直线平行,同位角相等。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。
6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。
7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：所有的命题都是公理。
所有的真命题都是定理。
所有的定理是真命题。
所有的公理是真命题。
6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
Eg:(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180°推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
第一章 三角形的证明 1.等腰三角形（一）教学目标 1．知识目标：理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理；在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理；熟悉证明的基本步骤和书写格式。
2．能力目标：经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力；鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平；3．情感与价值目标：启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯. 教学重点 探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 教学难点 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
教学过程1、 创设情境，引入新课提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。
由于有了前面的铺垫，学生一般都能得到该推论的证明思路，但由于有了一个暑假的遗忘，可能部分学生的表述未必严谨、规范，教学中注意提请学生分析条件和结论，画出简图，写出已知和求证，并规范地写出证明过程。
具体证明如下：已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证：△ABC ≌△DEF.证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知）， 又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°-(∠A+∠B)， ∠F=180°-(∠D+∠E)， ∴∠C=∠F （等量代换）。
什么是几何证明教学目标1．了解根本领实、定理的意义，掌握本节中提出的根本领实，了解除了根本领实外，命题的真实性必须经过证明；2．初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要符合逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据.教学重点难点重点：了解几何证明的书写格式，知道证明要符合逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据；难点：推理论证能力的培养。
教学方法自主探究、合作交流。
教学过程〔一〕情境导入：1.两点确定一条直线。
这是真的吗?需要证明吗？〔根本领实〕2.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；对顶角相等。
这是真的吗？需要证明吗？〔定理〕设置这一情景，与学生的学习经验紧密相连，一是有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识；二是适当的渗透了本节课的学习内容，为本节课的学习做好了铺垫。
〔二〕探究新知：1.问题导读：知识点一：根本领实〔1〕 _____________________________叫做根本领实。
〔2〕在此章节之前已经学过的根本领实：① _____________________________________________________②______________ ________________________③_______________________ __④_______________________ ____⑤_______________________ ____⑥_______________________ ____⑦_______________________ ____⑧_______________________ ____〔3〕 _____________________________叫做证明。
知识点二：定理_____________________________叫做定理。
2.合作交流：(1)以组为单位，讨论交流如何解决本节情境导入提出的问题.(2)欣赏课本162-163页两个定理的证明过程，体会几何证明的过程个性化设计：我们还可以利用数轴探究有理数的加法法那么：应分哪些步骤？在书写格式上应注意哪些问题？与同伴交流3.精讲点拨：几何证明的过程一般包括三个步骤：〔1〕根据题意，，〔2〕结合图形，写出、，其中“〞是命题的条件，““是命题的结论。
几何证明初步知识盘点一、互逆命题与互逆定理1、命题的概念：对一件事情的语句。
温馨提示：○1、每个命题都有条件（题设）和结论两部分；○2、命题的一般形式是“如果…（条件），那么…（结论）”；○3、正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，验证一个命题是真命题，要经过严格证明，说明一个命题是假命题，只要指出一个反例即可。
2、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做，那么另一个命题叫做它的。
温馨提示：○1、任何一个命题都有逆命题；○2、把一个命题的条件、结论交换，就得到它的逆命题；○3、原命题成立，逆命题不一定成立，反之亦然。
3、互逆定理：如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做。
温馨提示：○1、逆定理、互逆定理，一定是真命题；○2、不是所有的定理都有逆定理。
二、相关定理（一）、平行线的性质与判定：（三性质和五判定）三性质：1、“两直线平行，同位角相等”。
∵4321EDC BAAB//CD ，∴ 。
2、“两直线平行，内错角相等” 。
∵AB//CD ， ∴ 。
3、“两直线平行，同旁内角互补”。
∵AB//CD ， ∴ 。
五判定：1、“同位角相等，两直线平行”。
∵ ， ∴AB//CD2、“内错角相等，两直线平行”。
∵ ， ∴AB//CD3、“同旁内角互补，两直线平行”。
∵ ，∴AB//CD4、“平行与同一条直线的两直线平行”。
∵a//b ，b//c ， ∴ 。
5、在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行。
∵a ⊥c ，b ⊥c ， ∴a//b 温馨提示：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行； （2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；（3）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直。
（二）、三角形内角和及外角定理：cb a cba21B ACM1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程：○1 作CM∥AB，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．○2 作MN∥BC，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．温馨提示：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．（3）特殊三角形的内角关系：直角三角形两锐角互余；等边三角形每个内角都等于600 2、三角形的外角的定义三角形 ，叫做三角形的外角. 温馨提示：BAC D每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE. 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.3．三角形外角的性质（1）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（3）、三角形的三个外角和为360°。
温馨提示：外角与相邻的内角互为邻补角。
（三）、全等三角形1．定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．2．性质两全等三角形的相等、相等。
温馨提示：(1)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。
(2) 对应的量分别相等。
3．判定(1)判定1：．(“S AS”)(1)判定2：．(“A SA”)(3)判定3：．(“SS S”)(4)判定4：．(“AA S”)(5)判定5：．( “HL”)温馨提示：○1“HL”定理是直角三角形独有的，对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同样适用于直角三角形．○2切记：“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”．（四）、等腰三角形1、定义：。
2、判定：（等角对等边）即：如果一个三角形有两个角那么。
3、性质：1）、（等边对等角）即：如果一个三角形有两条边那么。
2）、（三线合一）即：等腰三角形、、互相重合。
(1)∵AB=AC AD⊥BC ∴。
(2)∵(3)三个角都 三角形是等边三角形 2）、性质：（1）三条边都 。
（2）三个角都等于 。
（3）共有 组三线合一。
（4）等边三角形是 对称图形，但不是 对称图形。
温馨提示：（1）等腰三角形和等边三角形都是轴对称图形，都不是中心对称图形。
（2）等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则a b <2．（五）、直角三角形 1、直角三角形性质： 直角三角形两锐角 。
①两对等角(除直角)ACD B BCD A ∠=∠∠=∠，；③由面积公式推导出来另一等积式：BC AC CD AB ⋅=⋅2、直角三角形判定（1）若两个角的和等于 ，则这个三角形是直角三角形。
（六）、线段的垂直平分线 1、线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到 . 如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上， 。
温馨提示：（1）、定理的作用：证明两条线段相等； （2）、⊿ABC 是等腰三角形，CD 三线合一；（3）、线段AB 关于它的垂直平分线轴对称；关于中点D 中心对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.如图1，已知直线m 是线段AB 垂直平分线，若 ，则点C 在直线m 上. 温馨提示：○1定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.图1○2注意线段垂直平分线性质定理和逆定理区别和联系 3、关于三角形三边垂直平分线的定理（三角形的外心 ）：三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），并且 的距离相等.如图2，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.温馨提示：结合三角形外心的性质掌握，如：外心位置、OA ＝OB ＝OC.几何作图应用等进行掌握（七）、 角平分线1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点 。
如图3，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若 ，则 。
温馨提示：① 证明两条线段相等（相等量：OD=OC 、FC=FD ；∠ COF=∠DOF 、∠CFO=∠DFO ）；② 与用于几何作图问题；③ 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直图 2图3线.2、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）： 在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，若 ，则点P 在∠AOB 的平分线上. 温馨提示：○1定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线○2注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 3、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点（内心）的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点 的距离相等.如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 温馨提示：结合三角形内心性质掌握，如：内心位置、IF=IE=IP 、实际中的几何作图等进行掌握.例2.“等角的余角相等”的逆命题。
分析：找到原命题的条件和结论进行交换，从而确定逆命题。
答案：如果两个角的余角相等，那么着两个角是等角。
点评：本题考查命题的结构，确定原命题的逆命题，解答的关键是明确原命题的条件和结论，交换条件和结论。
例3.命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A与∠B互余”的逆命题是________命题 (填“真”或“假”。
分析：正确是真错误是假。
答案：假点评：本题考查互逆命题真假关系，注意互逆命题真假性没有关系。
4、如何进行几何证明:(1)深刻理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(1) 推理方向是从已知到求证的思考方法叫做综合法.(2) 推理方向是从求证到已知的思考方法叫做分析法.(3) 通常在做题时是既从已知条件出发，又从欲证结论出发，经过推理找到证题的途径，这种思考方法叫做“综合分析法”或“两头凑” 法.6. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2.求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°.证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
AB E CD F G 1 2证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
3.邻补角的平分线互相垂直。
4.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行于同一直线的两直线平行。
证明线段不等1.垂线段最短。
2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
一．角平分线－－轴对称．1.已知在ΔABC中，108A∠=，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC∠．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．BB分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABD DBE∠=∠=，108A BED∠=∠=，36C ABC∠=∠=．∴72DEC EDC∠=∠=，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．2.如图，ΔABC中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC∠的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．B分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．1.已知在ΔABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．EE分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．单元测验题（1）一、选择题（每空3 分，共36 分）1、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一组锐角对应相等B、两组锐角分别对应相等C、一组直角边对应相等D、两组直角边分别对应相等2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C ＝（）A．20° B．25° C．30° D．40°3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )A．∠2=45° B．∠1=∠3C．∠AOD+∠1=180° D．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线③在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是直角三角形④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A、50°B、65°C、70°D、75°7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC 的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A. B. C.5 D.49、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（）A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都对10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.A．全部正确; B．仅①和②正确;C．仅②③正确; D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠②③∠+∠2=90°④=3:4:5 ⑤A．1 B．2 C．3 D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．不能确定二、填空题（每空3 分，共15 分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________ 。
