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初中数学最值问题的解法探究梅宁宁【摘要】就初中数学最值问题中常用方法:线段法、换元法、判别式法、垂线段最短法、函数法作了探究,有利于提高学生的解题能力,减轻学生的学习负担,提高数学教学质量.【期刊名称】《宁波教育学院学报》【年(卷),期】2016(018)006【总页数】3页(P121-122,125)【关键词】初中数学;最值问题;换元法;判别式法;函数法【作者】梅宁宁【作者单位】宁海县越溪乡初级中学,浙江宁海315605【正文语种】中文【中图分类】G633.6初中数学中，最值问题一直是难点与重点题型之一。
由于求最值问题的题型范围比较广，命题角度比较宽，因而学生感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维阻滞，为了让学生开拓思维，提高分析能力，使学生从困境中解脱出来，先将常用解法举例如下。
例1：如图1，已知正方形ABCD边长为4，P为DC上的一点，且DP=1，Q为AC上一动点，求QD+ QP的最小值。
解：连接BQ、BP，设AC与BP交于点E，由点B、D关于AC对称知QB=QD，有QD+QP=QB+QP。
显然QB+QP≥BP，易知当Q运动到点E时，等号成立，即两点B、P之间距离线段BP最短。
由勾股定理得，而PC=4-1=3，有，从而QD+QP的最小值为BP=5。
析：上例运用了两点之间线段最短或用对称性与三角形三边关系求最值，为我们提供了一种思路。
触类旁通，由此派出一系列针对线段和差的最值问题的解题思路。
例2：若x、y、z均为非负数，且满足则可取得的最小值为（）（宁波市2015年初中毕业生学业考试甬真卷B数学试题第12题）。
解：设有x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，则由x、y、y均为非负数知解得当时，二次函数14t2+10t+6是增函数，从而当时，二次函数14t2+10t+6=达到最小值析：例中求含3个未知数的代数式的最小值，通过换元法巧妙地转化成含t的二次代数式，再利用二次函数的性质，求得最小值。
初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。
一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。
插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。
在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。
二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。
二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。
在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。
三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。
四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。
最值问题解法初探作者：胡红娣来源：《考试周刊》2013年第95期摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，教材中没有系统地介绍极值的求法.本文从七个方面探讨了求初等函数最值的常用方法.关键词：初等函数最值问题求解方法中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中有广泛的应用.中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础.最值问题历来是各类考试的热点，但教材中只是零散地介绍了几种求最值的方法.本文旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法.1.配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解的.2.换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值.用函数极值法处理这一类最值时，需利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定.3.不等式法不等式法是一种根据题设，利用基本不等式或不等式的性质进行求解的方法.4.判别式法所给函数式如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则用判别式法求函数的最值是行之有效的.5.导数法各种类型的函数求最值的问题都可以用导数作为有力的工具来解决.5.1函数单调性判定定理若对？坌x∈（a，b），f′（x）>0或f′（x）5.2极值点概念若对定义在[a，b]上的可导函数f（x），对任意c∈[a，b]，使f′（c）=0的点叫做f（x）的极值点.5.3求函数最值的步骤5.3.1求函数f（x）的导数.5.3.2令f′（x）=0，解出极值点x■，x■…x■.5.3.3求f′（x）的导数f″（x）.当f″（x）0时取极小值.5.3.4计算函数各局部极值和定义域两端点的值，进行比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值.6.函数单调性法利用函数的单调性质，是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性.7.向量法本文系统地探讨了极值的七种求法.在实际解题中使用哪种方法，要根据具体的题目进行选择，灵活地运用.参考文献：[1]陈慧珍.关于一元函数的极值问题[M].武汉：武汉交通管理干部学报，1994（3，4）.[2]赵平中，刘海军，王文.高中物理中求极值问题的数学技巧[M].保定：保定师范专科学校学报，2002（10）：15.[3]薛金星.怎样解题[M].北京教育出版社.。
初中数学中最值问题解法的探讨【摘要】仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。
而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。
本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。
【关键词】初中数学最值问题配方法一次函数性质二次函数性质基本不等式求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。
而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。
１运用配方法来求解最值问题配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。
再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。
在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。
下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。
1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。
因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。
-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。
因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。
-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。
2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。
-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。
-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。
-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。
3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。
解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。
然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。
f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。
最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。
例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。
解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
中学数学求解最值问题的方法探寻
数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。
对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。
求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。
一、通过配方求最值
这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。
用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。
例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10
由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值-10。
例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。
解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-）2+，
可知，取sinx=1，即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×+=4，取sinx=-1，即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2× + =-6。
评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的图像来求。
在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x=而sinx的最大值为1）。
这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。
二、通过均值不等式求最值
均值定理构成的注意事项。
首先，我们应当关注如下的预备知识。
二元均值不等式：≥（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号）。
三元均值不等式：≥ ，（a>0，b>0，当且仅当a=b=c时取等号）。
n元均值不等式：≥ （a1>0，a2>0，…，an>0，当且仅当a1=a2=…=an时取不等号）。
同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。
1.函数解析式中各项均为正数。
2.函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。
3.含变数的各项均相等时才能取得最值。
例3：求函数y=（x>-1且a>0）的最小值.
解：y= =ax+ +（1-a）=a（1+x）+ +1-2a≥2 +1-2a=1，当且仅当a（x+1）=，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。
三、通过数形结合法求最值
数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。
通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。
例4：若a、b是小于1的正数，证明：
+ + + ≥2
证明：作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、CD上取AE=a，AG=b，过E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF与GH交于O，连结OA、OB、OC、OD、BD、AC.
∴OA= ，OB=，OC=，OD= .而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即+ ≥ ，+ ≥ .
故+ + + ≥2 .
评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。
其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几何性质能有助于我们把复杂问题简单化。
四、利用函数单调性求最值
先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。
1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n]，则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。
2.求二次函数f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于[m，n]，若x=-∈[m，n]，则f（m）、f（n）与f（-）中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-？埸[m，n]则f（m）与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f（x）=ax2+bx+c的定义域为R，当a>0时，有最小值ymin=.当a0时f（x）解：令x1=x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.
令x1=x，x2=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）为奇函数。
设x1，x2∈R，且x10，∴f（x2）-f（x1）=
f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）-2）的最大值。
分析：此题为含根号的分式函数，不能直接运用均值不等式求最值，考虑分子常数化，变形后对分母用均值不等式。
解：设=t，则x=t2-2，故y= ? = ? ≤ ? = ，当且仅当t+1=且t>0，即t=-1，
x=2-2时，等号成立，即所求的最大值为.
2.三角换元。
三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透，解法灵活多变，突出对思维的灵活性和严密性的考察，历来都是高考中的常见题型。
学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。
下面通过对典型错解例题的剖析，揭示题型规律，提高解题的准确性。
例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。
分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为
2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤ =3
但其中取等号的条件a=c，b=d才能成立。
于是得到a2+b2=c2+d2，与已知相矛盾。
在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a= cosα，b= sinα，
c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道简单的三角函数题。
解：设a=cosα，b=sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，则ac+bd=2
（cosαcosβ+sinαsinβ）=2cos（α-β）≤2 ，∴当且仅当cos（α-β）=1时，即
（a=b=1，c=d=或a=b=-1，c=d=-成立时取等号），∴ac+bd的最大值为2 .
评注：换元的方法形式多种多样，有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用，我们要注意的是不管怎样变换，其变换的取值范围都不能改变。
这种方法有助于我们把复杂的式子简单化，利于我们求解。
七、结语
近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析几何等知识的交汇点处命题，注重知识之间的交叉、渗透和综合性。
求函数的最值时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法。
一般优先考虑配方法、数形结合法、函数单调性法和基本不等式法，然后再考虑其他各种特殊方法。
在以上介绍的方法中，最简单的方法是配方法和单调性法，最重要的方法是基本不等式法。
总之，以上各种方法需要灵活应用，有些题目可用多种方法，只有熟练掌握各种方法才能在解题中做到得心应手，根据具体的题目选择最好的方法。
