河北省中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第2章方程组与不等式组第3节分式方程及应用精讲试题

第二节 一元二次方程及应用河北五年中考命题规律年份题号 考查点 考查内容 分值 总分201719 一元二次方程的解法 综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程 37 26(2) 一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况 4201614 一元二次方程根的判别式 利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512 一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值范围 2 2201421 解一元二次方程 (1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式； (2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观河北近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.河北五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014河北中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为：x 2＋b a x ＝－c a ，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a(b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017沧州中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是( A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016石家庄二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是( B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015河北中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是( B ) A ．a<1 B ．a>1 C ．a ≤1 D ．a ≥15．(2016河北中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．有一根为06．(2016唐山十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017唐山二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6；(2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3；①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3. 一元二次方程的应用8．(2016邯郸25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016石家庄十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017河北中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，其中x ＞0.每件的售价为18万元，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100(1)求y 与x(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m.解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0，∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13，∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0，∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50)＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法：(1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系：(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016保定十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22；(2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，得x(x －2)＝0.即x 1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是( C ) A ．x ＝3 B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016唐山路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋2)2＝9 B ．(x －2)2＝9 C ．(x ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＝1 3．用公式法解方程：(1)(广东中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(兰州中考)x 2－1＝2(x ＋1)． 解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017包头中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是( A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016唐山丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是( D ) A ．只有一个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根5．(2016保定博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017咸宁中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x 的代数式表示第3年的可变成本为________万元；(2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(不合题意，舍去)． 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染( A ) A ．17人 B ．16人 C ．15人 D ．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x ＋1)人，每人传染x 个人，则传染x(x ＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x 个人＋第二轮传染的x(x ＋1)人，列方程：1＋x ＋x(1＋x)＝256，解得x 1＝15，x 2＝－17.因为x 表示人数，所以x ＝－17不合题意，应舍去；取x ＝15，故选C .【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x 元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x 件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x 元，则商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x 2－35x ＋300＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x ＝15不合题意，舍去，只取x ＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017南通中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m ，宽为40 m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m .(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．(2017巴中中考)某地2014年外贸收入为2.5亿元，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为( A )A ．2.5(1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C ．2.5(1＋x)(1＋2x)＝4D ．2.5(1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，每棵所出售的这批树苗售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x 棵树苗． 120×60＝7 200(元)． ∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x －60)]＝8 800， x 1＝220，x 2＝80，当x ＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100， ∴x ＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．。

第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。

（系数不为0）的整式方程。

形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。

解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。

一般形式: ax+by=c ，有无数组解。

2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。

⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。

【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。

2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。

第二节一元二次方程及应用年份题号考查点考查内容分值总分201719 一元二次方程的解法综合题，在新定义的背景下用直接开平方法解一元二次方程37 26(2)一元二次方程及根的判别式利用题中已知条件列出方程，并用判别式判断根的情况4201614一元二次方程根的判别式利用已知条件判断含字母系数的一元二次方程的根的情况2 2201512一元二次方程根的判别式考一元二次方程无实数根求参数的取值X围2 2201421 解一元二次方程(1)从推导一元二次方程的求根公式的步骤中找错误，并写出正确的求根公式；(2)用配方法解一元二次方程10 102013年未考查命题规律纵观某某近五年中考，2014、2015、2016、2017年考查了一元二次方程，分值2～10分，涉及的题型有选择、填空、解答，题目难度一般，其中一元二次方程的配方法在选择和解答题中各考查了1次，一元二次方程的应用在选择、填空中各考过1次，一元二次方程根的判别式考查了3次，属基础题.某某五年中考真题及模拟一元二次方程的解法1．(2014某某中考)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式时，对于b 2－4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为： x 2＋b a x ＝－c a，第一步x 2＋b a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝－c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2，第二步⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2，第三步 x ＋b 2a ＝b 2－4ac 4a (b 2－4ac ＞0)，第四步 x ＝－b ＋b 2－4ac 2a.第五步(1)嘉淇的解法从第__四__步开始出现错误；事实上，当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac2a__．(2)用配方法解方程：x 2－2x －24＝0. 解：x 1＝6，x 2＝－4.2．(2017某某中考模拟)在解方程(x ＋2)(x －2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x ＋2＝1，x －2＝5，得方程的根x 1＝－1，x 2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x 2－9＝0，再分解因式，即(x ＋3)(x －3)＝0，得方程的根x 1＝－3，x 2＝3.对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是(A )A ．甲错误，乙正确B ．甲正确，乙错误C ．甲、乙都正确D ．甲、乙都错误3．(2016某某二十八中一模)现定义运算“★”，对于任意实数a ，b ，都有a★b＝a 2－3a ＋b ，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x 的值是(B )A ．－4或－1B ．4或－1C ．4或－2D ．－4或2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系4．(2015某某中考)若关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0不存在实数根，则a 的取值X 围是(B )A ．a<1B ．a>1C ．a ≤1D ．a ≥15．(2016某某中考)a ，b ，c 为常数，且(a －c)2>a 2＋c 2，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．有一根为06．(2016某某十三中三模)已知关于x 的方程2x 2－mx －6＝0的一个根是2，则m ＝__1__，另一个根为__－32__．7．(2017某某二模)对于实数a ，b ，定义新运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b），ab －b 2（a ＜b ），例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.(1)求(－5)*(－3)的值；(2)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个根，求x 1*x 2的值． 解：(1)∵－5<－3，∴(－5)*(－3)＝(－5)×(－3)－(－3)2＝6； (2)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2或3； ①2*3＝2×3－9＝－3；②3*2＝32－2×3＝3.一元二次方程的应用8．(2016某某25中模拟)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为(D )A ．48(1－x)2＝36B ．48(1＋x)2＝36C ．36(1－x)2＝48D ．36(1＋x)2＝489．(2016某某十八县重点中学一模)为落实“两免一补”政策，某市2014年投入教育经费2 500万元，预计2016年要投入教育经费3 600万元．已知2014年至2016年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2015年该市要投入的教育经费为__3__000__万元．10．(2017某某中考)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产，，每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x(件)成反比．经市场调研发现，月需求量x 与月份n(n 为整数，1≤n ≤12)符合关系式x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)(k 为常数)，且得到了表中的数据．月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月)120100(1)求y 与x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；(2)求k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；(3)在这一年12个月中，若第m 个月和第(m ＋1)个月的利润相差最大，求m. 解：(1)由题意，设y ＝a ＋bx ，由表中数据得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a ＋b120，12＝a ＋b100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝600，∴y ＝6＋600x，由题意，若12＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋600x ，则600x ＝0，∵x ＞0， ∴600x＞0， ∴不可能；(2)将n ＝1，x ＝120代入x ＝2n 2－2kn ＋9(k ＋3)，得120＝2－2k ＋9k ＋27， 解得k ＝13， ∴x ＝2n 2－26n ＋144，将n ＝2，x ＝100代入x ＝2n 2－26n ＋144也符合， ∴k ＝13；由题意，得18＝6＋600x ，解得x ＝50，∴50＝2n 2－26n ＋144，即n 2－13n ＋47＝0， ∵Δ＝(－13)2－4×1×47＜0，∴方程无实数根， ∴不存在；(3)设第m 个月的利润为W ，W ＝x(18－y)＝18x －x ⎝⎛⎭⎪⎫6＋600x＝12(x －50) ＝24(m 2－13m ＋47)，∴第(m ＋1)个月的利润为W′＝24[(m ＋1)2－13(m ＋1)＋47]＝24(m 2－11m ＋35)， 若W≥W′，W －W′＝48(6－m)，m 取最小值1时，W －W′取得最大值240；若W ＜W′，W ′－W ＝48(m －6)，由m ＋1≤12知m 取最大值11时，W ′－W 取得最大值240； ∴m ＝1或11.,中考考点清单一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)__．【易错警示】判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．一元二次方程的解法2.直接开 平方法 这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程. 配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x ＝－b ±b 2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)__，适用于所有的一元二次方程.因式分 解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.【温馨提示】关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解法： (1)当b ＝0，c ≠0时，x 2＝－c a ，考虑用直接开平方法解；(2)当c ＝0，b ≠0时，用因式分解法解； (3)当a ＝1，b 为偶数时，用配方法解简便．一元二次方程根的判别式3．根的判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的情况可由__b 2－4ac__来判定，我们将__b 2－4ac__称为根的判别式．4．判别式与根的关系：(1)b 2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根； (2)b 2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b 2－4ac ＝0⇔方程有__两个相等__的实数根．【易错警示】(1)一元二次方程有实数根的前提是b 2－4ac≥0；(2)当a ，c 异号时，Δ>0.一元二次方程的应用5．列一元二次方程解应用题的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论． 6．一元二次方程应用问题常见的等量关系： (1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用， 利润率＝利润÷进货价．,中考重难点突破一元二次方程的解法【例1】(2016某某十七中二月调研)解下列方程：(1)(x －2)2＝12；(2)x 2－4x ＋1＝0；(3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2＝2x.【解析】(1)可以用直接开平方法解；(2)因为b ＝－4是偶数，可以用配方法解；(3)因为b ＝－3是奇数，配方法解较复杂，可用公式法；(4)直接因式分解．【答案】解：(1)直接开平方，得x －2＝±22，即x 1＝2＋22，x 2＝2－22； (2)配方，得(x －2)2＝3，直接开平方，得x －2＝±3，即x 1＝2＋3，x 2＝2－3； (3)∵a＝1，b ＝－3，c ＝1，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5>0，∴x ＝－（－3）±52×1，即x 1＝3＋52，x 2＝3－52； (4)分解因式，1＝2，x 2＝0.1．方程(x －3)(x ＋1)＝0的解是(C )A ．x ＝3B ．x ＝－1C ．x 1＝3，x 2＝－1D ．x 1＝－3，x 2＝12．(2016某某路北一模)用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为(A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝13．用公式法解方程： (1)(某某中考)x 2－3x ＋2＝0； 解：x 1＝1，x 2＝2；(2)(某某中考)x 2－1＝2(x ＋1)．解：x 1＝－1，x 2＝3.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【例2】(2017某某中考)若关于x 的不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0根的情况是(A )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定【解析】解不等式x －a 2＜1得x ＜1＋a 2，而不等式x －a 2＜1的解集为x ＜1，所以1＋a2＝1，解得a ＝0，又因为Δ＝a 2－4＝－4，所以关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根．故选C .【答案】C4．(2016某某丰润二模)方程x 2－x ＋3＝0根的情况是(D )A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5．(2016某某博野模拟)已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值X 围是(C )A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a≠1D ．a<－26．(2017某某中考)已知a ，b ，c 为常数，点P(a ，c)在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是(B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断一元二次方程的应用【例3】(2017达州中考)某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，，设可变成本平均每年增长的百分率为x.(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为________万元；，求可变成本平均每年增长的百分率．【解析】(1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6(1＋x)万元，则第三年的可变成本为2.6(1＋x)2万元；(2)根据养殖成本＝固定成本＋可变成本建立方程即可．【答案】(1)2.6(1＋x)2；(2)由题意，得4＋2.6(1＋x)2＝7.146.解得x1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.【例4】有一人患了流感，经过两轮传染后共有256人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染(A)A．17人B．16人C．15人D．10人【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人；患流感的人把病毒传染给别人，自己也包括在总数中，第二轮作为传染源的是(x＋1)人，每人传染x个人，则传染x(x＋1)人．两轮后得流感的总人数为：一开始的1人＋第一轮传染的x个人＋第二轮传染的x(x＋1)人，列方程：1＋x＋x(1＋x)＝256，解得x1＝15，x2，所以x＝－17不合题意，应舍去；取x＝15，故选C.【答案】C【例5】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，正常销售情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【解析】设降价x元，则每件盈利(50－x)元，数量增多2x件，再由单件利润×数量＝2 100即可．【答案】解：设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利(50－x)元．由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100.整理，得x2－35x＋300＝0.解得x1＝15，x2＝20.∵要尽快减少库存，∴x＝15不合题意，舍去，只取x＝20.答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．【例6】(2017某某中考)如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a m.(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽．【解析】(1)用含a 的式子先表示出花圃的长和宽，再利用矩形面积公式列出式子即可；(2)甬道所占面积等于大长方形空地面积减去中间小花圃的面积，再根据甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可．【答案】解：(1)(60－2a)(40－2a)； (2)由题意，得60×40－(60－2a)(40－2a)＝38×60×40，解得a 1＝5，a 2＝45(舍去)． 答：此时甬道的宽为5 m .7．，2016年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x ，则可以列出方程为(A )A (1＋x)2＝4B ．(2.5＋x%)2＝4C (1＋x)(1＋2x)＝4D (1＋x%)2＝48．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了 1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为(C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(2017原创)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，问每轮传染中平均一个人传染__7__word个人．如果不及时控制，第三轮又将有__448__人被传染．10．为了绿化校园环境，学校向某园林公司购买了一批树苗．园林公司规定；如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，那么该校共购买了多少棵树苗？解：设该校共买了x棵树苗．120×60＝7 200(元)．∵7 200＜8 800，∴购买树苗超过60棵；x[120－0.5(x－60)]＝8 800，x1＝220，x2＝80，当x＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，∴x＝220舍去．∴x＝80.答：该校共购买了80棵树苗．11 / 11。

第四节一元一次不等式(组)及应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分201726 (3) 一元一次不等式的应用以销售问题为背景，考查一元一次不等式解决实际问题3 32016年未考查201523 一元一次不等式的应用以往水容器中装球为背景考查列一次函数表达式和列一元一次不等式解决实际问题10 102014 6 一元一次不等式的解法一元一次不等式的解集在数轴上的表示(结合一次函数图像所经过象限求出未知系数的取值范围)2 2201321(2) 一元一次不等式的解法新定义下求一元一次不等式解集，并将解集在数轴上表示出来5 5命题规律纵观河北近五年中考，一元一次不等式(组)在中考中每年最多设一道题，分值2～10分，题型有两种，选择、解答．其中一元一次不等式的解法在选择题中考了1次，解答题中考了1次，而一元一次不等式的应用在2015、2017年各考查了1次.河北五年中考真题及模拟一元一次不等式(组)的解法1．(2013河北中考)定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．解：由3⊕x小于13，得3(3－x)＋1<13，去括号，得9－3x＋1＜13，移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.在数轴上表示如图．一元一次不等式的应用2．(2015河北中考)水平放置的容器内原有210 mm 高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升 4 mm ，每放入一个小球水面就上升 3 mm ，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm .(1)只放入大球，且个数为x 大，求y 与x 大的函数关系式；(不必写出x 大的范围) (2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x 小． ①求y 与x 小的函数关系式；(不必写出x 小的范围) ②限定水面高不超过260 mm ，最多能放入几个小球？解：(1)y ＝4x 大＋210；(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234， ∴y ＝3x 小＋234；②依题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823，∵x 小为自然数，∴x 小最大为8， 即最多能放入8个小球．,中考考点清单)不等式的概念及性质1．不等式：一般地，用不等号连接的式子叫做__不等式__．2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的__值__叫做不等式的解；一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的__解集__．3．不等式的基本性质：性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向__不变__；性质2：不等式两边同乘(或除以)以一个正数，不等号的方向__不变__；性质3：不等式两边同乘(或除以)以一个负数，不等号的方向__改变__．【温馨提示】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．一元一次不等式的解法及数轴表示4．一元一次不等式：只含有__一个__未知数，且未知数的次数是__1次__的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是__ax＋b>0__或ax＋b<0(a≠0)．5．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)__合并同类项__；(5)系数化为1.6．一元一次不等式的解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示__x<a____x>a____x≤a____x≥a__(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．(2)解决实际应用题：应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“等于”“大于”“小于”等关键词．注意分析题中的不等关系，列出不等式(组)，然后根据不等式(组)的解法，结合题意求解．一元一次不等式组的解法及数轴表示7．一元一次不等式组：含有相同未知数的若干个__一元一次__不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．8．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的__解集__的公共部分．9．解一元一次不等式组的步骤：(1)先求出各个不等式的__解集__；(2)再利用数轴找它们的__公共部分__；(3)写出不等式组的解集．10．几种常见的不等式组的解集(a<b ，且a ，b 为常数)如表：不等式 组(其中 a<b)图示 解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≥b__x ≥b__ 同大取大⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤b__x ≤a__ 同小取小⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤b__a ≤x ≤b__大小、小大中间找⎩⎪⎨⎪⎧x≤a，x ≥b__空集__小小、大大找不到11.__解集____特殊__ 列不等式(组)解应用题12．列不等式(组)解应用题的步骤：(1)找出实际问题中的__不等__关系，设定未知数，列出不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．,中考重难点突破一元一次不等式(组)的解法 【例1】(1)(2017石家庄中考模拟)解不等式2x －13－5x ＋12≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；(2)求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －7<2，①2x ＋3≥1②的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来．【解析】解一元一次不等式(组)时，一般是先分别求出每个不等式的解集，再借助数轴找出它们的公共部分，这样就可以确定出不等式组的解集．【答案】解：(1)去分母，得2(2x －1)－3(5x ＋1)≤6. 去括号，得4x －2－15x －3≤6. 移项，得4x －15x≤6＋2＋3. 合并同类项，得－11x≤11. 系数化为1，得x≥－1.这个不等式的解集在数轴上表示如下：(2)解不等式①，得x<3.解不等式②，得x≥－1.∴不等式组的解集为：－1≤x<3.解集在数轴上表示为：1．若x＞y，则下列式子中错误的是( D) A．x－3＞y－3B．3x＞3yC ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y2．(2017福州中考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －3＞0的解集为(B )A ．x ＞－1B ．x ＞3C ．x ＜－1D ．x ＜33．(2016石家庄长安质检)把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是( A )A .⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，x ≤2B .⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x<2C .⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≤2D .⎩⎪⎨⎪⎧x<－1，x ≥2 根据不等式组的整数解确定字母的取值范围【例2】关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞4（x －1），x ＜m的解集为x ＜3，那么m 的取值范围是( D )A ．m ＝3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥3【解析】给出不等式组的解集，确定其中一个不等式的解集，最有效的方法是用数轴． 【答案】D4．(2016沧州九中模拟)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a>0，1－2x>x －2无解，则a 的取值范围为__a ≥1__． 一元一次不等式的应用【例3】(2017邯郸中考模拟)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买________瓶甲饮料．【解析】买东西时，首先要保证“钱够用”，即花的钱不能超过50元；还应注意，用不等式(组)解决问题，设未知数时，不要加“最多”．设小宏买x 瓶甲饮料，则买乙饮料(10－x)瓶．则7x ＋4(10－x)≤50，解得x≤313.所以小宏最多能买3瓶甲饮料． 【答案】35．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准见表：一户居民一个月用电量的范围电费价格(单位：元/千瓦时)不超过160千瓦时的部分x超过160千瓦时的部分x＋0.15(1)求x和超出部分电费单价；(2)若该户居民六月份所缴电费不低于75元且不超过84元，求该户居民六月份的用电量范围．解：(1)根据题意，得160x＋(190－160)(x＋0.15)＝90，解得x＝0.45，则超出部分的电费单价为x＋0.15＝0.6元/千瓦时；(2)设该户居民六月份的用电量为a千瓦时．则75≤160×0.45＋0.6(a－160)≤84，解得165≤a≤180.则该户居民六月份的用电量范围为165千瓦时到180千瓦时．。

河北省中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不循环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0 2、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

第三节　分式方程及应用河北五年中考命题规律年份题号考查点考查内容分值总分201713分式方程用分式方程的形式考查分式计算22201612列分式方程以选择题的形式考查学生根据实际问题列出分式方程的能力222015、2014年未考查20137分式方程的实际应用以修路为背景，考查分式方程的应用33命题规律纵观河北近五年中考，分式方程的解法考查了1次，分式方程的应用考查了2次，在分式方程及应用考点中，最多设1道题，分值2～8分．题型有选择、解答题两种，难度不大. 河北五年中考真题及模拟 　解分式方程1．(2017河北中考)若＝________＋，则________中的数是(　B )3－2x x －11x －1A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．任意实数　分式方程的实际应用2．(2016河北中考)在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是(　B )A .＝－5 B .＝＋513x 18x 13x 18x C .＝8x －5 D .＝8x ＋513x 13x 3．(2013河北中考)甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m ．依题意，下面所列方程正确的是(　A )A .＝B .＝120x 100x －10120x 100x ＋10C .＝ D .＝120x －10100x 120x ＋10100x4．(2016邯郸二十五中模拟)端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？解：设咸鸭蛋的价格是x 元，则粽子的价格是(x ＋1.8)元．依题意，得＝.30x ＋1.812x 解得x ＝1.2，经检验，x ＝1.2是原方程的解．∴x ＋1.8＝3.答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元．,中考考点清单 分式方程的概念1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．　分式方程的解法2．解法步骤：(1)去分母：将方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)__检验__．【温馨提示】找最简公分母的方法：(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．3．检验方法：(1)利用方程的解的概念进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__．【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．　分式方程的应用4．列分式方程解应用题的六个步骤：(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；(6)答：写出答案．5．常见关系：分式方程的应用题主要涉及工作量问题、行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．如：工作时间＝____，时间＝____．工作量工作效率路程速度【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．,中考重难点突破 　分式方程的解法【例1】小明解方程－＝1的过程如图．1x x －2x 解：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝1.①去括号，得1－x －2＝1.②合并同类项，得－x －1＝1.③移项，得－x ＝2.④解得x ＝－2.⑤∴原方程的解为x ＝－2.⑥请指出他解答过程中的错误．并写出正确的解答过程．【解析】本题考查了分式方程的解法，注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，注意，去分母时切勿漏乘；(2)解分式方程一定要验根．【答案】解：小明的解法有三处错误．步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥少检验．正确解法为：方程两边同乘x ，得1－(x －2)＝x .去括号，得1－x ＋2＝x .移项，得－x －x ＝－1－2.合并同类项，得－2x ＝－3.系数化为1，得x ＝.32经检验，x ＝是分式方程的解．321．(2017陕西中考)分式方程＝的解是(　A )1x ＋112x A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－22．分式方程＝的解是__x ＝4__．4x 3x －1　含参数的分式方程【例2】(巴中中考)若分式方程－＝2有增根，则这个增根是________．x x －1m1－x 【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，由分母x －1＝0，得x ＝1，这就是方程的增根．(1)增根的求法：令最简公分母为0得到关于未知数的一元一次方程，解方程求得的解即为增根；(2)求有增根的分式方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程，求解关于参数的方程即可．【答案】x ＝13．(2017济宁中考)若关于x 的分式方程＋＝2有增根，则m 的值是(　A )2x －3x ＋m3－x A ．m ＝－1 B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝34．(2016石家庄新华模拟)若关于x 的分式方程＝1的解为正数，则m 的取值范围是(　D )m ＋2x －1A ．m >3 B ．m ≠－2C ．m >－3且m ≠1D ．m >－3且m ≠－25．已知方程＝1的解是k ，求关于x 的方程x 2＋k x ＝0的解．1x －1解：由＝1，1x －1解得x ＝2，经检验x ＝2是原方程的解，∴k ＝2，∴x 2＋2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2.6．已知是二元一次方程组的解，求方程－＝的解．{x ＝2，y ＝1){mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1)m 2x －4x x －21n 解：将代入方程组，得解得将代入所求方程，得－＝{x ＝2，y ＝1){2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，){m ＝3，n ＝2，){m ＝3，n ＝2，)32x －4x x －2，去分母，得3－2x ＝x －2，解得x ＝，经检验，x ＝是原分式方程的解．125353　分式方程的应用【例3】(2017丹东中考)从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180 km ，乘坐普通列车的路程为240 km .高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2 h ．高速列车的平均速度是每小时多少千米？【解析】抓住等量关系t 高速＝t 普－2用代数式表达好相应的量即可．【答案】解：设高速列车平均速度为3x km /h ，普通列车平均速度为x km /h .依题意，得－2＝，240x 1803x 去分母，得240－2x ＝60，解得x ＝90，∴3x ＝90×3＝270.答：高速列车的平均速度是每小时270 km .7．(2016石家庄四十三中一模)甲种污水处理器处理25 t 的污水与乙种污水处理器处理35 t 的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20t 的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为xt /h ，依题意列方程正确的是(　B )A .＝B .＝25x 35x －2025x 35x ＋20C .＝ D .＝25x －2035x 25x ＋2035x8．(2017沧州中考模拟)甲、乙两人做某种机器零件．已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做多少个．设甲每小时做x 个零件，则列出的方程为__＝__．90x 60x －69．甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，甲、乙每小时各做多少面彩旗？解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做(x ＋5)面彩旗．依题意，得＝，解得x ＝25.60x ＋550x 经检验，x ＝25是原方程的解．x ＋5＝25＋5＝30.答：甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．10．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元．解：设第一批盒装花的进价是每盒x 元．则2×＝，解得x ＝30.3 000x 5 000x －5经检验，x ＝30是原方程的解．答：第一批盒装花每盒的进价是30元．。

第三节 分式方程及应用解分式方程(1次)1．(2019河北19题8分)解方程：1x －1＝2x ＋1.解：方程两边都乘以(x －1)(x ＋1)，得x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3.经检验，当x ＝3时，(x －1)(x ＋1)＝8≠0.∴x＝3是原分式方程的解．分式方程的实际应用(3次)2．(2019河北12题2分)在求3x 的倒数的值时，嘉淇同学将3x 看成了8x ，她求得的值比正确答案小5.依上述情形，所列关系式成立的是( B )A.13x ＝18x －5B.13x ＝18x ＋5 C.13x ＝8x －5 D.13x＝8x ＋5 3．(2019河北7题3分)甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路x m ．依题意，下面所列方程正确的是( A )A.120x ＝100x －10B.120x ＝100x ＋10C.120x －10＝100xD.120x ＋10＝100x4．[2019河北22(1)题4分]甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40 min 完工；若甲、乙共同整理20 min 后，乙需再单独整理20 min 才能完工．(1)问乙单独整理多少分钟完工？(2)若乙因工作需要，他的整理时间不超过30 min ，则甲至少整理多少分钟才能完工？解：(1)设乙单独整理x min 完工，根据题意得：2040＋20＋20x＝1，解得x ＝80.经检验，x ＝80是原分式方程的解．∴乙单独整理80 min 完工；(2)25 min.5．(2019原创)对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b ＝1b －1a，若2⊗(2x －1)＝1，则x 的值为( A )A.56B.54C.32 D ．－166．(2019石家庄新华区模拟)若关于x 的分式方程m ＋2x －1＝1的解为正数，则m 的取值范围是( D )A ．m>3B ．m ≠－2C ．m>－3且m≠1D ．m>－3且m≠－27．(2019河北中考说明)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，求方程m 2x －4－x x －2＝1n 的解．解：将x ＝2，y ＝1代入方程组得：⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝8，2n －m ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2，将m ＝3，n ＝2代入所求方程得：32x －4－x x －2＝12，去分母得：3－2x ＝x －2，解得x ＝53，经检验，当x ＝53时，2x －4＝－23≠0，所以x ＝53是原分式方程的解．8．(2019邯郸二十五中模拟)端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋(每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同)．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同．粽子与咸鸭蛋的价格各是多少？解：设咸鸭蛋的价格是x 元，则粽子的价格是(x ＋1.8)元，依题意，得30x ＋1.8＝12x.解得x ＝1.2，经检验，x ＝1.2是原方程的解． ∴x ＋1.8＝3.答：粽子与咸鸭蛋的价格分别是3元和1.2元．9．(2019唐山丰润区二模)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？解：(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，由题意可得：13 200x ＝28 8002x－10，解得x ＝120，经检验，x ＝120是原方程的根． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件； (2)设每件衬衫的标价是y 元，由题意可得：（120＋2×120－50）y ＋50×0.8y－13 200－28 80013 200＋28 800≥25%，∴y ≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．中考考点清单)分式方程的概念1．分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．【温馨提示】“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．分式方程的解法2．解法步骤(1)去分母：给方程两边都乘以__最简公分母__，把它化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)__检验__．【温馨提示】找最简公分母的方法：(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．3．检验方法(1)利用方程的解的概念进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入__最简公分母__，看计算结果__是否为0__，不为0就是原方程的根；若为0，则为增根，必须舍去；(3)增根：当分母的值为0时，分式方程__无解__，这样的根叫做分式方程的__增根__．【温馨提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．分式方程的应用4．列分式方程解应用题的六个步骤(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系； (2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解；(5)检：双检验．A.检验是否是分式方程的解；B.检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 5．常见关系分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等，每个问题中涉及三个量的关系．如：工作时间＝__工作量工作效率__，时间＝__路程速度__．【方法点拨】列分式方程解应用题时，要验根作答，不但要检验是否为方程的增根，还要检验是否符合题意，即“双重验根”．,中考重难点突破)分式方程的解法【例1】(2019深圳中考)解方程：x 2x －3＋53x －2＝4.【学生解答】去分母，得x(3x －2)＋5(2x －3)＝4(2x －3)(3x －2)，化简，得：7x 2－20x ＋13＝0，解得x 1＝1，x 2＝137.【点拨】分式方程――→去分母转化整式方程→验根，去分母时防漏乘．1．(2019济宁中考)解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3时，去分母后变形正确的为( D )A ．2＋(x ＋2)＝3(x －1)B ．2－x ＋2＝3(x －1)C ．2－(x ＋2)＝3D ．2－(x ＋2)＝3(x －1)2．(2019无锡中考)分式方程4x ＝3x －1的解是__x ＝4__．含参数的分式方程【例2】(2019巴中中考)若分式方程x x －1－m1－x＝2有增根，则这个增根是________．【解析】本题主要考查了增根的概念：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，由分母x －1＝0，得x ＝1，这就是方程的增根．【学生解答】x ＝1【方法总结】(1)增根的求法：令最简公分母为0得到关于未知数的一元一次方程，解方程求得的解即为增根；(2)求有增根的分式方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程，求解关于参数的方程即可．3．(2019黑龙江中考)关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝__0或－4__．分式方程的应用【例3】(2019邯郸二中模拟)自2019年12月启动“绿茵行动，青春聚力”邯郸自青林植树活动以来，某单位筹集7 000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3 000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵数．【学生解答】设樱花树的单价为x 元，根据题意，得 3 000（1＋50%）x ＋7 000－3 000x ＝30，解得x ＝200，经检验，x ＝200是所列分式方程的根且符合题意，则7 000－3 000x ＝4 000200＝20(棵)．答：樱花树的单价是200元，棵数为20棵．【点拨】审题确定等量关系→设未知数→列方程→解方程根，判断根是否合理→确定根并作答．4．(2019河北石家庄四十三中一模)甲种污水处理器处理25 t 的污水与乙种污水处理器处理35 t 的污水所用时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20 t 的污水，求两种污水处理器的污水处理效率．设甲种污水处理器的污水处理效率为x t/h ，依题意列方程正确的是( B )A.25x ＝35x －20B.25x ＝35x ＋20C.25x －20＝35xD.25x ＋20＝35x5．(2019河北沧州八中二模)某农场开挖一条长480 m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖20 m ，结果提前4天完成任务，如果设原计划每天挖x m ，那么根据题意可列方程为__480x ＋20＋4＝480x__．6．(2019苏州中考)甲、乙两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗．已知甲每小时比乙多做5面彩旗，甲做60面彩旗与乙做50面彩旗所用时间相等，甲、乙每小时各做多少面彩旗？解：设乙每小时做x 面彩旗，则甲每小时做(x ＋5)面彩旗，依题意有60x ＋5＝50x，解得x ＝25.经检验，x ＝25是原方程的解．x ＋5＝25＋5＝30.故甲每小时做30面彩旗，乙每小时做25面彩旗．中考备考方略)1．(2019宜昌中考)分式方程2x －1x －2＝1的解为( A )A ．x ＝－1B ．x ＝12C ．x ＝1D ．x ＝22．(2019邯郸二十五中模拟)分式方程1x －1＝3x 2－1的解是( C )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝2D ．无解3．(2019白银中考)若x ＝－1是方程a x －1－3x＝0的根，则a 的值为( A )A ．6B ．－6C ．3D ．－34．(2019凉山中考)关于x 的方程3x －2x ＋1＝2＋mx ＋1无解，则m 的值为( A )A ．－5B ．－8C ．－2D ．55．(2019临夏中考)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同，设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( A )A.800x ＋50＝600xB.800x －50＝600xC.800x ＝600x ＋50D.800x ＝600x －506．(2019唐山路北区二模)甲乙两地相距420 km ，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的 1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了 2 h ．设原来的平均速度为x km/h ，可列方程为( B )A.420x ＋4201.5x ＝2B.420x －4201.5x＝2C.x 420＋1.5x 420＝2 D.x 420－1.5x 420＝2 7．(2019湖州中考)方程2x －1x －3＝1的根是x ＝__－2__．8．(2019泸州中考)分式方程4x －3－1x ＝0的根是__x ＝－1__．9．(2019东营中考)若分式方程x －ax ＋1＝a 无解，则a 的值为__±1__．10．(2019石家庄四十二中模拟)有两块面积相同的蔬菜试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获蔬菜1 500 kg 和2 100 kg.已知第二块试验田每亩的产量比第一块多200 kg.若设第一块试验田每亩的产量为x kg ，则根据题意列出的方程是__1 500x ＝2 100x ＋200__．11．(2019厦门中考)某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产__15__个零件．12．解方程：(1)(2019连云港中考)2x －11＋x＝0；解：去分母，得2＋2x －x ＝0， 解得x ＝－2，经检验，x ＝－2是分式方程的解．(2)(2019乐山中考)1x －2－3＝x －12－x.解：方程两边同乘x －2，得1－3(x －2)＝－(x －1)，即1－3x ＋6＝－x ＋1， 整理得，－2x ＝－6， 解得x ＝3，经检验，当x ＝3时，x －2≠0， 则原方程的解为x ＝3.13．(2019河北考试说明)沧州建城2 500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1 200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，求原计划每天栽树多少棵？解：设原计划每天栽树x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)x ，由题意得，1 200x－1 200（1＋20%）x＝2，解得x ＝100，经检验，x ＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天栽树100棵．14．(2019威海中考)某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．解：设乙班的达标率是x ，则甲班的达标率为(x ＋6%)，依题意得：48x ＋6%＝45x，解得x ＝0.9，经检验，x ＝0.9是所列方程的根，并符合题意． 答：乙班的达标率为90%.15．(2019重庆中考)从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3，x －a<0无解，且使关于x 的分式方程x x －3－a －23－x＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( B )A ．－3B ．－2C ．－32 D.1216．(2019德阳中考)已知方程3－a a －4－a ＝14－a ，且关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>a ，x≤b 只有4个整数解，那么b 的取值范围是( D )A ．－1<b≤3B ．2<b ≤3C ．8≤b<9D ．3≤b<417．(2019青岛中考)A ，B 两地相距180 km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，从而A 地到B 地的时间缩短了1 h ．若设原来的平均车速为x km/h ，则根据题意可列方程为( A )A.180x －180（1＋50%）x ＝1B.180（1＋50%）x －180x ＝1C.180x －180（1－50%）x ＝1D.180（1－50%）x －180x＝1 18．(2019原创)若关于x 的方程ax x －2－1＝4x －2无解，则a 的值是__1或2__．19．(2019鄂州中考)解方程：x ＋1x 2－x －13x ＝x ＋53x －3.解：x ＝－4.20．(2019聊城中考)为加快城市群的建设与发展，在A ，B 两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120 km 缩短至114 km ，城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快110km ，运行时间仅是现行时间的25，求建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间．解：设城际铁路现行速度是x km/h.由题意得：120x ×25＝114x ＋110.解得x ＝80.经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意． 则120x ×25＝12080×25＝0.6(h)． 答：建成后的城际铁路在A ，B 两地的运行时间是0.6 h.21．(2019常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．(1)这两次各购进这种衬衫多少件？(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 950元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？解；(1)设第一批衬衫每件进价是x 元，则第二批每件进价是(x －10)元，根据题意可得：4 500x ×12＝2 100x －10，解得x ＝150， 经检验，x ＝150是原方程的解．∴第一批衬衫每件进价是150元，第二批每件进价是140元，4 500150＝30(件)，2 100140＝15(件)．答：第一批衬衫进了30件，第二批进了15件；(2)设第二批衬衫每件售价y 元，根据题意可得：30×(200－150)＋15(y －140)≥1 950， 解得y≥170.答：第二批衬衫每件至少要售170元．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在5×5的方格纸中将图①中的图形N平移到如图②所示的位置，那么下列平移正确的是A．先向下移动1格，再向左移动1格B．先向下移动1格，再向左移动2格C．先向下移动2格，再向左移动1格D．先向下移动2格，再向左移动2格2．2018年是打赢脱贫攻坚战三年行动起步之年.国家统计局2月15日发布的数据显示，2018年年末，全国农村贫困人口比上年末减少1386万人，其中1386万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝42，则线段ON的长为（）A．2 B．6C．22D．234．下列运算正确的是（）A. B. C. D.5．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米．现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒．若∠BAC＝α，则此车的速度为（）A.5tanα米/秒B.80tanα米/秒C.米/秒D.米/秒6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③a＜﹣23；④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1和x2，则（x1+1）（x2﹣3）＜0，正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．在数轴上表示不等式组10420xx+>⎧⎨-≥⎩的解集，正确的是A．B．C．D．8．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为（）A．a B．b C．c D．d9．电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（）A．10.9×104B．1.09×104C．10.9×105D．1.09×10510．如图，函数y＝2x（x＞0）、y＝6x（x＞0）的图象将第一象限分成了A、B、C三个部分．下列各点中，在B部分的是（）A.（1，1）B.（2，4）C.（3，1）D.（4，3）11．已知，⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l 与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．平行12．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（）A．141°B．144°C．147°D．150°二、填空题13．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．14．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．15．因式分解m3﹣4m＝_____．16．若23x-在实数范围内有意义,则x的取值范围是_________．17．抛物线y＝﹣2（x+2）2+4的顶点坐标是_____．18．计算41233⎛⎫-⨯⎪⎪⎝⎭的结果是___．三、解答题19．如图，△ABC（∠B＞∠A）．（1）在边AC上用尺规作图作出点D，使∠ADB+2∠A＝180°（保留作图痕迹）；（2）在（1）的情况下，连接BD，若CB＝CD，∠A＝35°，求∠C的度数．20．（1）计算112cos45(31)|12|3-︒⎛⎫++---⎪⎝⎭（2）解分式方程：177xx x---＝221．如图，抛物线y＝﹣13x2+bx+c经过点B（23，0）、C（0，2）两点，与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）点D 从点C 出发沿线段CB 以每秒3个单位长度的速度向点B 运动，作DE ⊥CB 交y 轴于点E ，以CD 、DE 为边作矩形CDEF ，设点D 运动时间为t （s ）． ①当点F 落在抛物线上时，求t 的值；②若点D 在运动过程中，设△ABC 与矩形CDEF 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．22．如图，直线y ＝﹣x+4分别交x 轴、y 轴于A 、C 两点，抛物线y ＝﹣x 2+mx+4经过点A ，且与x 轴的另一个交点为点B ．连接BC ，过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E 是抛物线上的点，求满足∠ECD ＝∠BCO 的点E 的坐标；（3）点M 在y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线AC 上，点P 为第一象限内的抛物线上一点，若以点C 、M 、N 、P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 23．如图，四边形ABCD 是矩形（1）尺规作图：在图8中，求作AB 的中点E （保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CE ，DE,若2,3AB AD ==, 求证：CE 平分∠BED24．如图，半圆D 的直径AB ＝4，线段OA ＝7，O 为原点，点B 在数轴的正半轴上运动，点B 在数轴上所表示的数为m．（1）当半圆D与数轴相切时，m＝．（2）半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C．①直接写出m的取值范围是．②当BC＝2时，求△AOB与半圆D的公共部分的面积．（3）当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求tan∠AOB的值．25．某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查．问卷给出了五个社团供学生选择(学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选)，对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如下表：社团名称A 酵素制作社团B 回收材料小制作社团C 垃圾分类社团D 环保义工社团E 绿植养护社团人数10 15 5 10 5（1）根据以上信息填空：这5个数的中位数是______；扇形图中没选择的百分比为______；（2）①补全条形统计图；②若该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（3）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团．．．．．．的概率．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C B A C C A D C A B 二、填空题13．1 314．1715．m（m+2）（m﹣2）16．3x17．（﹣2，4）18．4三、解答题19．（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：见解析；（2）∠C＝40°．【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D即可；（2）依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．【详解】（1）作AB的垂直平分线，交边AC于D，如图所示：∴点D即为所求；（2）∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD，由（1）可得，DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝35°，∴∠CDB＝70°，∴△BCD中，∠C＝40°．【点睛】本题主要参考了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．20．(1)5;(2) x＝15【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂法则及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 （1）原式＝2×22+3+1﹣2+1＝5； （2）去分母得：x+1＝2x ﹣14， 解得：x ＝15，经检验x ＝15是分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（1）213233y x x =-++；（2）①433t =②233303S t t ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，2833435316339S t t t ⎛⎫=-+-<≤ ⎪ ⎪⎝⎭，2343434293S t t t ⎛⎫=-+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）把B 、C 的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）①点F 在抛物线上，作DG ⊥y 轴，FH ⊥y 轴，证明△CDG ≌△EFH ，根据全等三角形的性质有CG=HE ，GD=FH ，证明△CGD ∽△COB ，根据相似三角形的性质得到33,22CG HE t DG FH t ====，表示出OH 的长度，即可求得点F 的坐标，最后将点F 的坐标代入抛物线的解析式求解即可； ②当303t <≤时，S=CD•DE；当34339t <≤时，S=矩形DEGF 的面积-△GEH 的面积．当434393t <≤时，.BCNBDMS S S-=【详解】解：（1）把()()230,02B C ，，两点代入抛物线解析式得： 42302,b c c ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩解得：323b c ==，，则抛物线解析式为213233y x x =-++；（2）①如图1所示，点F 在抛物线上，作DG ⊥y 轴，FH ⊥y 轴，易得△CDG ≌△EFH ，即CG ＝HE ，GD ＝FH ， 由题意得：3CD EF t ==， ∵△CGD ∽△COB ，∴3,2423CG t GD== 即3322CG HE t DG FH t ====，，223,CE CD t ==∴OH ＝3322t -，即333 ,222F t t ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入抛物线解析式得： 233193322,23432t t ⎛⎫-+=-⨯+⨯-+ ⎪⎝⎭解得：t=433； ②分三种情况考虑：（i ）如图2所示，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为矩形CDEF ，在Rt △CDE 中，360CD t ECD =∠=︒，， ∴DE ＝3t ，2333330.3S t t t t ⎛⎫∴=⋅=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭ （ii ）如图3所示，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为五边形CDHGF ，由题意得：3CD t =，在Rt △CED 中，∠ECD ＝60°， ∴23CE t =， ∴232OE t =-，在Rt △OGE 中，2434GE OE t ==-，同理可得4343EH t =-，即()124323243GEHS GE EH t t ⎛⎫⋅=-⎪=- ⎪ ⎝⎭， 则()2438334323245316;333339S t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=-+-<≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⋅⎝⎭⎭=⎪-（iii ）如图4，△ABC 与矩形CDEF 重叠部分为四边形CDMN ，由题意得：243343,332CN CD t BD t ====-，， 在Rt △BMD 中， 43,3tDM -=则,BCNBDMS SS-=1122CN BC BD DM =⋅-⋅， ()143143443,2323t t -=⨯⨯-⨯-⨯ 2343434.293t t t ⎛⎫=-+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭ 【点睛】属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积等，综合性比较强，注意分类讨论.22．（1）y ＝﹣x 2+3x+4；（2）E 的坐标为E 1175,416⎛⎫ ⎪⎝⎭或1351,416⎛⎫⎪⎝⎭；（3）42﹣2或2． 【解析】 【分析】（1）利用直线方程求得点A 、C 的坐标，根据点A 、C 坐标求得抛物线解析式； （2）分点E 在CD 上方、点E 在CD 下方两种情况，分别求解即可； （3）分CM 为菱形的一条边、CM 为菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）y ＝﹣x+4，令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝4，则点A 、C 的坐标分别为（4，0）、（0，4）， 将点A 的坐标代入抛物线的表达式并解得：m ＝3， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+3x+4①， 令y ＝0，则x ＝﹣1或4，故点B （﹣1，0）； （2）①当点E 在CD 上方时，tan∠BCO＝14 OBOC，则直线CE的表达式为：y＝14x+4②，联立①②并解得：x＝0或114（舍去0），则点E（114，7516）；②当点E在CD下方时，同理可得：点E′（134，5116）；故点E的坐标为E（114，7516）或（134，5116）；（3）①如图2，当CM为菱形的一条边时，过点P作PQ∥x轴，∵OA＝OC＝4，∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，设点P（x，﹣x2+3x+4），则PM＝2PQ＝2x，C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，则PM＝PN，即：2x＝﹣x2+3x+4，解得：x＝0或4﹣2（舍去0），故菱形边长为2x＝42﹣2；②如图3，当CM为菱形的对角线时，同理可得：菱形边长为22；故：菱形边长为42﹣2或2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、菱形基本性质等，要注意分类求解、避免遗漏．23．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作AB的垂直平分线即可得到AB的中点E，E点即为所求;(2)先利用勾股定理求出DE=2，再利用平行线的性质可得出结果. 【详解】如图，四边形ABCD 是矩形了（1）正确作出AB 的垂直平分线 下结论：点E 为所求 （2）∵E 是AB 的中点 ∴AE=112AB = ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=90° AB=CD=2 ∴222DE AD AE =+=∴DE=DC ∴∠DEC=∠DCE ∵AB ∥CD ∴∠CEB=∠DCE ∴∠CEB=∠DEC ∴CE 平分∠BED 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 24．（1）33；（2）①3311m <<；②△AOB 与半圆D 的公共部分的面积为4+33π；（3）tan ∠AOB 的值为157或12541． 【解析】 【分析】（1）根据题意由勾股定理即可解答（2）①根据题意可知半圆D 与数轴相切时，只有一个公共点，和当O 、A 、B 三点在数轴上时，求出两种情况m 的值即可②如图，连接DC ，得出△BCD 为等边三角形，可求出扇形ADC 的面积，即可解答（3）根据题意如图1，当OB ＝AB 时，内心、外心与顶点B 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，列出方程求解即可解答如图2，当OB ＝OA 时，内心、外心与顶点O 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，列出方程求解即可解答 【详解】（1）当半圆与数轴相切时，AB ⊥OB ，由勾股定理得m ＝22227433OA AB -=-= ， 故答案为：33 ．（2）①∵半圆D 与数轴相切时，只有一个公共点，此时m ＝33， 当O 、A 、B 三点在数轴上时，m ＝7+4＝11，∴半圆D 与数轴有两个公共点时，m 的取值范围为3311m ＜＜． 故答案为：3311m ＜＜． ②如图，连接DC ，当BC ＝2时，∵BC ＝CD ＝BD ＝2， ∴△BCD 为等边三角形， ∴∠BDC ＝60°， ∴∠ADC ＝120°， ∴扇形ADC 的面积为212024=3603ADCS ⨯⨯=扇形ππ ，12332BDC S =⨯⨯=△ ， ∴△AOB 与半圆D 的公共部分的面积为4+33π； （3）如图1，当OB ＝AB 时，内心、外心与顶点B 在同一条直线上，作AH ⊥OB 于点H ，设BH ＝x ，则72﹣（4+x ）2＝42﹣x 2，解得x＝178，OH＝498，AH＝7158，∴tan∠AOB＝157，如图2，当OB＝OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，则72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，解得x＝87，OH＝417，AH＝1257，∴tan∠AOB＝125 41．综合以上，可得tan∠AOB的值为157或12541．【点睛】此题此题考勾股定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内心和外心，解题关键在于作辅助线25．（1）10，10%；（2）①见解析，②全校约有280名学生愿意参加环保义工社团；（3）见解析，14.【解析】【分析】对于（1），根据中位数的定义得到答案，利用各部分所占的百分比之和为1求出没有选择的百分比, 对于（2），①由（1）即可补全条形统计图，②利用样本估计总体的思想解决问题即可；对于（3），画出树状图将所有可能出现的情况表示出来，再找出这两名同学同时选择绿植养护社团的情况，根据概率的公式得到答案.【详解】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10．没有选择的占1-10%-30%-20%-10%-20%=10%故答案为：10；10%（2）①补全条形图如下：②1400×20%=280（名），∴全校约有280名学生愿意参加环保义工社团；（3）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示，画树状图如下：由树状图知共有4种等可能结果，其中两人同时选择绿植养护社团只有一种情况，∴两人同时选择绿植养护社团的概率为14．【点睛】此题考查扇形统计图，条形统计图，用列表法或画树状图求概率，解题关键在于看懂图中数据.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．正六边形的半径与边心距之比为（ ） A.1：B.：1C.：2D.2：2．已知关于x 的一元二次方程2904x x m +-+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A.2m <B.2m <-C.2m >-D.2m >3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，唯手熟尔．’”可见技能都能透过反复苦练而达至熟能生巧之境的．若铜钱是直径为4cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）A.13B.14C.1πD.14π4．观察“田”字中各数之间的关系：则a+d ﹣b ﹣c 的值为（ ） A.52 B.﹣52C.51D.515．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为点E ，连接CO ，AD ，若30BOC ∠=︒，则BAD ∠的度数是（ ）A ．30°B ．25︒C ．20︒D ．15︒6．如图，直线l 1，l 2都与直线l 垂直，垂足分别为M 、N ，MN=1．正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 在直线l 上，且点C 位于点M 处．将正方形 ABCD 沿l 向右平移，直到点A 与点N 重合为止．记点C 平移的距离为x ，正方形ABCD 的边位于l 1，l 2之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象大致为( )A．B．C．D．7．若x=2是关于x的一元一次方程ax－2=b的解，则3b－6a+2的值是( ). A．－8 B．－4 C．8 D．4 8．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a13=，b14=，c15=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个9．据国家统计局统计，2018年全国居民人均可支配手入元，比上年名义增长，扣除价格因素，实际增长.将用科学记数法表示为( )A. B. C. D.10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠．恰好得到菱形AECF．若AD＝3，则菱形AECF的面积为（）A．23B．43C．4 D．811．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝34，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB是（）（结果取整数，参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）。