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2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题（原卷版）1．(2021年高考全国乙卷理科)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． (1)证明：数列{}n b 是等差数列; (2)求{}n a 的通项公式．2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； (2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； ()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若53132S =,求λ. 9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．(I )求111101b b b ，，；(II )求数列{}n b 的前1 000项和．10．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式： (Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和11．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：1231112na a a ++<…+12．(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数． (1)证明:;(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．n a n n S 11a 0n a ≠11n n n a a S +=-λλ2nna a λn a。
2012年 .高考真题数学试题（文）解答题汇编—数列 19. （2012年广东文科卷）（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n =2S n -n 2，n ∈N ﹡。
（1） 求a 1的值；（2） 求数列{a n }的通项公式。
17. （2012年陕西文科卷）（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前n 项和为n S ，且534,,a a a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的公比；（Ⅱ）证明：对任意k N +∈，21,,k k k S S S ++成等差数列.（21）（2012重庆文科卷）（本小题满分12分，（I ）小问5分，（II ）小问7分。
）设数列n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠。
（I ）求证：n a 是首项为1的等比数列；（II ）若21a >-，求证：12()2n n S a a ≤+，并给出等号成立的充要条件。
（21）（2012安徽文科卷）（本小题满分13分）设函数）（x f =2x+x sin 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为}{n x .（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式； （Ⅱ）设}{n x 的前n 项和为n S ，求n S sin 。
1. （2012福建文科卷）（本小题满分12分）在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中，8,1411===b b a ，}{n a 的前10项和5510=S 。
（Ⅰ）求n a 和n b ；（Ⅱ）现分别从}{n a 和}{n b 的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。
19. (2012广东文科卷) (本小题满分14分)设数列{}n a的前n 项和为nS ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．(1)求1a 的值；(2)求数列{}n a的通项公式。
学 习 目 标1.知识与技能：了解作者辛弃疾的相关常识。
识记并理解生字、生词。
2.过程与方法：理解词的内容，并进行品味赏析。
背诵并默写本词。
3.情感态度价值观：理解作者对农村生活的赞美和不忘国家命运前途的思想。
重 点 难 点重点：词的上片“破”和“鸣”字非常传神，简要分析。
此词为辛弃疾罢官乡居期间所做，体会这首词表达的作者的心境。
难点：词的最后两句作者将“城中桃李”与“溪头荠菜花”对比，领悟这两句流露作者什么样的人格精神。
教 法 选 择朗读、讨论、交流课型实践课课 前准 备多媒体课件是否采用多 媒 体是教 学 时 数1课时教学 时数第 1课时备课 总数第21课时课 堂 教 学 过 程 设 计教学内容教师活动学生活动一、导入课题 ?播放儿歌《春天在哪里》，展示春天的风景图片。
（师）同学们，前面我们学习了描写春天美景的唐诗、宋词，今天我们再来学习辛弃疾描写春天的词，进一步寻找春天的足迹。
二、揭示目标（略） 三、指导学生学习 （一）借助工具书，了解作者 辛弃疾（1140－1207），南宋词人。
字幼安，号稼轩，历城（今山东济南）人。
出生时，山东已为金兵所占。
二十一岁参加抗金义军，不久归南宋，历任湖北、江西、湖南、福建、浙东安抚使等职。
任职期间，采取积极措施，招集流亡，训练军队，奖励耕战，打击贪污豪强，注意安定民生。
一生坚决主张抗金。
他所提出的抗金建议，均未被采纳，并遭到主和派的打击，曾长期落职闲居江西上饶、铅山一带。
晚年一度起用，不久病卒。
其词抒写力图恢复国家统一的爱国热情，倾诉壮志难酬的悲愤，对南宋上层统治集团的屈辱投降进行揭露和批判；也有不少吟咏祖国河山的作品。
艺术风格多样，而以豪放为主。
热情洋溢，慷慨悲壮，笔力雄厚，与苏轼并称为“苏辛”。
《破阵子·为陈同甫赋壮词以寄之》、《永遇乐·京口北固亭怀古》、《水龙吟·登建康赏心亭》、《菩萨蛮·书江西造口壁》等均有名。
数列数列的概念与简单表示法1．已知f(x)＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f(a n )．若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是________．等差数列及等差数列前n 项和2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *. (1)求a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 3．设函数f(x)＝(x －3)3＋x －1，{a n }是公差不为0的等差数列，f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 7)＝14，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝( ) A ．0 B ．7 C ．14 D ．214．设函数f(x)＝x2＋sinx 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sinS n .5．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.6．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．7．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．8．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10＝( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．249．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .10．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．11．已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1){a n }的通项公式； (2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．等比数列及等比数列前n 项和12．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________.13．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.15．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2；②f(x)＝2x ；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④16．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.17．已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12.(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．18．有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n→∞(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB(tanA ＋tanC)＝tanAtanC. (1)求证：a ，b ，c 成等比数列 (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S.20．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．21．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 22．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1，若a 1＝1，且对任意的n ∈N ，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.23．已知{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22 C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2 D ．若a 3>a 1，则a 4>a 224．在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55. (1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．25．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元． (1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．数列求和26．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin nπ7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16B ．72C ．86D ．10027．数列{a n }的通项公式a n ＝ncos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( )A ．1 006B ．2 012C ．503D ．028．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1 C.⎝⎛⎭⎫23n －1 D.12n －129．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 83030．设A 是如下形式的2行3列的数表，满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[－1,1]，且a ＋记r i (A)为A 的第i 行各数之和(i ＝1,2)，c j (A)为A 的第j 列各数之和(j ＝1,2,3)； 记k(A)为|r 1(A)|，|r 2(A)|，|c 1(A)|，|c 2(A)|，|c 3(A)|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k(A)的值；(2)设数表A 形如其中－1≤d≤0，求k(A)的最大值；(3)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值．31．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .单元综合32．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100.当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？33．已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫b n a n 2是等差数列； (2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值．34．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n －k(其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3. (1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .35．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．36．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．37．已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋a n2与x 轴正半轴相交于点A.设f(n)为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f(n)；(2)求对所有n 都有－1＋1≥nn ＋1成立的a 的最小值；(3)当0<a<1时，比较1－＋1－＋…＋1－与6·－＋－的大小，并说明理由．38．对于项数为m 的有穷数列{a n }，记b k ＝max{a 1，a 2，…，a k }(k ＝1,2，…，m)，即b k 为a 1，a 2，…，a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列{a n }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a n }；(2)设{b n }是{a n }的控制数列，满足a k ＋b m －k ＋1＝C(C 为常数，k ＝1,2，…，m)，求证：b k ＝a k (k ＝1,2，…，m)；(3)设m ＝100，常数a ∈⎝⎛⎭⎫12，1.若a n ＝an 2－(－1)＋2n ，{b n }是{a n }的控制数列，求(b 1－a 1)＋(b 2－a 2)＋…＋(b 100－a 100)．39．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ＞2)．40．已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．41．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 83042．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．43．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元． (1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．2012模拟题44．已知数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝3，a 2＝7，且a n ＋2总等于a n a n ＋1的个位数字，则a 2012的值为( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．945．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，并且a n －1－a n a n ·a n －1＝a n －a n ＋1a n ·a n ＋1(n≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.12100B.1250C.1100D.15046．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x)在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式b n ＝________.47．项数为n 的数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的前k 项和为S k (k ＝1,2,3，…，n)，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为该项数列的“凯森和”，如果项系数为99项的数列a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为1 000，那么项数为100的数列100，a 1，a 2，a 3，…，a 99的“凯森和”为( )A ．991B ．1 001C ．1 090D ．1 10048．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n，…，n －1n，…，有如下运算和结论：( ) A ．a 24＝38； B ．数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10…是等比数列；C ．数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4；D ．若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的结论有___．(将你认为正确的结论序号都填上)49．对于正项数列{}a n ，定义H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 为{}a n 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{}a n 的通项公式为________．50．一企业的某产品每件利润100元，在未做电视广告时，日销售量为b 件．当对产品做电视广告后，记每日播n次时的日销售量为a n (n ∈N *)件，调查发现：每日播一次则日销售量a 1件的基础上增加b2件，每日播二次则日销售量a 2件在每日播一次时日销售量a 1件的基础上增加b4件…，每日播n 次，该产品的日销售a n 件在每日播n －1次时的日销售量a n －1件的基础上增加b2n 件．合同约定：每播一次企业需支付广告费2b 元．(1)试求出a n 与n 的关系式；(2)该企业为了获得扣除广告费后的日利润最大，求每日电视广告需播多少次．。
数列 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：解法一：因为{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，由已知有5a 1＋10d ＝20，∴a 1＋2d ＝4，即a 3＝4.解法二：在等差数列中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3， 所以由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20得5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案：A2．(2011年福州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30a 1＋6d ＝10，a 7＝10 S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝130，故选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：∵a 1a 2＝a 3a 4＝a 5a 6＝a 7a 8＝1q，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.答案：B4．(2012年嘉兴高三教学测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2a 1，22a 2，…，29a 9中最大的是( )A.2a 1B.25a 5C.26a 6D.29a 9解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 5>0S 10＝a 5＋a 6∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0a 6<0∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0d <0.∵当n ≤5时，2n －1a n －1<2na n.∴选B.答案：B5．(2011年东北三校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式b n 为( )A ．2n－1 B ．2n＋1 C ．2n －1－1 D ．2n －1＋1解析：a 2＝3，a 5＝9,3d ＝6，d ＝2a n ＝3＋(n －2)×2＝2n －1b n ＋1＝2b n －1 b n ＋1－1＝2(b n －1)∵b 1＝3≠1，∴{b n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列b n －1＝2·2n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.答案：B6．(2011年乐山二诊)若22是2a 与2b的等比中项，则ab 的最大值为( ) A ．3 B ．8 C.32D.94解析：∵22是2a与2b的等比中项 ∴2a·2b＝(22)2,2a ＋b＝23因为求ab 的最大值，故a ，b 都为正数a ＋b ＝3≥2ab ，ab ≤94当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，故选D.答案：D7．(2011年江南十校联考)设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，关于数列{a n }有下列三个命题：①若数列{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则数列{a n }是等差数列； ③若S n ＝1－(－1)n，则数列{a n }是等比数列． 这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①，②，③正确．故选D. 答案：D8．2010上海世博会期间，假设在6号门早晨6时30分有2人进园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分从6号门入园的人数是( )A ．212－47 B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析：入园人数为(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋3＋…＋10)＝212－57.故选B. 答案：B9．(2011年西南师大附中模拟)已知数列{a n }的通项为a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1a 2a 3…a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(1,2010]内的所有“优数”的和为( )A ．1024B ．2003C ．2026D ．2048解析：a 1a 2a 3…a n ＝log 23·log 34…log n ＋1(n ＋2) ＝log 2(n ＋2)∴n ＋2＝2k (k ∈Z)，∴2k－2≤2010，∴k ≤10∴所有“优数”的和为S ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝2026.故选C. 答案：C10．在数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．三个数的倒数成等差数列D ．三个数的平方成等差数列 解析：∵2a 2＝a 1＋a 3①a 32＝a 2·a 4②2a 4＝1a 3＋1a 5③由①/③得a 2a 4＝a 1＋a 31a 3＋1a 5，化简得a 32＝a 1·a 5，故选B.答案：B11．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中2月联考)下列关于数列的命题 ①若数列{a n }是等差数列，且p ＋q ＝r (p ，q ，r 为正整数)则a p ＋a q ＝a r ②若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ，则{a n }是公比为2的等比数列 ③2和8的等比中项为±4④已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n )，则f (n )是关于n 的一次函数 其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①错，②错，要求a n ≠0，④错，如a n 为常数列，故只有③正确，选A. 答案：A12．(2011年广东省四校联考)如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”数列{a n }：1,3,3,4,6,5,10，…，记前n 项和为S n ，则S 19的值为( )A ．129B ．172C ．228D ．283解析：S 19＝1＋3＋3＋4＋6＋5＋10＋6＋15＋7＋21＋8＋28＋9＋36＋10＋45＋11＋55＝283.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2011年河东区高三一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n ≥1，S n ＝a 1n－2，且a 4＝54，则a 1＝________.解析：a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54， ∴a 1＝2. 答案：214．(2011年皖南八校联考)设{a n }是正项等比数列，令S n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，n ∈N＋，如果存在互异正整数m ，n ，使S n ＝S m ，则S m ＋n ＝________. 解析：∵{a n }是等比数列，且a n >0， ∴{lg a n }是等差数列，令S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数) ∵S m ＝S n ，由二次函数的图象 得S m ＋n ＝0. 答案：015．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝54，a 4＋a 6＝10，则a 4＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝54，a 1q 3＋q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 4＝14×23＝2.答案：216．(2011年广东东莞调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 2009的“理想数”为2010.那么数列2，a 1，a 2，…，a 2009的“理想数”为________．解析：S 1＋S 2＋…＋S 2009＝2009×2010 ∴T n ＝2＋＋S 1＋＋S 2＋…＋＋S 20092010＝2×2010＋2009×20102010＝2011. 答案：2011三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝25n －2n 2. (1)求证：{a n }是等差数列． (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1)证明：①n ＝1时，a 1＝S 1＝23.②n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(25n －2n 2)－[25(n －1)－2(n －1)2]＝27－4n ，而n ＝1适合该式．于是{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝27－4n ，若a n >0，则n <274，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n－a nn n，当1≤n ≤6时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n －2n 2， 当n ≥7时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝S 6－(S n －S 6)＝2n 2－25n ＋156，综上可知T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 25n －2n 22n 2－25n ＋156n n.18．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中2月联考)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n＋1－a n )(n ∈N *)在直线y ＝x 上． (1)计算a 2，a 3，a 4的值；(2)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，a 1＝12，2a 2－a 1＝1，a 2＝34.同理a 3＝118，a 4＝3516.(2)因为2a n ＋1－a n ＝n ， 所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋1－1＝n －a n ＋1－12，b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，b n ＋1b n ＝12又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，12为公比的等比数列．(3)由(2)知b n ＝－34·(12)n －1∴a n ＋1－a n －1＝－34·(12)n －1∴a n ＋1－a n ＝－34·(12)n －1＋1∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12－34[(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2]＋n －1 ＝n －2＋32n .19．已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列． (1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n2，∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1，∴b n ＋1b n ＝n ＋a n ＋1－n ＋＋2n ＋a n －n ＋2＝12n ＋a n ＋n2－n ＋＋2n ＋a n －n ＋2＝12n ＋a n －n 2＋1n ＋a n －n ＋2＝12.∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)得b n ＝－(12)n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－(12)n －1.∴a n ＝－1n ＋1(12)n －1＋n －2n ＋1. 20．某一电视频道在一天内有x 次插播广告的时段，一共播放了y 条广告，第1次播放了1条和余下的y －1条的18，第2次播放了2条以及余下的18，第3次播放了3条以及余下的18，以后每次按此规律插播广告，在第x 次播放了余下的x 条(x >1)． (1)设第k 次播放后余下a k 条，这里a 0＝y ，a x ＝0，求a k 与a k －1的递推关系式； (2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x 与广告的条数y . 解：(1)依题意，第k 次播放了k ＋18(a k －1－k )＝18a k －1＋78k ，∴a k ＝a k －1－(18a k －1＋78k )．∴a k －1＝k ＋87a k ，即a k 与a k －1的递推关系式为a k －1＝k ＋87a k .(2)∵a 0＝1＋87a 1＝1＋87(2＋87a 2)＝1＋2×87＋(87)2a 2＝1＋2×87＋3×(87)2＋(87)3a 3＝…＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1＋(87)xa x .∵a x ＝0，∴y ＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1.用错位相减法求和，可得y ＝49＋(x －7)×8x7.∵y ∈N *，∴x －7＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝49.故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49.21．(2011年青岛质检)已知数列{b n }满足b n ＋1＝12b n ＋14，且b 1＝72，T n 为{b n }的前n 项和．(1)求证：数列{b n －12}是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k＋n －2T n≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)对任意n ∈N *，都有b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12(b n －12)则{b n －12}成等比数列，首项为b 1－12＝3，公比为12所以b n －12＝3×(12)n －1，b n ＝3×(12)n －1＋12(2)因为b n ＝3×(12)n －1＋12所以T n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)＋n2＝－12n1－12＋n 2＝6(1－12n )＋n2 因为不等式12k ＋n －2T n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝n ＋－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1当n ≥5，c n ＋1≤c n ，{c n }为单调递减数列，当1≤n <5，c n ＋1>c n ，{c n }为单调递增数列 116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.22．(2011年江南十校联考)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N ＋)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2na n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1∴数列{2na n}是公差为1的等差数列(2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝2nn ＋1(3)由(2)知b n ＝n ·2nS n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1相减得：－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2。
2012 高考真题分类汇编：数列一、选择题1.【 2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 { a n } 中， a 21 ， a 45 则 { a n } 的前 5 项和 S 5 =A.7B.15C.20D.25【答案】 B【 解 析 】 因 为 a 2 1 ， a 45 ， 所 以 a 1 a 5 a 2a 46 ， 所 以 数 列 的 前 5 项 和5( a 1a 5 ) 5(a 2a 4 ) 5 , 选 B.S 5226 1522.【 2012 高考真题浙江理 7】设 S n 是公差为 d （ d ≠ 0）的无穷等差数列﹛ a n ﹜的前 n 项和，则 下列命题错误的是A.若 d ＜ 0，则数列﹛ S n ﹜有最大项B.若数列﹛ S n ﹜有最大项，则 d ＜ 0C.若数列﹛ S n ﹜是递增数列，则对任意n N * ，均有 S nD. 若对任意 n N * ，均有 S n 0 ，则数列﹛ S n ﹜是递增数列【答案】 C【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：— 1，0， 1， 2， 3，⋯．满足数列 {S n }是递增数列，但是 S n ＞ 0 不成立．故选 C 。
3.【 2012 高考真题新课标理 5】已知 a n 为等比数列， a 4 a 72 ， a 5 a 68 ，则 a 1 a 10（）( A) 7 (B) 5(C )( D )【答案】 D【 解 析 】 因 为 { a n } 为 等 比 数 列 ， 所 以 a 5a 6 a 4 a 78 ， 又 a 4 a 7 2 ， 所 以 a 4 4，a 7 2 或 a 4 2，a 7 4 . 若 a 44，a 72 ， 解 得 a 18，a 10 1 ，a 1a107 ；若 a 42， a 7 4 ，解得 a 108， a 1 1 ，仍有 a 1 a 107 ，综上选D.4.【2012 高考真题上海理18】设a n 1sin n， S n a1 a2a n，在S1, S2 ,, S100 n25中，正数的个数是（）A． 25B． 50C．75D． 100【答案】 D【解析】当 1≤n≤ 24 时，a n＞ 0，当 26≤n≤ 49 时，a n＜ 0，但其绝对值要小于1≤n≤ 24时相应的值，当51≤n≤ 74时， a n＞0，当76≤ n ≤99时， a n＜0，但其绝对值要小于51≤ n ≤74时相应的值，∴当1≤n≤ 100 时，均有S n＞ 0。
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列小题 （精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是( )A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C解析：由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C解析：在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )( )A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C解析：设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题． 4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = ( )A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．另解：数感好的话由4=15S ，立即会想到数列：1,2,4,8,16,，检验是否满足53134a a a =+，可以迅速得出34a =．【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题大有裨益．5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( )A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A解析：411514603452S a d a a a d d =+==-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩，所以211()(1)32(1)25,42n n n a a na a n d n n S n n +=+-=-+-=-==-，故选A ． 6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+,12a =．则5a =( )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B解析：∵n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴1111324333422a d a a d a d ⨯⨯⎛⎫⨯+=++++ ⎪⎝⎭，把12a =，代入得3d =-∴()524310a =+⨯-=-，故选B ．7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力． 不妨设(其中)则有,因为,所以 由等比数列的前项和公式可得因为,所以所以即,因为所以,故所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意当时,,故满足题意的的最小值为． 解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出． 解法二:将数列的前项按照分组,不妨设这样的分组共有组不满足此特点的单独为一组,则,从而数列的前项的和为: 020212021222N 100N >N 2440330220110()()()()11121241221222n t m -++++++++++++++=0t n ≤≤()112n n N t +=++100N >13n ≥n 1122212n t m n ++--+-=13n ≥22nn >+1222n n n +>++1222n n n +-->1210t +->12222m n nn +>-->1m n ≥+1m n =+123t n +=-13n ≥3t ≥3t =95N =4t =440n =N 4401m n =+N 01122,2,2,2,2,2,n ()()1(1)222n n n n N +++≤≤N ()()()()()1111201122212121222232n n n n N N nn n ++---+⎛⎫-+-++-++++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭所以若使数列的前项和为的整数幂,则必存在正整数,使得,即又,所以,所以,所以,所以当时,,此时,所以的可能值为,经验证均不符合题意,当负结合选项也可知道不合题意,直接排除掉的可能性 当时,,此时,结合选项特点可知:,故选A ． 事实上验证:或或或或或只有成立．点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建的不等式限定的可能值,进而求出最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作． 解法三:检验法由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验 选项D :若,由,知第项排在第14行,第19个由是奇数知不能写成整数幂; 选项C :若,由知,第项排在第21行,第10个是大于1的奇数,不能写成整数幂;选项B ,若,由知第项排在第26行,第个,同理,不能写成整数幂;选项A 时,当时,由,可解出 所以这前和为:,符合题意,故选A ．解法四:直接法N 2t 23t n =+23tn =-100N >()()121002n n ++≥13n ≥2313t n =-≥4t ≥4t =13n =100105N <≤N 101,102,103,104,1054t =101,102,103,104,1055t =29n =435465N ≤≤440N =29435n N =⎧⎨=⎩29436n N =⎧⎨=⎩29437n N =⎧⎨=⎩29438n N =⎧⎨=⎩29439n N =⎧⎨=⎩29440n N =⎧⎨=⎩29440n N =⎧⎨=⎩t n N 110N =()131********⨯+=<110()()()141914191015213221221616221N S =--+-=+-=⨯+-1015221+-N S 2220N =()202012102202⨯+=<220()()211021102202212223N S =--+-=+-2330N =()252513253302⨯+=<3305()()()265262422522124421N S =--+-=+=⨯+2440N =()()()11244022n n n n +++≤<29n =440()()()()12290123430212121222222-+-++-+++++=由能写成的整数幂可知,,,且由知,故满足条件的的最小值为,得,此时．解法五:二进制转化法按照上面形式重新排列后,第层:,的和为把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐) 第1层: 1 第2层: 11 第3层: 111第层: 1111 由于的数幂的二进制数为:,前层的和再加多少可以写成的整数幂?为方便相加,首先,每层都加,则总共加了,得: 第1层: 10 第2层: 100 第3层: 1000 第层: 1000 此时层总的和为:,仍然不是的整数幂,再加上即可!所以在前层总和的基础上,再加上可使和成为的整数幂设第层的前个数的和为,即后面的方法同“解法四”．【考点】等差数列、等比数列的求和．【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断．8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为( )A ．B ．C ．D ．【答案】 C 【解析】设公差为,,()()112221223n k n k N S n n ++=--+-=+--2230k n --=()2log 3k n Z =+∈100N >13n >n 295k =()2929154402N ⨯+=+=n 1,2,4,12n -(2)1211111nn -=个n 2(2)0210000nn =个n 21n n n 111110n 个22n 2n +21n +k 2n +230kn --=n S {}n a n 4524a a +=648S ={}n a 1248d45111342724a a a d a d a d +=+++=+=,联立解得,故选C ． 秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C ．【考点】等差数列的基本量求解【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如为等差数列,若,则．9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】 A【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A ． 【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【点评】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】 B【命题意图】本题主要考查等比数列通向公式及其前项和，以考查考生的运算能力为主目 的．【解析】解法一：常规解法一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得611656615482S a d a d ⨯=+=+=112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩4d =166346()3()482a a S a a +==+=3416a a +=4534()()24168a a a a +-+=-=5328a a d -==4d ={}n a m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a 10236,,a a a {}n a 624-3-38{}n a 11a =d 236,,a a a 2326a a a =()()()211125a d a d a d +=++()()()212115d d d +=++220d d +=0d ≠2d =-6165661152242S a d ⨯=+=⨯-⨯=-n a n n S 7381S =2q =1a n ()()1111n n a q S q q-=≠-()171238112n a S -==-．解法二：边界效应等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴ ．【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必 有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所 占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难 度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰， 11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”{}n a 如下:{}n a 共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,1,2,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =,则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个【答案】C【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C .112．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a ( )(A )100(B )99(C )98(D )97 【答案】C13a =1n n a S +≈87381a S ≈=1 2.9a =13a =10a =81a =【解析】由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ．13．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=( )A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B解析：设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．考点：等比数列通项公式和性质．14．(2013高考数学新课标2理科)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510,9S a a a =+=，则1a 等于( )A ．13B ．－13C ．19D ．－19【答案】C解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，由32110S a a =+得1232110a a a a a ++=+，即2319,9a a q ==，又4519a a q ==，所以119a =． 考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．4等比数列的前n 项和及综合应用 难度：A 备注：高频考点15．(2013高考数学新课标1理科)设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，n =1,2,3,…若11b c >，1112b c a +=，n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21nn n a b c +=+,则 ( ) A ．{}n S 为递减数列B ．{}n S 为递增数列C ．21{}n S -为递增数列，2{}n S 为递减数列D ．21{}n S -为递减数列，2{}n S 为递增数列 【答案】B解析: 因为n n a a =+1，21n n n a c b +=+，21n n n a b c +=+，所以1a a n =，++1n b =+1n c 2nn a c +2n n a b ++1)(21)(21a c b a c b n n n n n ++=++= ++1n b )2(212111a c b a c n n n -+=-+，注意到1112a c b =+，所以12a c b n n =+． 于是n n n C B A ∆中，边长1a C B n n =为定值，另两边的长度之和为12a c b n n =+为定值． 因为-+1n b =+1n c 2n n a c +2n n a b +-)(21n n c b --=， 所以)()21(111c b c b n n n --=--，当+∞→n 时，有0→-n n c b ，即n n c b →，于是n n n C B A ∆的边n n C B 的高n h 随n 增大而增大，于是其面积n n n n n h a h C B S 121||21==为递增数列． 考点：（１）6．1．1数列的概念及归纳简单数列的通项公式；（２）6．3．1等比数列的基本量的计算；（３）12．5．1数列极限． 难度：C16．(2013高考数学新课标1理科)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】Ｃ 解析：由题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C ．考点: （1）6．2．4等差数列的前n 项和及综合应用；（2）13．1．1函数与方程思想． 难度：Ｂ备注：高频考点17．(2012高考数学新课标理科)已知{}n a 为等比数列，472a a +=，，则 ( )A ．7B ．5C ．-5D ．-7【答案】D解析：∵274=+a a ①，由等比数列的性质可得，87465-==a a a a ②568a a =-110a a +=∴1a =-8，10a =1， ∴1a +10a =-7当4a =-2，7a =4时，q 3=-2，则10a =-8，1a =1 ∴1a +10a =-7考点：（1）6．3．1等比数列的基本量的计算；（2）6．3．3等比数列的性质及应用． 难度：B 备注：高频考点 二、填空题18．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记n S 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4．【解析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d ⨯+==⨯+． 【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．19．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S = ．【答案】1213解析：由246a a =，得26511a q a q =，所以11a q =，又因为113a =，所以3q =，551(13)1213133S -==-． 20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+,则6S = ．【答案】63-解析：n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，① 当1n =时，1121a a =+，解得11a =-， 当2n ≥时，1121n n S a --=+，②， 由①﹣②可得122n n n a a a -=-，∴()122n n a a n -=≥，∴{}n a 是以11a =-为首项，以2为公比的等比数列，∴()661126312S -⨯-==--．21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设等比数列满足,，则 ．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得 所以．【考点】等比数列的通项公式【点评】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)等差数列的前项和为，，，则． 【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有： ，解得 ， 数列的前n 项和， 裂项有：，据此： 。
第七部分 数列(2012年安徽卷理)4.{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则（ ） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【解析】选B29311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=1. (2012年福建卷理等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2. (2012年福建卷理数列}{n a 的通项公式12cos+=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。
（2012年广东卷理）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．（2012年北京卷理）10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。
若211=a ，32a S =，则2a =_______。
【解析】因为212111132132==⇒+=++⇒=+⇒=a d d a d a a a a a a S ， 所以112=+=d a a ，n n d n n na S n 4141)1(21+=-+=。
【答案】12=a ，n n S n 41412+=（2012年上海卷文）14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是（2012年上海卷文）18、若2si n s in .s i n 777n nS πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（ ）A 、16B 、72C 、86D 、100(2012年安徽文) （5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 【解析】选A2231177551616421a a a a a a =⇔=⇔==⨯⇔=（2012年浙江卷理）7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项 B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立． 【答案】C（2012年浙江卷理）13．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】32（2012年全国新课标文）（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830（2012年全国新课标文）(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ （2012年北京卷文）（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是 （A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a >（2012年北京卷文）（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =____________， n S =_________________。
课标文数17.D1[2011·浙江卷] 若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.课标文数17.D1[2011·浙江卷]4【解析】 设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0 ⇒⎩⎨⎧k ≥10或k ≤－10，1－10≤k ≤1＋10 ⇒k ＝4. 课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 若数列A n ：a 1，a 2，…，a n (n ≥2)满足|a k ＋1－a k |＝1(k ＝1,2，…，n －1)，则称A n 为E 数列．记S (A n )＝a 1＋a 2＋…＋a n .(1)写出一个E 数列A 5满足a 1＝a 3＝0；(2)若a 1＝12，n ＝2000，证明：E 数列A n 是递增数列的充要条件是a n ＝2011； (3)在a 1＝4的E 数列A n 中，求使得S (A n )＝0成立的n 的最小值．课标文数20.D2，A2[2011·北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E 数列A 5.(答案不唯一，0，－1,0,1,0；0，±1,0,1,2；0，±1,0，－1，－2；0，±1,0，－1,0都是满足条件的E 数列A 5)(2)必要性：因为E 数列A n 是递增数列， 所以a k ＋1－a k ＝1(k ＝1,2，…，1999)． 所以A n 是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a 2000＝12＋(2000－1)×1＝2011， 充分性：由于a 2000－a 1999≤1. a 1999－a 1998≤1. …… a 2－a 1≤1.所以a 2000－a 1≤1999，即a 2000≤a 1＋1999. 又因为a 1＝12，a 2000＝2011. 所以a 2000＝a 1＋1999.故a k ＋1－a k ＝1>0(k ＝1,2，…，1999)，即E 数列A n 是递增数列． 综上，结论得证．(3)对首项为4的E 数列A n ，由于 a 2≥a 1－1＝3， a 3≥a 2－1≥2， ……a 8≥a 7－1≥－3，……所以a 1＋a 2＋…＋a k >0(k ＝2,3，…，8)．所以对任意的首项为4的E 数列A n ，若S (A n )＝0，则必有n ≥9. 又a 1＝4的E 数列A 9：4,3,2,1,0，－1，－2，－3，－4满足S (A 9)＝0， 所以n 的最小值是9.大纲理数4.D2[2011·全国卷] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5大纲理数4.D2[2011·全国卷] D 【解析】 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝4k ＋4，∴4k ＋4＝24，可得k ＝5，故选D.大纲理数20.D2，D4[2011·全国卷] 设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n ＜1.大纲理数20.D2，D4[2011·全国卷] 【解答】 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝∑nk ＝1b k＝∑nk ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.大纲文数6.D2[2011·全国卷] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5大纲文数 6.D2[2011·全国卷] D 【解析】 ∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝4k ＋4，∴4k ＋4＝24，可得k ＝5，故选D.课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝e x ＋x .对于曲线y ＝f (x )上横坐标成等差数列的三个点A 、B 、C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△ABC 可能是直角三角形； ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形． 其中，正确的判断是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④课标理数10.M1，D2，B11[2011·福建卷] B 【解析】 解法一：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),∵ f ′(x )＝e x ＋1>0，∴ f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴ f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，且f x 1＋x 32<f (x 1)＋f (x 3)2，∵ BA →＝(x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2))，BC →＝(x 3－x 2，f (x 3)－f (x 2))， ∴ BA →·BC →＝(x 1－x 2)(x 3－x 2)＋(f (x 1)－f (x 2))(f (x 3)－f (x 2))<0， ∴ ∠ABC 为钝角，判断①正确，②错； (2)若△ABC 为等腰三角形，则只需AB ＝BC ，即 (x 1－x 2)2＋(f (x 1)－f (x 2))2＝(x 3－x 2)2＋(f (x 3)－f (x 2))2， ∵ x 1，x 2，x 3成等差数列，即2x 2＝x 1＋x 3， 且f (x 1)<f (x 2)<f (x 3)，只需 f (x 2)－f (x 1)＝f (x 3)－f (x 2)，即2f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 3)， 即 f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 32＝f (x 1)＋f (x 3)2，这与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 32<f (x 1)＋f (x 3)2相矛盾，∴△ABC 不可能是等腰三角形，判断③错误，④正确，故选B. 解法二：(1)设A 、B 、C 三点的横坐标为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3),课标文数17.D2[2011·福建卷] 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．课标文数17.D2[2011·福建卷] 【解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3. 解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35. 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7为所求．课标理数11.D2[2011·广东卷] 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.课标理数11.D2[2011·广东卷] 10 【解析】 由S 9＝S 4，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，即5a 7＝0，所以a 7＝0，由a 7＝a 1＋6d 得d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，即a 1＋(k －1)⎝⎛⎭⎫－16＋a 1＋3×⎝⎛⎭⎫－16＝0， 即(k －1)×⎝⎛⎭⎫－16＝－32，所以k －1＝9，所以k ＝10.课标理数13.D2[2011·湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．课标理数13.D2[2011·湖北卷]6766【解析】 设所构成的等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.课标理数19.D2[2011·湖北卷] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 1＝a (a ≠0)，a n ＋1＝rS n (n ∈N *，r ∈R ，r ≠－1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1·a m ·a m＋2是否成等差数列，并证明你的结论．课标理数19.D2[2011·湖北卷] 【解答】 (1)由已知a n ＋1＝rS n ，可得a n ＋2＝rS n ＋1，两式相减可得 a n ＋2－a n ＋1＝r (S n ＋1－S n )＝ra n ＋1，即a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1， 又a 2＝ra 1＝ra ，所以当r ＝0时，数列{a n }为：a,0，…，0，…；当r ≠0，r ≠－1时，由已知a ≠0，所以a n ≠0(n ∈N *)， 于是由a n ＋2＝(r ＋1)a n ＋1，可得a n ＋2a n ＋1＝r ＋1(n ∈N *)，∴a 2，a 3，…，a n ，…成等比数列， ∴当n ≥2时，a n ＝r (r ＋1)n －2a .综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，r (r ＋1)n －2a ，n ≥2. (2)对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列，证明如下：当r ＝0时，由(1)知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，0，n ≥2.∴对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列； 当r ≠0，r ≠－1时，∵S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1， 若存在k ∈N *，使得S k ＋1，S k ，S k ＋2成等差数列，则S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ， ∴2S k ＋2a k ＋1＋a k ＋2＝2S k ，即a k ＋2＝－2a k ＋1，由(1)知，a 2，a 3，…，a n ，…的公比r ＋1＝－2，于是对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1＝－2a m ，从而a m ＋2＝4a m ，∴a m ＋1＋a m ＋2＝2a m ，即a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．综上，对于任意的m ∈N *，且m ≥2，a m ＋1，a m ，a m ＋2成等差数列．课标文数9.D2[2011·湖北卷] 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升课标文数9.D2[2011·湖北卷] B 【解析】 设所构成的等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4， 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.课标文数17.D2，D3[2011·湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．课标文数17.D2，D3[2011·湖北卷] 【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．课标理数12.D2[2011·湖南卷] 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.课标理数12.D2[2011·湖南卷] 25 【解析】 设数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 4＝7，所以a 4＝a 1＋3d ⇒d ＝2，故S 5＝5a 1＋10d ＝25.课标文数5.D2[2011·江西卷] 设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24课标文数5.D2[2011·江西卷] B 【解析】 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0， ∴a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.课标文数15.D2[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________. 课标文数15.D2[2011·辽宁卷] －1 【解析】 由S 2＝S 6，得2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d 解得4(a 1＋3d )＋2d＝0，即2a 4＋d ＝0，所以a 4＋(a 4＋d )＝0，即a 5＝－a 4＝－1.课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.大纲理数8.D2[2011·四川卷] 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11大纲理数8.D2[2011·四川卷] B 【解析】 由数列{b n }为等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12可知数列公差d ＝2，所以通项b n ＝－2＋(n －3)×2＝2n －8＝a n ＋1－a n ，所以a 8－a 1＝2×(1＋2＋3＋…＋7)－8×7＝0，所以a 8＝a 1＝3.课标理数4.D2[2011·天津卷] 已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110课标理数4.D2[2011·天津卷] D 【解析】 由a 27＝a 3·a 9，d ＝－2，得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解之得a 1＝20，∴S 10＝10×20＋10×92(－2)＝110.课标文数11.D2[2011·天津卷] 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．课标文数11.D2[2011·天津卷] 110 【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝16，S 20＝20a 1＋20×192×d ＝20，解之得a 1＝20， d ＝－2，∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.课标理数19.D2[2011·浙江卷] 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )．设数列的前n 项和为S n ，且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)记A n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ，B n ＝1a 1＋1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n －1.当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．课标理数19.D2[2011·浙江卷] 【解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由⎝⎛⎭⎫1a 22＝1a 1·1a 4， 得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ， 所以a n ＝na ，S n ＝an (n ＋1)2.(2)因为1S n ＝2a ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以A n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＝2a ⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.因为a 2n －1＝2n －1a ，所以B n ＝1a 1＋1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n －1＝1a·1－⎝⎛⎭⎫12n 1－122a ⎝⎛⎭⎫1－12n . 当n ≥2时，2n ＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＞n ＋1，即1－1n ＋1＜1－12n ，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ；当a ＜0时，A n ＞B n .大纲文数1.D2[2011·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18大纲文数1.D2[2011·重庆卷] D 【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝2，a 3＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴a 10＝a 1＋(10－1)×d ＝9d ＝18.故选D.课标文数21.D3，D4[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课标文数21.D3，D4[2011·安徽卷] 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力．【解答】 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1.②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得 T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1.另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k 1＋tan (k ＋1)·tan k .得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1.所以S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑n ＋2k ＝3tan(k ＋1)·tan k＝∑n ＋2k ＝3 ⎣⎡⎦⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .课标理数18.D3，D4[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课标理数18.D3，D4[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．【解答】 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得 T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k 1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1.所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎡⎦⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .课标理数11.D3[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.课标理数11.D3[2011·北京卷] －2 2n －1－12 【解析】 由a 4＝a 1q 3＝12q 3＝－4，可得q ＝－2；因此，数列{|a n |}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.课标文数12.D3[2011·北京卷] 在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.课标文数12.D3[2011·北京卷] 2 2n －1－12【解析】 由题意可知a 4＝a 1q 3＝12q 3＝4，可得q ＝2，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12.大纲文数17.D3[2011·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 大纲文数17.D3[2011·全国卷] 【解答】 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．课标数学16.D3，C4[2011·福建卷] 【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.[来(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3； 因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.课标文数16.D3[2011·福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．课标文数16.D3[2011·福建卷] 5－12【解析】 由已知，有(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，即 (c －a )2＝(b －c )(b －a )， 把c ＝a ＋x (b －a )代入上式，得x 2(b －a )2＝[b －a －x (b －a )](b －a )，即x 2(b －a )2＝(1－x )(b －a )2， ∵b >a ，b －a ≠0，∴x 2＝1－x ，即x 2＋x －1＝0， 解得 x ＝－1±52，因为0<x <1，所以最佳乐观系数x 的值等于－1＋52.课标文数11.D3[2011·广东卷] 已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.课标文数11.D3[2011·广东卷] 2 【解析】 {a n }为等比数列，所以a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝4，即2q 2－2q ＝4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或q ＝2，又{a n }是递增等比数列，所以q ＝2.课标文数17.D2，D3[2011·湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．课标文数17.D2，D3[2011·湖北卷] 【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．课标理数18.D3[2011·江西卷] 已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值．课标理数18.D3[2011·江西卷] 【解答】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)， 即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－2，(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0，(*) 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根， 由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.课标文数5.D3[2011·辽宁卷] 若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16课标文数5.D3[2011·辽宁卷] B 【解析】 由于a n a n ＋1＝16n ，又a n －1a n ＝16n －1，所以a n a n ＋1a n －1a n＝q 2＝16，又由a n a n ＋1＝16n 知a n >0，所以q ＝4.课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．课标文数17.D2，D3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.大纲文数9.D3[2011·四川卷] 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( ) A ．3×44 B ．3×44＋1 C ．44 D ．44＋1大纲文数9.D3[2011·四川卷] A 【解析】 由a n ＋1＝3S n ⇒S n ＋1－S n ＝3S n ⇒S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44，所以选择A.大纲理数11.D2[2011·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.大纲理数11.D2[2011·重庆卷] 74【解析】由a3＋a7＝37，得(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝37，即2a1＋8d＝37.∴a2＋a4＋a6＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋3d)＋(a1＋5d)＋(a1＋7d)＝2(2a1＋8d)＝74.课标文数7.D4[2011·安徽卷] 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15课标文数7.D4[2011·安徽卷] A 【解析】 a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.课标文数21.D3，D4[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课标文数21.D3，D4[2011·安徽卷] 本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力．【解答】 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1.②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得 T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)，∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1.另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k 1＋tan (k ＋1)·tan k .得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1.所以S n ＝∑n k ＝1b k ＝∑n ＋2k ＝3tan(k ＋1)·tan k＝∑n ＋2k ＝3 ⎣⎡⎦⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .课标理数18.D3，D4[2011·安徽卷]在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .课标理数18.D3，D4[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，运算求解能力和创新思维能力．【解答】 (1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则 T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得 T 2n ＝(t 1t n ＋2)·(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k 1＋tan (k ＋1)·tan k ，得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan ktan1－1.所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝3n ＋2tan(k ＋1)·tan k＝∑k ＝3n ＋2⎣⎡⎦⎤tan (k ＋1)－tan k tan1－1＝tan (n ＋3)－tan3tan1－n .大纲理数20.D2，D4[2011·全国卷] 设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n ＜1.大纲理数20.D2，D4[2011·全国卷] 【解答】 (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝∑nk ＝1b k ＝∑nk ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.课标文数20.D4[2011·湖南卷] 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n .若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．课标文数20.D4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6. 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. (2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)， A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6， A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n，因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又 A 8＝780－210×⎝⎛⎭⎫3428＝824764>80，A 9＝780－210×⎝⎛⎭⎫3439＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新．课标理数5.D4[2011·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55课标理数5.D4[2011·江西卷] A 【解析】 方法一：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10， ∴a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1，故选A. 方法二：∵S 2＝a 1＋a 2＝2S 1，∴a 2＝1， ∵S 3＝S 1＋S 2＝3，∴a 3＝1， ∵S 4＝S 1＋S 3＝4，∴a 4＝1， 由此归纳a 10＝1，故选A.课标理数17.D4[2011·辽宁卷]已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．课标理数17.D4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n 1－a n 2n ＝1－⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝⎛⎭⎫1－12n －1－2－n 2n＝n 2n ， 所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.课标理数14.D4[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往．返．所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)． 课标理数14.D4[2011·陕西卷] 2000 【解析】 树苗放在10或11号坑，则其余的十九人一次走过的路程为90,80,70,60，…，80,90,100，则和为s ＝⎣⎡⎦⎤9(10＋90)2×2＋100×2＝2000，若放在11号坑，结果一样．课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷]图1－11如图1－11，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.现从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 课标理数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】(1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)， 由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)， 所以|P k Q k |＝e x k ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e－(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1. 课标文数10.D4[2011·陕西卷] 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．①和⑳B ．⑨和⑩C ．⑨和⑪D ．⑩和⑪课标文数10.D4[2011·陕西卷] D 【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边，则每个人所走的路程和最小，一共20个坑，为偶数，在中间的有两个坑为10和11号坑，故答案选D.课标文数19.B11，D4[2011·陕西卷] 【解答】 (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)， 所以|P k Q k |＝e x k ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n | ＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1.大纲文数16.D4[2011·重庆卷] 设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 大纲文数16.D4[2011·重庆卷]【解答】 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2.课标理数20.D5，A3[2011·北京卷] 若数列A n：a1，a2，…，a n(n≥2)满足|a k＋1－a k|＝1(k＝1,2，…，n －1)，则称A n为E数列．记S(A n)＝a1＋a2＋…＋a n.(1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)＞0的E数列A5；(2)若a1＝12，n＝2000.证明：E数列A n是递增数列的充要条件是a n＝2011；(3)对任意给定的整数n(n≥2)，是否存在首项为0的E数列A n，使得S(A n)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列A n；如果不存在，说明理由．课标理数20.D5，A3[2011·北京卷] 【解答】(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5.(答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5)(2)必要性：因为E数列A n是递增数列，所以a k＋1－a k＝1(k＝1,2，…，1999)．所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．所以a2000＝12＋(2000－1)×1＝2011.充分性：由于a2000－a1999≤1，a1999－a1998≤1，……a2－a1≤1，所以a2000－a1≤1999，即a2000≤a1＋1999.又因为a1＝12，a2000＝2011，所以a2000＝a1＋1999，故a k＋1－a k＝1＞0(k＝1,2，…，1999)，即E数列A n是递增数列．综上，结论得证．(3)令c k＝a k＋1－a k(k＝1,2，…，n－1)，则c k＝±1，因为a2＝a1＋c1，a3＝a1＋c1＋c2，……a n＝a1＋c1＋c2＋…＋c n－1，所以S(A n)＝na1＋(n－1)c1＋(n－2)c2＋(n－3)c3＋…＋c n－1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)·(n－2)＋…＋(1－c n－1)]＝n(n－1)2－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－c n－1)]．因为c k＝±1，所以1－c k为偶数(k＝1,2，…，n－1)，所以(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－c n－1)为偶数，所以要使S(A n)＝0，必须使n(n－1)2为偶数，即4整除n(n－1)，亦即n＝4m或n＝4m＋1(m∈N*)．当n＝4m(m∈N*)时，E数列A n的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋1(m ∈N *)时，E 数列A n 的项满足a 4k －1＝a 4k －3＝0，a 4k －2＝－1，a 4k ＝1(k ＝1,2，…，m )，a 4m＋1＝0时，有a 1＝0，S (A n )＝0；当n ＝4m ＋2或n ＝4m ＋3(m ∈N *)时，n (n －1)不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，使得a 1＝0，S (A n )＝0.课标理数20.D5[2011·广东卷] 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.课标理数20.D5[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋2n －2>0，n a n ＝1b ＋2b ·n －1a n －1.令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋2b A n －1＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2b n －1＋2n －1bn －1A 1 ＝1b ＋2b 2＋…＋2n －2bn －1＋2n －1b n . ①当b ≠2时，A n ＝1b ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2b n 1－2b ＝b n －2n b n (b －2)；②当b ＝2时，A n ＝n2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －2)b n －2n ，b ≠2，2， b ＝2.(2)证明：当b ≠2时，欲证a n ＝nb n (b －2)b n －2n ≤b n ＋12n ＋1＋1，只需证nb n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋12n ＋1＋1b n －2n b －2，即证(2n ＋1＋b n ＋1)b n －2nb －2≥n ·2n ＋1b n .而(2n ＋1＋bn ＋1)b n －2n b －2＝(2n ＋1＋b n ＋1)(b n －1＋2b n －2＋…＋2n －1) ＝2n ＋1b n －1＋2n ＋2b n －2＋…＋22n ＋b 2n ＋2b 2n －1＋…＋2n －1b n ＋1＝2n b n⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＋22b 2＋…＋2n b n ＋b n 2n ＋b n －12n －1＋…＋b 2>2n b n (2＋2＋…＋2)＝2n ·2n b n ＝n ·2n ＋1b n ，当b ＝2时，a n ＝2＝b n ＋12n ＋1＋1.综上所述，a n ≤b n ＋12n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7[2011·广东卷]设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数20.D5，E7[2011·广东卷] 【解答】 (1)由a 1＝b >0，知a n ＝nba n －1a n －1＋n －1>0，n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1. 令A n ＝n a n ，A 1＝1b ，当n ≥2时，A n ＝1b ＋1b A n －1＝1b ＋...＋1b n －1＋1b n －1A 1 ＝1b ＋ (1)n －1＋1b n . ①当b ≠1时，A n ＝1b ⎝⎛⎭⎫1－1b n 1－1b ＝b n －1b n (b －1)，②当b ＝1时，A n ＝n . ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧nb n(b －1)b n －1，b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：当b ≠1时，欲证2a n ＝2nb n (b －1)b n －1≤b n ＋1＋1，只需证2nb n ≤(b n ＋1＋1)b n －1b －1.∵(bn ＋1＋1)b n －1b －1＝b 2n ＋b 2n －1＋…＋b n ＋1＋b n －1＋b n －2＋…＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ＋b n －1＋1b n －1＋…＋b ＋1b >b n (2＋2＋…＋2) ＝2nb n ，当b ＝1时，2a n ＝2＝b n ＋1＋1.综上所述2a n ≤b n ＋1＋1.课标文数21.D5[2011·江西卷] (1)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a >0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3，若数列{a n }唯一，求a 的值；(2)是否存在两个等比数列{a n }，{b n }，使得b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n }，{b n }的通项公式；若不存在，说明理由．课标文数21.D5[2011·江西卷] 【解答】 (1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ，b 2＝2＋aq ，b 3＝3＋aq 2， 由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)， 即aq 2－4aq ＋3a －1＝0.由a >0得Δ＝4a 2＋4a >0，故方程有两个不同的实根， 再由{a n }唯一，知方程必有一根为0， 将q ＝0代入方程得a ＝13.(2)假设存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列，设{a n }的公比为q 1，{b n }的公比为q 2，则b 2－a 2＝b 1q 2－a 1q 1，b 3－a 3＝b 1q 22－a 1q 21， b 4－a 4＝b 1q 32－a 1q 31，由b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成等差数列得⎩⎪⎨⎪⎧2(b 1q 2－a 1q 1)＝b 1－a 1＋(b 1q 22－a 1q 21)，2(b 1q 22－a 1q 21)＝b 1q 2－a 1q 1＋(b 1q 32－a 1q 31)， 即⎩⎪⎨⎪⎧b 1(q 2－1)2－a 1(q 1－1)2＝0， ①b 1q 2(q 2－1)2－a 1q 1(q 1－1)2＝0， ② ①×q 2－②得a 1(q 1－q 2)(q 1－1)2＝0. 由a 1≠0得q 1＝q 2或q 1＝1，i)当q 1＝q 2时，由①②得b 1＝a 1或q 1＝q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾； ii)当q 1＝1时，由①②得b 1＝0或q 2＝1，这时(b 2－a 2)－(b 1－a 1)＝0，与公差不为0矛盾．综上所述，不存在两个等比数列{a n }，{b n }使b 1－a 1，b 2－a 2，b 3－a 3，b 4－a 4成公差不为0的等差数列．课标理数17.D5[2011·课标全国卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．课标理数17.D5[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n (n ＋1)2.故1b n ＝－2n (n ＋1)＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.课标理数20.D5[2011·山东卷] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 课标理数20.D5[2011·山东卷] 【解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意； 当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意． 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18， 所以公比q ＝3， 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln2＋(n －1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln3.所以当n 为偶数时，S n ＝2·1－3n 1－3＋n 2ln3＝3n ＋n2ln3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln2－ln3)＋⎝⎛⎭⎫n －12－n ln3 ＝3n －n －12ln3－ln2－1.综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n＋n2ln3－1，n 为偶数，3n－n －12ln3－ln2－1，n 为奇数.课标文数20.D5[2011·山东卷] 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 课标文数20.D5[2011·山东卷] 【解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意； 当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln2＋(n －1)ln3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln2－ln3)＋(－1)n n ln3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln3。
