(word完整版)高二上学期期末数学试卷(文科)
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数学试卷(文科)一、选择题:(每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.下列程序语言中,哪一个是输入语句A. PRINTB. INPUTC. THEND. END3.如图所示,程序框图的输出结果为 A.43 B. 61 C. 1211 D. 2425【答案】A 【解析】4.某学校高中部组织赴美游学活动,其中高一240人,高二260人,高三300人,现需按年级抽样分配参加名额40人,高二参加人数为A. 12B. 13C. 14D. 156.平面⊥α平面β的一个充分条件是 A. 存在一条直线l ,α⊥l 且β⊥l B. 存在一个平面γ, γ∥α且γ∥β C. 存在一个平面γ,γ⊥α且γ⊥β D. 存在一条直线l ,α⊥l 且l ∥β7.甲、乙、丙三名毕业生参加某公司人力资源部安排的面试,三人依次进行,每次一人,其中甲、乙两人相邻的概率为 A.31 B. 32 C. 21 D. 418.已知双曲线14222=-y a x 的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A.43 B. 53 C. 423 D. 553二、填空题(本题共6小题,每小题4分,共24分.)11.下列命题中,真命题的是 .①必然事件的概率等于l ②命题“若b=3,则b2=9”的逆命题③对立事件一定是互斥事件④命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题13.某几何体的三视图如图所示,其中正视图为正三角形,则该几何体的体积为 .为3,所以2234V Sh ==⨯=考点:空间几何体的三视图、表面积和体积的计算.14.设),(00y x P 是椭圆191622=+y x 上一动点,21,F F 是椭圆的两个焦点,则21PF PF ⋅的最大值为 .三、解答题(本大题共5小题,其中第15、16题各8分,第17、18题各9分,第19题10分,共44分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分8分)在打靶训练中,某战士射击一次的成绩在9环(包括9环)以上的概率是0.18,在8~9环(包括8环)的概率是0.51,在7~8环(包括7环)的概率是0.15,在6~7环(包括6环)的概率是0.09.计算该战士在打靶训练中射击一次取得8环(包括8环)以上成绩的概率和该战士打靶及格(及格指6环以上包括6环)的概率.考点:互斥与对立事件、概率问题.16.(本小题满分8分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表.(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、方差,并判断选谁参加比赛更合适.17.(本小题满分9分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥底面ABC,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC1∥平面CDB1;(Ⅱ)求三棱锥D-B1C1C的体积.考点:线面平行的判定定理、空间几何体的体积.18.(本小题满分9分)2013年某市某区高考文科数学成绩抽样统计如下表:(Ⅰ)求出表中m、n、M、N的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图;(纵坐标保留了小数点后四位小数)(Ⅱ)若2013年北京市高考文科考生共有20000人,试估计全市文科数学成绩在90分及90分以上的人数;(Ⅲ)香港某大学对内地进行自主招生,在参加面试的学生中,有7名学生数学成绩在140分以上,其中男生有4名,要从7名学生中录取2名学生,求其中恰有1名女生被录取的概率.19.(本小题满分10分)己知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的右焦点为F (1,0),点A (2,0)在椭圆C 上,斜率为1的直线l与椭圆C交于不同两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l过点F(1,0),求线段MN的长;(III)若直线l过点(m,0),且以MN为直径的圆恰过原点,求直线l的方程.。
2021--2021学年度上学期期末质量检测高二数学试卷〔文科〕本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部,一共150分,考试时间是是120分钟.考前须知:1.第一卷之答案填在答题卷方框里,第二卷之答案或者解答过程写在答题卷指定处,写在试题卷上的无效.2.在答题之前,所有考生必须将自己的“姓名〞、“班级’’和“考号〞写在答题卷上.3.在考试完毕之后,只交答题卷.第一卷 (选择题一共60分)一、选择题〔每一小题5分,一共12个小题,此题满分是60分〕1.命题“假设a>b,那么a+1>b〞的逆否命题是( )A.假设a+1≤b,那么a>b B.假设a+1<b,那么a>bC.假设a+1≤b,那么a≤b D.假设a+1<b,那么a<b2.某中学初中部一共有120名老师,高中部一共有150名老师,其性别比例如下图,那么该校女老师的人数为〔〕A.128 B.144C.174 D.1673.对变量x,y有观测数据〔i x,i y〕〔i=1,2,…,10〕,得散点图1;对变量u,v有观测数据〔i u,v i〕〔i=1,2,…,10〕,得散点图2.由这两个散点图可以判断〔〕A .变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B .变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C .变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D .变量x 与y 负相关,u 与v 负相关 4.函数y =(x -a )(x -b )在x =a 处的导数为( )A .abB .-a (a -b )C .0D .a -b 5.变量a ,b 已被赋值,要交换a 、b 的值,采用的算法是〔 〕 A .a =b ,b =aB .a =c ,b =a ,c =bC .a =c ,b =a ,c =aD .c =a ,a =b ,b =c6.随机猜想“选择题〞之答案,每道题猜对的概率为0.25,那么两道选择题至少猜对一道以上的概率约为( ) A .167 B .161 C .169 D .83 7.一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的平均数是2,方差是13,那么另一组数31x -2,32x -2,33x -2,34x -2,35x -2的平均数,方差分别是〔 〕A .2,13B .2,1C .4,23D .4,38.设函数f (x )在R 上可导,其导函数是()x f ',且函数f (x )在x =-2处获得极小值,那么函数()x xfy '=的图象可能是()9.在区间(0,1)中随机地取出两个数,那么两数之和小于65的概率是( )A .1725B .1625C .14D .1610.椭圆()2014222<<=+b by x 的左,右焦点分别21,F F ,过1F 的直线l 交椭圆于B A ,两点,假设22AF BF +的最大值为5,那么b 的值是〔 〕 A .1 B .2 C .3D .21 11.偶函数()()0≠x x f 的导函数为()x f ',且满足()02=f ,时当0>x ,()()x f x f x 2>',那么使得()0>x f 的取值范围为的x 〔 〕A .()()2,02,⋃-∞-B .()()+∞⋃-∞-,22,C .()()2,00,2⋃-D .()()+∞⋃-,20,2 12.过抛物线y x 82=的焦点做直线l 交抛物线于B A ,两点,分别过B A ,作抛物线的切线21,l l ,那么21l l 与的交点P 的轨迹方程是〔 〕A .2-=yB .1-=yC .1-=x yD .1--=x y第二卷 (非选择题一共90分)二、填空题〔每一小题5分,一共4小题,满分是20分〕 13.执行右边的程序框图,输出的T =________.14.假设“x 2>1”是“x <a 〞的必要不充分条件,那么a 的最大值为______.15.如右图,F 1、F 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1与双曲线C 2的公一共焦点,A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公一共点.假设四边形AF 1BF 2为矩形,那么C 2的离心率是________.16.假设实数,,,a b c d 满足012ln 42=+-+-+d c a a b ,那么()()22a cb d -+-的最小值为________.三、解答题〔本大题一一共6小题,17题10分,18—22题均为12分,一共计70分,解答时应写出解答过程或者证明步骤〕17.右边表格提供了某厂节能降耗技术改造后消费甲产品过程中记录的产量x 〔吨〕与相应的消费能耗y 〔吨HY 煤〕的几组对照数据. 〔1〕请画出上表数据的散点图;〔2〕请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程y =b x +a ;〔参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,x b y a x n xyx n yx bini ii ni -=--=∑∑==,ˆ2211〕18.小李在做一份调查问卷,一共有4道题,其中有两种题型,一种是选择题,一共2道,另一种是填空题,一共2道.〔1〕小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;〔2〕小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.19.设有两个命题:p :关于x 的不等式x 2+2ax +4>0对一切x ∈R 恒成立;q :函数f (x )=-(4-2a )x 在(-∞,+∞)上是减函数.假设命题q p ∨是真命题,q p ∧是假命题,务实数a 的取值范围。
1新安中学2020-2021学年度(上)高二年级期末考试数学试卷(文科)(时间:120分钟 满分:150分)一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 已知点,,则线段的中点为( )A .B .C .D .2. 已知直线的倾斜角为,在轴上的截距为2,则此直线方程为( )A. B. C. D.3. 已知直线:1l y x =+和圆22:1C x y +=,则直线l 和圆C 的位置关系为( )A .相交B .相切C .相离D .不能确定4. 命题“0x R ∃∈,320010x x -+>”的否定是( )A .0x R ∃∈,320010x x -+≤B .x R ∀∈,3210x x -+>C .x R ∀∈,3210x x -+≤D .不存在0x R ∈,320010x x -+≤5. 椭圆22143x y +=的焦距为( ) A .1 B .2 C .3 D .46. 若直线(1)2m x y m +++=与直线42180x my m +++=平行,则实数m 的值等于( )(3,0)Q PQ (4,2)(2,1)(2,4)(1,2)45y 2y x =--2y x =-2y x =-+2y x =+2A .1B .2-C .1或2-D .1-或2-7. 已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是( )A .221167x y += B .221167x y +=或221716x y += C .2251162x y += D .2251162x y +=或2212516x y += 8. 已知椭圆22194x y +=的左右焦点为1F ,2F ,P 是椭圆上的点,且12=PF ,则2PF =( )A .1B .2C .3D .49. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是2,则其渐近线方程为( ) A0y ±= B.0x ±= C .20x y ±= D .20x y ±=10. 设x ∈R ,则“12x +≤”是“23x -≤≤”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充要条件11. 已知椭圆2219x y +=的两个焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上且120PF PF ⋅=,则12PF F △的面积是( )A .12 BCD .112. 已知平面上的定点12,F F 及动点M ,甲:12MF MF m -=(m 为常数),乙:3点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线,则甲是乙的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上。
2017-2018学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的.1.命题“a=0,则ab=0”的逆否命题是()A.若ab=0,则a=0 B.若a≠0,则ab≠0 C.若ab=0,则a≠0 D.若ab≠0,则a≠0 2.椭圆+=1的长轴长是()A.2 B.3 C.4 D.63.已知函数f(x)=x2+sinx,则f′(0)=()A.0 B.﹣1 C.1 D.34.“a>1”是“a2<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.双曲线=1的渐近线方程是()A.y=±2x B.y=±4x C.y=±x D.y=±x6.已知y=f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.f(x)在(﹣3,﹣1)上先增后减B.x=﹣2是函数f(x)极小值点C.f(x)在(﹣1,1)上是增函数D.x=1是函数f(x)的极大值点7.已知双曲线的离心率e=,点(0,5)为其一个焦点,则该双曲线的标准方程为()A.﹣=1 B.﹣=1C.﹣=1 D.﹣=18.函数f(x)=xlnx的单调递减区间为()A.(﹣∞,)B.(0,)C.(﹣∞,e)D.(e,+∞)9.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为()A.(﹣∞,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)10.已知命题p:∀x∈(0,+∞),2x>3x,命题q:∃x0∈(0,+∞),x>x,则下列命题中的真命题是()A.p∧q B.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)D.(¬p)∧q11.f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)B.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)C.(﹣3,0)∪(3,+∞)D.(﹣3,0)∪(0,3)12.过点M(2,﹣1)作斜率为的直线与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两个不同点,若M是AB的中点,则该椭圆的离心率e=()A.B.C.D.二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分.、共16分.13.抛物线x2=4y的焦点坐标为.14.已知命题p:∃x0∈R,3=5,则¬p为.15.已知曲线f(x)=xe x在点P(x0,f(x0))处的切线与直线y=x+1平行,则点P的坐标为.16.已知f(x)=ax3+3x2﹣1存在唯一的零点x0,且x0<0,则实数a的取值范围是.三、解答题:本大题共7小题,共48分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p:函数y=kx是增函数,q:方程+y2=1表示焦点在x轴上的椭圆,若p∧(¬q)为真命题,求实数k的取值范围.18.已知函数f(x)=2x3﹣6x2+m在[﹣2,2]上的最大值为3,求f(x)在[﹣2,2]上的最小值.19.已知点P(1,﹣2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上.(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)若过抛物线C焦点F的直线l与抛物线C相交于A,B两个不同点,求|AB|的最小值.20.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值,求实数a的值;(2)求证:当a≤1时,不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立.21.已知函数f(x)=x﹣﹣2alnx(a∈R).(1)若函数f(x)在x=处取得极值,求实数a的值;(2)若不等式f(x)≥0在[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.22.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,点P(﹣,1)在该椭圆上.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.23.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率e=,原点到直线+=1的距离为.(1)求椭圆C的方程;(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1对称的两点,求实数k的取值范围.。
高二上学期数学期末试卷(文科数学)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“,x x e x ∀∈>R ”的否定是( )A .x e R x x <∈∃0,0B .,x x e x ∀∈<RC .,x x e x ∀∈≤RD .x e R x x ≤∈∃0,0.2.设实数和满足约束条件,则的最小值为( )A .B .C .D .3.抛物线22y x =的准线方程为( )A .14y =-B .18y =-C .1y =D .12y =4.“α为锐角”是“0sin >α”的()A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .非充分非必要条件D .充要条件5.设双曲线)0(19222>=-a ya x 的渐近线方程为023=±y x ,则a 的值为() A .4 B .3 C .2 D .16. 在空间直角坐标系中,已知点P (x ,y ,z ),给出下列四条叙述:①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ,-y ,z )②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x ,-y ,-z )③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x ,-y ,z )④点P 关于原点的对称点的坐标是(-x ,-y ,-z )其中正确的个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .0 7.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( ) A .①和② B .②和③ C .③和④ D .②和④ 8.若双曲线193622=-y x 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在的直线方程是( ) A .02=-y x B .042=-+y x C .014132=-+y x D .082=-+y x 9.设1F ,2F 是椭圆E :2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,△21F PF 是底角为030的等腰三角形,则E 的离心率为( )A .12B .23C .34D .45 10.椭圆221259x y +=的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 若线段1PF 的中点M 在y 轴上, 则1PF =( ) A .415 B .95 C .6 D .7 x y 1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩23z x y =+26241614二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.若圆心在轴上、的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的方程是 .12.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 。
黄山市2018~2019学年度第一学期期末质量检测高二(文科)数学试题第Ⅰ卷(选择题满分60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若直线a平行于平面α,则下列结论错误..的是( )A. 直线a上的点到平面α的距离相等B. 直线a平行于平面α内的所有直线C. 平面α内有无数条直线与直线a平行D. 平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【解析】【分析】由题意,根据两直线的位置关系的判定,以及直线与平面的位置关系,逐一判定,即可得到答案.【详解】由题意,直线a平行于平面α,则对于A中,直线a上的点到平面α的距离相等是正确的;对于B中,直线a与平面α内的直线可能平行或异面,所以不正确;对于C中,平面α内有无数条直线与直线a平行是正确的;对于D中,平面α内存在无数条直线与直线a 成90°角是正确的,故选D.【点睛】本题主要考查了空间中两直线的位置关系的判定,其中解答中熟记空间中两条直线的三种位置关系是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】空间直角坐标系中任一点关于坐标平面的对称点为,即可求得答案【详解】根据空间直角坐标系中点的位置关系可得点关于平面的对称点是故选【点睛】本题考查了对称点的坐标的求法,解决此类问题的关键是熟练掌握空间直角坐标系,以及坐标系中点之间的位置关系,属于基础题。
3.已知,则“”是“直线与直线垂直”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时,判断两直线是否垂直,由此判断充分性,当两直线垂直时,根据两直线垂直的性质求出的值,由此判断必要性,从而得到答案【详解】充分性:当时,两条直线分别为:与此时两条直线垂直必要性:若两条直线垂直,则,解得故“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件故选【点睛】本题是一道有关充分条件和必要条件的题目,需要分别从充分性和必要性两方面分析,属于基础题。
荆州中学高二圆月期末考数学(文科)试题一,选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设,则地一个必要不充分款件是()A. B. C. D.【结果】A【思路】【思路】当时,是成立,当成立时,不一定成立,依据必要不充分款件地判定方式,即可求解.【详解】由题意,当时,是成立,当成立时,不一定成立,所以是地必要不充分款件,故选A.【点睛】本题主要考查了必要不充分款件地判定问题,其中解答中熟记必要不充分款件地判定方式是解答本题地关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.2.已知椭圆长轴在轴上,若焦距为4,则等于()A. 4B. 5C. 7D. 8【结果】8【思路】由椭圆地长轴在y轴上,则a2=m﹣2,b2=8﹣m,c2=a2﹣b2=2m﹣10.由焦距为4,即2c=4,即有c=2.即有2m﹣10=4,解得m=7.故结果为:7.3.已知直线和平面,若,,则过点且平行于地直线()A. 只有一款,不在平面内B. 只有一款,且在平面内C. 有无数款,一定在平面内D. 有无数款,不一定在平面内【结果】B【思路】【思路】假设m是过点P且平行于l地直线,n也是过点P且平行于l地直线,则与平行公理得出地结论矛盾,进而得出结果.【详解】假设过点P且平行于l地直线有两款m与n,则m∥l且n∥l由平行公理得m∥n,这与两款直线m与n相交与点P相矛盾,故过点且平行于地直线只有一款,又因为点P在平面内,所以过点P且平行于l地直线只有一款且在平面内.故选:B【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间地位置关系,空间中直线与平面地位置关系.过一点有且只有一款直线与已知直线平行.4.已知数列是等差数列,且,则公差()A. B. 4 C. 8 D. 16【结果】B【思路】试题思路:等差数列中考点:等差数列地性质5.“更相减损术”是《九章算术》中记录地一种求最大公约数地算法,按其算理流程有如下程序框图,若输入地,分别为165,66,则输出地为()A. 2B. 3C. 4D. 5【结果】B【思路】【思路】由题中程序框图知,该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量地值,模拟程序地运行过程,思路循环中各变量地变化情况,即可得到结果.【详解】由程序框图可知:输入时,满足,则,满足,则,满足,则,不满足,此时输出,故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构地程序框图地计算与输出问题,其中利用循环结构表示算法,一定要先确定是用当型循环结构,还是用直到型循环结构。
北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(4分)直线x+y=2的倾斜角是()A.B.C.D.2.(4分)焦点在x轴上的椭圆的离心率是,则实数m的值是()A.4 B.C.1 D.3.(4分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为()A.8 B.C.D.64.(4分)已知圆O:x2+y2=1,直线l:3x+4y﹣3=0,则直线l被圆O所截的弦长为()A.B.1 C.D.25.(4分)命题“∃k>0,使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是()A.∃k>0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B.∃k≤0,使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C.∀k>0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D.∀k≤0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限6.(4分)已知等差数列{a n},则“a2>a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(4分)已知正四面体A﹣BCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()A.∀F∈BC,EF⊥AD B.∃F∈BC,EF⊥AC C.∀F∈BC,EF≥D.∃F∈BC,EF∥AC8.(4分)已知曲线W:+|y|=1,则曲线W上的点到原点距离的最小值是()A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.(4分)已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行,则实数a=.10.(4分)双曲线的两条渐近线方程为.11.(4分)已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为.12.(4分)已知椭圆C=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为.13.(4分)已知平面α⊥β,且α∩β=l,在l上有两点A,B,线段AC⊂α,线段BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,AB=4,AC=3,BD=12,则线段CD的长为.14.(4分)已知点,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=|PF|,则|OP|=.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)已知点A(0,2),圆O:x2+y2=1.(Ⅰ)求经过点A与圆O相切的直线方程;(Ⅱ)若点P是圆O上的动点,求的取值范围.16.(12分)已知直线l:y=x+t与椭圆C:x2+2y2=2交于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆C的长轴长和焦点坐标;(Ⅱ)若|AB|=,求t的值.17.(12分)如图所示的几何体中,直线AF⊥平面ABCD,且ABCD为正方形,ADEF为梯形,DE∥AF,又AB=1,AF=2DE=2a.(Ⅰ)求证:直线CE∥平面ABF;(Ⅱ)求证:直线BD⊥平面ACF;(Ⅲ)若直线AE⊥CF,求a的值.18.(10分)已知椭圆,经过点A(0,3)的直线与椭圆交于P,Q两点.(Ⅰ)若|PO|=|PA|,求点P的坐标;(Ⅱ)若S△OAP=S△OPQ,求直线PQ的方程.北京市海淀区2019-2020学年上学期期末考试高二文科数学试卷参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(4分)直线x+y=2的倾斜角是()A.B.C.D.考点:直线的倾斜角.专题:直线与圆.分析:直线的倾斜角与斜率之间的关系解答:解:设倾斜角为θ,θ∈可得,解得m=4.故选:A.点评:本题考查椭圆的简单性质的应用,基本知识的考查.3.(4分)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为()A.8 B.C.D.6考点:由三视图求面积、体积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由已知中的三视图可得,该几何体为以俯视图为底面的四棱锥,求出底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案.解答:解:由已知中的三视图可得,该几何体为以俯视图为底面的四棱锥,棱锥的底面面积S=2×2=4,棱锥的高h=2,故棱锥的体积V==,故选:B点评:本题考查三视图、三棱柱的体积,本试题考查了简单几何体的三视图的运用.培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力.基础题.4.(4分)已知圆O:x2+y2=1,直线l:3x+4y﹣3=0,则直线l被圆O所截的弦长为()A.B.1 C.D.2考点:直线与圆相交的性质.专题:直线与圆.分析:根据直线和圆的位置关系结合弦长公式即可得到结论.解答:解:圆心到直线的距离d=,则直线l被圆O所截的弦长为==,故选:C点评:本题主要考查直线和圆相交的应用,根据圆心到直线的距离结合弦长公式是解决本题的关键.5.(4分)命题“∃k>0,使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限”的否定是()A.∃k>0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限B.∃k≤0,使得直线y=kx﹣2的图象经过第一象限C.∀k>0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限D.∀k≤0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限考点:命题的否定.专题:简易逻辑.分析:根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.解答:解:命题为特称命题,则根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定是∀k>0,使得直线y=kx﹣2的图象不经过第一象限,故选:C点评:本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.6.(4分)已知等差数列{a n},则“a2>a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:等差数列与等比数列;简易逻辑.分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解答:解:在等差数列{a n}中,若a2>a1,则d>0,即数列{a n}为单调递增数列,若数列{a n}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件,故选:C.点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,等差数列的性质是解决本题的关键.7.(4分)已知正四面体A﹣BCD的棱长为2,点E是AD的中点,则下面四个命题中正确的是()A.∀F∈BC,EF⊥AD B.∃F∈BC,EF⊥AC C.∀F∈BC,EF≥D.∃F∈BC,EF∥AC考点:棱锥的结构特征.专题:空间位置关系与距离.分析:由题意画出图形,利用线面垂直的判定判定AD⊥面BCE,由此说明A正确;由三垂线定理结合∠BEC为锐角三角形说明B错误;举例说明C错误;由平面的斜线与平面内直线的位置关系说明D错误.解答:解:如图,∵四面体A﹣BCD为正四面体,且E为AD的中点,∴BE⊥AD,CE⊥AD,又BE∩CE=E,∴AD⊥面BCE,则∀F∈BC,EF⊥AD,选项A正确;由AE⊥面BCE,∴AE⊥EF,若AC⊥EF,则CE⊥EF,∵∠BEC为锐角三角形,∴不存在F∈BC,使EF⊥AC,选项B错误;取BC中点F,可求得DF=,又DE=1,得EF=,选项C错误;AC是平面BCE的一条斜线,∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面,选项D错误.故选:A.点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了空间中直线与平面的位置关系,考查了线线垂直与线面平行的判定,考查了空间想象能力,是中档题.8.(4分)已知曲线W:+|y|=1,则曲线W上的点到原点距离的最小值是()A.B.C.D.考点:两点间距离公式的应用.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:化简方程+|y|=1,得到x2=1﹣2|y|,作出曲线W的图形,通过图象观察,即可得到到原点距离的最小值.解答:解:+|y|=1即为=1﹣|y|,两边平方,可得x2+y2=1+y2﹣2|y|,即有x2=1﹣2|y|,作出曲线W的图形,如右:则由图象可得,O与点(0,)或(0,﹣)的距离最小,且为.故选A.点评:本题考查曲线方程的化简,考查两点的距离公式的运用,考查数形结合的思想方法,属于中档题.二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.(4分)已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行,则实数a=1或﹣1.考点:直线的一般式方程与直线的平行关系.专题:直线与圆.分析:由平行关系可得向量相等,排除截距相等即可.解答:解:当a=0时,第二个方程无意义,故a≠0,故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣,由直线平行可得a=,解得a=±1故答案为:1或﹣1点评:本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题.10.(4分)双曲线的两条渐近线方程为.考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.解答:解:∵双曲线的a=4,b=3,焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为:点评:本题考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何意义,特别是双曲线的渐近线方程,解题时要注意先定位,再定量的解题思想11.(4分)已知椭圆上的点P到一个焦点的距离为3,则P到另一个焦点的距离为7.考点:椭圆的定义.专题:计算题.分析:椭圆的长轴长为10,根据椭圆的定义,利用椭圆上的点P到一个焦点的距离为3,即可得到P到另一个焦点的距离.解答:解:椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义,∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为:7点评:本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的定义,属于基础题.12.(4分)已知椭圆C=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上,则椭圆C的离心率为.考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由题意和椭圆的对称性可得:点P是椭圆短轴上的顶点,由椭圆的性质即可求出椭圆C的离心率.解答:解:因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上,如图:所以由椭圆的对称性可得:点P是椭圆短轴上的顶点,因为△F1F2P是等边三角形,所以a=2c,则=,即e=,故答案为:.点评:本题考查椭圆的简单几何性质的应用,解题的关键确定点P的位置,属于中档题.13.(4分)已知平面α⊥β,且α∩β=l,在l上有两点A,B,线段AC⊂α,线段BD⊂β,AC⊥l,BD⊥l,AB=4,AC=3,BD=12,则线段CD的长为13.考点:点、线、面间的距离计算.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:由于本题中的二面角是直角,且两线段都与棱垂直,可根据题意作出相应的长方体,CD恰好是此长方体的体对角线,由长方体的性质求出其长度即可.解答:解:如图,由于此题的二面角是直角,且线段AC,BD分别在α,β内垂直于棱l,AB=4,AC=3,BD=12,作出以线段AB,BD,AC为棱的长方体,CD即为长方体的对角线,由长方体的性质知,CD==13.故答案为:13.点评:本题考查与二面角有关的线段长度计算问题,根据本题的条件选择作出长方体,利用长方体的性质求线段的长度,大大简化了计算,具体解题中要注意此类问题的合理转化.14.(4分)已知点,抛物线y2=2x的焦点为F,点P在抛物线上,且|AP|=|PF|,则|OP|=.考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求得抛物线的焦点F,设P(m2,m),运用两点的距离公式,结合条件|AP|=|PF|,计算可得m,再由两点的距离公式计算即可得到结论.解答:解:抛物线y2=2x的焦点为F(,0),设P(m2,m),由|AP|=|PF|,可得|AP|2=2|PF|2,即有(m2+)2+m2=2,化简得m4﹣2m2+1=0,解得m2=1,即有|OP|===.故答案为:.点评:本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的焦点坐标,同时考查两点的距离公式的运用,属于中档题.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(10分)已知点A(0,2),圆O:x2+y2=1.(Ⅰ)求经过点A与圆O相切的直线方程;(Ⅱ)若点P是圆O上的动点,求的取值范围.考点:直线和圆的方程的应用.专题:平面向量及应用;直线与圆.分析:(1)由已知中直线过点A我们可以设出直线的点斜式方程,然后化为一般式方程,代入点到直线距离公式,根据直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,可以求出k值,进而得到直线的方程;(2)设出P点的坐标,借助坐标来表示两个向量的数量积,再根据P在圆上的条件,进而得到结论.解答:(本小题满分10分)解:( I)由题意,所求直线的斜率存在.设切线方程为y=kx+2,即kx﹣y+2=0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)所以圆心O到直线的距离为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)所以,解得,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)所求直线方程为或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)( II)设点P(x,y),所以,,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)因为点P在圆上,所以x2+y2=1,所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)又因为x2+y2=1,所以﹣1≤y≤1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)所以.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)点评:本题考查的知识是直线和圆的方程的应用,其中熟练掌握直线与圆不同位置关系时,点到直线的距离与半径的关系是关键,还考查了向量数量积的坐标表示.16.(12分)已知直线l:y=x+t与椭圆C:x2+2y2=2交于A,B两点.(Ⅰ)求椭圆C的长轴长和焦点坐标;(Ⅱ)若|AB|=,求t的值.考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)求出椭圆的标准方程,即可求椭圆C的长轴长和焦点坐标;(Ⅱ)联立直线和椭圆方程转化为一元二次方程,结合弦长公式进行求解即可.解答:解:( I)因为x2+2y2=2,所以,所以,所以c=1,所以长轴为,焦点坐标分别为F1(﹣1,0),F2(1,0).( II)设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为,消元化简得3x2+4tx+2t2﹣2=0,所以,所以,又因为,所以,解得t=±1.点评:本题主要考查椭圆方程的应用和性质,以及直线和椭圆相交的弦长公式的应用,转化一元二次方程是解决本题的关键.17.(12分)如图所示的几何体中,直线AF⊥平面ABCD,且ABCD为正方形,ADEF为梯形,DE∥AF,又AB=1,AF=2DE=2a.(Ⅰ)求证:直线CE∥平面ABF;(Ⅱ)求证:直线BD⊥平面ACF;(Ⅲ)若直线AE⊥CF,求a的值.考点:直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.专题:证明题;空间位置关系与距离.分析:(I)由AB∥CD,DE∥AF,且AB∩AF=A,CD∩DE=D,可证平面ABF∥平面DCE即可证明CE∥平面ABF.(II)先证明AC⊥BD,AF⊥BD,即可证明直线BD⊥平面ACF.(Ⅲ)连接 FD,易证明CD⊥AE.又AE⊥CF,可证AE⊥FD.从而可得,即有,即可解得a的值.解答:(本小题满分12分)解:( I)因为ABCD为正方形,所以AB∥CD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)又DE∥AF,且AB∩AF=A,CD∩DE=D.所以平面ABF∥平面DCE.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)而CE⊂平面EDC,所以CE∥平面ABF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(II)因为ABCD为正方形,所以AC⊥BD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分)因为直线AF⊥平面ABCD,所以AF⊥BD,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)因为AF∩AC=A,所以直线BD⊥平面ACF.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)(Ⅲ)连接 FD.因为直线AF⊥平面ABCD,所以AF⊥CD,又CD⊥AD,AD∩AF=A所以CD⊥平面ADEF,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)所以CD⊥AE.又AE⊥CF,FC∩CD=C,所以AE⊥平面FCD,所以AE⊥FD.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分)所以,所以==解得.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分).点评:本题主要考察了直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考察了转化思想,属于中档题.18.(10分)已知椭圆,经过点A(0,3)的直线与椭圆交于P,Q两点.(Ⅰ)若|PO|=|PA|,求点P的坐标;(Ⅱ)若S△OAP=S△OPQ,求直线PQ的方程.考点:椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)由|PO|=|PA|,得P在OA的中垂线上,求出中垂线方程,代入椭圆方程进行求解即可求点P 的坐标;(Ⅱ)求出直线方程,联立直线和椭圆方程,转化为一元二次方程,结合三角形面积之间的关系即可得到结论.解答:解:( I)设点P(x1,y1),由题意|PO|=|PA|,所以点P在OA的中垂线上,而OA的中垂线为,所以有.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)把其代入椭圆方程,求得x1=±1.所以或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)(II)设Q(x2,y2).根据题意,直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为y=kx+3,所以.消元得到(3+4k2)x2+24kx+24=0,所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)因为S△OAP=S△OPQ,所以S△OAQ=2S△OPQ,即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)所以有|x1|=2|x2|,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)因为,所以x1,x2同号,所以x1=2x2.所以,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)解方程组得到,经检验,此时△>0,所以直线PQ的方程为,或.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)法二:设Q(x2,y2),因为S△OAP=S△OPQ,所以|AP|=|PQ|.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)即点P为线段OQ的中点,所以x2=2x1,y2=2y1﹣3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)把点P,Q的坐标代入椭圆方程得到﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)解方程组得到或者,即,或者.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)所以直线PQ的斜率为或者,所以直线PQ的方程为,.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)点评:本题主要考查椭圆方程的应用和性质,直线和椭圆相交的性质,利用设而不求的思想是解决本题的关键.考查学生的运算能力.。
2022-2021学年安徽省黄山市高二(上)期末数学试卷(文科)一.选择题1.直线x+y+3=0的倾斜角是()A.π B.π C. D.2.以下说法错误的是()A.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C.若命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0,则﹁p:∀x∈R,则x2+x+1≥0D.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题3.直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0相互垂直,则a的值为() A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.﹣2或14.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A. m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β B.α∥β,m⊂α,n⊂α,⇒m∥nC. m⊥α,m⊥n⇒n∥α D. n∥m,n⊥α⇒m⊥α5.如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BDC. AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AC1与CB所成的角为60°6.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为() A. y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x7.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为()A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或38.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣89.底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形的四棱锥,其5个顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B. 16π C. 9π D.10.已知直线交于P,Q两点,若点F 为该椭圆的左焦点,则取最小值的t值为()A.﹣ B.﹣ C. D.二.填空题11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.12.过点P(1,2)的直线l与圆C:(x+3)2+(y﹣4)2=36交于A 、B两点,当|AB|最小时,直线l的方程是.13.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线上一点,|AF|=x0,则x0= .14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的标准方程为.15.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是A1B1,CC1的中点,过D1,E,F作平面D1EGF 交BB1于G.给出以下五个结论:①EG∥D1F;②BG=3GB1;③平面D1EGF⊥平面CDD1C1;④直线D1E与FG的交点在直线B1C1上;⑤几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为.其中正确的结论有(填上全部正确结论的序号)三.解答题(共6小题,共75分)16.已知命题p:“∀x>1,x+≥a”,命题q:“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”,p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数a的取值范围.17.已知圆C 的圆心为坐标原点O,且与直线l1:x﹣y﹣2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若与直线l1垂直的直线l2与圆C交于不同的两点P、Q,且以PQ为直径的圆过原点,求直线l2的方程.18.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别为A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE ;(3)求三棱锥E﹣ABC的体积.19.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图2所示,其中EA⊥平面ABC ,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.(1)求证:AC⊥BD;(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.20.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y2=2x相交于P、Q两点,假如•=3,O为坐标原点.证明:直线l过定点.21.已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B,点M(),证明:为定值.2022-2021学年安徽省黄山市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题1.直线x+y+3=0的倾斜角是()A.π B.π C. D.考点:直线的倾斜角.专题:直线与圆.分析:先求出直线的斜率,再求直线的倾斜角.解答:解:∵直线x+y+3=0的斜率k=﹣,∴直线x+y+3=0的倾斜角α=.故选:A.点评:本题考查直线的倾斜角的求法,是基础题,解题时要留意直线的性质的合理运用.2.以下说法错误的是()A.命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C.若命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0,则﹁p:∀x∈R,则x2+x+1≥0D.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题考点:命题的真假推断与应用.专题:简易规律.分析:直接写出命题的逆否命题推断A正确;由充分条件、必要条件的概念推断B正确;直接写出特称命题的否定推断C正确;由复合命题的真假推断说明D错误.解答:解:对于A,命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”.命题A正确;对于B,由x=1,能够得到x2﹣3x+2=0.求解x2﹣3x+2=0得到x=1或x=2.∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件.命题B正确;对于C,命题p:∃x0∈R,使得x02+x0+1<0的否定为﹁p:∀x∈R,则x2+x+1≥0.命题C为真命题;对于D,∵若p,q中只要有一个为真命题,则p∨q为真命题.∴p∨q为真命题,则p,q均为真命题错误.命题D为假命题.故选:D.点评:本题考查了命题的真假推断与应用,解答的关键是熟记教材有关基础学问,属中档题.3.直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0相互垂直,则a的值为()A.﹣2 B.﹣1 C. 1 D.﹣2或1考点:直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题:直线与圆.分析:由题意求出两条直线的斜率,利用两条直线的垂直条件,求出a的值.解答:解:由于直线方程:x+ay+1=0,直线方程:(a+1)x﹣2y+3=0,所以两条直线的斜率是:和,由于直线x+ay+1=0与直线(a+1)x﹣2y+3=0相互垂直,所以()×=﹣1,则a=1,故选:C.点评:本题考查两直线垂直的条件:斜率之积等于﹣1,留意斜率不存在时对应的特殊状况.4.已知m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是() A. m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β⇒α∥β B.α∥β,m⊂α,n⊂α,⇒m∥nC. m⊥α,m⊥n⇒n∥α D. n∥m,n⊥α⇒m⊥α考点:空间中直线与平面之间的位置关系.分析:结合题意,由面面平行的判定定理推断A,面面平行的定义推断B,线面垂直的定义推断C,利用平行和垂直的结论推断.解答:解:A不正确,m、n少相交条件;B不正确,分别在两个平行平面的两条直线不肯定平行;C不正确,n可以在α内;故选D点评:本题主要考查了面面平行的判定定理及定义,线面垂直的定义及一些结论来推断空间线面的位置关系,培育规律思维力量.5.如图,ABCD﹣A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()A. BD∥平面CB1D1B. AC1⊥BDC. AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AC1与CB所成的角为60°考点:空间中直线与直线之间的位置关系.专题:空间位置关系与距离.分析:借助于正方体图形,利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判定A、B、C、D选项正确与否,从而确定答案.解答:解:∵BD∥B1D1,BD不包含于平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,∴BD∥平面CB1D1,故A正确;∵BD⊥CC1,BD⊥AC,CC1∩AC=C,∴BD⊥平面ACC1,又AC1⊂平面ACC1,∴AC1⊥BD,故B正确;∵由三垂线定理知AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,∴AC1⊥平面CB1D1,故C正确;由CB∥C1B1,得∠AC1B1,其正切值为,故D错误.故选:D.点评:本题考查命题真假的推断,是中档题,解题时要认真审题,留意空间思维力量的培育.6.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为() A. y=±2x B. y=±x C. y=±x D. y=±x考点:双曲线的简洁性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:运用离心率公式,再由双曲线的a,b,c的关系,可得a,b的关系,再由渐近线方程即可得到.解答:解:由双曲线的离心率为,则e==,即c=a,b===a,由双曲线的渐近线方程为y=x,即有y=x.故选D.点评:本题考查双曲线的方程和性质,考查离心率公式和渐近线方程的求法,属于基础题.7.直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点,则k的值为()A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或3考点:抛物线的简洁性质.专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由,得(kx+2)2=8x,再由直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,知△=(4k﹣8)2﹣16k2=0,或k2=0,由此能求出k的值.解答:解:由,得(kx+2)2=8x,∴k2x2+4kx+4=8x,整理,得k2x2+(4k﹣8)x+4=0,∵直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,∴△=(4k﹣8)2﹣16k2=0,或k2=0,解得k=1,或k=0.故选C.点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,解题时要认真审题,认真解答,留意合理地进行等价转化.8.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是() A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8考点:直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:把圆的方程化为标准形式,求出弦心距,再由条件依据弦长公式求得a的值.解答:解:圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即(x+1)2+(y﹣1)2=2﹣a,故弦心距d==.再由弦长公式可得 2﹣a=2+4,∴a=﹣4,故选:B.点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基础题.9.底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形的四棱锥,其5个顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A. B. 16π C. 9π D.考点:球的体积和表面积.专题:计算题;空间位置关系与距离.分析:利用射影定理,求出球的半径,即可求出球的表面积.解答:解:设球的半径为R ,则()2=4•(2R﹣4),∴R=,∴球的表面积为4πR2=4=.故选:A.点评:本题考查球的表面积,考查同学的计算力量,确定球的半径是关键.10.已知直线交于P,Q两点,若点F 为该椭圆的左焦点,则取最小值的t值为()A.﹣ B.﹣ C. D.考点:椭圆的简洁性质;平面对量数量积的运算.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:确定F的坐标,设出P,Q 的坐标,表示出,即可求得结论.解答:解:由题意,F(﹣4,0)由椭圆的对称性,可设P(t,s),Q(t,﹣s),则=(t+4,s)•(t+4,﹣s)=(t+4)2﹣s2=∴t=﹣时,取最小值故选B.点评:本题考查椭圆的性质,考查向量学问的运用,考查同学的计算力量,属于基础题.二.填空题11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为8 .考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:由三视图可知:该几何体为三棱锥,PA⊥底面ABC,PA=4,OB=OC=2,OA=3.解答:解:由三视图可知:该几何体为三棱锥,PA⊥底面ABC,PA=4,OB=OC=2,OA=3.体积V==8.故答案为:8.点评:本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式,属于基础题.12.过点P(1,2)的直线l与圆C:(x+3)2+(y﹣4)2=36交于A、B两点,当|AB|最小时,直线l的方程是y=2x .考点:直线与圆相交的性质.专题:直线与圆.分析:要使|AB|最小时,则圆心到直线的距离最大,即CP⊥AB,求出直线的斜率即可.解答:解:圆心C坐标为(﹣3,4),半径R=6,要使|AB|最小时,则圆心到直线的距离最大,即CP⊥AB,此时CP的斜率k=,则AB的斜率k=2,则l的方程为y﹣2=2(x﹣1),即y=2x,故答案为:y=2x.点评:本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,依据弦长最小,确定直线的位置关系是解决本题的关键.13.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线上一点,|AF|=x0,则x0= 1 .考点:抛物线的简洁性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:抛物线C:y2=x的准线方程为x=﹣,由抛物线的定义可得,A到焦点的距离即为A到准线的距离,可得x0+=,解方程即可得到所求值.解答:解:抛物线C:y2=x的准线方程为x=﹣,由抛物线的定义可得,A到焦点的距离即为A到准线的距离,即有|AF|=x0+=,解得x0=1.故答案为:1.点评:本题考查抛物线的定义、方程和性质,主要考查准线方程的运用,留意定义法解题,属于基础题.14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的标准方程为.考点:椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由已知得,由此能求出椭圆方程.解答:解:由已知得,解得a=,b=,c=1,∴.故答案为:.点评:本题考查椭圆方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,留意椭圆性质的合理运用.15.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是A1B1,CC1的中点,过D1,E,F作平面D1EGF 交BB1于G.给出以下五个结论:①EG∥D1F;②BG=3GB1;③平面D1EGF⊥平面CDD1C1;④直线D1E与FG的交点在直线B1C1上;⑤几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为.其中正确的结论有①②④⑤(填上全部正确结论的序号)考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:①利用面面平行的性质定理即可推断出正误;②如图所示,取BB1的中点M,连接A1M,FM.则四边形A1D1FM是平行四边形,再利用三角形的中位线定理可得G是B1M的中点,即可推断出正误;③由A1D1⊥平面CDD1C1,可得平面A1D1FM⊥平面CDD1C1,即可推断出正误;④直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上,又在平面BCC1B1上,因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线上,即可推断出正误;⑤先计算三棱台B1EG﹣C1D1F的体积V1.利用几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为=﹣V1,即可推断出正误解答:解:对于①,∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面D1EGF∩平面ABB1A1=EG,平面D1EGF∩平面DCC1D1=D1F,∴EG∥D1F;对于②,如图所示,取BB1的中点M,连接A1M,FM.则四边形A1D1FM是平行四边形,∴A1M∥D1F,∴A1M∥EG,又点E是A1B1的中点,∴G是B1M的中点,∴BG=3GB1;对于③,∵A1D1⊥平面CDD1C1,∴平面A1D1FM⊥平面CDD1C1,可得平面D1EGF与平面CDD1C1不行能垂直,因此不正确;对于④,直线D1E与FG的交点既在平面A1B1C1D1上,又在平面BCC1B1上,因此在平面A1B1C1D1与平面BCC1B1的交线B 1C1上,正确;对于⑤,∵==1,==,高B1C1=2,∴三棱台B1EG﹣C1D 1F的体积V1==.∴几何体ABGEA1﹣DCFD1的体积为=﹣V1=23﹣=,因此正确.故答案为:①②④⑤.点评:本题考查了空间线面面面位置关系及其判定方法、三棱台的体积计算公式,考查了空间想象力量、推理力量,属于中档题.三.解答题(共6小题,共75分)16.已知命题p:“∀x>1,x+≥a”,命题q:“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”,p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数a的取值范围.考点:复合命题的真假.专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用;简易规律.分析:别求出命题p,q为真命题时的取值范围,然后利用若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.解答:解:命题p为真命题时:∀x>1,x﹣1>0,依据基本不等式,a ≤x﹣1++1≤2+1=2+1=3(当且仅当x﹣1=即x=0时取相等),此时a≤3;命题q为真命题时,方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根,则△>0,即a2﹣8a>0,解得a<0或a>8;∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,∴命题p 和q一真一假,p真q假时,有,则0≤a ≤3,p假q真时,有,则a>8,∴实数a的取值范围:[0,3]∪(8,+∞).点评:本题主要考查复合命题的真假与简洁命题真假之间的关系,比较基础.17.已知圆C的圆心为坐标原点O,且与直线l1:x﹣y﹣2=0相切.(1)求圆C的方程;(2)若与直线l1垂直的直线l2与圆C交于不同的两点P、Q,且以PQ为直径的圆过原点,求直线l2的方程.考点:直线和圆的方程的应用.专题:直线与圆.分析:(1)依据点到直线的距离确定圆的半径,则圆的方程可得.(2)设出直线l2的方程,推断出△OPQ为等腰直角三角形,求得圆心到直线l2的距离进而利用点到直线的距离求得c.则直线方程可得.解答:解:(1)由已知圆心到直线的距离为半径,求得半径r==2,∴圆的方程为x2+y2=4.(2)设直线l2的方程为x+y+c=0,由已知△OPQ为等腰直角三角形,则圆心到直线l2的距离为1,利用点到直线的距离公式得=,求得c=±2.所以直线l2的方程为x+y+2=0或x+y﹣2=0.点评:本题主要考查了直线与圆的方程问题的应用.点到直线的距离公式是解决此类问题的常用公式,应机敏运用.18.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别为A1C1、BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E﹣ABC的体积.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离.分析:(1)证明AB⊥B1BCC1,可得平面ABE⊥B1BCC1;(2)证明C1F∥平面ABE,只需证明四边形FGEC1为平行四边形,可得C1F∥EG;(3)利用V E﹣ABC =S△ABC•AA1,可求三棱锥E﹣ABC的体积.解答:解:(1)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∴BB1⊥AB,∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面B1BCC1,∴AB⊥平面B1BCC1,∵AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1;(Ⅱ)证明:取AB中点G,连接EG,FG,则∵F是BC的中点,∴FG∥AC,FG=AC,∵E是A1C1的中点,∴FG∥EC1,FG=EC1,∴四边形FGEC1为平行四边形,∴C1F∥EG,∵C1F⊄平面ABE,EG⊂平面ABE,∴C1F∥平面ABE;(3)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,∴AB=,∴V E﹣ABC =S△ABC•AA1=×(××1)×2=.点评:本题考查线面平行、垂直的证明,考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算,正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键.19.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成,点A、B、C在圆O的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图2所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.(1)求证:AC⊥BD;(2)求三棱锥E﹣BCD的体积.考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;简洁空间图形的三视图;直线与平面垂直的性质.专题:计算题.分析:(1)由已知中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理,我们易求出AC ⊥平面EBD,进而得到答案.(2)要求三棱锥E﹣BCD的体积,我们有两种方法,方法一是利用转化思想,将三棱锥E﹣BCD的体积转化为三棱锥C﹣EBD的体积,求出棱锥的高和底面面积后,代入棱锥体积公式,进行求解;方法二是依据V E﹣BCD=V E﹣ABC+V D﹣ABC,将棱锥的体积两个棱次的体积之差,求出两个帮助棱锥的体积后,得到结论.解答:(1)证明:由于EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.又由于AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.由于BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.(4分)(2)解:由于点A、B、C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.设圆O的半径为r,圆柱高为h,依据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,(6分)解得所以BC=4,.以下给出求三棱锥E﹣BCD体积的两种方法:方法1:由(1)知,AC⊥平面EBD,所以.(10分)由于EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EA⊥AB,即ED⊥AB.其中ED=EA+DA=2+2=4,由于AB⊥AC ,,所以.(13分)所以.(14分)方法2:由于EA⊥平面ABC,所以.(10分)其中ED=EA+DA=2+2=4,由于AB⊥AC ,,所以.(13分)所以.(14分)点评:本题考查的学问点是棱锥的体积公式,简洁空间图形的三视图,直线与平面垂直的性质,其中依据已知中三视图的体积,推断出几何体中相关几何量的大小,结合已知中其中量,进而推断出线面关系是解答本题的关键.20.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=2x相交于P、Q 两点,假如•=3,O为坐标原点.证明:直线l过定点.考点:平面对量数量积的运算.专题:平面对量及应用.分析:设出直线的方程,同抛物线方程联立,得到关于y的一元二次方程,依据根与系数的关系表示出数量积,依据数量积等于3,做出数量积表示式中的b的值,即得到定点的坐标.解答:证:由题意,直线的斜率不为0,所以设l:ky=x+b,代入抛物线y2=2x,消去x得y2﹣2ky+2b=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)则y1+y2=2k,y1y2=2b,∵•=3,∴x1x2+y1y2=3,即(k2+1)y1y2﹣kb(y1+y2)+b2=3代入得2(k2+1)b﹣2k2b+b2=3,解得b=﹣3或者b=1,∴直线方程为ky=x﹣3或者ky=x+1,故直线l过定点(3,0)或者(﹣1,0).点评:本题主要考查向量的数量积的运算,以及直线与抛物线的位置关系.21.已知椭圆的左焦点F为圆x2+y2+2x=0的圆心,且椭圆上的点到点F的距离最小值为.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A、B,点M (),证明:为定值.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;平面对量的坐标运算;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线中的最值与范围问题.分析:(I)先求出圆心坐标,再依据题意求出a、b,得椭圆的标准方程.(II)依据直线的斜率是否存在,分状况设直线方程,再与椭圆方程联立方程组,设出交点坐标,结合韦达定理根与系数的关系,利用向量坐标运算验证.解答:解:(I)∵圆x2+y2+2x=0的圆心为(﹣1,0),依据题意c=1,a﹣c=﹣1,∴a=.∴椭圆的标准方程是:+y2=1;(II)①当直线L与x轴垂直时,L的方程是:x=﹣1,得A(﹣1,),B(﹣1,﹣),•=(,)•(,﹣)=﹣.②当直线L与x轴不垂直时,设直线L的方程为 y=k(x+1)⇒(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=﹣,=(x1+,y1)•(x2+,y2)=x1x2+(x1+x2)++k2(x1x2+x1+x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2+)(x1+x2)+k2+=(1+k2)()+(k2+)(﹣)+k2+=+=﹣2+=﹣综上•为定值﹣.点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及向量坐标运算.依据韦达定理,奇妙利用根与系数的关系设而不求,是解决本类问题的关键.。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)命题“∀x∈N,e x>sin x”的否定是()A.∀x∈N,e x≤sin x B.∀x∈N,e x<sin xC.∃x0∈N,>sin x0D.∃x0∈N,≤sin x02.(5分)抛物线y2=4x的准线方程是()A.B.C.x=﹣1D.x=13.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,﹣1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A.(1,1,1)B.(1,1,﹣1)C.(﹣1,﹣1,﹣1)D.(1,﹣1,﹣1)4.(5分)设直线l1:ax+(a﹣2)y+1=0,l2:x+ay﹣3=0.若l1⊥l2,则a的值为()A.0或1B.0或﹣1C.1D.﹣15.(5分)下列有关命题的表述中,正确的是()A.命题“若a+b是偶数,则a,b都是偶数”的否命题是假命题B.命题“若a为正无理数,则也是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若x=2,则x2+x﹣6=0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0,则x≠2”D.若命题“p∧q”,“p∨(¬q)”均为假命题,则p,q均为假命题6.(5分)执行如图所示的算法框图,则输出的结果是()A.B.C.D.7.(5分)方程表示椭圆的充分不必要条件可以是()A.m∈(﹣3,1)B.m∈(﹣3,﹣1)∪(﹣1,1)C.m∈(﹣3,0)D.m∈(﹣3,﹣1)8.(5分)如图,是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位,分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是()A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且8次测试成绩的极差超过15分B.该同学8次测试成绩的众数是48分C.该同学8次测试成绩的中位数是49分D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关9.(5分)若椭圆的弦AB恰好被点M(1,1)平分,则AB所在的直线方程为()A.3x﹣4y+1=0B.3x+4y﹣7=0C.4x﹣3y﹣1=0D.4x+3y﹣7=0 10.(5分)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,被誉为“东方魔社”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为()A.B.C.D.11.(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P,使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q,且PF2⊥PQ,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±2x C.D.12.(5分)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:①曲线C围成的图形的面积是2+π;②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2;③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n﹣12|的最小值是.其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3二、填空题:本大题共4小题每小题5分,共20分,把答案13.(5分)椭圆x2+2y2=4的长轴长为.14.(5分)某班有40位同学,将他们从01至40编号,现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出,抽出的编号从小到大依次排列,若排在第一位的编号是05,那么第四位的编号是.15.(5分)根据某市有关统计公报显示,随着“一带一路”经贸合作持续深化,该市对外贸易近几年持续繁荣,2017年至2020年每年进口总额x(单位:千亿元)和出口总额y (单位:千亿元)之间的一组数据如下:2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x,y满足线性相关关系,则=;若计划2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为千亿元.16.(5分)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2,设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,P为两曲线的一个公共点,且(O为坐标原点).若,则e2的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3).(Ⅰ)求AC边所在的直线方程;(Ⅱ)求经过AB边的中点,且与AC边平行的直线l的方程.18.(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查,数据如下表:认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生,分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率;(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生.现要从这5名学生中任取2名学生了解情况,求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率.19.(12分)已知圆C的圆心为C(1,2),且圆C经过点P(5,5).(Ⅰ)求圆C的一般方程;(Ⅱ)若圆O:x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线,求实数m的取值范围.20.(12分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的得分都不低于60分,将这50名学生的得分进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图.(Ⅰ)求图中m的值,估计此次活动学生得分的中位数;(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计此竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.21.(12分)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A,且|AF|=4.(Ⅰ)求抛物线E的方程;(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线E相交于P,Q两点,l2与抛物线E相交于M,N两点.若C,D分别是线段PQ,MN的中点,求|FC|•|FD|的最小值.22.(12分)已知点P是圆上任意一点,是圆C内一点,线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹E的方程;(Ⅱ)设不经过坐标原点O,且斜率为的直线l与曲线E相交于M,N两点,记OM,ON的斜率分别是k1,k2,当k1,k2都存在且不为0时,试探究k1k2是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)命题“∀x∈N,e x>sin x”的否定是()A.∀x∈N,e x≤sin x B.∀x∈N,e x<sin xC.∃x0∈N,>sin x0D.∃x0∈N,≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.【解答】解:命题为全称命题,则命题的否定为∃x0∈N,≤sin x0,故选:D.【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础.2.(5分)抛物线y2=4x的准线方程是()A.B.C.x=﹣1D.x=1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值,进而可以求解.【解答】解:由已知抛物线方程可得:2p=4,所以p=2,所以准线方程为x=−=−1,即x=﹣1,故选:C.【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程,属于基础题.3.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,﹣1,1)关于x轴对称的点的坐标为()A.(1,1,1)B.(1,1,﹣1)C.(﹣1,﹣1,﹣1)D.(1,﹣1,﹣1)【分析】根据所给的点的坐标,知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变,纵标和竖标改变,写出点的坐标.【解答】解:∵点A(1,﹣1,1),一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变,纵标和竖标改变,∴点A(1,﹣1,1)关于x轴对称的点的坐标为(1,1,﹣1)故选:B.【点评】本题考查空间中点的对称,是一个基础题,注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标,这种题目通常单独作为一个知识点出现.4.(5分)设直线l1:ax+(a﹣2)y+1=0,l2:x+ay﹣3=0.若l1⊥l2,则a的值为()A.0或1B.0或﹣1C.1D.﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解.【解答】解:∵直线l1:ax+(a﹣2)y+1=0,l2:x+ay﹣3=0,l1⊥l2,∴a×1+(a﹣2)×a=0,解得a=0或a=1.故选:A.【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与直线垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.(5分)下列有关命题的表述中,正确的是()A.命题“若a+b是偶数,则a,b都是偶数”的否命题是假命题B.命题“若a为正无理数,则也是无理数”的逆命题是真命题C.命题“若x=2,则x2+x﹣6=0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0,则x≠2”D.若命题“p∧q”,“p∨(¬q)”均为假命题,则p,q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果.【解答】解:对于A:命题“若a+b是偶数,则a,b都是偶数”的逆命题是:“若a,b 都是偶数,则a+b是偶数”,该命题为真命题,由于逆命题和否命题等价,故否命题为真命题,故A错误;对于B:命题“若a为正无理数,则也是无理数”的逆命题是:若是无理数,则a 也为无理数”是假命题,故B错误;对于C:命题“若x=2,则x2+x﹣6=0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0,则x≠2”,故C正确;对于D:若命题“p∧q”,“p∨(¬q)”均为假命题,则p为假命题,q为真命题,故D 错误.故选:C.【点评】本题考查的知识要点:命题真假的判定,四种命题的转换,主要考查学生对基础知识的理解,属于基础题.6.(5分)执行如图所示的算法框图,则输出的结果是()A.B.C.D.【分析】模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++...+的值,进而根据裂项法即可求解.【解答】解:模拟程序的运行,可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++...+的值,S=++...+=(1﹣)+()+...+(﹣)=1﹣=.故选:B.【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.7.(5分)方程表示椭圆的充分不必要条件可以是()A.m∈(﹣3,1)B.m∈(﹣3,﹣1)∪(﹣1,1)C.m∈(﹣3,0)D.m∈(﹣3,﹣1)【分析】求得方程表示椭圆的条件,根据利用充分条件和必要条件的定义判断.【解答】解:若方程表示椭圆,则,解得:﹣3<m<1且m≠﹣1,则方程表示椭圆的充要条件是{m|:﹣3<m<1且m≠﹣1},则:方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|:﹣3<m<1且m≠﹣1}的真子集,选项D,m∈(﹣3,﹣1)符合条件.故选:D.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及椭圆的方程,属于基础题.8.(5分)如图,是对某位同学一学期8次体育测试成绩(单位,分)进行统计得到的散点图,关于这位同学的成绩分析,下列结论错误的是()A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且8次测试成绩的极差超过15分B.该同学8次测试成绩的众数是48分C.该同学8次测试成绩的中位数是49分D.该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解.【解答】解:由散点图得:对于A,该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高,且8次测试成绩的极差为:56﹣38=18,超过15分,故A正确;对于B,该同学8次测试成绩的众数是48分,故B正确;对于C,该同学8次测试成绩的中位数是:=48分,故C错误;对于D,该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性,且呈正相关,故D正确.故选:C.【点评】本题考查命题真假的判断,考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.9.(5分)若椭圆的弦AB恰好被点M(1,1)平分,则AB所在的直线方程为()A.3x﹣4y+1=0B.3x+4y﹣7=0C.4x﹣3y﹣1=0D.4x+3y﹣7=0【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),利用平方差法求出直线的斜率,然后求解直线方程.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则,,两式相减得:+=0,因为弦AB恰好被点M(1,1)平分,所以有x1+x2=2,y1+y2=2.所以直线AB的斜率k==﹣•=﹣,因此直线AB的方程为y﹣1=﹣(x﹣1),即4x+3y﹣1=0,故选:D.【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的简单性质的应用,平方差法的应用,考查计算能力,属于中档题.10.(5分)七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,被誉为“东方魔社”,它是由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中随机地取一点,则该点恰好取自白色部分的概率为()A.B.C.D.【分析】设大正方形的边长为2,求出白色部分的面积,利用几何概型能求出在此正方形中任取一点,则此点取自白色部分的概率.【解答】解:如图,设大正方形的边长为2,则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形,角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形,最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形,∴白色部分的面积为:S白=22﹣×﹣××﹣×1×1=,∴在此正方形中任取一点,则此点取自白色部分的概率为:P===.故选:A.【点评】本题考查概率的运算,考查几何概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.11.(5分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线右支上存在点P,使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q,且PF2⊥PQ,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±2x C.D.【分析】利用已知条件求出P的坐标,代入双曲线方程,推出a,b的关系,即可得到渐近线方程.【解答】解:PF1的方程:y=,PF2的方程为:y=﹣(x﹣c),联立,解得P(,),点P在双曲线上,可得,可得:b4﹣3a2b2﹣4a4=0,可得:b=2a,所以双曲线的渐近线方程为:y=±2x.故选:B.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.12.(5分)数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观,它蕴藏于特有的抽象概念,公式符号,推理论证,思维方法等之中,揭示了规律性,是一种科学的真实美.平面直角坐标系中,曲线C:x2+y2=|x|+|y|流是一条形状优美的曲线,对于此曲线,给出如下结论:①曲线C围成的图形的面积是2+π;②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2;③若P(m,n)是曲线C上任意一点,则|3m+4n﹣12|的最小值是.其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【分析】由曲线方程知曲线关于原点,x,y轴对称,当x≥0,y≥0时,可得x2+y2﹣x﹣y=0,可得(x﹣)2+(y﹣)2=,所以可得是以C(,)为圆心,r=为半径的半圆,由此可作出曲线C的图象,从而通过运算可判断命题①②③的真假.【解答】解:曲线C:x2+y2=|x|+|y|可知曲线关于原点,x,y轴对称,当x≥0,y≥0时,可得x2+y2﹣x﹣y=0,可得(x﹣)2+(y﹣)2=,所以可得是以C(,)为圆心,r=为半径的半圆,由此可作出曲线C的图象,如图所示,所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×()2=2+π,故命题①正确;曲线上任意两点间距离的最大值为4×=2,故命题②错误;设圆心C到直线3x+4y﹣12=0的距离为d==,故曲线上任意一点P(m,n)到直线l的距离的最小值为最小值为﹣,故|3m+4n﹣12|的最小值是,故命题③正确.故选:C.【点评】本题考查命题真假的判断,以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质,属中档题.二、填空题:本大题共4小题每小题5分,共20分,把答案13.(5分)椭圆x2+2y2=4的长轴长为4.【分析】化简椭圆方程为标准方程,然后求解长轴长即可.【解答】解:椭圆x2+2y2=4,可得,可得a=2,所以椭圆长轴长为:4.故答案为:4.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,是基础题.14.(5分)某班有40位同学,将他们从01至40编号,现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出,抽出的编号从小到大依次排列,若排在第一位的编号是05,那么第四位的编号是29.【分析】求出系统抽样间隔,根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号.【解答】解:系统抽样间隔为40÷5=8,且抽取的第一位编号是05,所以第四位的编号是5+8×3=29.故答案为:29.【点评】本题考查了系统抽样应用问题,是基础题.15.(5分)根据某市有关统计公报显示,随着“一带一路”经贸合作持续深化,该市对外贸易近几年持续繁荣,2017年至2020年每年进口总额x(单位:千亿元)和出口总额y (单位:千亿元)之间的一组数据如下:2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x,y满足线性相关关系,则= 1.6;若计划2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为 3.65千亿元.【分析】求出样本中心坐标,代入回归直线方程,求解,然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元,求解即可.【解答】解:由题意可得:=2.4.==3.因为样本中心满足回归直线方程,可得3=2.4﹣0.84,解得=1.6.,2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为x,则5=1.6x﹣0.84,解得x=3.65.故答案为:1.6;3.65.【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.16.(5分)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2,设椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,P为两曲线的一个公共点,且(O为坐标原点).若,则e2的取值范围是[,+∞).【分析】设椭圆C1:+=1(a1>b1>0),双曲线C2:﹣=1(a2>0,b2>0),F1(﹣c,0),F2(c,0)为C1与C2的共同焦点,则c2=a12﹣b12,c2=a22+b22,由|﹣|=2||,得|PO|=c,则∠F1PF2=90°(P为C1与C2的一个公共点),设|PF1|=m,|PF2=n,可得m2+n2=4c2①,m+n=2a1②,|m﹣n|=2a2③,进一步求出e2的取值范围.【解答】解:设椭圆C1:+=1(a1>b1>0),双曲线C2:﹣=1(a2>0,b2>0),F1(﹣c,0),F2(c,0)为C1与C2的共同焦点,则c2=a12﹣b12,c2=a22+b22,由|﹣|=2||,得||=2||,所以2c=2|PO|,所以|PO|=c,所以|OF1|=|OP|=|OF2|=c,所以∠F1PF2=90°(P为C1与C2的一个公共点),设|PF1|=m,|PF2|=n,则m2+n2=4c2,①m+n=2a1,②,|m﹣n|=2a2,③②2+③2,得2m2+2n2=4(a12+a22),代入①,得2×4c2=4(a12+a22),所以2c2=a12+a22,所以+=2,④又e1=,e2=,所以=,=,所以④化为+=2,即=2﹣,因为e1∈(,],所以<e12≤,所以≤<2,所以﹣2<﹣≤﹣,所以0<2﹣≤2﹣=,即0<≤,则e22≥,又e2>1,所以e2≥,所以e2的取值范围为[,+∞),故答案为:[,+∞).【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质,解题中需要理清思路,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3).(Ⅰ)求AC边所在的直线方程;(Ⅱ)求经过AB边的中点,且与AC边平行的直线l的方程.【分析】(Ⅰ)由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率,再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程.(Ⅱ)求出AB中点,l与AC平行,从而斜率相等,即可设出l,代入A、C中点求得l.【解答】解:(Ⅰ)由题意知AC斜率为k==﹣,所以AC边所在直线方程为y﹣0=﹣(x﹣4),即3x+4y﹣12=0.(Ⅱ)由(Ⅰ)知l可设为3x+4y+m=0,又AB边中点为(5,),将点(5,)代入直线l的方程得3×5+4×+m=0,解得m=﹣29,所以l方程为3x+4y﹣29=0.【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系,属于简单题.18.(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查,数据如下表:认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550(Ⅰ)若随机抽问这个班的一名学生,分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率;(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生.现要从这5名学生中任取2名学生了解情况,求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率.【分析】(Ⅰ)利用古典概型直接求解.(Ⅱ)采用分层抽样方法抽取5人,其中“不喜欢手机网游”的有1人,“喜欢手机网游”有4 人,记“不喜欢手机网游”的1名学生为B,“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1,B2,B3,B4,从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n==10,利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种,由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率.【解答】解::(Ⅰ)用A表示“认为作业不多”,用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”,则P(A)==,P(B)==.(Ⅱ)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生,“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为=,∴采用分层抽样方法抽取5人,其中“不喜欢手机网游”的有1人,“喜欢手机网游”有4 人,记“不喜欢手机网游”的1名学生为B,“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1,B2,B3,B4,从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n==10,恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有:{B,B1},{B,B2},{B,B3},{B,B4},共4种,∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P=.【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型基础知识,考查运算求解能力,是基础题.19.(12分)已知圆C的圆心为C(1,2),且圆C经过点P(5,5).(Ⅰ)求圆C的一般方程;(Ⅱ)若圆O:x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线,求实数m的取值范围.【分析】(I)设圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=r2(r为圆C的半径),再将点P (5,5)代入圆C方程,即可求解.(II)将已知条件转化为两圆相交,再结合圆心距与两圆半径之间的关系,即可求解.【解答】解:(I)设圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=r2(r为圆C的半径),∵圆C经过点P(5,5),∴(5﹣1)2+(5﹣2)2=r2,即r2=25,∴圆C的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=25.(II)由(I)知圆C的圆心为C(1,2),半径为5,∵圆O:x2+y2=m2(m>0)与圆C恰有两条公切线,∴圆O与圆C相交,∴|5﹣m|<|OC|<5+m,∵,∴,故m的取值范围是.【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系,属于基础题.20.(12分)为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进学生对中国共产党的热爱,某学校举办了一场党史竞赛活动,共有500名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的成绩,从中抽取了50名学生的得分(得分均为整数,满分为100分)进行统计,所有学生的得分都不低于60分,将这50名学生的得分进行分组,第一组[60,70),第二组[70,80),第三组[80,90),第四组[90,100](单位:分),得到如下的频率分布直方图.(Ⅰ)求图中m的值,估计此次活动学生得分的中位数;(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计此竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励,请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖.【分析】(Ⅰ)所有组频率之和为1,每个小长方形面积为该组对应的频率,这样让1减去其它组频率即为所求组频率,所求组频率即为对应长方形面积,面积除以宽得到高就是m值.频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值.(Ⅱ)平均值是各组中点值乘以对应的频率之和,不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率.【解答】(Ⅰ)由图知第三组频率为1﹣(0.01+0.04+0.02)×10=0.30,所以第三组矩形的高为m==0.03.因为前两组的频率为(0.01+0.03)×10=0.4<0.5,前三组的频率为(0.01+0.03+0.04)×10=0.8>0.5,所以得分的中位数在第三组内,设中位数为x,(0.01+0.03)×10+(x﹣80)×0.04=0.5,解得x=82.5,所以估计此次得分的中位数是82.5分.(Ⅱ)由频率分布直方图知,学生得分的平均值为=65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02=82.参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+(90﹣82)×0.04]=260,所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分,参赛的500名学生中有260名学生获奖.【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数,频数的求解,考查较基础难度不大.21.(12分)已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线y=3与抛物线E在第一象限的交点为A,且|AF|=4.(Ⅰ)求抛物线E的方程;(Ⅱ)经过焦点F作互相垂直的两条直线l1,l2,l1与抛物线E相交于P,Q两点,l2与抛物线E相交于M,N两点.若C,D分别是线段PQ,MN的中点,求|FC|•|FD|的最小值.【分析】(Ⅰ)由题意可得|AF|=3+=4,求得p,则抛物线E的方程可求;(Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0.设直线PQ的斜率为k,则直线MN的斜率为﹣,可得直线PQ与MN的方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标,再求出|FC|与|FD|的值,作积后整理,再由基本不等式求最值.【解答】解:(Ⅰ)由题意,|AF|=3+=4,得p=2.∴抛物线E的方程为x2=4y;(Ⅱ)由(Ⅰ)知焦点为F(0,1).由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0.设直线PQ的斜率为k,则直线MN的斜率为﹣,故直线PQ的方程为y=kx+1,联立方程组,消去y,整理得x2﹣4kx﹣4=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,∵C(x C,y C)为弦PQ的中点,∴x C=(x1+x2)=2k.由y C=kx C+1=2k2+1,故点C(2k,2k2+1),同理,可得D(﹣,),故|FC|==2,|FD|==2.∴|FC|•|FD|=4=.当且仅当,即k=±1时,等号成立.∴|CF|•|FD|的最小值为8.【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系的应用,考查化简运算能力和推理能力,训练了利用基本不等式求最值,属于中档题.22.(12分)已知点P是圆上任意一点,是圆C内一点,线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q.(Ⅰ)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹E的方程;(Ⅱ)设不经过坐标原点O,且斜率为的直线l与曲线E相交于M,N两点,记OM,ON的斜率分别是k1,k2,当k1,k2都存在且不为0时,试探究k1k2是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.【分析】(Ⅰ)由题意知|PQ|=|AQ|,又|CP|=|CQ|+|PQ|=4,|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2,由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆,进而可得答案.(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+b,M(x1,y1),N(x2,y2),联立椭圆的方程,结合韦达定理可得x1+x2,x1x2,再计算k1k2=•,即可得出答案.【解答】解:(Ⅰ)由题意知|PQ|=|AQ|,又因为|CP|=|CQ|+|PQ|=4,所以|CQ|+|AQ|=4>|AC|=2,由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆,所以2a=4,即a=2,2c=2,即c=,所以b2=a2﹣c2=1,所以点Q的轨迹方程为+y2=1.(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+b,M(x1,y1),N(x2,y2),联立,得2x2+4bx+4b2﹣4=0,所以x1+x2=﹣2b,x1x2=2b2﹣2,所以k1k2=•=====,所以k1k2为定值.【点评】本题考查椭圆的方程,解题中需要一定的计算能力,属于中档题.。
高二(上)期末测试数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数集是由实数集和虚数集构成的,而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分;虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分,则可选用()来描述之.A.流程图B.结构图C.流程图或结构图中的任意一个D.流程图和结构图同时用2.(5分)下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.π是无限不循环小数,无限不循环小数是无理数,所以π是无理数B.π是无限不循环小数,π是无理数,所以无限不循环小数是无理数C.无限不循环小数是无理数,π是无理数,所以π是无限不循环小数D.无限不循环小数是无理数,π是无限不循环小数,所以π是无理数3.(5分)已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0所表示的曲线是圆C,则实数m的取值范围()A.1<m<4B.m<1或m>4C.m>4D.m<14.(5分)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,则田忌获胜的概率为()A.B.C.D.5.(5分)福利彩票“双色球”中红球的号码由编号为01,02,…,33的33个个体组成,某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红球的编号,选取方法是从下面的随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个红球的编号为()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 2357 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A.23B.24C.06D.046.(5分)如图,一个矩形的长为5,宽为2,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为138颗,则我们可以估计出阴影部分的面积约为()A .B .C .D .7.(5分)下列四个命题:①对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件;②若A、B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A、B满足P(A)+P(B)=1且P(AB)=0,则A、B是对立事件.其中错误命题的个数是()A.0B.1C.2D.38.(5分)春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动,得到如表的列联表,则下面的正确结论是()做不到“光盘”能做到“光盘”男4510女30150.1000.0500.0100.001附表及公式:=K2k0 2.706 3.841 6.63510.828 A.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”B.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9.(5分)如图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图,1号到16号同学的成绩依次为A1,A2,…,A16,图2是茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图,那么该算法流程图输出的结果是()A.6B.10C.91D.9210.(5分)已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0,当直线l 被C截得弦长为2时,则a等于()A.B.2﹣C.﹣1D. +111.(5分)已知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=150°,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率()A.B.C.D.12.(5分)如图,已知A(﹣4,0),B(4,0),C(0,4),E(﹣2,0),F(2,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围为()A.(﹣∞,﹣2)B.(4,+∞)C.(2,+∞)D.(1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.13.(5分)一条直线过点A(2,),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是.14.(5分)某校开展“爱我襄阳、爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示.则去掉一个最高分和一个最低分后的7个评分的方差是.15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.16.(5分)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.(1)设a i,j(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a5,2=11,则a10,7=;(2)设T2n表示三角形数表中第2n行的所有数的和,其中n∈N*,则T2n=.三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)已知复数z1=2+ai(a∈R,a>0,i为虚数单位),且z12为纯虚数.(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)若z=,求复数z的模|z|.18.(12分)已知直线l的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0,直线l1的方程为2x+ay+1=0,其中a∈R.(Ⅰ)若l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程;(Ⅱ)若直线l和直线l1互行,求实数a的值.19.(12分)在“一带一路”的建设中,中石化集团得了某地深海油田区块的开采权,集团在该地区随机初步堪探了几口井,取得了相关的地质资料.堪探的数据资料见下表:井号I123456坐标(x,y)(2,30)(4,40)(5,60)(6,50)(8,70)(1,y)(km)5624810钻探深度(km)出油量(L)98904095180205(Ⅰ)在散点图中1﹣6号井位置大致分布在一条直线附近,借助前5组数据求得回归线方程为y=6.5x+a,求a,并估计y的预报值;(Ⅱ)设出油量与钻探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井,在井号1﹣6的6口井中任意勘探2口井,求至多有1口是优质井的概率.20.(12分)某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时,发现以下四个式子均是正确的:①<2;②<2;③;④<2.(Ⅰ)已知∈(1.41,1.42),∈(1.73,1.74),∈(2.23,2.24),∈(2.44,2.45),请从①②③④这四个式子中任选一个,结合所的出的、、的范围,验证所选式子的正确性(注意不能近似计算)(Ⅱ)据此规律,运用合情推理知识,写出第n个不等式,并证明所写出的不等式.21.(12分)已知圆D过点A(﹣2,0)、点B(2,0)和点C(0,2).(Ⅰ)求圆D的方程;(Ⅱ)在圆D上是否存在点E使得|EA|=2|EB|,并说明理由;(Ⅲ)点P为圆D上异于B、C的任意一点,直线PC与x轴交于点M,直线PB与y 轴交于点.求证:|CN|×|BM|为定值.22.(10分)某幼儿园根据部分同年龄段的100名女童的身高数据绘制了频率分布直方图,其中身高的变化范围是[96,106](单位:厘米),样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106).(I)求出x的值,并求样本中女童的身高的众数和中位数;(Ⅱ)在身高在[100,102),[102,104),[104,106]的三组中,用分层抽样的方法抽取14名女童,则身高数据在[104,106]的女童中应抽取多少人数?2017-2018学年湖北省襄阳市高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【分析】设计的这个结构图从整体上要反映数的结构,从左向右要反映的是要素之间的从属关系.在画结构图时,应根据具体需要确定复杂程度.简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点.同时,要注意结构图,通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示,各要素间的从属关系较多时,常用方向箭头示意.【解答】解:结构图如下:故选:B.【点评】绘制结构图时,首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解,从头到尾抓住主要脉络进行分解.然后将每一部分进行归纳与提炼,形成一个个知识点并逐一写在矩形框内,最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连.2.【分析】根据三段论推理的标准形式,逐一分析四个答案中的推导过程,可得出结论.【解答】解:对于A,小前提与大前提间逻辑错误,不符合演绎推理三段论形式;对于B,大小前提及结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式对于C,小前提和结论颠倒,不符合演绎推理三段论形式;对于D,符合演绎推理三段论形式且推理正确;故选:D.【点评】本题主要考查推理和证明,三段论推理的标准形式,属于基础题.3.【分析】圆的方程化为标准形式,利用右侧大于0,即可求m的取值范围.【解答】解:方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0化为:(x﹣m)2+(y﹣2)2=m2﹣5m+4,方程表示圆的方程,所以m2﹣5m+4>0,解得:m<1或m>4.故选:B.【点评】本题考查的知识要点:圆的一般方程与标准方程的转化.属于基础题型.4.【分析】根据题意,设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别为记为A,B,C,用列举法列举齐王与田忌赛马的情况,进而可得田忌胜出的情况数目,进而由等可能事件的概率计算可得答案【解答】解:设齐王的上,中,下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上,中,下三个等次的马分别为记为A,B,C,从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根据题设其中Ab,Ac,Bc是胜局共三种可能,则田忌获胜的概率为=,故选:A.【点评】本题考查等可能事件的概率,涉及用列举法列举基本事件,注意按一定的顺序,做到不重不漏.5.【分析】根据随机抽样的定义进行抽取即可.【解答】解:第1行的第5列和第6列数字为54,向右17满足,23满足,20满足,26满足,23满足,24满足,则第六个为24,故选:B.【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用,利用随机数的定义是解决本题的关键.比较基础.6.【分析】由已知中矩形的长为5,宽为2,我们易计算出矩形的面积,根据随机模拟实验的概念,我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为黄豆落在阴影区域中的的方程,解方程即可求出阴影部分面积.频率,由此我们构造关于S阴影【解答】解:∵矩形的长为5,宽为2,则S矩形=10∴==,,∴S阴=故选:A.【点评】本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验,利用阴影面积与矩形面积的比的方程,是解答本题的关键.例约为黄豆落在阴影区域中的频率,构造关于S阴影7.【分析】根据互斥事件与对立事件之间的关系,以及互斥事件的求和公式,对题目中的命题进行分析、判断正误即可.【解答】解:对于①,对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件,①正确;对于②,若A、B为两个互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),∴②错误;对于③,若事件A、B、C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)≤1,∴③错误;对于④,若事件A、B满足P(A)+P(B)=1且P(AB)=0,则A、B是对立事件,④正确;综上,错误的命题序号是①④,共2个.故选:C.【点评】本题利用命题真假的判断,考查了互斥事件和对立事件的概念与应用问题,是基础题.8.【分析】由列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.【解答】解:由列联表中的数据知,K2=≈3.303>2.706,∴有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”.故选:B.【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.9.【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是数学成绩大于等于90的人数,由茎叶图知:数学成绩大于等于90的人数为10,从而得解.【解答】解:由算法流程图可知,其统计的是数学成绩大于等于90的人数,所以由茎叶图知:数学成绩大于等于90的人数为10,因此输出结果为10.故选:B.【点评】本题考查学生对茎叶图的认识,通过统计学知识考查程序流程图的认识,是一道综合题.10.【分析】由弦长公式求得圆心(a ,2)到直线l :x ﹣y +3=0 的距离 等于1,再根据点到直线的距离公式得圆心到直线l :x ﹣y +3=0的距离也是1,解出待定系数a .【解答】解:圆心为(a ,2),半径等于2,由弦长公式求得圆心(a ,2)到直线l :x ﹣y +3=0 的距离为==1, 再由点到直线的距离公式得圆心到直线l :x ﹣y +3=0的距离 1=,∴a=﹣1.故选:C .【点评】本题考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用. 11.【分析】以菱形ABCD 的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示,可得当该点位于图中阴影部分区域时,它到四个顶点的距离均不小于1.因此算出菱形ABCD 的面积和阴影部分区域的面积,利用几何概型计算公式加以计算,即可得到所求的概率. 【解答】解:分别以菱形ABCD 的各个顶点为圆心,作半径为1的圆,如图所示. 在菱形ABCD 内任取一点P ,则点P 位于四个圆的外部或在圆上时,满足点P 到四个顶点的距离均不小于1,即图中的阴影部分区域∵S 菱形ABCD =AB•BCsin30°=4×4×=8,∴S 阴影=S 菱形ABCD ﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π.因此,该点到四个顶点的距离均不小于1的概率P===1﹣.故选:D .【点评】本题给出菱形ABCD ,求在菱形内部取点,使该点到各个顶点的距离均不小于1的概率.着重考查了菱形的面积公式、圆的面积公式和几何概型计算公式等知识,属于基础题.12.【分析】先作出F 关于BC 的对称点P ,再作P 关于AC 的对称点M ,因为光线从F 点出发射到BC 上的D 点经BC 反射后,入射光线和反射光线都经过F 关于直线BC 的对称点P 点,又因为再经AC 反射,反射光线经过P 关于直线AC 的对称点,所以只需连接MA、ME交AC与点N,连接PN、PA分别交BC为点G、H,则G,H之间即为点D 的变动范围.再求出直线FG,FH的斜率即可.【解答】解:∵A(﹣4,0),B(4,0),C(0,4),∴直线BC方程为x+y﹣4=0,直线AC方程为x﹣y+4=0如图,作F关于BC的对称点P,∵F(2,0),∴P(4,2),再作P关于AC的对称点M,则M(﹣2,8),连接MA、ME交AC与点N,则直线ME方程为x=﹣2,∴N(﹣2,2)连接PN、PA分别交BC为点G、H,则直线PN方程为y=2,直线PA方程为x﹣4y+4=0,∴G(2,2),H(,)连接GF,HF,则G,H之间即为点D的变动范围.∵直线FG方程为x=2,直线FH的斜率为=4∴FD斜率的范围为(4,+∞)故选:B.【点评】本题考查入射光线与反射光线之间的关系,解题的关键是入射光线与反射光线都经过物体所成的像,据此就可找到入射点的范围.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.13.【分析】由题意求得直线y=x的斜率和倾斜角,再计算所求直线的倾斜角和斜率,利用点斜式写出直线的方程,再化为一般式方程.【解答】解:由题意知,直线y=x的斜率是,∴它的倾斜角为,所求直线的倾斜角为,它的斜率为k=tan=,这条直线的方程是y+=(x﹣2),化为一般式方程为x﹣y﹣3=0.故答案为:x﹣y﹣3=0.【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率以及直线方程的应用问题,是基础题.14.【分析】根据题意写出这组数据,计算它们的平均数和方差即可.【解答】解:根据茎叶图中的数据,去掉一个最高分94,去掉一个最低分88,余下的数据为:89,89,91,91,92,92,93;则平均数为=×(89+89+91+91+92+92+93)=91,方差为s2=×[(﹣2)2+(﹣2)2+02+02+12+12+22]=2.故答案为:2.【点评】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题,是基础题.15.【分析】根据题意,设要求圆的半径为r,将直线mx﹣y﹣3m﹣2=0变形为y+2=m (x﹣3),分析可得该直线过定点P(3,﹣2),结合直线与圆的位置关系可得以C 为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为CP,结合圆的标准方程分析可得答案.【解答】解:根据题意,设要求圆的半径为r,其圆心C的坐标为(1,0),对于直线mx﹣y﹣3m﹣2=0,变形可得y+2=m(x﹣3),过定点P(3,﹣2),分析可得:以C为圆心且与直线mx﹣y﹣3m﹣2=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的半径为CP,此时r=CP==2,则此时圆的标准方程为:(x﹣1)2+y2=8,故答案为:(x﹣1)2+y2=8.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及直线过定点问题,属于基础题.16.【分析】(1)第10行为偶数,其第一个为:a10,1=2+(21﹣1)×2=42,再利用等差数列的通项公式即可得出a10,7.(2)设T2n表示三角形数表中第2n行的所有数的和,其中n∈N*,可得a2n,1=2+=2n2﹣2n+2.再利用等差数列的求和公式即可得出.【解答】解:(1)第10行为偶数,其第一个为:a10,1=2+(21﹣1)×2=42,∴a10,7=42+6×2=54.(2)设T2n表示三角形数表中第2n行的所有数的和,其中n∈N*,a2n,1=2+=2n2﹣2n+2.则T2n=2n(2n2﹣2n+2)+=4n3+2n.故答案为:54;4n3+2n.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.【分析】(I)z12=4﹣a2+4ai为纯虚数.可得4﹣a2=0,4a≠0,a>0,解得a.(II)利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.【解答】解:(I)z12=4﹣a2+4ai为纯虚数.∴4﹣a2=0,4a≠0,a>0,解得a=2.(II)z===2×=2i.∴复数z的模|z|=2.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、纯虚数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.18.【分析】(I)直线l的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0,与坐标轴的交点分别为:,(0,a﹣2).可得a﹣2=2×,解得a.(II)由a(a+1)﹣2=0,解得a,经过检验即可得出.【解答】解:(I)直线l的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0,与坐标轴的交点分别为:,(0,a﹣2).则a﹣2=2×,解得a=2,或1.经过检验满足题意.∴直线l的方程为:2x+y+1=0,或3x+y=0.(II)由a(a+1)﹣2=0,解得a=1或a=﹣2.经过检验:a=1时两条直线重合舍去.∴a=﹣2.【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、截距的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.19.【分析】(Ⅰ)求出系数a的值,求出回归方程,代入x的值,求出y的预报值即可;(Ⅱ)列举出这六口井中随机选取两口井的可能情况以及至多有1口是优质井的情况,求出满足条件的概率即可.【解答】解:(Ⅰ)∵回归方程过样本中心点(,),=5,=50,∴a=﹣b=50﹣6.5×5=17.5,故回归方程是:y=6.5x+17.5,x=1时,y=24,即y的预报值是24;(Ⅱ)由题意可知,3,4,5,6这四口井是优质井,1,2这两口井是非优质井,由题意从这六口井中随机选取两口井的可能情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共有15种,其中至多有1口是优质井的有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)共9种,故至多有1口井是优质井的概率是P==.【点评】本题考查了回归方程问题,考查概率求值,是一道常规题.20.【分析】(Ⅰ)选③,运用分析法证明,结合移项和平方、以及不等式的性质可得;(Ⅱ)第n个不等式为<2﹣,n∈N*,运用移项和两边平方、结合不等式的性质即可得证.【解答】解:(Ⅰ)③,由⇔+<4⇔8+2<16⇔<4⇔15<16,可得③正确;(Ⅱ)第n个不等式为<2﹣,n∈N*,由<2﹣⇔+<2⇔2n+2+2<4n+4⇔<n+1⇔n2+2n<n2+2n+1,上式显然成立,即<2﹣,n∈N*,成立.【点评】本题考查不等式的性质和分析法的运用,考查运算能力和推理能力,属于基础题.21.【分析】(Ⅰ)由已知可得圆D的圆心为原点,半径为2,进而可得圆D的方程;(Ⅱ)设E点坐标为(2cosθ,2sinθ),结合|EA|=2|EB|,可得E点坐标;(Ⅲ)分类讨论,求出直线PC,PB的方程,可得M,N的坐标,即可证明结论【解答】解:(Ⅰ)∵圆D过点A(﹣2,0)、点B(2,0)和点C(0,2).故圆D的圆心为原点,半径为2,故圆D的方程为x2+y2=4;(Ⅱ)在圆D上存在点E使得|EA|=2|EB|,设E点坐标为(2cosθ,2sinθ),∵|EA|=2|EB|,∴|EA|2=4|EB|2,即(2cosθ+2)2+4sin2θ=4[(2cosθ﹣2)2+4sin2θ]解得:cosθ=,则sinθ=,即E点坐标为:(,),(Ⅲ)当直线PC的斜率不存在时,|CN|•|BM|=8.当直线PC与直线PB的斜率存在时,设P(2cosθ,2sinθ),直线PA的方程为y=x+2,令y=0得M(,0).直线PB的方程为y=(x﹣2),令x=0得N(0,).∴|CN|•|BM|=(2﹣)(2﹣)=4+4=8,故|AN|•|BM|为定值为8.【点评】本题考查圆的方程,考查直线的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.22.【分析】(1)由频率分布直方图中小矩形的面积之和为1,能求出x=0.075,由频率分布直方图能求出样本中女童的身高的众数和中位数.(2)在身高在[100,102),[102,104),[104,106]的三组中,用分层抽样的方法抽取14名女童,由[100,102),[102,104),[104,106]对应的频率分别为0.3,0.25,0.15,能求出身高数据在[104,106]的女童中应抽取的人数.【解答】解:(1)由频率分布直方图得:(0.050+0.100+0.150+0.125+x)×2=1,解得x=0.075.样本中女童的身高的众数为:=101,∵[96,100)的频率为:(0.050+0.100)×2=0.3,[100,102)的频率为:0.150×2=0.3,∴中位数为:100+=.(2)在身高在[100,102),[102,104),[104,106]的三组中,用分层抽样的方法抽取14名女童,∵[100,102),[102,104),[104,106]对应的频率分别为:0.150×2=0.3,0.125×2=0.25,0.075×2=0.15,∴身高数据在[104,106]的女童中应抽取:14×=3(人).【点评】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用,考查频率分布直方图等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.。